学案1：2.2.1 第1课时 不等式及其性质

2.2.1第1课时不等式及其性质

学习目标

1.理解并掌握不等式的性质．

2.能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较．

3.会证明一些简单的不等式．

知识点梳理

知识点一不等式的基本性质

思考试用作差法证明a>b，b>c⇒a>c.

总结不等式性质：

知识点二不等式性质的注意事项

思考1在性质4的推论1中，若把a，b，c，d为正数的条件去掉，即a＞b，c＞d，能推出ac＞bd吗？若不能，试举出反例．

思考2在性质3的推论2中，能把“⇒”改为“⇔”吗？为什么？

总结(1)注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要想当然随意捏造性质．

(2)注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性，只有a ＞b ⇒b ＜a ，a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ⇒ac ＞bc (c ＞0)是可以逆推的，其余几条性质不可逆推． 题型探究

题型一 不等式性质的证明

例1 若a ＞b ，c ＞0，求证：ac ＞bc .

反思感悟 对任意两个实数a ，b 有a －b ＞0⇒a ＞b ；a －b ＝0⇒a ＝b ；a －b ＜0⇒a ＜b ．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础．数学是个讲究逻辑的学科，不能以理解代替证明．

跟踪训练1 (1)若ac 2＞bc 2，求证：a ＞b ； (2)由a ＞b 能推出ac 2＞bc 2吗？

题型二 不等式性质的应用

命题角度1 利用不等式的性质判断命题真假 例2 判断下列命题的真假： (1)若a >b ，则ac <bc ； (2)若a <b <0，则a 2>ab >b 2； (3)若a <b <0，则b a >a b .

反思感悟 要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，应熟练掌握不等式的性质及其推论的条件和结论，若判断命题是假命题只需举一反例即可．

跟踪训练2 下列命题中正确的个数是( ) ①若a >b ，b ≠0，则a

b

>1；

②若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >d ； ③若a >b ，且ac >bd ，则c >d ． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

命题角度2 利用不等式性质证明简单不等式 例3 已知a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e a －c >e

b －d .

反思感悟 利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件，如果不能直接由不等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式性质进行转化．

跟踪训练3 若a >b >0，c <d <0，求证：a d <b c ．

命题角度3 应用不等式性质求取值范围

例4 已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，a

b 的取值范围．

反思感悟 解决此类问题，要注意题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出错．同时在变换过程中要准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的情况，同时，要特别注意同向不等式相乘的条件是同为正．

跟踪训练4 已知－π2≤α<β ≤π

2，求α＋β2，α－β2的取值范围．

课堂小结

1．不等式的性质有很多是不可逆的，特别对同向不等式，只有同向不等式才可以相加，但不能相减，而且性质不可逆．只有同向且是正项的不等式才能相乘，且性质不可逆．

2．不等式的性质是解(证)不等式的基础，要依据不等式的性质进行推导，不能自己“制造”性质运算． 当堂检测

1．如果a ＜0，b ＞0，那么，下列不等式中正确的个数是( ) ①1a ＜1

b ；②－a ＜b ；③a 2＜b 2；④|a |＞|b |. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

2．已知a >b ，不等式：①a 2>b 2；②1a <1b ；③1a －b >1

a 成立的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3．已知a ，b ，c ，d ∈R 且ab >0，－c a >－d

b ，则( )

A ．bc <ad

B ．bc >ad

C ．a c >b d

D ．a c <b

d

4．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，那么2α－β

3

的取值范围是________________． 参考答案

知识点梳理 知识点一 不等式的基本性质

思考【答案】a>b，b>c⇒a－b>0，b－c>0⇒a－b＋b－c>0⇒a－c>0⇒a>c.

总结不等式性质：

知识点二不等式性质的注意事项

思考1【答案】不能，例如1＞－2，2＞－3，但1×2＝2＜(－2)×(－3)．

思考2【答案】不能，因为由a＋c＞b＋d，不能推出a＞b，c＞d，例如1＋100＞2＋3，但显然1＜2.

题型探究

题型一不等式性质的证明

例1证明ac－bc＝(a－b)c.

∵a＞b，∴a－b＞0.

又c＞0，∴(a－b)c＞0，即ac－bc＞0，

∴ac＞bc.

跟踪训练1解(1)∵ac2＞bc2，

∴ac2－bc2＞0，即(a－b)c2＞0．

若c2＝0，则ac2＝bc2与条件矛盾．

∴c2＞0，

∴a－b＞0，即a＞b．

(2)不能．当c＝0时，ac2＝bc2．