4.3.2对数的运算第2课时换底公式课件高一上学期数学人教A版【05】

(2)已知 2x＝3y＝5z，且1x＋1y＋1z＝1，求 x，y，z.
令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k， 所以1x＝logk2，1y＝logk3，1z＝logk5， 由1x＋1y＋1z＝1，得 logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，所以 k＝30， 所以x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
对数
第 四
对数的运算
章
第2课时 对数换底公式
1.掌握换底公式及其推论．
学习目标
2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
探索新知
数学史上，人们经过大量的努力，制作了 常用对数表和自然对数表，通过查表就能求出 任意正数的常用对数和自然对数。现在，利用 计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对 数和自然对数。这样，如果能将其他底的对数 转换为以10或以e为底的对数，就能方便地求 出这些对数。
例题巩固
例3
求值：log2
3
log 3
4
log 4
5
log5
2.
解：原式= lg 3 lg 4 lg 5 lg 2 =1.
lg 2 lg 3 lg 4 lg 5
思考：logab
log b
c
logc
a
?
你还能得出其
他结论吗？
解析：类比例3，可知ห้องสมุดไป่ตู้
logab
log b
c
logc
a
1.
同理可知：logab
练习巩固
3. (1)设 3a＝4b＝36，求2＋1的值； ab
(2)已知 2x＝3y＝5z，且1x＋1y＋1z＝1，求 x，y，z.
法一：由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436， 由换底公式得1a＝log363，1b＝log364， 所以2a＋1b＝2log363＋log364＝log3636＝1. 法二：由 3a＝4b＝36，两边取以 6 为底的对数，得 alog63＝blog64＝log636 ＝2， 所以2a＝log63，1b＝12log64＝log62，所以2a＋1b＝log63＋log62＝log66＝1.
解法一：设里氏级地震里氏级地震所释放的能量分别为
E1,E2
由lg E 4.8 1.5M.可得 lg E1 4.8 1.5 9.0，
lg E2 4.8 1.58.0.
于是 lg
E1 E2
lg E1
lg
E2
(4.8 1.5 9.0)
(4.8 1.58.0)
1.5.
利用计算工具可得，E1 101.5 32. E2
2=
lg 2 lg1.1
6.64
7.
由此可见，大约经过7年后B景区的游客人次是2001年的 2倍。
例题巩固
例5 尽管目前人类无法准确预报地震，但科学家通过研究， 已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位： 焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为 2011年3月11日，日本东北部发生里氏级地震，它所释放的能 量是2008年5月12日我国汶川发生里氏级地震的多少倍？
log b
a
1,
即logab
1
log b
a
.
例题巩固
例4 在中，y=x表示经过x年后B景区的游客人次是
2001年的y倍，那么经过多少年后B景区的游客人次是
2001年的2倍？
解：设经过x年后B景区的游客人次是2001年的2倍,
那么1.1x 2, 即x log1.1 2,
由换底公式可得
x
log1.1
于是 E1 10(4.81.59.0) 101.5 32 E 10(4.81.58.0)
2
而释放的能量相 差那么多？
地震里级只相差1级，前者释放的能量是后者的32倍。
问题导思
探究：loganbm 与 logab 有什么关系？
loganbm＝mn logab(a>0，且 a≠1，b>0)
练习巩固 1．化简log832的结果为
问题导思
探究(1)利用计算工具求出ln2,ln3的近似值； (2)根据对数的定义，你能利用ln2,ln3的值求log23吗？
解析：（1）由计算工具可算得ln 2 0.69，ln 3 1.10. (2)设 log2 3=x,则2x 3,
等式两边同取以e为底的对数 ln 2x ln 3, x ln 3 1.59.
b a
(a
0,
且a
1;
b
0;
c
0,
且c
1).
新知形成
对数换底公式
loga
b=
logc logc
b a
(a
0,
且a
1;
b
0;
c
0,
且c
1).
注意
(1)公式成立的条件是要使每一个对数式都有意义．
(2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，
即
logab＝llgg
b或 a
logab＝llnn
b. a
A．12
B．2
C．4
√D．53
法1 一：log832＝lloogg22382＝lloogg
225＝5，故选 223 3
D．
法二：log832＝log2325＝53，故选 D．
练习巩固
2. (1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92
lg 原式＝ lg
3＋lg 4 lg
3 8
lg 2＋lg lg 3 lg
方法技巧
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
畅享收获
1．对数换底公式：logab＝llooggccab(a>0，且 a≠1；b>0；c>0，且 c≠1)．
2．对数换底公式的重要推论
(1)logab·logba=1(b>0，且 N≠1；a>0，且 a≠1)；
(2)loganbm＝mnlogab(a>0，且 a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且 a≠1，b≠1，c≠1)．
ln 2
探究(3)根据对数的定义，你能用logca , logcb表示
loga b(a 0,且a 1;b 0;c 0,且c 1)吗？
解析： 设logab=x,则 a x=b
等式两边同取以c为底的对数。
logc
ax
logc
b,
x
logc logc
a. b
对数换底公式
loga
b=
logc logc
地震里级只相差1级，前者释放的能量是后者的32倍。
解法二：设里氏级地震里氏级地震所释放的能量 分别为E1,E2
由lg E 4.8 1.5M.可得
lg E1 4.8 1.5 9.0，E1 10(4.81.59.0);
lg E1
4.8 1.58.0，E1
10(4.81.58.0) ;
为什么两次的地 震里级只相差1级，
2 9
＝
lg 3 ＋ lg 3 2lg 2 3lg 2
lg lg
2＋ lg 2 3 2lg 3
＝5lg 6lg
3×3lg 2 2lg
23＝54.
(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值．
法一：因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b.
所以 log3645＝lloogg11884356＝lloogg1188((198××52)) ＝log11＋89＋loglo18g2185＝1＋al＋ogb18198＝a2＋ －ba. 法二：因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b. 所以 log3645＝lolgo1g8(1981×9825)＝2lloogg1188918＋－lologg181589＝a2＋ －ba.