吉林市届高三模拟考试数学试题及答案(文 )

吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班下学期期末
教学质量检测 数学（文科）
第 I 卷
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

1．已知集合{}{
}
1,2,3,4,|A B x x n A ===
∈，则A
B =（ ）
A ． {1,2}
B ． {1,4}
C ． {2,3}
D ． {9,16} 2．设i 为虚数单位，复数
2
2i i
+在复平面上对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．下列命题中，说法错误．．
的是（ ） A ．“若p ，则q ”的否命题是：“若p ⌝，则q ⌝”
B ．“2>∀x ，022>-x x ”的否定是：“2≤∃x ，022
≤-x x ”
C ．“q p ∧是真命题”是“q p ∨是真命题”的充分不必要条件
D ．若“0b =，则函数2()f x ax bx c =++是偶函数”的的逆命题是真命题 4．在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则753a a += （ ） A ． 10 B ． 18 C ．
20 D ．28
5. 某社区医院为了了解社区老人与儿童每月患感冒的人数y （人）与月平均气温)(C x ︒之 间的关系，随机统计了某4个月的月患病（感冒）人数与当月平均气温，其数据如下表：
由表中数据算出线性回归方程ˆy
bx a =+中的b =2-，气象部门预测下个月的平均气温约为C ︒6，据此估计该社区下个月老年人与儿童患病人数约为（ ） A ． 38 B ．40 C ．46 D ．58
6．函数)1,0()(1
≠>=+a a a
x f x 的值域为[)+∞,1，则)4(-f 与)1(f 的关系是（ ）
A.)1()4(f f >-
B.)1()4(f f =-
C. )1()4(f f <-
D. 不能确定
7. 已知向量),1(λ=a ，)2,2(=b ，且+与共线，那么⋅的值为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ． 4
8. 已知实数,x y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 121，如果目标函数z x y =-的最小值为2-， 则实数m 的
值为（ ）
A ． 0
B ． 2
C ．4
D ． 8
9. 已知实数[]10,1∈x ，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为（ ）
A ．
94 B ． 31 C ． 52 D ． 10
3 10. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，
E ，
F 分别为棱AB ，1CC 的中点，在平面 11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线（ ）
A B
C
D
A 1 B
C 1
D 1
E
F
A. 有无数条
B. 有2条
C.有1条
D. 不存在
11. 对于下列命题：
① 在ABC ∆中，若B A 2sin 2sin =，则ABC ∆为等腰三角形； ② 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若6
,10,4π
===A b a ，则ABC ∆有
两组解； ③ 设32014sin
π=a ，32014cos π=b ，3
2014tan π
=c ，则c b a <<； ④ 将函数)4
3sin(π
+
=x y 的图像向左平移个
6
π
单位，得到函数)4
3cos(π
+
=x y 的图 像. 其中正确命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．已知点P 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 右支上一点，1F 是双曲线的左焦点，且
双曲线的一条渐近线恰是线段1PF 的中垂线，则该双曲线的离心率是（ ） A
B.
C. 2
D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4个小题, 每小题5分， 共20分。

13. 抛物线24x y =的焦点F 到准线l 的距离为 。

14. 已知直线0=++C By Ax 与圆122=+y x 相交于Q P ,两点，其中222,,B C A 成等差数列，O 为坐标原点，则PQ OP ⋅=___________.
15. 将长、宽分别为6和8的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到四面体BCD A -，则四面体BCD A -的外接球的表面积为 .
16. 已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧>≤≤+--=1
,log 10,1)2
1(4)(20142x x x x x f ，若)()()(c f b f a f ==，且c b a ,,互
不相等，则c b a ++的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分） 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)1(+=n n S n ， （1）求数列}{n a 的通项公式n a （Ⅱ）数列}{n b 的通项公式2
1
+⋅=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和为n T
18．（本小题满分12分）
2014年“雾霾”成为年度关键词。

雾霾天气是一种大气污染状态，雾霾是对大气中各种 悬浮颗粒物含量超标的笼统表述，尤其是PM2.5日均值（微克/立方米）（空气动力学 当量直径小于等于2.5微米的颗粒物）被认为是造成雾霾天气的“元凶”。

PM2.5日均 值越小，空气质量越好。

下面是国家环境标准设定的PM2.5日均值（微克/立方米）与 空气质量等级对应关系如下表：
叶图表示如下：
（Ⅰ）试根据上面的统计数据，分别计算两城市的PM2.5日均值的平均数，从计算结果看，
哪个城市的空气质量较好？
（Ⅱ） 试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为3级轻度污染的概率； （Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同
的概率．
19. (本小题满分12分) 如图，在直
角
梯
形
ABCP 中，
CB CP AB CP ⊥,//,22
1
==
=CP BC AB ,D 是CP 中点，将PAD ∆沿AD 折起，使得⊥PD 面ABCD ； （Ⅰ）求证：平面⊥PAD 平面PCD ；
（Ⅱ）若E 是PC 的中点．求三棱锥PEB A -的体积。

