东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、 辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟数学(理)试题
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在,求出 的值;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) 【解析】 【分析】
(Ⅰ)先连接 ,交 于点 ,再由线面平行的判定定理,即可证明 平面 ;
(Ⅱ)先由题意得 , , 两两垂直,以 为原点,如图建立空间直角坐标系
设
,求出两平面的法向量,根据法向量夹角余弦值以及二面角的大小列出等式,即
可求出 ,进而可得出结果.
故所求系数为
.
故答案为
【点睛】本题主要考查指定项的系数,熟记二项展开式的通项公式即可,属于常考题型.
15.设 的内角 , , 的对边分别为 , , ,且 , ,
,则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
先由正弦定理得
,得到
,再由余弦定理得
【详解】因为 , ,
,由正弦定理可得
,即
,即可求出结果.
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先在长方体中还原该三棱锥为
,根据三棱锥底面外接圆圆心确定外接球球心位置,设球的半径为 ,
列出方程即可求出结果.
【详解】根据三视图,在长方体中还原该三棱锥为
,且长方体的底面边长为 2,高为 ;
取 中点为 ,上底面中心为 ,连接 , ,则
,
,
因为三角形 为直角三角形,所以 点为三角形 的外接圆圆心,
,解得 ,所以
,
又 恰好为线段 的中点,所以
,因 在
上,
所以
,因此
,故离心率为 2.
故选 B
【点睛】本题主要考查双曲线的斜率,熟记双曲线的性质即可,属于常考题型.
10.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元 222 年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾
股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方
根据题中数据,列举出“连掷三次,恰出现 1 次反面朝上”所包含的情况,即可得出 ;
【详解】由题意可得,将一枚质地均匀的硬币连掷三次,事件“恰出现 1 次反面朝上”的概率
; 由表中数据可得,“连掷三次,恰出现 1 次反面朝上”所包含的情况有: 011,101,101,011,011,101,011 共 7 组,
出现“恰有 1 次反面朝上”的频率记为 ,则 , 分别为( )
111 001 011 010 000 111 111 111 101 010
000 101 011 010 001 011 100 101 001 011
A. , 【答案】B
B. ,
C. ,
D. ,
【解析】
【分析】
根据题意,可直接得到“连掷三次,恰出现 1 次反面朝上”的概率 ;
3.过点
的直线 与圆
A.
B.
【答案】A
【解析】
相交于 , 两点,若 C.
,则该直线的斜率为( ) D.
【分析】 先由题意,设直线的方程为 即可求出结果.
;根据弦长和半径确定点到直线的距离,再由点到直线的距离公式
【详解】由题意设直线 的方程为
,因为圆
的圆心为 ,半径为 ,又
弦长
,所以圆心到直线的距离为
因此三棱锥的外接球球心,必在线段 上,记球心为 ,设球的半径为 ,则
,
所以有
,
,
因此
,解得
,
所以该三棱锥的外接球表面积为
.
故选 C
【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及几何体外接球的相关计算,熟记公式即可,属于常考题型.
12.已知直线 ()
与椭圆 :
相交于 , 两点, 为坐标原点.当 的面积取得最大值时,
22、23 题为选考题.)
17.已知数列 的前 项和为 ,满足
,数列 为等比数列,公比为 ,且
,
.
(Ⅰ)求数列 , 的通项公式;
(Ⅱ)求数列
的前 项和 .
【答案】(Ⅰ) 【解析】 【分析】
(Ⅱ)
(Ⅰ)先由
得到
根据 为等比数列,公比为 ,且
,两式作差得
;
,
,求出首项和公比即可得出结果;
(Ⅱ)先得到 差整理,即可得出结果.
所以
.
故选 B
【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率问题、以及随机模拟法求概率的问题,熟记相关概念即可,属 于基础题型.
5.已知
,则
()Βιβλιοθήκη A.B.C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由诱导公式可得
,根据
,再由二倍角公式即可得出结果.
【详解】因为
所以
.
故选 B
【点睛】本题主要考查给值求值问题,熟记诱导公式与二倍角公式即可,属于基础题型.
∵
,∴
∴存在点 ,此时
,使二面角
的大小为 45°.
【点睛】本题主要考查线面平行、以及已知二面角求其它量的问题,通常需要熟记线面平行的判定定理来 证明平行;另外,向量法求二面角是最实用的一种做法,属于常考题型.
