初中数学_1.4角平分线(第1课时)教学设计学情分析教材分析课后反思

1.4 角平分线（第1课时）教学设计
一、教学目标：
1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理．
2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．
3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。

二、教学重点与难点：
重点: 角平分线的性质定理、判定定理.
难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题. 课前准备：多媒体课件、纸制角的模型。

三、教学过程：
（一）、温故知新，问题导学
1.角平分线的概念_____________________________________
2.点到直线距离_____________________________________________
3.尺规作图 画角平分线
【情境引入】有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB 平分线OC 上一点P 处,为尽快爬到OA 或OB 上控制猎物,你认为它应该选择什么路线?两条路线长度关系怎样?
A O
B P O
C A B P
处理方式：先观察图形，结合实践经验师生交流，根据“点到直线的距离垂线段的长最短”可以发现蜘蛛会沿着所在的点与角的边垂直的路线爬行，即蜘蛛所走的路线是从P 到A 和从P 到B ．
然后教师提问：两条路线长度相等吗？
学生讲述：我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：（边演示边说明．）
从折纸过程中，我们可以得出PD =PE ，所以蜘蛛选择的两条路线长度相等 ．
【预设：如果学生不易想到角平分线上的点到角两边的距离相等，教师可提问：同学们，还记得角平分线上的点有什么性质吗? 回想一下，当时是怎样得到的？】
师：这节课，我们应用推理的方法探究角平分线的有关性质．
【教师板书课题：1.4角平分线（1）】
设计意图：通过蜘蛛实例的思考与探索，实际上既复习了点到直线的距离这一概念，又发现感知角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质定理．通过动手折出角平分线，观察、验证平分线上的点到角的两边的距离相等.其一是激发了学生的求知的欲望、培养了学生的学习兴趣，其二是为了培养学生善于动手动脑、
善于发现的学习习
惯．
（二）、诱思探究，展示交流
活动一：探究“角平分线上的点到角的两边的距离相等”．
1．讨论
问题：你能说出这一命题的条件与结论吗？
处理方式：学生分组讨论，教师巡视，对有困难的学生进行指导，完成后在小组内交流，说出自己的发现．
“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这一命题的条件是“点在角平分线上”，结论是“这点到角两边的距离相等”.
师生结合图形认识“点到角的两边的距离”实际上就是“由点向这个角的两边所在直线作垂线，这个点与垂足之间垂线段的长度”.
2．证明
问题：你能否证明“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这一命题吗？
处理方式：学生试着根据条件和结论画
出图形，写出已知和求证.已知：如图，OC
是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
教师给学生留出思考的时间和空间，不要代替学生思考，要给他们展示自我的机会．让一位学生到黑板上画出图形(示意图)、写出已
知和求证，然后证明．其他学生在练习本上完成．同时巡视指导并收集具有代表性的错误及不规范的书写．
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠1=∠2，
又∵OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．
（请学生回忆蜘蛛控制猎物的方法、两条路线长度相等的道理．）
3.小结
师生共同归纳：我们把它叫做角平分线的性质定理(用多媒体演示并板书)
定理在角平分线上的点到角的两边的距离相等.
符号语言：
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) ．
设计意图：放手让学生独立完成，并以黑板上学生的板演为样本，讲解定理及其证明，对学生不规范的书写和表达予以纠正，同时也能理顺学生的证明并让学生对定理的理解更加深入．通过符号语言，把抽象的问题形象化，有利于学生对定理的理解、应用．
【教师提炼】这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一．活动二：探究“在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．”．
1.写出“角平分线上的点到角的两边的距离相等.”的逆命题.
同学们表现的的很好！请大家继续思考下面的问题：
（1）你能写出角平分线的性质定理的逆命题吗？
（2）它是真命题吗？
处理方式：学生分组交流，教师对困难学生个别辅导，师生共同纠正得出逆命题．
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
【预设：此时有学生提问：“我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．”师释疑：这位同学思考问题很深刻．事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部．注意：如果没有学生提出，教师要适当引导，让学生看到这一情况.】
如上图所示，只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．
2.证明
我们想想如何证明它的正确性，大家思考交
流.
（学生合作板书已知、求证.）
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E分别为垂足且PD=PE。