E
P
D
C
B
A
20. (本小题满分12分)
已知(2, 0)A
-，(2, 0)B 为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异 于A ，B 的动点，且A P B ∆
面积的最大值为． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；
（Ⅱ）直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以
BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．
21．(本小题满分12分) 已知函数x
a
x x f -
=ln )(,其中∈a R ． （Ⅰ）当1-=a 时判断)(x f 的单调性；
（Ⅱ）若ax x f x g +=)()(在其定义域内为减函数，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当0=a 时)(x f 的图象关于x y =对称得到函数)(x h ，若直线kx y =与曲线
)
(1
2x h x y +
=没有公共点，求k 的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切 线交DC 的延长线于P ，PC =ED =1，PA =2． （I ）求AC 的长；
（II ）试比较BE 与EF 的长度关系．
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线2
2
1:1C x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点
22题图
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线
:(2sin )6l cos ρθθ-=.
（I ） 将曲线1C 2倍后得到曲线
2C ，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；
（II ）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知关于x 的不等式：12≤-m x 的整数解有且仅有一个值为2. （I ） 求整数m 的值;
（II ）已知R c b a ∈,,，若m c b a =++4
4
4
444，求2
2
2
c b a ++的最大值
吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班下学期期末
教学质量检测
数学（文科）参考答案与评分标准
二．填空题
13. 【答案】81
14. 【答案】1- 15. 【答案】π100 16. 【答案】(2,2015)
三．解答题:
17.（1） 1=n 时，211==a S …… 1分 2≥n 时，n n n n n S S a n n n 2)1()1(1=--+=-=- …… 3分 经检验1=n 时成立， …… 4分
综上 n a n 2= …… 5分 （2）由（1）可知)2
1
1(81)2(141)2(221+-=+⋅⨯=+⋅=
n n n n n n b n …… 7分
n n b b b b T +⋯⋯+++=321
=)2111151314121311(81+-++-⋯⋯+-+-+-
n n n …… 9分 =)2
111211(8
1+-+-+
n n =)2
1
1123(
81+-+-n n ……12分 （具体最终化简形式酌情处理） 18.
解：（Ⅰ）乙城市的空气PM2.5日均值平均数为
815
98
88856866=++++ ……1分
甲城市的空气PM2.5日均值平均数为885
116
95878359=++++ ……2分
乙城市的空气PM2.5日均值平均数小于甲城市，所以乙城市的空气质量较好. ……3分 （Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为3级轻度污染的频
率为35
，
则估计甲城市某一天的空气质量等级为3级轻度污染的概率为3
5
． ……6分, （Ⅲ）设事件A ：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质
量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为： （59，66），（59，68），（59，85），（59，88）（59，98） （83，66），（83，68），（83，85），（83，88）（83，98） （87，66），（87，68），（87，85），（87，88）（87，98） （95，66），（95，68），（95，85），（95，88）（95，98） （116，66），（116，68），（116，85），（116，88）（116，98） …………9分 其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为2级良的为甲59，乙66，乙68；同为3级轻度污染的为甲83，甲87，甲95； 乙85，乙88，乙98；则空气质量等级相同的为： （59，66），（59，68）， （83，85），（83，88），（83，98）, （87，85），（87，88），（87，98）, （95，85），（95，88），（95，98）,.共11个结果. ………11分 所以这两个城市空气质量等级相同的概率为
11
25
． ………12分 19. (1) 证明 ∵PD ⊥底面ABCD ,∴PD AD ⊥. ………1分
又由于CB CP AB CP ⊥,//，BC AB =
∴正方形ABCD ，∴AD CD ⊥, ………3分 又PD
CD D =,故AD ⊥底面PCD , ………5分
因⊂AD 平面PAD ，所以⊥PAD 底面PCD ………6分
证法二：又由于CB CP AB CP ⊥,//，BC AB =，∴正方形ABCD ，∴PC AD ⊥, 折叠后，AD CD ⊥,PD AD ⊥,又PD
CD D =,故AD ⊥底面PCD ,
因⊂AD 平面PAD ，所以⊥PAD 底面PCD
(2) ∵//AD BC ,又⊂BC 平面PBC ,⊄AD 平面PBC ,所以//AD 平面PBC
∴点A 到平面PBC 的距离即为点D 到平面PBC 的距离 ………7分 又∵PD DC =,E 是PC 的中点, ∴DE PC ⊥.
由（1）知有AD ⊥底面PCD ,所以有AD DE ⊥.由题意得//AD BC ,故
BC DE ⊥.
于是,由BC PC C =,可得DE ⊥底面PBC . ……9分
∴2=
DE ,22=PC ,
又∵AD ⊥底面PCD ,∴AD ⊥CP ，∵//AD BC ，∴AD ⊥BC ∴2)2
1
(2121=⨯⨯⨯==
∆∆PC BC S S PBC PEB ∴3
231=⨯⨯==∆--PEB
PEB D PEB A S DE V V ………12分 解法（二）：也可以体积分割求解，但也应有必要的证明过程。

