2018年安徽省宣城市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2018年安徽省宣城市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x（2﹣x）≤0}，则A∩（∁U B）为（）
A．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0≤x＜1}D．{x|﹣1＜x＜0} 2．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）
A．若“p∨q”为假命题，则p与q均为假命
B．“x＝1”是“x≥1”的充分不必要条件
C．“”的一个必要不充分条件是“”
D．若命题p：∃x0∈R，，则命题¬p：∀x∈R，e x＜1
3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝t＝3，则输出的M等于（）
A．3B．C．D．
4．（5分）从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）
A．B．C．D．
5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝5，S8＝36，则数列的前n 项和为（）
A．B．C．D．
6．（5分）函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝A sinωx的图象，只需将函数y＝f（x）的图象（）
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
7．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若•＝0，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
8．（5分）记（2﹣x）7＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a7（1+x）7，则a0+a1+a2+…a6的值为（）
A．1B．2C．129D．2188
9．（5分）若函数f（x）＝﹣（a﹣2）x+5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为（）
A．﹣1≤a≤2B．﹣2≤a≤1C．a＞2或a＜﹣1D．a＞1或a＜﹣2 10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）
A．B．C．12πD．16π
11．（5分）边长为2的等边△ABC所在平面内一点M满足，则＝（）
A．B．C．D．
12．（5分）已知f（x）＝|xe x|，关于x的方程f2（x）+tf（x）+2＝0（t∈R）有四个不同的实数根，则t的取值范围为（）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若实数x，y满足，则的取值范围是．
14．（5分），，＝．
15．（5分）已知各项都不相等的等差数列{a n}，满足a2n＝2a n﹣3，且a62＝a1•a21，则数列{}项中的最大值为．
16．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线，点M在抛物线C 上，点A在左准线l上，若MA⊥l，且直线AF的斜率，则△AFM的面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2＝4ab sin2C．
（1）求sin A•sin B；
（2）若，a＝3，求c的大小．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥CB，∠ADC＝90°，平面P AD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，，M是棱PC上的点．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面P AD；
（Ⅱ）若P A＝PD＝2，BC＝1，，异面直线AP与BM所成角的余弦值为，求的值．
19．（12分）为了推行“智慧课堂”教学，某老师分别用传统教学和“智慧课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期屮考试后，分别从两个班级屮各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．
（Ⅰ）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”？
附：．
临界值表
（Ⅱ）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采川分层扣样的方法扣取8人进行考核．在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．
20．（12分）已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T．若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）＝a（x+）+blnx（其中a，b∈R）
（Ⅰ）当b＝﹣4时，若f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＝﹣1时，是否存在实数b，使得当x∈[e，e2]时，不等式f（x）＞0恒成立，如果存在，求b的取值范围，如果不存在，说明理由（其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4sinθ．以极点为平而直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线l的倾斜角α的值．[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|2x﹣7|+1
（Ⅰ）求不等式f（x）≤x的解集；
（Ⅱ）若存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，求实数a的取值范围．
2018年安徽省宣城市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x（2﹣x）≤0}，则A∩（∁U B）为（）
A．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0≤x＜1}D．{x|﹣1＜x＜0}【解答】解：B＝{x|x≤0，或x≥2}；
∴∁U B＝{x|0＜x＜2}；
∴A∩（∁U B）＝{x|0＜x＜1}．
故选：B．
2．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）
A．若“p∨q”为假命题，则p与q均为假命
B．“x＝1”是“x≥1”的充分不必要条件
C．“”的一个必要不充分条件是“”
D．若命题p：∃x0∈R，，则命题¬p：∀x∈R，e x＜1
【解答】解：A．若“p∨q”为假命题，则p与q均为假命，故A正确，
B．“x＝1”是“x≥1”的充分不必要条件，故B正确，
C．当时，满足sin x＝，但sin x＝时，不一定成立，即“”的一个必要不充分条件是“”错误，
D．若命题p：∃x0∈R，，则命题¬p：∀x∈R，e x＜1，正确，
故选：C．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝t＝3，则输出的M等于（）
A．3B．C．D．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
x＝3，t＝3，M＝0
M＝3，x＝，
不满足条件x≥t，M＝，x＝﹣，
不满足条件x≥t，M＝，x＝3，