求证：点P在∠AOB的角平分线上．
处理方式：先师生共析：要说明点P在∠AOB的角平分线上，只要说明∠1=∠2，要说明∠1=∠2，只要说明哪两个三角形全等？全等的条件是什么？分析后生独立完成证明，然后组内交流，及时规范证明过程．
设计说明：因学生已经接触过线段垂直平分线判定定理的证明，所以把这个证明的任务留给学生完成．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
∵OP=OP，PD=PE，
∴Rt△ODP≌ Rt△OEP（HL）．
∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）．
∴点P在∠AOB的角平分线上．
3.小结
教师：我们已证明此逆命题是真命题，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．就把它叫做角平分线的判定定理吧．(多媒体演示并板书)
定理在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
符号语言：
∵PA=PB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，
E （已知），
∴点P 在∠AOB 的平分线上
(在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上) ．
【教师提炼】这个结论是证明点在角平分线上(或角平分线经过某一点)的依据之一．
设计意图：通过对定理及逆定理的证明，让学生感受数学的严谨和规范，同时更加深刻的理解角平分线的性质定理及逆定理. 学以致用：
例题：在△ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E ，F ，且 DE
= DF ，求 DE 的长.
处理方式：本问题综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题.由于前面已规范了角平分线定理的书写，所以此例题可以由学生独立完成证明过程.在学生独立完成
推理过程的基础上，教师要给出书写示范，进一步发展
学生的推论证明能力.
（三）、思维训练，巩固提高
（学生独立练习，教师巡视，个别辅导.）
1．如图，△ABC 中，∠C =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，若CD=4，则点D 到AB 的距离是 ．
2．如图，一目标在A 区，到公路的距离与到铁路
A C
B D A B
C
D F
E
的距离相等，并且与两路交叉处的距离为500米，在图上标出它的位置，并说明理由（比例尺1：20000）.
提示：把公路和铁路看成两条相交直线，作出其夹角的平分线并标出目标位置） 3. 如图，AD 、AE 分别是△ABC 中∠A 的内角 平分线和外角平分线，它们有什么关系？
处理方式：两学生代表板演，其余学生独立完成后，集体批改，学生自我矫正．
【方法总结】有角的平分线（或证明是角的平分线）时，常需要添加辅助线，即由角平分线上的点向两边作垂线段，再利用角平分线的判定或性质解决，使问题得到解决．
设计意图：1、题通过这组题目的训练，使学生对定理深化理解并熟练运用.对于完成好的同学,教师给予鼓励;对回答问题暂时有困难的同学,教师应帮助他们树立信心.2、题在学生探究解决实际问题的过程中，不仅可以培养将实际问题数学化的解题思想，还使学生感受到数学在生活中的广泛应用性．
（四）、小结感悟，知识沉淀
师：通过本节课的学习，你有哪些感悟与收获？学生畅谈自已的收获与感悟．
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识． C D
B 1 2 3 4 E
F
A
(五)、分层评价，当堂达标
A组（必做题）：
1．如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．若OD=8，OP=10，则PE的长为（）
A、5
B、6
C、7
D、8
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分
∠ABC交AC于点D，DE是斜边AB的垂直平分线，
且DE＝1㎝，则AC= ．
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于
点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为
半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于
点D，则下列说法中正确的个数是（）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A、1
B、2
C、3
D、4
B组（必做题）：
已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明
理由．
设计意图：通过此环节让学生经历独立思考、灵活应用知识解决问题的过程，使学生进一步理解本节学习知识，从中获取解决问题的技能，提高解决问题的能力，同时检测教与学是否都达到预期效果.可采取独立限时答题、成果展示等形式.
六、布置作业，课后促学
必做题：
1．如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O ，且∠1 =∠2. 求证：OB = OC .
必做题：
2．如图，Rt△ABC 中，∠C =90°，AD 平分
∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，若AC =6，BC =8，CD =3．
（1）求DE 的长；
（2）求△ADB 的面积．
设计意图：作业的设计突出层次性，可更好地调动不同学生的学习热情.满足不同层次学生的需要，即巩固了本课所学的知识，同时也了解了学生对本课知识的掌握情况，为后续教学做准备．
2
1 O
E D
A
B C
板书设计:
1.4角平分线第一课时的学情分析
初中数学是中学数学的基础，打好这个基础，对减少两极分化，开发智力，发展思维，培养人才都是至关重要的。