19.椭圆 :
,点
,动直线
直线 的斜率为 ,且 , 的乘积为 .
(Ⅰ)若 ,求实数 的值;
与椭圆 交于 , 两点,已知直线 的斜率为 ,
,写出
,两边同乘以 ,再作
【详解】解:(I)因为 ,
,又
, .
(II)因为
所以
,
,
,
,
. 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列、以及错位相减法求数列的和,熟记公式即可,属于常考题型.
18.如图,直三棱柱
中,点 是棱 的中点.
(Ⅰ)求证: (Ⅱ)若
平面 ; ,
,在棱 上是否存在点 ,使二面角
的大小为 ,若存
B. D.
,求出 的长,延长 交 于 ,求出
的长,再
,又由题意可得
, ,
,所以
;
,
,
即
,因此
,
,
所以 因为 整理得 所以 故选 D
,
,所以
,即
,
, .
【点睛】本题主要考查解三角形以及平面向量基本定理,熟记正弦定理和余弦定理、以及平面向量基本定 理即可,属于常考题型. 11.已知三棱锥的三视图如图,则该三棱锥的外接球表面积为( )
形组成的),类比“赵爽弦图”,可类似地构造如图所示的图形,它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等
边三角形拼成的一个大等边三角形,设
,则( )
A.
C. 【答案】D
【解析】
【分析】
先设
,根据题意可知
由平面向量基本定理即可得出结果.
【详解】设
,因此
所以
因此
;
延长 交 于 ,
记
,
,
则 又由题意易知
,则
在三角形 中,由正弦定理可得
(Ⅱ)若
,求证:直线 过定点.
【答案】(Ⅰ) 【解析】 【分析】
(Ⅱ)过定点
(Ⅰ)先由 ,设
(Ⅱ)联立直线与椭圆方程,设 过的定点.
【详解】解:(Ⅰ)不妨设
,
(Ⅱ)设联立 由题意 设
,
.
得 ,
,表示出
,进而可求出结果;
,根据韦达定理得到 的关系式,进而可得出直线所
,
,
, ,
,
若
,直线 :
,直线 :
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】 【分析】
先联立直线与椭圆方程,设
,
,由韦达定理得到
与 ,结合弦长公式表示出弦长
,进而表示出三角形的面积,根据面积最大值,可求出 ,代入弦长的表达式,即可得出结果.
【详解】由
,得
设
,
,则
,
又 到直线 的距离
,
. , .
则 的面积 当且仅当
,即
, 时, 的面积取得最大值.
此时,
.
故选 A
【点睛】本题主要考查椭圆中的弦长问题,通常需要联立直线与椭圆方程,结合韦达定理、以及弦长公式
等求解,属于常考题型.
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.函数 【答案】
,则
______.
【解析】
【分析】
根据解析式,由内向外逐步代入即可得出结果,
【详解】由题意
,所以
.
故答案为
【点睛】本题主要考查求函数值,分段函数中的求函数值问题是比较常见的一种题型,属于基础题.
14. 【答案】-16 【解析】 【分析】
先将
的展开式中 的系数是__________.
化为
,再结合
展开式的通项公式即可得出结果.
【详解】因为
,
又
展开式的通项为
,
求
的展开式中 的系数,只需令 或 ,
,
,均符合 .
过
,与已知矛盾.
过定点 .
【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质,以及椭圆中直线过定点的问题,熟记椭圆的性质,联立直线与椭 圆方程,结合韦达定理等求解,属于常考题型. 20.一个经销鲜花产品的微店,为保障售出的百合花品质,每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花,如 有剩余则免费分赠给第二天购花顾客,如果不足,则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前 10 天,微店百 合花的售价为每支 2 元,云南空运来的百合花每支进价 1.6 元,本地供应商处百合花每支进价 1.8 元,微 店这 10 天的订单中百合花的需求量(单位:支)依次为: 251,255,231,243,263,241,265,255,244,252.
先由题意,得到以 为圆心, 为半径的圆的方程,再令 为 轴正半轴上的点,从而求出 点坐标,得到直
线 的方程,分别与抛物线的准线方程、抛物线方程联立求出 两点坐标,即可用 表示出
,
再由
,且
,求出 的范围,即可得出结果.
【详解】由题意可得抛物线
的焦点为
,准线方程为
,
所以以 为圆心, 为半径的圆的方程为
,
所以 故选 A
,所以
.
