春学期中考数学复习 人教版 第4讲《等腰三角形与直角三角形》考点透析ppt课件
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2024版等腰三角形的判定新人教版ppt课件
2024/1/28
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05
课堂小结与拓展延伸
2024/1/28
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总结本节课重点内容
01
等腰三角形的定义和性质
等腰三角形是两边相等的三角形，具有轴对称性和一些特殊的性质，如
底角相等、高线、中线和角平分线重合等。
02
等腰三角形的判定方法
通过比较三角形的边长或角度，可以判断一个三角形是否为等腰三角形。
具体方法包括SSS全等判定、SAS全等判定和ASA全等判定等。
2024/1/28等腰三角形在实际问题中有广泛的应用，如建筑设计、工程测量和地理
测量等领域。通过应用等腰三角形的性质和判定方法，可以解决一些实
际问题。
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拓展延伸：等边三角形判定方法简介
三边相等
等边三角形的三边长度相等，可以通过比较三角形的三边长度来判断一个三角形是否为等边 三角形。
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若三角形中有两角相 等，则这个三角形是 等腰三角形。
14
结合其他知识点综合应用
结合勾股定理
在直角三角形中，若两条直角边相等，则该三 角形为等腰直角三角形。
结合相似三角形
若两个三角形相似且对应边成比例，则这两个 三角形为等腰三角形。
结合三角函数
在等腰三角形中，若已知顶角和一边长，可利 用三角函数求出其他边长和角度。
课程目标
通过本课时的学习，学生应能掌握 等腰三角形的定义、性质及判定方 法，并能运用所学知识解决相关问 题。
4
等腰三角形定义及性质
• 定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底 边与腰的夹角叫做底角。
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等腰三角形与直角三角形PPT课件
B组 2015—202X年全国中考题组
考点一 等腰三角形
1.(202X内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x +m+2=0的两根,则m的值是 ( ) A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
答案
A
由根与系数的关系可得
a b ab
m
12, 2,
当a=4时,b=8;
当b=4时,a=8.
这两种情况都不能构成三角形,
∴a=b=6,∴m=34,故选A.
易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形.
2.(202X吉林,5,2分)如图,在△ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若∠B=40°, ∠C=36°,则∠DAC的度数是 ( )
中考数学
（安徽专用）
第四章 图形的认识
§ 4.(202X安徽,10,4分)如图,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠ PBC.则线段CP长的最小值为 ( )
A. 3
2
C. 8 13
13
B.2 D.12 13
13
答案 B ∵∠PAB=∠PBC,∠PBC+∠ABP=90°,∴∠PAB+∠ABP=90°,∴∠P=90°.取AB的中点O,则P在以
AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,
∵OB= 1 AB=3,BC=4,∴OC= 32 42 =5,又OP= 1 AB=3,∴线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.
A.70° B.44° C.34° D.24° 答案 C 由作图知BA=BD,∴∠BAD=∠BDA=70°,∵∠BDA=∠C+∠DAC,∴∠DAC=∠BDA-∠C=34°,故 选C.