而初三的数学又是初中数学的重中之重，因此，提高中学的教学质量，必须从八年级抓起。

下面就对我所教八年级班级学生数学学习现状做一下简单描
述。

大部分同学学习积极性尚可，能较好地完成学习任务，但很多学生学习习惯不是很好，整体水平不均，学习比较浮躁，这主要表现在课堂纪律和作业质量方面。

一、学习状态`
绝大部分同学都能跟上现有的进度，上课发言尚积极，个别同学表现的还比较出色，但也有部分同学的理解能力和接受能力不尽人意，学习成绩极不理想。

从课堂上看，他们的注意力不能长时间集中，很容易分心，作业和试卷上的错误比较多，对于老师的问题一问三不知，在今后的教学过程中对这些孩子要特别注意。

二、学习习惯
部分学生有主动学习的行为，深得老师赞赏。

比较喜欢上数学课，学习热情也很高，并喜欢与老师友好相处，同学之间、师生之间常在一起交流学习体会。

但仍有少部分学生学习懒散、学习习惯差，如：粗心大意、书写不认真，不愿思考问题，上课开小差，依赖老师讲解，依赖同学的帮助，有些学生抄作业现象比较严重。

三、解决方案及实施计划
1、“要抓质量，先抓习惯”。

帮助学生培养良好的学习习惯和学习方法。

教给学生怎样学习数学，提高学生的数学学习能力。

激发学习兴趣，养成自主学习的习惯和方法。

平时在教学中，注意抓好学生的书写、审题与检查等良好的学习习惯。

2、进一步加强基础知识的教学，培养学生对各知识点的融会贯通、灵活理解及运用的能力。

3、注重开发性地使用教材，在做到“吃透”教材的前提下，大胆创新，对于知识的重难点力求把握准确，突破有法。

对基本技能的训练，通过创设新的情景，让学生在变化的情景中去运用，在理解的基础上去训练，而不是变成大量的、机械的、重复的操练，因为操练、重复只能加重学习负担，降低学习效率，从而引起学生的厌恶。

同时，要重视能力的培养，继续加强运算能力、思维能力的培养。

4、注重积极的情感、负责的态度和正确的价值观的培养，注意激发学生的好奇心和求知欲，让学生了解数学知识的形成过程和应用价值，发挥评价的激励和导向功能，帮助学生认识自我、建立自信。

5、对优良学生，要鼓励他们刻苦学习，努力进步，要致力于发展性思维训练，不光是为了考试分数高，更主要的是掌握学习策略和学习过程。

对学困生，要进一步培养他们的学习兴趣，尽量杜绝抄作业现象，是每个人在原有的基础上有所进步。

1.4角平分线（第一课时）
经过师生的积极配合和共同努力，成功地完成了本节课的教学活动，现将效果分析如下：
1、本节课的课堂教学时，我采用“实验——猜想——验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯．学生初学角平分线的性质定理和判定定理，容易将角平分线上的一点到
这个角两边的距离误认为过这点垂直于角平分线的垂线段．因此在教学中应首先让学生明确点到直线的距离，从而尺规作图画出角平分线上一点到角两边的距离。

2、本节课运用了启发诱导、学生“说题”的教学方法，教师只是作为一个引导者和组织者的角色出现，给予学生充分的时间在课堂上“说题”，展开思维碰撞，发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，充分体现了学生在学习中的主体地位。

