新教材高中数学第八章立体几何初步8.4.1平面课件新人教A版必修第二册ppt

③
×
如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定
一个平面
④
√
平面是空间中点的集合,是无限集
答案:④
4.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α,且直线AB∩l=C,则
直线AB∩β=
.
解析:∵α∩β=l,AB∩l=C,∴C∈β,C∈AB,∴AB∩β=C.
答案:C
∴由基本事实3可知,点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可
证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P,Q,R三点共线.
本例换为:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C
与平面ABC1D1交于点Q,如何说明B,Q,D1三点共线?
证明:如图所示,连接A1B,CD1.
显然B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1.
④两条平行线确定一个平面
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
(2)两个平面若有三个公共点,则这两个平面(
A.相交
B.重合
C.相交或重合
D.以上都不对
)
解析:(1)不在同一条直线上的三点确定一个平面.圆上三个点
不会在同一条直线上,故可确定一个平面,∴①不正确,②正确.
当四点在一条直线上时不能确定一个平面,③不正确.根据平
且 P∈l
3.做一做:如图所示,在空间四边形各边AD,AB,BC,CD上分别
取E,F,G,H四点,如果EF,GH交于一点P,求证:点P在直线BD
上.
证明:∵EF∩GH=P,
∴P∈EF,且P∈GH.
又EF⊂平面ABD,GH⊂平面CBD,
∴P∈平面ABD,且P∈平面CBD,
即P∈平面ABD∩平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,
性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线
上,也可选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在其
上.
易 错 辨 析
没判别两直线共点致误
【典例】 如图,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,
F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.
求证:EF,GH,BD交于一点.
同理O1A=AD,∴O与O1重合,
∴D1F∩CE=O,∴E,C,D1,F四点共面.
探究三 共线问题
【例3】 已知△ABC在平面α外,其三边所在的直线满足
AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如图所示.
求证:P,Q,R三点共线.
证明:∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.
又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.
三点,有且只有一个平
面
A,B,C 三点不共线⇒
存在唯一的 α 使
A,B,C∈α
基本
事实
2
如果一条直线上的
两个点在一个平面内,
那么这条直线在这个
平面内
A∈l , B∈l ,
且 A∈α , B∈α⇒l⊂α
公理
内容
基本
事实
3
如果两个不重合的平
面有一个公共点,那么
它们有且只有一条
过该点的公共直线
图形
符号
P∈α,P∈β⇒α∩β=l,
BD上.这就证明了GH和EF的交点也在BD上,所以EF,GH,BD
交于一点.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
虽已证明E,F,H,G四点共面,但未说明GH和EF能否交于一点,
它们也可能平行.如何说明GH和EF交于一点,往往解题中被
忽视.
因为E,G分别为BC,AB的中点,所以GE∥AC.又因为
(1)点P与直线AB;
(2)点C与直线AB;
(3)点M与平面AC;
(4)点A1与平面AC;
(5)直线AB与直线BC;
(6)直线AB与平面AC;
(7)平面A1B与平面AC.
解:(1)点P∈直线AB;
(2)点C∉直线AB;
(3)点M∈平面AC;(4)点A1∉平面AC;
(5)AB∩BC=B;(6)AB⊂平面AC;
2.填空:
(1)平面基本事实推论1:经过一条直线和这条直线外一点,
有且只有一个平面.
(2)平面基本事实推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平
面.
(3)平面基本事实推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平
面.
3.做一做:(1)下列说法正确的是(
)
①任意三点确定一个平面
②圆上的三点确定一个平面
③任意四点确定一个平面
平面ABCD、平面AC或平面BD .
(3)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,
把被遮挡部分用虚线画出来.如图②.
3.做一做:(1)在下列各种面中,不能认为是平面一部分的应该
为(
)
A.黑板面
B.乒乓球桌面
C.篮球的表面
D.平静的水面
答案:C
(2)根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关
行线的定义知,两条平行直线可确定一个平面,故④正确.
(2)若三个点在同一条直线上,则两平面可能相交;若这三个点
不在同一条直线上,则这两个平面重合.
答案:(1)C (2)C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
(1)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.
课标定位
素养阐释
1.在直观认识空间点、直线、平面的位置关系
的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关
系的定义.
2.了解三个基本事实(基本事实1、2、3)和三个
推论,并能运用事实及推论进行逻辑推理.
3.通过直观感知线与平面的位置关系.
自主预习·新知导学
上.这就证明了GH和EF的交点也在BD上,所以EF,GH,BD交
于一点.
在论证两条直线交于一点过程中,一般先证明两条直线共面,
它们处在同一平面中,再说明它们交于一点,常用梯形两腰交
于一点来说明两直线能交于一点.