中考数学一轮复习 第四章 几何初步与三角形 第三节 等腰三角形与直角三角形课件
2021/12/8
第二十三页，共四十四页。
考点二 勾股定理及其逆定理 (5年4考)
例3 (2013·济南)如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，
绳子末端刚好接触(jiēchù)到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m
处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮
上方的部分忽略不计)为(
)
A．12m B．13m C．16m D．17m
∠ACD＝2∠B，则BD的长是( C) A．12 B．14 C．16 D．18
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第二十七页，共四十四页。
7．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD于A，AB＝8 ，A6 D＝8 ， 3 BC＝7，CD＝25，则四边形ABCD的面积(miàn jī)为84_＋_9_6__2____．
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第二十八页，共四十四页。
考点(kǎo diǎn)三 直角三角形的性质 (5年1考) 例4 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边 OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝( ) A．3 B．4 C．5 D．6
2021/12/8
第二十九页，共四十四页。
【分析】 过点P作PH⊥MN于H，根据(gēnjù)等腰三角形的性质求
直角边等于斜边的一半．
2021/12/8
第三十一页，共四十四页。
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠(zhédié)
，
C
使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝(
)
A．40° B．30°
C．20° D．10°
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第三十二页，共四十四页。
9．如图，正方形网格(wǎnɡ ɡé)的边长为1，点A，B，C在网格的格点 上，点P为BC的中点，则AP＝_____5_．2
等腰三角形与直角三角形PPT
等腰三角形与直角三角形PPT一、等腰三角形（一）定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（二）性质1、等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
3、等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线所在的直线。
（三）判定1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
（四）常见题型1、利用等腰三角形的性质求角度。
例如，已知等腰三角形的一个底角为 70°，求顶角的度数。
因为等腰三角形两底角相等，所以另一个底角也是 70°，根据三角形内角和为 180°，可得顶角为 180° 70°× 2 ＝40°。
2、证明一个三角形是等腰三角形。
比如，给出一个三角形的两条边长度相等，或者两个角的度数相等，来证明该三角形为等腰三角形。
二、直角三角形（一）定义有一个角为 90°的三角形，叫做直角三角形。
直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。
（二）性质1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
2、在直角三角形中，两个锐角互余。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（三）判定1、有一个角为 90°的三角形是直角三角形。
2、若一个三角形的三边满足勾股定理，则这个三角形是直角三角形。
（四）特殊的直角三角形1、等腰直角三角形：两条直角边长度相等的直角三角形，其两个底角均为 45°。
2、 30° 60° 90°直角三角形：其边长关系为短直角边：长直角边：斜边＝ 1：√3：2 。
（五）直角三角形的应用1、在实际生活中，如建筑、测量等领域经常用到直角三角形的知识。
等腰三角形与直角三角形ppt 人教版
(1)求∠F 的度数； (2)若 CD＝2，求 DF 的长． 【点拨】本题考查等边三角形的性质，由性质得 出角的度数是解本题的关键．
解：(1)∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60° . ∵DE∥AB， ∴∠EDF＝∠B＝60° ，∠DEC＝∠A＝60° . ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90° . ∴∠F＝90° －∠EDF＝30° .
2．判定 (1)定义法； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等(简写成：等角对等边)．
温馨提示： 等腰三角形的判定定理，是证明两条线段相等的 重要定理，是把三角形中的角的相等关系转化为边的 相等关系的重要依据.
考点三 1．性质
等边三角形的性质和判定
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角 都等于 60° . 2．判定 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形； (2)有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
温馨提示： 由判定2可知，在等腰三角形中，只要有一个角 是60° ，不论这个角是顶角还是底角，这个三角形就 是等边三角形.
考点四 1．性质
直角三角形的性质和判定
(1)直角三角形的两个锐角互余； (2)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30° ， 那么它所对的直角边等于斜边的一半； (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； (4)勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和 等于斜边cCB. ∴∠EBO＋∠OBC ＝∠DCO＋∠OCB. 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， 即△ABC是等腰三角形．
考点三
等边三角形的性质与判定
例 3(2014· 温州)如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F.
人教版《等腰三角形》课件pptx
定义及特点
定义
有两边长度相等的三角形 称为等腰三角形。
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两腰相等
等腰三角形的两腰（即相 等的两边）长度相等。
顶角与底角关系
等腰三角形的两个底角相 等，且顶角的角平分线、 底边的中线、底边的高线
三线合一。
4
等腰三角形与等边三角形关系
1 2
等边三角形是特殊的等腰三角形
等边三角形的三边都相等，因此它也满足等腰三 角形的定义。
测量三角形的三个内角大小 ；
9
综合应用举例
题目
已知三角形ABC中，AB=AC， ∠B=50°，求∠A的度数。
解答
∵AB=AC，∴∠B=∠C=50°，又 ∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°50°-50°=80°。
分析
根据等腰三角形的性质，若两边相等 ，则对应的两个内角也相等。因此， ∠B=∠C=50°，再利用三角形内角和 为180°的性质，可求出∠A的度数。
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学习成果自我评价
学生应能对自己的学习成果进行客观评价，总结在《等腰三角形 》这一章节中的学习收获和不足。
学习方法自我评价
学生应对自己的学习方法进行反思和评价，找出适合自己的学习方 法和策略，以便更好地掌握数学知识。
合作与交流能力自我评价
学生应评价自己在小组合作学习和交流中的表现，提高合作意识和 沟通能力。
边长
等边三角形的三边都相等，而等腰三角形只有两 边相等。
3
角
等边三角形的三个内角都是60°，而等腰三角形 的两个底角相等，但不一定都是60°。
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性质总结
对称性
角平分线性质
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边 的垂直平分线。
最新中考数学教材全册知识点梳理复习 17.等腰三角形与直角三角形 课件PPT
通用版中考数学知识点梳理复习
第四单元
第17讲
三角形
等腰三角形与直角三角形
命题点一
勾股定理
1.如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中
点D重合，折痕为MN，则线段BN的长是（
5
A.
