数学文化习题集 试题版

2021年数学文化专项习题集

110题

一、数学文化与阅读 (2)

二、数学文化与函数 (6)

三、数学文化与数列 (8)

四、数学文化与新定义 (14)

五、数学文化与三角函数 (17)

六、数学文化与立体几何 (20)

七、数学文化与概率统计 (27)

八、数学文化与排列组合 (32)

九、数学文化与解析几何 (33)

一、数学文化与阅读

例1. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中,用如图1所示的三角形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后,法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle).17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨

辉三角中相邻两行满足关系式:C n r +C n r+1=C n+1r+1,其中n 是行数,r ∈N .请类比上式,在莱布尼

茨三角形中相邻两行满足的关系式是 .

图1 图2

例2. 在数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，包括正弦，余弦，正切三角函数等等，其中泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克•泰勒（Sir Brook Taylor ）的名字来命名的.1715年，泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数，这就是后来被人们所熟知的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：01230!

0!1!2!3!!

n n

x

n x x x x x x e n n ∞

===++++

+∑，其中x ∈R ，*n N ∈，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯，

例如：0!1=，1!1=，2!2=，3!6=.试用上述公式估计12

e

的近似值为（精确到0.001）

（ ） A ．1.601

B ．1.642

C ．1.648

D ．1.647

例3. “克拉茨猜想”又称“31n +猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会

上公布的一个猜想

:任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数n 经过7次运算后首次得到1，则n 的所有不同取值的集合为____________.

例4. 大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结

果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明.例如取13n =，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ） A ．9 B ．10

C ．11

D ．12

例5. 中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

例6. 用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一

次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.

试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（）

A．228617430

+++=

x x x

27841630 ++=B．42

x x

C．2

163842710

x x x

+++=

++=D．43

174328610

x x

例7.分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（）

A．53B．63C．73D．83

例8.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了

干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的

A．甲辰年B．乙巳年C．丙午年D．丁未年

例9.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八封所代表的数表示如下：

卦名符号表示的二进制数表示的十进制数

坤0000

艮0011

坎0102

巽0113

依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是()

A．33B．34C．36D．35

例10.中国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，一位古人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕鱼条数，由图可知，这位古人共捕鱼（）

A．89条B．113条C．324条D．445条