3、学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识．学生习惯用于找全等三角形的方法去解决问题，而不注重利用刚学过的定理来解决，这实际上是对定理的重复证明，引导学生学以致用，明确每个定理使用前的条件！
1.4角平分线（第一课时）
本节课是在学生学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行教学的，它主要学习角平分线的性质定理。

同时角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的思路，并为今后在学习圆一章学习内心作好知识准备。

因此它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫,具有举足轻重的作用，因此本节课在教材中占有非常重要的地位
1.4角平分线（第一课时）
一、温故知新
1.角平分线的概念_____________________________________
2.点到直线距离_____________________________________________
3.尺规作图
二、探索求知
1.求证：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（角平分线性质定理）
2.求证：在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上（角平分线判定定理）
三、典例分析
在△ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
A
四、学以致用
1、如图，AD 、AE 分别是△ABC 中∠A 的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？
2.如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE ⊥AB 、DF ⊥AC ，垂足为E 、F ，
求证：EB=FC
五、分层评价，当堂达标
A 组（必做题）：
1．如图，∠AOC =∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点F E D C B A 4321
D，PE⊥OB于点E．若OD=8，OP=10，则PE的长为（）
A、5
B、6
C、7
D、8
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC
交AC于点D，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE＝1㎝，
则AC= ．
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A、1
B、2
C、3
D、4
B组（必做题）：
已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点
O，且OB=OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
1.4角平分线第一课时的教学反思
一、得与失
1、本设计采取了“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”
的基本模式，安排多种形式的实践活动，让学生经历了知识的形成与应用的过程，从而为更好地理解，掌握角平分线的性质与判定作准备，发展学生应用数学的意识与能力，增强学生学好数学的愿望和信心。

2、数学知识不是静态的结果，而是一种主动构建的过程，教学法中
采用探究，讨论，演示等形式，使学生与学习内容相互作用，从而获得主动认知，主动构建，充分发展的结果，学生通过画图，类比证明来完成学习任务，学生学得有趣，符合学生认知特点。

3、本节课虽然体现了学生的主动性，孩子的上课积极性比较高，参
与程度广，但教材的整合与取舍体现的不够突现，原因是所带班级的基础比较差，学习能力较弱，所以在整合与取舍方面步子迈得较小了一些，力求孩子在40分钟内扎实有效的掌握双基。

4、本设计只注重双基的训练，忽视了数学思想方法的渗透，数学知
识的迁移，让学生在思考的过程中激发学习兴趣，从而训练学生的思维。

二、措施
1、加强教学的钻研和学习，在学生学习能力和学习习惯上多下功
夫，达到授之以渔，而是授之以鱼。

2、加强基本功的学习，因为教材的整合和取舍不是简单的二节课
并为一节课，也不是刻意的不讲某一部分的内容，我个人的理解是对教材创造性的使用，面对不同的学生，教师要采取不同的方法，这就需要教师具备相当扎实的基本功，对教材烂熟于
心，做到前后知识的衔接，达到课堂教学过程过渡自然，使学生在轻松的氛围中学会知识，快乐学习。

1.4角平分线（第一课时）课标分析
本节课选自北师大版教材《数学》八年级下册第一章第4节，是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。

本节课的课标任务为：
在新课程改革背景下的数学教学应以学生的发展为本，学生的能力培养为主，同时从知识教学、技能训练等方面，根据《新课程标准》对本节课内容的要求是：（1）能用尺规作图做已知角的角平分线；（2）探索并证明角平分线的性质。

针对学生的一般性认知规律及学生个性品质发展的需要，确定教学目标如下：
（1）知识与技能：掌握作已知角的平分线的方法和角平分线性质。

（2）过程与方法：在经历角平分线的性质定理的推导过程中，提高综合运用三角形的有关知识解决问题的能力，并会运用角的平分线的性质解决相关问题。

（3）情感态度：培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的自信心。

教学重点、难点：
重点：角平分线的性质的证明及运用
难点：角平分线的性质的探究。