2024届高考二轮复习理科数学课件：巧转化速解非线性回归问题

^
, = − ;
=1
参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6,ln 7≈1.9, 2≈1.4, 6≈2.4, 8≈2.8,
10≈3.2, 12≈3.5, 14≈3.7, 3 322≈57.6, 4 583≈67.7.
解
ln2+ln4+ln6+ln8+ln10+ln12
参考数据:设u=ln y,其中ui=ln yi.
6
y
u
∑ (xi-x)·
i=1
(yi-y)
144 4.78 841
^
^
6
∑ (xi-x)·
i=1
e3.63
e5.94 e6.27
(ui-u)
5.70
37.71 380 528
参考公式:回归直线 y=x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为

^
=
∑ ( -)( -) ^
≈2.55,
6
∑ (vi-)(yi-)=(-1.15)×(-2.65)+(-0.55)×(-1.55)+(-0.15)×0.65
=1
+0.25×0.35+0.65×1.65+0.95×1.55=6.435,
6
2
∑ ( -) =(-1.15)2+(-0.55)2+(-0.15)2+0.252+0.652+0.952=3.035,
^
(3)依题意, =37.71e0.33x 模型和第(1)问中模型的 R2(R2 为相关指数)分别为
0.87 和 0.71,由于相关指数越接近于 1,两个变量之间的关系就越强,相应的拟
^
合程度也越好,故 =37.71e0.33x 模型得到的预测值更可靠.
例2为锻炼学生的综合实践能力,某市一中学组织学生对一家奶茶店的营
则 =
=
≈0.33.
6
∑ ( -)2
17.5
=1
^ = − ^ =4.78-0.33×3.5≈3.63,得^=0.33x+3.63,
^
∴ =e3.63·e0.33x=37.71e0.33x.
当 x=8 时,2023 年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为
^ =37.71e0.33×8=e3.63×e2.64=e6.27≈528(万辆).
业情况进行调查统计,得到的数据如下:
2
4
6
月份x
净利润
0.9
2.0
4.2
y/万元
8
10
12
3.9
5.2
5.1
(1)设 μi=ln xi,vi= .试建立 y 关于 x 的非线性回归方程 y=aln x+b 和
y=m +n(保留 2 位小数);
(2)从相关系数的角度确定哪一个模型的拟合效果更好,并据此预测次年2
2
^
(2)由(1)知,y 关于 x 的线性回归方程为 =48x-24,
当 x=8 时,2023 年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为
^ =48×8-24=360(万辆);
对于回归模型 y=menx,令 u=ln y=nx+ln m,c=ln m,
6
∑ ( -)( -)
^
5.70
=1
121
137
352
(1)根据表中数据,求出y关于x的线性回归方程;(结果保留整数)
(2)请用y=menx模型拟合y与x的关系(保留两位小数),并分别利用这两个模
型,求2023年我国新能源乘用车的年销售量的预测值;
(3)经计算第(2)问中模型和第(1)问中模型的R2(R2为相关指数)分别为0.87
和0.71,你认为(2)中用哪个模型得到的预测值更可靠?请说明理由.
=1

2
∑ ( -)
=1
^
, = − .
解 (1)由表中数据得, =
6
2
2
6
1+2+3+4+5+6
=3.5,=144, ∑ (xi-)(yi-y)=841,
6
=1
2
2
2
2
∑ ( -) = (1 -) + (2 -) + (3 -) + (4 -) + (5 -) + (6 -)
i=1
=(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2=17.5,
^
6
∑ ( -)( -)
∴ = =1 6
∑ ( -)
2
=
^ = − ^ =144-48×3.5=-24,
841
≈48,
17.5
=1
^
∴y 关于 x 的线性回归方程为 =48x-24.
c=ln a,则μ=bv+c;
(2)指数曲线:y=aebx,两边取对数可得ln y=ln a+bx,令μ=ln y,c=ln a,则
μ=bx+c;


(3)倒指数曲线:y=ae ,两边取对数可得 ln y=ln
μ=bv+c;
(4)对数曲线:y=a+bln x,令v=ln x,则y=a+bv.

a+ ,令
(1)=
6
10ln2+2ln3+ln5
=
≈1.8,
6
=
0.9+2+4.2+3.9+5.2+5.1
=3.55,
6
6
∑ (μi-μ)(yi-y)=(-1.1)×(-2.65)+(-0.4)×(-1.55)+0×0.65
=1
+0.3×0.35+0.5×1.65+0.7×1.55=5.55,
6
源自文库
2
∑ ( -) =(-1.1)2+(-0.4)2+02+0.32+0.52+0.72=2.2,
i=1
6
∑ ( -)( -)
^
^
^
5.55
=1
所以 =
=
≈2.52, = − =3.55-2.52×1.8≈-0.99,
6
2
∑ ( -)
=1
2.2
^
所以模型 y=aln x+b 的回归方程为 =2.52ln x-0.99.
=
6
2+ 4+ 6+ 8+ 10+ 12
培优拓展❼ 巧转化速解非线性回归问题
问题提出
1.非线性回归问题的解题思路:
(1)把非线性回归方程转化为线性回归方程,求出线性回归系数,得出线性
回归方程,最后转化为非线性回归方程.
(2)准确计算,读懂题意,会预测预报变量的值.
2.非线性回归方程转化为线性回归方程的常见类型:
(1)幂函数曲线:y=axb,两边取对数可得ln y=ln a+bln x,令μ=ln y,v=ln x,
月(计x=14)的净利润(保留1位小数).

附:相关系数 r=
∑ (x i -x)(y i -y)
^
=1
n
2
∑ ( -)
i=1
^
,回归直线 y=x+的斜率和截距的最小二

2
∑ ( -)
=1

^
乘估计分别为 =
∑ ( -)( -) ^
=1

2
∑ ( -)
=1
^
^
6.435
所以 =
≈2.12, =3.55-2.12×2.55≈-1.86,
3.035
所以模型 y=m
^
+n 的回归方程为 =2.12
-1.86.
6
2
(2) ∑ ( -) =(-2.65)2+(-1.55)2+0.652+0.352+1.652+1.552≈15.1,
=1

μ=ln
1
y,v= ,c=ln

a,则
结论应用
例1随着科技进步,近年来,我国新能源汽车产业迅速发展.以下是中国汽车
工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据:
2016
年份
1
年份代码x
新能源乘用车年销售
50
量y/万辆
2017
2
2018
3
2019
4
2020
5
2021
6
78
126
所以 r1=
r2=
5.55
2.2× 15.1
6.435
3.035× 15.1
≈
=
5.55
33.22
6.435
45.83
≈
≈
5.55
≈0.964,
5.76
6.435
≈0.951,
6.77
因为r1更接近1,所以模型y=2.52ln x-0.99的拟合效果更好,则次年2月净利
润为y≈2.52ln 14-0.99≈5.6(万元).