3
5
B.
2
C.4
）
C
D.5
第1题图
2.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重
第4题图
∵CM＝DM＝ME，
∴∠MCD＝∠MDC，∠MDE＝∠MED，
∴∠CME＝360°－2×140°＝80°，
∴∠EMF＝180°－∠CME＝100°.
.
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM、
解：（3）证明：设FM＝a.
∵△DAE≌△CEM，CM＝EM，
∴AE＝ED＝EM＝CM＝DM，
16
.
D
）
5
，△ABC的面积
③如图2，若点E在边AB上，点F为AD的延长线上的一点，连接EF，且AE＝FE.
求证：EF∥AC.
证明：∵AB＝AC，点D为边BC的中点，
∴由等腰三角形“三线合一”可知，∠BAF＝∠CAF.
∵AE＝EF，∴∠BAF＝∠F，∴∠CAF＝∠F，
∴EF∥AC.
例1题图2
例2
∠AED＝∠CME＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，
△DEM是等边三角形，
∴∠DEM＝60°，∠MEF＝30°，∴AE＝CM＝EM＝ a，EF＝2a.
∵CN＝NM，∴MN＝ a，
第四单元
第17讲
三角形
等腰三角形与直角三角形
命题点一
勾股定理
1.如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中
点D重合，折痕为MN，则线段BN的长是（
5
A.
3
5
B.
2
C.4
）
C
D.5
第1题图
2.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重
第4题图
∵CM＝DM＝ME，
∴∠MCD＝∠MDC，∠MDE＝∠MED，
∴∠CME＝360°－2×140°＝80°，
∴∠EMF＝180°－∠CME＝100°.
.
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM、
解：（3）证明：设FM＝a.
∵△DAE≌△CEM，CM＝EM，
∴AE＝ED＝EM＝CM＝DM，
16
.
D
）
5
，△ABC的面积
③如图2，若点E在边AB上，点F为AD的延长线上的一点，连接EF，且AE＝FE.
求证：EF∥AC.
证明：∵AB＝AC，点D为边BC的中点，
∴由等腰三角形“三线合一”可知，∠BAF＝∠CAF.
∵AE＝EF，∴∠BAF＝∠F，∴∠CAF＝∠F，
∴EF∥AC.
例1题图2
例2
∠AED＝∠CME＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，
△DEM是等边三角形，
∴∠DEM＝60°，∠MEF＝30°，∴AE＝CM＝EM＝ a，EF＝2a.
∵CN＝NM，∴MN＝ a，
2022年中考数学一轮复习课件：第四章 三角形 第4节 等腰三角形与直角三角形
4．勾股定理：若直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长 为 c，则 a2＋b2＝c2
1.有一个角为 90°的三角形是直角三角形(定义)； 2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2＋b2＝c2 ，那么这个三角形是直角三角形； 判定
3．有两个角互余的三角形是直角三角形； 4．重要模型：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么 这个三角形为直角三角形
解析：如图 1.
图1 当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，与∠ABP＝30°矛盾；
如图 2. 图2
当∠C＝60°时，∠ABC＝30°， ∵∠ABP＝30°， ∴∠CBP＝60°. ∴△PBC是等边三角形． ∴CP＝BC＝6；
如图 3.
