江苏省盱眙县都梁中学数学必修四同步课堂精练-3-1-3

1．已知tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan β的值是__________． 2. tan 20tan(50)1tan 20tan 50

---o o o o 的值是__________． 3．若tan 110°＝a ，则tan 50°的值为__________．

4．在△ABC 中，C ＝45°，则(1－tan A )(1－tan B )等于__________．

5．已知4cos 5α=-，π(,π)2α∈，则πtan()4α+＝__________. 6．若sin cos 3sin cos αααα

+=-，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝__________. 7．(1)已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个根，且π02α<<，3ππ2

β<<，求α＋β的值． (2)化简：tan 70tan10tan120tan 70tan10

-+o o o

o o . 8．在△ABC 中，已知2π3A C +=，求tan tan 3tan 2222

A C A C ++的值． 9.是否存在锐角α和β，使得(1) 2π23αβ+=

； (2) tan tan 232α

β⋅=

若存在，则求出α和β的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1. 答案：－1

解析：[]tan tan()23tan tan ()11tan tan()123

αβαβαβααβα+-+=+-=

==----⨯. 2.

解析：

原式＝tan 20tan 50111tan 50tan 20tan(5020)tan 30

+===--o o o o o o o 3.

解析：tan 50tan(11060)=-==o o o o . 4. 答案：2

解析：(1－tan A )( 1－tan B )＝1＋tan A tan B －(tan A ＋tan B )＝1＋tan A tan B －tan(A ＋B )(1－tan A tan B )

＝1＋tan A tan B －tan 135°(1－tan A tan B )＝2.

5. 答案：17

解析：∵4cos 5α=-，π(,π)2

α∈，

∴3sin 5α==

. ∴3

sin 35tan 4cos 4

5

ααα===--. ∴π31tan

1π144tan()π3471tan 144α+-+===-+. 6. 答案：43

解析：∵sin cos tan 13sin cos tan 1

αααααα++==--，tan α＝2. 又tan (α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2.

∴[]tan()tan 224tan(2)tan ()1tan()tan 1(2)23

βααβαβααβαα-----=--===+-+-⨯. 7. 解：(1)∵tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0 的两根， ∴5tan tan 6αβ+=，1tan tan 6

αβ⋅=. ∴5

tan tan 6tan()11

1tan tan 16

αβαβαβ++===--. ∵π02α<<，3ππ2

β<<， ∴π<α＋β<2π.∴5π4αβ+=

. (2)

tan 70tan10)70tan10tan 70tan10tan 70tan10+-⋅===⋅⋅o o o o

o o o o

. 8. 解：∵tan

tan 22tan()221tan tan 22A C A C A C

++=-， ∴tan tan tan (1tan tan )22222

A C A C A C ++=-⋅

πtan (1tan tan )tan tan )32222

A C A C =-⋅=-⋅.

tan tan )tan 2222

A C A C -⋅+⋅

tan tan 2222

A C A C =⋅+⋅=. 9. 解：由(1)得π23αβ+=

，∴tan tan 2tan()21tan tan 2α

βαβαβ++==-. 将(2)

代入上式得tan tan 32α

β+=因此，tan 2α

与tan β是一元二次方程

2(320x x --+-=的两根．解之，得x 1＝1

，22x =若tan 12α

=，由于

π024

α

<<.

∴这样的α不存在．故只能是tan 22α=，tan β＝1. 由于α，β均为锐角，∴π6α=，π4β=. 故存在锐角π6α=，π4

β=使(1)(2)同时成立．