【K12教育学习资料】[学习]2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭

2.1.2 椭圆的简单性质（一）

[A.基础达标]

1．已知椭圆x 216＋y 2

9

＝1及以下3个函数：①f (x )＝x ；②f (x )＝sin x ；③f (x )＝cos x ，

其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．0个

解析：选B.过原点连续的奇函数等分椭圆面积．易知f (x )＝x ，f (x )＝sin x 为奇函数，f (x )＝cos x 为偶函数，故①②满足要求．

2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个顶点在直线x ＋4

3

y ＝4上，则此椭圆的焦点坐标

是( )

A ．(±5，0)

B ．(0，±5)

C ．(±7，0)

D ．(0，±7)

解析：选C.直线x ＋43y ＝4在坐标轴上的截距为4、3，所以a ＝4，b ＝3，所以c ＝42－3

2

＝7，故椭圆的焦点坐标为(±7，0)．

3.如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a ＋y 2

b

＝1(a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭

圆的离心率为( )

A.－1＋5

2 B.5－1 C.

2－1

2

D.2－1

解析：选A.因为Rt △AOB ∽Rt △BOC ，所以a b ＝b c

，即b 2

＝ac ， 又b 2

＝a 2

－c 2

，所以a 2

－c 2

＝ac ，

即c 2＋ac －a 2

＝0，

所以e 2

＋e －1＝0，又e ∈(0，1)，

所以e ＝－1＋5

2

.

4．如图，已知ABCDEF 是边长为2的正六边形，A 、D 为椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)长轴的

两个端点，BC 、EF 分别过椭圆两个短轴的端点，则椭圆的方程是( )

A.x 24＋y 23＝1

B.x 23＋y 24＝1

C.x 2

4

＋y 2＝1 D.x 2

3＋y 2

＝1 解析：选A.因为a ＝|AO |＝2，b ＝2×3

2

＝ 3. 故该椭圆的方程为x 24＋y 2

3

＝1.

5．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作

AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )

A ．98a

B ．99a

C ．100a

D ．101a

解析：选D.设F 2为椭圆的右焦点，|F 1P i |＋|F 2P i |＝2a (i ＝1，2，…，99)，P 1，P 2，…，P 99关于y 轴成对称分布，

∑i ＝1

99

（|F 1P i |＋|F 2P i |）＝2a ×99＝198a ，

∑i ＝199

| F 1P i |＝12∑i ＝1

99

(|F 1P i |＋|F 2P i |)＝99a . 又因为|F 1A |＋|F 1B |＝2a ，

所以|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |＝99a ＋2a ＝101a .

6．已知椭圆的长轴长为20，离心率为3

5，则该椭圆的标准方程为________．

解析：由题意知，2a ＝20，a ＝10，e ＝c a ＝3

5

，

所以c ＝6，b 2＝a 2－c 2

＝64. 故椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 2

64

＝1. 答案：

x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 2

64

＝1

7．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2

＝1的长轴长是________． 解析：将椭圆化为标准方程为x 21m ＋1＋y 2

1m

＝1， 则必有m >0. 因为m ＋1>m >0，所以

1m ＋1<1m

. 所以a 2

＝1m ，a ＝m m ，2a ＝2m m

.

答案：2m m

8．若椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率e ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

22，1，则实数m 的取值范围为________．

解析：当焦点在x 轴上时，可得：⎩⎪⎨⎪

⎧0＜m ＜4，22

≤4－m

2＜1，解得m ∈(0，2]； 当焦点在y 轴上时，可得：⎩⎪⎨⎪

⎧m ＞4，22≤m －4

m ＜1，解得m ∈[8，＋∞)， 故m ∈(0，2]∪[8，＋∞)．

答案：(0，2]∪[8，＋∞)

9．已知椭圆x 2

＋(m ＋3)y 2

＝m (m >0)的离心率e ＝3

2

，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．

解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2

m

m ＋3

＝1，

因为m －m m ＋3＝m （m ＋2）

m ＋3>0，

所以m >m m ＋3，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2

＝

m （m ＋2）

m ＋3

.

由e ＝32得 m ＋2m ＋3＝3

2

，所以m ＝1.

所以椭圆的标准方程为x 2

＋y 214

＝1.

所以a ＝1，b ＝12，c ＝3

2

.

所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为(－

32，0)，(3

2

，0)；四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，(0，－12)，(0，1

2

)．

10．(1)已知椭圆E 经过点A (2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝1

2

.求椭圆E 的方程． (2)如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．

解：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由e ＝12，即c a ＝1

2

，得a

＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2

，

所以椭圆方程可化为x 24c 2＋y 2

3c

2＝1.

将A (2，3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c 2

＝4， 所以椭圆E 的方程为x 2

16＋y 2

12

＝1.

(2)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)．如题图所示，则有F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A (0，

b )，B (a ，0)，直线PF 1的方程为x ＝－

c ，代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，所以P ⎝

⎛⎭⎪⎫－c ，b 2

a . 又PF 2∥AB ，所以△PF 1F 2∽△AOB .