图3 当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°， ∴∠PBC＝60°－30°＝30°. ∴PC＝PB. ∵BC＝6，∴AB＝3. ∴PC＝PB＝cos330°＝ 33＝2 3；
A．1 C. 5
B．2 D．3
解析：如图所示，BE＝ 12＋22＝ 5.
2．(2021·江西模拟)如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D， ∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF， 则∠ACD＋∠CED＝( C )
A．125°
B．145°
C．175°
D．190°
解析：∵OA＝OB，∠AOB＝30°，∴∠A＝12(180°－30°)＝75°.故答案为 75.
命题角度2 求边长 2.(2016·江西12题3分)如图是一张长方形纸 片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上 一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸 片 ( △ AEP) ， 使 点 P 落 在 长 方 形 ABCD 的 某 一 条 边 上 ， 则 等 腰 三 角 形 AEP的底边长是_5___2_或__4__5_或___5___．
1.有一个角为 90°的三角形是直角三角形(定义)； 2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2＋b2＝c2 ，那么这个三角形是直角三角形； 判定
3．有两个角互余的三角形是直角三角形； 4．重要模型：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么 这个三角形为直角三角形
解析：如图 1.
图1 当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，与∠ABP＝30°矛盾；
如图 2. 图2
当∠C＝60°时，∠ABC＝30°， ∵∠ABP＝30°， ∴∠CBP＝60°. ∴△PBC是等边三角形． ∴CP＝BC＝6；
如图 3.
图3 当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°， ∴∠PBC＝60°－30°＝30°. ∴PC＝PB. ∵BC＝6，∴AB＝3. ∴PC＝PB＝cos330°＝ 33＝2 3；
A．1 C. 5
B．2 D．3
解析：如图所示，BE＝ 12＋22＝ 5.
2．(2021·江西模拟)如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D， ∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF， 则∠ACD＋∠CED＝( C )
A．125°
B．145°
C．175°
D．190°
解析：∵OA＝OB，∠AOB＝30°，∴∠A＝12(180°－30°)＝75°.故答案为 75.
命题角度2 求边长 2.(2016·江西12题3分)如图是一张长方形纸 片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上 一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸 片 ( △ AEP) ， 使 点 P 落 在 长 方 形 ABCD 的 某 一 条 边 上 ， 则 等 腰 三 角 形 AEP的底边长是_5___2_或__4__5_或___5___．
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A．AB＝BE B．AD＝DC C．AD＝DE D．AD＝EC 图 4－2－29
7．(2010 年广东湛江)下列四组线段中，可以构成直角三角 形的是( C ) A．1,2,3 B．2,3,4 C．3,4,5 D．4,5,6
8．(2012 年广东广州)在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝9， BC＝12，则点 C 到 AB 的距离是( A ) 36 12 9 3 3 A. 5 B.25 C.4 D. 4 9．(2012 年广东梅州)如图 4－2－30，∠AOE＝∠BOE＝15° ， EF∥OB，EC⊥OB，若 EC＝1，则 EF＝______. 2
1．有一个内角是 60°的等腰三角形是( B ) A．钝角三角形 C．直角三角形 B．等边三角形 D．以上都不是
2．如图 4－2－25，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40° ，BD 为∠ABC 的平分线，则∠BDC 为( C )
图 4－2－25
A．55°
B．65°
C．75°
D．85°
3．等腰三角形的周长为 14，其一边长为 4，那么，它的底
图 4－2－30
(2)性质： 互余 ； ①直角三角形的两个锐角________ 一半 ； ②直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的________ 中线 长等于斜边长的一半． ③直角三角形中，斜边上的______ (3)勾股定理及其逆定理： 等于 ①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和________ 斜边的平方； ②勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等 平方 ，则这个三角形是直角三角形． 于第三边的________
BD⊥AD，AC 与 BD 交于点 O，AC＝BD.