随 堂 练 习
1.若点Q在直线b上,b在平面β内,则Q,b,β之间的关系可记作
(
A.Q∈b∈β
系,并画出相应的图形:①A∈α,B∉α;②l⊂α,m∩α=A,A∉l;③
P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.
解:①点A在平面α内,点B不在平面α内,如图①;
②直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线
l上,如图②;
③直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q,如图③.
二、平面的基本性质
【问题思考】
由基本事实3可得P∈BD.
∴点P在直线BD上.
三、基本事实的推论
【问题思考】
1.三个关于平面的基本事实是人们经过长期观察与实践总结
出来的,是几何推理的基本依据,也是我们进一步研究立体几
何的基础.下面每一个条件能否确定一个平面?(1)直线与直线
外一点;(2)两条相交直线;(3)两条平行直线.
提示:都能.
(7)平面A1B∩平面AC=直线AB.
三种语言的转换方法:用文字语言、符号语言表示一个图形
时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的
位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示;根据
符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的
区别.
【变式训练1】 画图表示下列由集合符号给出的关系:
∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.
∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1.
∵A1C∩平面ABC1D1=Q,
∴Q∈平面ABC1D1.
又A1C⊂平面A1BCD1,
∴Q∈平面A1BCD1.
∴Q∈BD1,即B,Q,D1三点共线.
证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一
一个平面β,再证平面α与β重合;
(3)假设不共面,结合题设推出矛盾.
【变式训练2】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为
AB的中点,F为AA1的中点.
求证:E,C,D1,F四点共面.
证明:延长D1F,设D1F∩DA=O,延长CE,设CE∩DA=O1.
∵F为AA1的中点,∴OA=AD.
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、平面
【问题思考】
1.生活中的平面有大小之分吗?几何中的“平面”是怎样的?
提示:生活中的平面有大小之分;从物体中抽象出来的,绝对平,
无大小之分.
2.填空:(1)几何中的平面是向四周无限延展的.
(2)平面通常画成一个平行四边形,图①的平面可表示为平面α、
错解:因为E,G分别为BC,AB的中点,所以GE∥AC.又因为
DF∶FC=DH∶HA=2∶3,所以FH∥AC,从而FH∥GE且
GE≠FH.故E,F,H,G四点共面.记GH和EF交于一点O.因为O在
平面ABD内,又在平面BCD内,所以O在这两平面的交线上,而
这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条,所以点O在直线
1.若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上,直尺的边缘上的其
余点和桌面有何关系?为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚
就能固定自行车?两张纸面相交有几条交线?
提示:直尺的边缘上的其余点在桌面上.撑脚和自行车的两个
轮子与地面的接触点不在一条直线上.两张纸面相交有一条
交线.
2.填空:
公理
内容
图形
符号
基本
事实
1
过不在一条直线上的
(1)A∈α,B∉α,A∈l,B∈l;
(2)a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.
解:如图.
(1)
(2)
探究二 点、线共面问题
【例2】 求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.
证明:如图,直线a,b,c,d两两相交,交点分别为A,B,C,D,E,F.
∵直线a∩直线b=A,
∴直线a和直线b确定平面设为α,
B.Q∈b⊂β
C.Q⊂b⊂β
D.Q⊂b∈β
答案:B
)
2.已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是
(
)
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN
C.A∈α,A∈β⇒α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合


GE=AC,FH=AC,
DF∶FC=DH∶HA=2∶3,所以FH∥AC,从而FH∥GE且
GE≠FH.故E,F,H,G四点共面.又因为
所以
四边形EFHG是一个梯形,设GH和EF交于一点O.因为O在平
面ABD内,又在平面BCD内,所以O在这两平面的交线上,而这
两个平面的交线是BD,且交线只有这一条,所以点O在直线BD
( √ )
(2)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点.( × )
(3)经过两条相交直线,有且只有一个平面.( √ )
(4)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重
合.( √ )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
【例1】 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.
答案:C
3.下列对平面的描述语句:
①平静的太平洋面就是一个平面;
②8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚;
③四边形确定一个平面;
④平面可以看成空间中点的集合,它当然是一个无限集.
其中正确的是
.(填序号)
解析:
序号 正误
原因分析
①
×
太平洋面只是给我们以平面的形象,而平面
是抽象的,且无限延展的
②
×
平面是无大小、无厚薄之分的
即a,b⊂α.∵B,C∈a,E,F∈b,∴B,C,E,F∈α.
而B,F∈c,C,E∈d,∴c,d⊂α,
即a,b,c,d在同一平面内.
证明点、线共面问题的理论依据是基本事实1和基本事实2,
常用方法有:
(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个
平面内;
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另