20. 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，(,0)F c ．
由题意知
解得b =1c =． …………2分
故椭圆C 的方程为
22
143
x y +=，离心率12． …………4分 （Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．
证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.
则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ． 由22(2),143
y k x x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=． ………5分
设点P 的坐标为00(,)x y ，则202
1612
234k x k --=+． ………6分 所以2
02
6834k x k -=+，00
212(2)34k y k x k =+=+． ………7分 因为点F 坐标为(1, 0)，
当12k =±时，点P 的坐标为3
(1, )2
±，点D 的坐标为(2, 2)±. ………8分
直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相切．
当12k ≠±时，则直线PF 的斜率02
04114PF y k
k x k
==--. ⎧⎪⎨⎪
⎩2
221
22
2, .
a b a a b c ⋅⋅===+
所以直线PF 的方程为2
4(1)14k
y x k =--．
点E 到直线PF
的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+- ………10分 又因为||4||BD k = ，所以1
||2
d BD =
． ……11分 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．
综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切． ……12分 21. 解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞，且21
)(x
x x f -=
' ， 当0)(,10<'<<x f x ；当0)(,1>'>x f x
所以f (x )在()1,0为减函数。

在()+∞,1为增函数 ………3分 （Ⅱ）ax x
a
x ax x f x g +-
=+=ln )()(，)(x g 的定义域为),0(+∞ ∴ 2
2)(x a
x ax x g ++=' ，因为)(x g 在其定义域内为减函数， ……4分 所以),0(+∞∈∀x ，0)(≤'x g
∴
min
222
211)1(0⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-≤⇔+-≤⇔-≤+⇔≤++x x a x x a x x a a x ax ……5分
又∵21
1
11
2≤
+=+x
x x x
∴ 2112-≥+-x x
……6分
当且仅当1=x 时取等号，所以2
1
-
≤a ……7分 （Ⅲ）当a =0时，x x f ln )(=．∴x e x h =)(
直线l ：kx y =与曲线x e
x x h x y 1
2)(12+=+
=没有公共点， 等价于关于x 的方程x
e x k 1
)2(=-（*）在R 上没有实数解， ……8分 （1）当2=k 时，方程（*）可化为
1
0x e
=，在R 上没有实数解． ……9分
（2）当2≠k 时，方程（*）化为
x xe k =-2
1
． 令()x
g x xe =，则有()()1x
g x x e '=+． 令()0g x '=，得1x =-，
当x 变化时，()g x '的变化情况如下表：
当1x =-时，()min 1
g x e
=-
，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞， 从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
． ……10分
所以当
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-∞-∈-e k 1,21时，方程（*）无实数解， 解得k 的取值范围是)2,2(e -． ……11分 综合①②，k 的取值范围是]2,2(e - ……12 解法二：
（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．
（Ⅲ）当a =0时，x x f ln )(=．∴x e x h =)(，若直线l ：kx y =与曲线x
e x y 1
2+=没有公共点，
等价于关于x 的方程x e
x k 1
)2(=
-（*）在R 上没有实数解， 等价于函数x e y -=的图象与过原点的直线x k y )2(-=没有公共点 转化为求过原点作函数x e y -=的切线，（如图），（略解）， 切点为),1(e -，切线为：ex y -=，所以02≤-<-k e
∴k 的取值范围是]2,2(e -
22.解：（I ）1,2,2==⋅=PC PA PD PC PA ，4=∴PD ，
又2,1=∴==CE ED PC ，,,CAB PCA CBA PAC ∠=∠∠=∠
CBA PAC ∆∆∴∽，AB
AC
AC PC =
∴， 22=⋅=∴AB PC AC ，2=∴AC ………5分 （II ） 2==AC BE ，2=CE ，而EF BE ED CE ⋅=⋅，
22
1
2=⋅=∴EF ，BE EF =∴．…………10分
23.解(Ⅰ) 由题意知，直线l 的直角坐标方程为：2x-y-6=0， ………2分
∵曲线
2C 的直角坐标方程为：22()12y
+=，
∴曲线2C 的参数方程为：()2sin x y θ
θθ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数. ………5分
(Ⅱ) 设点P 的坐标,2sin )θθ，则点P 到直线l 的距离为：
5
|
6)30sin(4|5|6sin 2cos 32|0--=
--=θθθd ………………7分
∴当sin(600
－θ)=-1时，点P(-)1,
23，此时max d =
=……10分 24. 解：（I ）1|2|≤-m x 由，得 2
1
21+≤≤-m x m 不等式的整数解为2，
∴
2
1
221+≤≤-m m 53≤≤⇒m 又不等式仅有一个整数解2， ∴4=m ……5分 （2）显然14
4
4
=++c b a
由柯西不等式可知;])()())[(111()(2222222222222c b a c b a ++++≤++ 所以3)(2222≤++c b a 即3222≤++c b a 当且仅当3
3
2
2
2
=
==c b a 时取等号，最大值为3 …………10分 解法二：可平方，=++2222)(c b a 2
22
22
2
4
4
4
222c b c a b a c b a +++++ 使用基本不等式即可求解。