福建地区泉州市2010届高三3月质量检查数学试卷(理科)

2010年福建省福州市高中毕业班质量检查
理科数学试卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
参考公式：
样本数据n x x x ,,,21 的标准差；
x x x x x x x n
s n 其中],)()()[(1
22221
为样本平均数； 柱体体积公式：为底面面积其中S Sh V , 、h 为高；
锥体体积公式：h S Sh V ,,3
1
为底面面积其中
为高； 球的表面积、体积公式：,3
4,432
R V R S 其中R 为球的半径。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置。

1．已知集合2
{|20},{|1}A x x x B x x ，则A B I 等于
（ ）
A ．{|01}x x
B ．{|12}x x
C ．{|02}x x
D ．{|2}x x 2．在同一坐标系内，函数y x a 与log a y x 的图象可能是
（ ）
3．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，则“a b ”是“sin sin A B ”的（ ） A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．在等差数列{}n a 中，91110a a ，则数列{}n a 的前19项之和为 （ ）
A ．98
B ．95
C ．93
D ．90
5．某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型H1N1流感的预防作用，把1000名注射了疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用”，并计算出2( 6.635)0.01P ，则下列说法正确的是
（ ）
A ．这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1％
B ．若某人未使用该疫苗，则他在半年中有99％的可能性得甲型H1N1
C ．有1％的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”
D ．有99％的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”
6．设 、 是两个不同的平面，l 、m 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（ ） A ．若//,l m I ，则//l m
B ．若//,l m m ，则//l
C ．若//,//l m
且／／，则//l m D ．若,l m 且，则l m 7．如图12,e e 为互相垂直的单位向量，向量 a b 可表示为 （ ） A ．213 e e B ．1224 e e C ．123 e e D ．123 e e
8．设2
1
4cos ,()n n xdx x x
则二项式的展开式的常数项是（ ）
A ．12
B ．6
C ．4
D ．2
9．已知函数201
()log (),()03
x
f x x x f x 若实数是方程的解，且1010,()x x f x 则的
值
（ ）
A ．恒为负
B ．等于零
C ．恒为正
D ．不小于零
10．若直线2
2
505mx ny x y 与圆没有公共点，则过点(,)P m n 的一条直线与椭圆
22
175
x y 的公共点的个数是
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．1或2
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

把答案填在答题卡的相应位置。

11．如右图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长
为2的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的 体积是 。

12．已知i 是虚数单位，使(1)n
i 为实数的最小正整数
n 是 。

13．农科院小李在做某项实验中，计划从花生、大白菜、
土豆、玉米、小麦、苹果这6种种子中选出4种， 分别种植在四块不同的空地上（一块空地只能种 一种作物），若小李已决定在第一块空地上种
玉米或苹果，则不同的种植方案有 种（用数字作答）。

14．某程序流程框图如图所示，现执行该程序，输入下列
函数，224()sin
,()cos ,()tan ,333
f x x f x x f x x 则可以输出的函数是()f x = 。

15．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ，
当12x x 时，都有12()()f x f x ，则称函数()f x 在D 上为非减函数。

设函数()f x 在[0，1]上为非减 函数，且满足以下三个条件：
①(0)0f ；②(1)()1f x f x ； ③1()(),32x
f f x
则15
()()312
f f 的值为 。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明
过程或演算步骤 16．（本小题满分13分）
数列11{}3,(,)2n n n a a a a y x 中已知点在直线上， （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）若3,.n
n n n n b a 求数列{b }的前n 项和T
17．（本小题满分13分）
从某自动包装机包袋的食盐中，随机抽取20袋作为样本，按各袋的质量（单位：g）[490,495),495,500,500,505,[505,510]，相应的样本频率分布直方图如分成四组，
图所示。

500,505的频数是多少？
（I）估计样本中的位数是多少？落入
（II）现从这台自动包装机包袋的大批量食盐中，随机抽取3袋，记 表示食盐质量属于
500,505的袋数，依样本估计总体的统计思想，求 的分布列及期望
18．（本小题满分13分）
已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，090BAC ，12,1,,AB AA AC M N 分别是11,A B BC 的中点． （Ⅰ）证明：//MN 平面11ACC A ； （II ）求二面角M —AN —B 的余弦值。

19．（本小题满分13分）
如图，以原点O 为顶点，以y 轴为对称轴的抛物线E 的焦点为F （0，1），点M 是直线:(0)l y m m 上任意一点，过点M 引抛物线E 的两条切线分别交x 轴于点S ，T ，切点分别为B ，A 。