满足条件x≥t，退出循环，输出M的值为．
故选：C．
4．（5分）从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的所有事件是从4个人安排两人，总共有C42A22＝12种．
其中期六安排一名男生、星期日安排一名女生，总共有C21C21＝4种，
∴其中至少有1名女生的概率P＝．
故选：A．
5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝5，S8＝36，则数列的前n 项和为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝5，S8＝36，
∴，
解得a1＝1，d＝1，
∴a n＝1+（n﹣1）×1＝n，
∴＝＝，
∴数列的前n项和为：
S n＝＝1﹣．
故选：B．
6．（5分）函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝A sinωx的图象，只需将函数y＝f（x）的图象（）
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【解答】解：由函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象，
可得A＝2，∵，∴T＝π，ω＝2，f（x）＝2cos（2x+φ），
将代入得，∵﹣π＜φ＜0，
∴．
故可将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度得到l的图象，即可得到g（x）＝A sinωx 的图象，
故选：B．
7．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若•＝0，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：椭圆+＝1（a＞b＞0）的左顶点为M（﹣a，0），上顶点为N（0，b），右焦点为F（c，0），
若•＝0，可知NM⊥NF，
可得：a2+b2+b2+c2＝（a+c）2，又a2＝b2+c2，
所以a2﹣c2＝ac，
即e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），
解得e＝，
故选：D．
8．（5分）记（2﹣x）7＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a7（1+x）7，则a0+a1+a2+…a6的值为（）
A．1B．2C．129D．2188
【解答】解：在中，
取x＝0，得a0+a1+a2+…a6+a7＝27＝128．
又（2﹣x）7＝[3﹣（1+x）]7，
∴＝，则a7＝﹣1．
∴a0+a1+a2+…a6＝128﹣a7＝129．
故选：C．
9．（5分）若函数f（x）＝﹣（a﹣2）x+5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为（）
A．﹣1≤a≤2B．﹣2≤a≤1C．a＞2或a＜﹣1D．a＞1或a＜﹣2【解答】解：若函数f（x）有3个单调区间，
则f′（x）＝4x2﹣4ax﹣（a﹣2）有2个零点，
故△＝16a2﹣16（a﹣2）＞0，解得：a＞1或a＜﹣2，
故选：D．
10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）
A．B．C．12πD．16π
【解答】解：由三视图还原原几何体如图所示，
该几何体为四棱锥，底面ABCD为正方形，AB＝BC＝2，
侧面P AD为等腰三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，
建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，
连接AC，BD，AC∩BD＝N，过N作MN∥z轴，
设M为该几何体的外接球的球心，且MN＝a；
则CM＝PM，
即CM2＝PM2，
∴+a2＝（2﹣a）2+12，
解得a＝，
∴半径R＝CM＝＝，
∴该几何体的外接球表面积为4π×＝．
故选：A．
11．（5分）边长为2的等边△ABC所在平面内一点M满足，则＝（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，
A（1，0），B（0，），C（﹣1，0），
∴＝（1，），＝（2，0），
∴＝（1，）+（2，0）＝（，），
∴＝﹣＝（2，0）﹣（，）＝（，﹣），
＝﹣＝（1，）﹣（，）＝（﹣，），
∴＝﹣﹣＝﹣，
故选：A．
12．（5分）已知f（x）＝|xe x|，关于x的方程f2（x）+tf（x）+2＝0（t∈R）有四个不同的实数根，则t的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【解答】解：f（x）＝，
∴当x≥0时，f′（x）＝e x（x+1）＞0，f（x）单调递增，
当x＜0时，f′（x）＝﹣e x（x+1），
∴当x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，
∴当x＝﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）＝．
作出f（x）的函数图象如图所示：
令f（x）＝m，
∴当0＜m＜时，f（x）＝m有3解，
当m＞或m＝0时，f（x）＝m有1解，
当m＝时，f（x）＝m有2解．
∵关于x的方程f2（x）+tf（x）+2＝0（t∈R）有四个不同的实数根，
∴关于m的方程m2+tm+2＝0在（0，）和（，+∞）上各有1解．
∴++2＜0，解得t＜﹣2e﹣，
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若实数x，y满足，则的取值范围是[3，+∞）．
【解答】解：由约束条件，
作出可行域如图，
联立，解得A（1，2），
的几何意义为可行域内动点与定点P（0，﹣1）连线的斜率，
∵k P A＝＝3，
∴的取值范围是[3，+∞）．
故答案为：[3，+∞）．
14．（5分），，＝．【解答】解：∵cosα＝，α∈（，2π），
∴sinα＝﹣＝﹣，
则cos（）＝cosαcos+sinαsin
＝×﹣×
＝．
故答案为：
15．（5分）已知各项都不相等的等差数列{a n}，满足a2n＝2a n﹣3，且a62＝a1•a21，则数列{}项中的最大值为6．
【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
∴a2n＝a1+（2n﹣1）d，
2a n﹣3＝2a1+2（n﹣1）d﹣3，
∴a1+（2n﹣1）d＝2a1+2（n﹣1）d﹣3，
即a1＝d+3，
∵a62＝a1•a21，
∴（d+3+5d）2＝（d+3）•（d+3+20d），
即d＝0（舍去）或d＝2，
故等差数列{a n}的首项为5，公差为2，
故S n＝5n+•2＝n（n+4），
故＝＝2•，
故，
即，
解得，﹣1≤n≤，
故n＝2，
故数列{}项中的最大值为＝6，
故答案为：6．
16．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线，点M在抛物线C 上，点A在左准线l上，若MA⊥l，且直线AF的斜率，则△AFM的面积为9
．
【解答】解：抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，抛物线C：y2＝6x
点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的斜率k AF＝﹣，
准线与x轴的交点为N，则AN＝3tan＝3，A（﹣，3），则M（，3），
∴S△AFM＝×6×3＝9．
故答案为：9．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2＝4ab sin2C．
（1）求sin A•sin B；