【点睛】本题主要考查线面角的求法,在几何体中作出线面角,即可求解,属于常考题型.
8.将函数
的图象向右平移
个单位长度,得到函数 的图象,且
,
则 的一个可能值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题意写出 解析式,根据
可知 为奇函数,进而可求出 .
【详解】由题意可得,
A.
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
,线段
根据题意得到双曲线的渐近线方程为
,焦点坐标为
,
;不妨令 在渐近线
上,则 在
上,设
,根据题意求出 点坐标,再得到 的坐标,将 坐标代入直线
,即可得出结果.
【详解】由题意得双曲线 :
的渐近线方程为
,
不妨令 在渐近线
上,则 在
上,设
,
,
;
由
得
,即
【详解】解:(Ⅰ)证明:连接 ,交 于点 ,则 为 中点,
连接 ,又 是棱 的中点,
平面 , 平面 ,
平面 .
(Ⅱ)解:由已知,
,则 , , 两两垂直
以 为原点,如图建立空间直角坐标系
则
,
设
则
,
,
设平面 的法向量为
,
则 ∴取平面
的一个法向量
设平面 的法向量为
. ,
则
∴取平面 的一个法向量
.
∴
,得
或
,解得
;
又由余弦定理得
,
因此
,解得
.
故答案为
【点睛】本题主要考查解三角形,熟记正弦定理和余弦定理即可,属于基础题型.
16.以抛物线
焦点 为圆心, 为半径作圆交 轴于 , 两点,连结 交抛物线于点 ( 在
线段 上),延长 交抛物线的准线于点 ,若
,且
,则
的最大值为_____.
【答案】32
【解析】
【分析】
6.已知函数 A. -4 【答案】C 【解析】 【分析】
,若 B. -3
,则 C. -2
()
D. -1
先由
得到
,进而可求出结果.
【详解】因为
,所以
,
因此
;
又
,所以
.
故选 C
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质,熟记函数奇偶性即可,属于常考题型.
7.四棱锥
中, 平面 ,底面 是正方形,且
,则直线 与平面
因为 , 两点为圆
与 轴的两个交点,不妨令 为 轴正半轴上的点,
由 得,
;
所以直线 的斜率为
,因此直线 的方程为
,
由
得
;
由
得
,
所以
,
,
,
又
,且
,所以
,即
,
因此 故答案为
,当且仅当 时,取等号.
【点睛】本题主要考查抛物线的性质,通常需要联立直线与抛物线方程等求解,属于常考题型.
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题.第
所成
角为( )
A.
B.
C.
【答案】A
【解析】
【分析】
连接 交 于点 ,连接 ,证明 平面 ,进而可得到
据题中数据即可求出结果.
【详解】连接 交 于点 ,
因为 平面 ,底面 是正方形,
所以
,
,因此 平面 ;故 平面 ;
连接 ,则 即是直线 与平面 所成角,
又因
,所以
,
.
D. 即是直线 与平面
所成角,根
,
所以有
,解得
.
故选 A
【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系,熟记点到直线距离公式以及几何法求与弦长有关的问题,属于
基础题型.
4.将一枚质地均匀的硬币连掷三次,事件“恰出现 1 次反面朝上”的概率记为 ,现采用随机模拟的方法估计
的值:用计算机产生了 20 组随机数,其中出现“0”表示反面朝上,出现“1”表示正面朝上,结果如下,若
2019 年高三第二次联合模拟考试 理科数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个项中,只有一项 是符合题目要求的)
1.已知集合
,
A.
B.
【答案】D
【解析】
【分析】
,则( )
C.
D.
先解不等式
得到集合 ,再根据题中条件,即可判断出 与 之间关系.
【详解】由
,
又
,所以 为奇函数,
因此
,
故
,所以
,
所以 可以取 . 故选 A 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换,以及三角函数的性质,熟记正弦型函数的性质即可,属于常 考题型.
9.双曲线 :
, , 分别为其左,右焦点,其渐近线上一点 满足
与另一条渐近线的交点为 , 恰好为线段 的中点,则双曲线 的离心率为( )
得 或 ,故
或,
又
,所以
.
故选 D
【点睛】本题主要考查集合之间的关系,熟记概念即可,属于基础题型.
2.已知
( 为虚数单位),则复数 ( )
A.
B.