（I ）求抛物线E 的方程；
（II ）求证：点S ，T 在以FM 为直径的圆上；
（III ）当点M 在直线l 上移动时，直线AB 恒过焦点F ，求m 的值。

20．（本小题满分14分）
已知函数()ln f x x x （I ）求()f x 的最小值；
（II ）讨论关于x 的方程()0()f x m m R 的解的个数； （III ）当0,0,:()()()()ln 2.a b f a f b f a b a b 时求证
21．（本小题满分14分）本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，任选2题作答，
满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。

作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（I ）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵10102,,:4000A B l x y a b
矩阵直线经矩阵A 所对应的变换得直线l 2，直线l 2又经矩阵B 所对应的变换得到直线3:40l x y ，求直线l 2的方程。

（II ）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
求直线12,14cos 2,14sin ,x t x y t y
被曲线截得的弦长。

（III ）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
若存在实数x 满足不等式|4||3|x x a ，求实数a 的取值范围。

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1—5 BCABD 6—10 DCBAC
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11 12．4 13．120 14．2cos 3
x 15．1 三、解答题：本大题共6小题，共80分。

16．（本小题满分13分）
解：（I ）1(,)2n n a a y x Q 点在直线上。

112,2n n n n a a a a 即 ………………2分
{}n a 数列是以3为首项，以2为公差的等差数， ………………3分
32(1)21n a n n ………………5分
（II ）3,(21)3n n
n n n b a b n Q
231335373(21)3(21)3n n n T n n L ① …………6分 23133353(21)3(21)3n n n T n n L ② …………7分
由①—②得
2312332(333)(21)3n n n T n L ………………9分
119(13)
92(21)313
n n n
123n n ………………12分 13n n T n ………………13分
17．（本小题满分13分） 解：（I ）由已知可得直线500505
502.52
x
，把频率分布直方图分为左右两侧等面
积，故估计样本的中位数是502.5（直接写出答案不扣分） …………2分 样本落入 490,495 的频数是:(0.015)20=1 495,500 的频数是:(0.025)20=2
505,510 的频数是:(0.035)20=3 ………………4分
故落入 500,505的频数是:20-(1+2+3)=14 ………………6分 另解：样本落入 490,495 的频数是:0.015=0.05
495,500 的频数是:0.025=0.10
505,510 的频数是:0.035=0.15 ………………4分
故样本落入 500,505的频数是:1-(0.05+0.10+0.15)=0.7 所以样本落入 500,505 的频数是:0.720=14 ………………6分 （II ）0,1,2,3, 依样本的频率代替概率，可得
3373()()()(0,1,2,3)1010
i i i
P i C i ………………8分
故 的分布列为
………………11分 从而00.02710.18920.44130.343 2.1E 或30.7 2.1E np ………………13分
18．（本小题满分13分）
解法一：依条件可知AB 、AC ，AA 1两两垂直，如图，以点A 为原点建立空间直角坐标
系.A xyz 根据条件容易求出如下各点坐标：
111(0,0,0),(0,2,0),(1,0,0),(0,0,2),(0,2,2),(1,0,2),(0,1,2),
1
(,0,1)22
A B C A B C M N L L L L 分
（I ）证明：1
(,0,2),(0,2,0)2
MN AB u u u u r u u u r Q
是平面ACCA 1的一个法向量，
且1
002200,2MN AB u u u u r u u u r
所以MN AB u u u r
………………4分
又11MN ACC A Q 平面，
11//MN ACC A 平面 ………………6分
（II ）设(,,)n x y z 是平面AMN 的法向量，
因为1
(0,1,2),(,1,0)2
AM AN u u u u r u u u r ，
由0,0,
AM n AN n u u u u r u u u r ………………8分 得020,10.2
y z x y
解得平面AMN 的一个法向量(4,2,1)n ………………10分 由已知，平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m ………………11分
21
cos ,||||21211
m n m n n m
………………12分 21
21
M AN B 二面角的余弦值是
………………13分 解法二：
（I ）证明：设AC 的中点为D ，连结DN ，A 1D
∵D ，N 分别是AC ，BC 的中点，
∴1
//
2
DN AB ………………1分 11111111
,//,
2
//,A M A B A B AB A M DN A DNM
Q 又四边形是平行四边形 ∴A 1D//MN ………………4分
11111,A D ACC A MN ACC A Q 平面平面 11//MN ACC A 平面 ………………6分
（II ）如图，设AB 的中点为H ，连结MH ，
∴MH//BB 1 ∵BB 1⊥底面ABC ， ∵BB 1⊥AC ，BB 1⊥AB ， ∴MH ⊥AC ，AH ⊥AB ∴AB ∩AC=A
∴MH ⊥底面ABC ………………7分
在平面ABC 内，过点H 做HG ⊥AN ，垂足为G 连结MG ，AN ⊥HG ，AN ⊥MH ，HG ∩MH=H ∴AN ⊥平面MHG ，则AN ⊥MG
∴∠MGH 是二面角M —AN —B 的平面角 ………………9分 ∵MH=BB 1=2，
由△AGH ∽△BAC
，得HG
所以MG
所以cos HG MGH MG
21
21
M AN B 二面角的余弦值是
………………13分 19．（本小题满分13分）
解：（I ）设抛物线E 的方程为2
2(0)x py p ， 依题意
1,22
p
p 解得， 所以抛物线E 的方程为2
4.x y …………3分 （II ）设点1122(,),(,).A x y B x y
120x x ，否则切线不过点M
211,,42
y x y x
Q 11
,2
AM AM k x
切线的斜率 ………………5分 211111111
1
(),.
2411
0,,(,0),22
2
,
FT x y y x x x y y x x T x FT k x 方程为其中令得点的坐标为直线的斜率
11
12
()1,2AM FT k k x x
Q ………………7分 ∴AM ⊥FT ，即点T 在以FM 为直径的圆上； 同理可证点S 在以FM 为直径的圆上，
所以S ，T 在以FM 为直径的圆上。