（2）若，a＝3，求c的大小．
【解答】解：（1）∵c2＝4ab sin2C，
由正弦定理，
得sin2C＝4sin A•sin B•sin2C，
又△ABC中，sin C≠0，
∴．
（2）当时，，
又，
∴，
又A+B＜π，B∈（0，π），
∴，
∴a＝b＝3，，
∴c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝27，
∴．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥CB，∠ADC＝90°，平面P AD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，，M是棱PC上的点．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面P AD；
（Ⅱ）若P A＝PD＝2，BC＝1，，异面直线AP与BM所成角的余弦值为，求的值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，，Q为AD的中点
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD．
又∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD．
∵BQ⊥平面P AD
∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面P AD．
解：（Ⅱ）∵P A＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD．
∵PQ⊥平面ABCD．
以Q为原点分别以、、为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则Q（0，0，0），A（1，0，0），，，，设M（x0，y0，z0），
∴，，．
由M是PC上的点，设，化简得．
设异面直线AP与BM所成角为θ，
则．
∴，解得或，
故或．
19．（12分）为了推行“智慧课堂”教学，某老师分别用传统教学和“智慧课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期屮考试后，分别从两个班级屮各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．
（Ⅰ）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”？
附：．
临界值表
（Ⅱ）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采川分层扣样的方法扣取8人进行考核．在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）二联表如下：
根据2×2列联表中的数据，得K2的观测值为
∴在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．
（Ⅱ）由（I）可知在8人中成绩不优良的人数为，
∴X的可能取值为0，1，2，3．
；；P（X＝2）＝＝；
．
∴X的分布列为：
所以．
20．（12分）已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T．若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴b＝c，∴，
∴．
又∵椭圆经过点，代入得，解得b＝1，
∴，
故所求椭圆方程为．
（2）由动直线mx+，得到动直线l过定点（0，）．
当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：．
当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2＝1．
由
即两圆相切于点（0，1），
因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）．
事实上，点T（0，1）就是所求的点．
证明如下：
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
若直线l不垂直于x轴，可设直线L：
由
记点A（x1，y1）、
，
＝
＝
∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）
∴在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．
21．（12分）已知函数f（x）＝a（x+）+blnx（其中a，b∈R）
（Ⅰ）当b＝﹣4时，若f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＝﹣1时，是否存在实数b，使得当x∈[e，e2]时，不等式f（x）＞0恒成立，如果存在，求b的取值范围，如果不存在，说明理由（其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）＝，
若f（x）在其定义域内递增，
则a≥＝＝1，
故a≥1，
若若f（x）在其定义域内递减，
则a≤＝，
x+→+∞时，→0，
故a≤0；
综上，a≤0或a≥1；
（Ⅱ）f（x）＝﹣（x+）+blnx＞0在x∈[e，e2]时恒成立，
令y＝lnx﹣，x∈[e，e2]，
y′＝+＞0，
函数y＝lnx﹣在x∈[e，e2]递增，
故x＝e时，y取最小值1﹣＞0，
故y＝lnx﹣＞0在x∈[e，e2]恒成立，
故问题转化为b＞在x∈[e，e2]时恒成立，
令h（x）＝，x∈[e，e2]，
h′（x）＝
令m（x）＝lnx﹣﹣1，m′（x）＝+＞0，
而m（e）＜0，m（e2）＞0，
故存在x0∈[e，e2]，使得h（x）在[e，x0）递减，在（x0，e2]递增
∴h（x）max＝h（e2）或h（e），
而h（e2）＝＜h（e）＝，
∴b＞．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4sinθ．以极点为平而直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线l的倾斜角α的值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程是ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，
∵x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y＝0，即x2+（y﹣2）2＝4．
（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），
直线l与曲线C相交于A、B两点，且，
∴将代入圆的方程，化简得t2﹣2t sinα﹣3＝0．
设A，B两点对应的参数分别为t1、t2，则
∴．
∴4sin2α＝3，∵α∈[0，π）∴，
即或．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|2x﹣7|+1
（Ⅰ）求不等式f（x）≤x的解集；
（Ⅱ）若存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）≤x得|2x﹣7|+1≤x，
∴或，
解得：或，
∴不等式f（x）≤x的解集为；
（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣2|x﹣1|＝|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1，
则g（x）＝，
∴g（x）min＝﹣4，
∵存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，∴g（x）min≤a，∴a≥﹣4．。