求证：(1)BC＝AD；
(2)△OAB 是等腰三角形．
图 4－2－26
证明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴△ABC 与△BAD 是直角三角形． 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， ∵AC＝BD，AB＝BA(HL)， ∴△ABC≌△BAD. ∴BC＝AD. (2)∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB＝∠DBA. ∴OA＝OB. ∴△OAB 是等腰三角形．
第 4讲
等腰三角形与直角三角形
1．了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质和 一个三角形是等腰三角形的条件． 2．了解等边三角形的概念及其性质． 3．了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质和一个 三角形是直角三角形的条件． 4．会运用勾股定理解决简单问题，会运用勾股定理的逆定 理判断直角三角形．
4或6 ． 边长为______
4．已知△ABC 的三边长分别为 5,13,12，则△ABC 的面积 为______ 30 ．
5． 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30° ， 腰长为 a，
3 1 则其底边上的高是____________ 2 a 或2a ．
考点 1
等腰三角形的性质和判定
例题：(2012 年广东肇庆)如图 4－2－26，已知 AC⊥BC，
是特殊的等腰三角形．
(2)对称性：等边三角形是轴对称图形，有______ 三 条对称轴．
(3)判定：
相等 的三角形是等边三角形； ①三条边都________
相等 的三角形是等边三角形； ②三个角都________ 等腰 三角形是等边三角形． ③有一个角是 60°的______
3．直角三角形 (1)判定： ①有一个角是直角的三角形是直角三角形； 一半 的三角形是直角三角 ②有一边上的中线是这边的________ 形．
1．(2012 年广东肇庆)等腰三角形两边长分别为 4 和 8，则
这个等腰三角形的周长为( C ) A．16 B．18 C．20 D．16 或 20
2．(2011 年广东茂名)如图 4－2－26，已知△ABC 是等边三 角形，点 B，C，D，E 在同一直线上，且 CG＝CD，DF＝DE，
15°
5．(2011 年广东肇庆)在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，
BC＝12，AC＝9，则 AB＝________. 15
6．(2010 年广东汕头)如图 4－2－29，把等腰直角三角形 △ABC 沿 BD 折叠，使点 A 落在边 BC 上的点 E 处．下面结论 错误的是( B )
(1)用尺规作图方法，作∠ADC 的平分线 DN(保留作图痕迹， 不写作法和证明)； (2)设 DN 与 AM 交于点 ，判断FADF 的形状(只写结果)．
图 4－2－28
解：(1)如图 D10.
图 D10 (2)△ADF 的形状是等腰直角三角形． 规律方法：在等腰三角形中，等边对等角，等角对等边．
1．等腰三角形
(1)定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形． (2)判定： 相等 的三角形是等腰三角形； ①有两条边________ 相等 的三角形是等腰三角形，即“等角对 ②有两个角________ 等边”．
(3)性质： 两边 相等，两底角 ①等腰三角形的______ ______相等； ②三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相________ 重合 ； ③对称性：等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对 底边上的中线 称轴是__________________( 结论开放)． 2．等边三角形 (1)定义：三边相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形
图 4－2－26
3．(2010 年广东广州)如图 4－2－27，BD 是△ABC 的角平 分 线 ， ∠ ABD ＝ 36° ， ∠ C ＝ 72° ，则图中的等腰三角形有 __________ 个． 3
图 4－2－27
4．(2012 年珠海)如图 4－2－28，在△ABC 中，AB＝AC，
AD 是高，AM 是△ABC 外角∠CAE 的平分线．
7．(2010 年广东湛江)下列四组线段中，可以构成直角三角 形的是( C ) A．1,2,3 B．2,3,4 C．3,4,5 D．4,5,6
8．(2012 年广东广州)在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝9， BC＝12，则点 C 到 AB 的距离是( A ) 36 12 9 3 3 A. 5 B.25 C.4 D. 4 9．(2012 年广东梅州)如图 4－2－30，∠AOE＝∠BOE＝15° ， EF∥OB，EC⊥OB，若 EC＝1，则 EF＝______. 2
1．有一个内角是 60°的等腰三角形是( B ) A．钝角三角形 C．直角三角形 B．等边三角形 D．以上都不是
2．如图 4－2－25，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40° ，BD 为∠ABC 的平分线，则∠BDC 为( C )
图 4－2－25
A．55°
B．65°
C．75°
D．85°
3．等腰三角形的周长为 14，其一边长为 4，那么，它的底
图 4－2－30
(2)性质： 互余 ； ①直角三角形的两个锐角________ 一半 ； ②直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的________ 中线 长等于斜边长的一半． ③直角三角形中，斜边上的______ (3)勾股定理及其逆定理： 等于 ①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和________ 斜边的平方； ②勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等 平方 ，则这个三角形是直角三角形． 于第三边的________
BD⊥AD，AC 与 BD 交于点 O，AC＝BD.