………………8分 （III ）抛物线2
4(0,1),: 1.x y F AB y kx 焦点可设直线
由221,
440,4
1,
y x x kx y kx
得 则12 4.x x ………………10分
由（II ）切线AM 的方程为211011
(,)24
y x x x M x m
过点， 210111
,24m x x x
得 同理2
20211.24
m x x x
消去01212121
,()()4x m x x x x x x 得 ………………12分
1212,4x x x x Q 由上
121
1, 1.4
m x x m
即的值为 ………………13分 20．（本小题满分14分）
解：（I ）()(0,)f x 的定义域为
1
()ln 1,()0,:,f x x f x x e
令得 ………………1分
(0,),(),()x f x f x 当时的变化的情况如下：
x
1(0,)e
1e
1
(,)e
()f x
— 0 + ()f x
极小值
………………3分 所以，11()(0,)().f x f e e
在最小值是 ………………4分 （II ）当1
(0,),()x f x e
单调递减且()f x 的取值范围是1(,0)e
；
当1(,),()x f x e 时单调递增且1
()(,)f x e
的取值范围是
下面讨论()0f x m 的解；
所以，当1m e
时，原方程无解； ………………6分 当10m m e
或时，原方程有唯一解； 当1
0m e
时，原方程有两解 ………………8分 （III ）原不等式可化为：()[()]()()ln 2f a f a b a f a b a b
()()()(0)()ln ()ln()(0)()ln 1ln()1ln 2()0,ln 0,1,0,:
,2
g x f x f k x k g x x x k x k x x k x g x x k x k x
x x x k
g x k x k x k x
k
x k 设函数则令则解得
令()0,:02
k
g x x
解得 ………………10分 ()(0,)2k g x 函数在上单调递减，在(,)2
k
k 上单调递增，
()(0,)()2
k
g x k g 在上的最小值为 ………………12分
(0,),()(),
2:()()()()2()222
ln ln ln 2()ln 2132
k
x k g x g k k k
f x f k x f f k f k
k k k k f k k L L L L 当时总有即分
令,,:()()()()ln 2.x a k x b f a f b f a b a b 则有 …………14分 21．（本小题满分14分）本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，任选2题作答，
满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。

作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）
解：020120000a BA b a b
，
132x ax
l l y by
得变换到的变换公式， ………………2分 1240:40,ax by l x y 则即直线
则有21,1
,11,
2a a b b
解得 ………………4分
此时0210B
，同理可得2240l y x 的方程为
即240.x y ………………7分 （2）（本小题满分7分）
解：直线12,
102,
x t x y y t
的普通方程为 ………………2分
曲线14cos (1,1)14sin ,x y
即圆心为半径为4的圆 ………………4分
则圆心（1，—1
）到直线102
x y d
的距离 …………5分 设直线被曲线截得的弦长为t
，则t
………………7分 （3）（本小题满分7分）
解法一：令|4||3|,y x x
则有27(3)
1
(34)27(4)x x y x x x
， ………………2分 由图象可得min 1,y ………………4分
又因为原不等式有实数解，所以a 的取值范围是(1,). ………………7分
解法二：|4||3|x x 的几何意义是x 在数轴上对应点P 到3、4对应的点A 、B 的距离之和|PA|+|PB|， ………………2分
通过讨论4,34,3x x x 三种情况的点P 位置， 可得|PA|+|PB|的最小值为1， ………………4分
又因为原不等式有实数解，所以a 的取值范围是(1,). ………………7分 解法三：|4||3||(4)(3)|x x x x Q ………………2分
|4||3|
的最小值为1 ………………4分
y x x
………………7分又因为原不等式有实数解，所以a的取值范围是(1,).。