求证：(1)BC＝AD；
(2)△OAB 是等腰三角形．
图 4－2－26
证明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴△ABC 与△BAD 是直角三角形． 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， ∵AC＝BD，AB＝BA(HL)， ∴△ABC≌△BAD. ∴BC＝AD. (2)∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB＝∠DBA. ∴OA＝OB. ∴△OAB 是等腰三角形．
第 4讲
等腰三角形与直角三角形
1．了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质和 一个三角形是等腰三角形的条件． 2．了解等边三角形的概念及其性质． 3．了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质和一个 三角形是直角三角形的条件． 4．会运用勾股定理解决简单问题，会运用勾股定理的逆定 理判断直角三角形．
4或6 ． 边长为______
4．已知△ABC 的三边长分别为 5,13,12，则△ABC 的面积 为______ 30 ．
5． 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30° ， 腰长为 a，
3 1 则其底边上的高是____________ 2 a 或2a ．
考点 1
等腰三角形的性质和判定
例题：(2012 年广东肇庆)如图 4－2－26，已知 AC⊥BC，
是特殊的等腰三角形．
(2)对称性：等边三角形是轴对称图形，有______ 三 条对称轴．
(3)判定：
相等 的三角形是等边三角形； ①三条边都________
相等 的三角形是等边三角形； ②三个角都________ 等腰 三角形是等边三角形． ③有一个角是 60°的______
3．直角三角形 (1)判定： ①有一个角是直角的三角形是直角三角形； 一半 的三角形是直角三角 ②有一边上的中线是这边的________ 形．
1．(2012 年广东肇庆)等腰三角形两边长分别为 4 和 8，则
这个等腰三角形的周长为( C ) A．16 B．18 C．20 D．16 或 20
2．(2011 年广东茂名)如图 4－2－26，已知△ABC 是等边三 角形，点 B，C，D，E 在同一直线上，且 CG＝CD，DF＝DE，
15°
5．(2011 年广东肇庆)在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，
BC＝12，AC＝9，则 AB＝________. 15
6．(2010 年广东汕头)如图 4－2－29，把等腰直角三角形 △ABC 沿 BD 折叠，使点 A 落在边 BC 上的点 E 处．下面结论 错误的是( B )
(1)用尺规作图方法，作∠ADC 的平分线 DN(保留作图痕迹， 不写作法和证明)； (2)设 DN 与 AM 交于点 ，判断FADF 的形状(只写结果)．
图 4－2－28
解：(1)如图 D10.
图 D10 (2)△ADF 的形状是等腰直角三角形． 规律方法：在等腰三角形中，等边对等角，等角对等边．
1．等腰三角形
(1)定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形． (2)判定： 相等 的三角形是等腰三角形； ①有两条边________ 相等 的三角形是等腰三角形，即“等角对 ②有两个角________ 等边”．
(3)性质： 两边 相等，两底角 ①等腰三角形的______ ______相等； ②三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相________ 重合 ； ③对称性：等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对 底边上的中线 称轴是__________________( 结论开放)． 2．等边三角形 (1)定义：三边相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形
图 4－2－26
3．(2010 年广东广州)如图 4－2－27，BD 是△ABC 的角平 分 线 ， ∠ ABD ＝ 36° ， ∠ C ＝ 72° ，则图中的等腰三角形有 __________ 个． 3
图 4－2－27
4．(2012 年珠海)如图 4－2－28，在△ABC 中，AB＝AC，
AD 是高，AM 是△ABC 外角∠CAE 的平分线．