平行线的证明试题总集含复习资料

F D
B
C A C E 第 5 题
第 6 题
A
《平行线的证明》单元测试题
一、 填空题
1．在△ 中，∠2（∠∠B ）
，则∠. 2．如图，∥,直线分别交、于 E 、F ，平分∠，若∠1=72º ，
则∠2= ；
3．在△ 中，∠＝90º，⊥于 D ，则∠B 与∠的大小关系是 4．写出“同位角相等，两直线平行”的题设为，结论为． 5．如图，已知∥，∥，那么∠B +∠D .
D
A
E
B
A B E
C 4
1 2
G
D
6．如图，∠1＝27º，∠2＝95º，∠3＝38º，则∠4＝ 7．如图，写出两个能推出直线∥的条件.
8．满足一个外角等于和它相邻的一个内角的△ 是 二、 选择题
9．下列语句是命题的是
【 】 (A)延长线段 (B)你吃过午饭了吗？ (C)直角都相等 (D)连接 A ，B 两点 10．如图，已知∠1＋∠2＝180º，∠3＝75º，
那么∠4 的度数是 【 】 (A)75º (B)45º (C)105º (D)135º
11．以下四个例子中,不能作为反例说明“一个角的余角大于这个角”
是假命题是 【 】
(A)设这个角是 30º，它的余角是 60°，但 30°<60°
(B)设这个角是 45°，它的余角是 45°，但 45°＝45°
第 10 题
(C)设这个角是 60°，它的余角是 30°，但 30°<60° (D)设这个角是 50°，它的余角是 40°，但 40°<50°
12．若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是 【
】 (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不能确定
13．如图，△ 中，∠55°,∠63°∥,
则∠等于【
】
E
（A ）63°
(B) 118° B
D
C
(C) 55°
（D ）62°
14．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是 【
】
（A ）锐角三角形
(B)钝角三角形
(C)直角三角形
（D ）无法确
定
三、解答证明题
15．如图，，平分∠，求证∥.
16．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠55°，求∠的度数．
A
1D
2
B C 17．如图，，相交于点A，∠、∠的平分线相交于F.
（1）探求：∠F与∠B、∠D有何等量关系？
（2）当∠B︰∠D︰∠2︰4︰x时，x为多少？
18．如图，已知点A在直线l外，点B、C在直
(1)点P△是内一点，求证：∠P>∠A;
(2)试判断：在△外又和点A在直线l同侧，
是否存在一点Q，使∠>∠A？试证明你的线l上．结论．
19、如图，已知∠142°,∠38°,∠40°,∠140°,求证：∥．
20、已知：如图，∠、∠、∠△是的三个外角．
求证：∠∠∠360°．
2
21、如图，已知、分别是△的内角、外角的平分线，∠40°，求∠E 的度数．
22、已知一角的两边与另一个角的两边平行，分别结合下图，试探索这两个角之
间的关系，并证明你的结论。

A
（1）∥∥.∠1 与∠2 的关系是： F
证明：
1 C
B
D
E
A
F
C
1
B
2
（2）∥∥. ∠1 与∠2 的关系是： 证明：
D
E
（3）经过上述证明，我们可以得到一个真命题：如果，那么.
（4）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的 2 倍少 30°，则这两个角 分别是多少度
第二章 平行线与相交线
【巩固基础训练】
题型发散
1.选择题，把正确答案的代号填入题中括号内．
（1）下列命题中，正确的是（
）
（A ）有公共顶点，且方向相反的两个角是对顶角
（B ）有公共点，且又相等的角是对顶角
（C）两条直线相交所成的角是对顶角
（D）角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角
（2）下列命题中，是假命题的为（）
（A）邻补角的平分线互相垂直
（B）平行于同一直线的两条直线互相平行
（C）垂直于同一直线的两条直线互相垂直
（D）平行线的一组内错角的平分线互相平行
（3）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角（
）（A）相等（B）互补
（C）相等或互补（D）以上结论都不对
（4）已知下列命题
①内错角相等；
②相等的角是对顶角；
③互补的两个角是一定是一个为锐角，另一个为钝角；
④同旁内角互补．
其中正确命题的个数为（）
（A）0（B）1（C）2（D）3
（5）两条直线被第三条直线所截，则（）
（A）同位角的邻补角一定相等
（B）内错角的对顶角一定相等
（C）同位角一定不相等
（D）两对同旁内角的和等于一个周角
（6）下列4个命题
①相等的角是对顶角；
②同位角相等；
③如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角一定相等；
④两点之间的线段就是这两点间的距离
其中正确的命题有（）
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
（7）下列条件能得二线互相垂直的个数有（）
①一条直线与平行线中的一条直线垂直；
②邻补角的两条平分线；
③平行线的同旁内角的平分线；
④同时垂直于第三条直线的两条直线．
（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个
（8）因为，，所以，这个推理的根据是（）
（A）平行线的定义
（B）同时平行于第三条直线的两条直线互相平行
（C）等量代换
（D）同位角相等，两直线平行
（9）如图2-55．如果∠∠180，那么（）
（A）（B）
（C）⊥（D）⊥
（10）下列条件中，位置关系互相垂直的是（）
①对顶角的平分线；
②邻补角的平分线；
③平行线的同位角的平分线；
④平行线的内错角的平分线；
⑤平行线的同旁内角的平分线．
（A）①②（B）③④（C）①⑤（D）②⑤
2.填空题．
（1）把命题“在同一平面内没有公共点的两条直线平行”写成“如果……，那么……”形式为．
（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，最短．
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的比为2:7，则这两个角的度数为.
（4）如果∠A为∠B的邻补角，那么∠A的平分线与∠B的平分线必.
（5）如图2-56
①∵（已知），
∴∠（）
（两直线平行，内错角相等），
∴∠180︒（）
②∵∠3=∠4（已知），
∴∥（）
③∵∠∠（已知），
∴∥（）
（6）如图2-57，直线，，被直线所截，∠1=70︒，∠2=110︒，∠3=70︒．求证：．
证明：∵∠1=70︒，∠3=70︒（已知），
∴∠1=∠3（）∴∥（）
∵∠2=110︒，∠3=70︒（），
∴,
∴,
∴（）．
（7）如图2-58，①直线，被第三条直线所截，则∠1和∠2是，如果∠1=∠2，
则,其理由是（）．
②∠3和∠4是直线、，被直线所截，因此．∠3∠4,其理由是（）．（8）如图2-59，已知，平分∠，平分∠，求证∠1+∠2=90︒．
证明：∵平分∠（已知），
∴∠2（）
同理∠1,
∴∠1+∠21（）
2
又∵（已知），
∴∠∠（）
∴∠1+∠2=90︒（）
（9）如图2-60，E、F、G分别是、、上一点．
①如果∠∠，则,其理由是（）
②∠∠，则，其理由是（）
③如果∠∠180︒，则，其理由是（）
（10）如图2-61，已知，，求证：∠∠∠∠．
证明：∵（已知），
∴∠∠（两直线平行，内错角相等）．
∵，（已知），
∴（）
∴∠∠（）
∴∠∠∠∠（等式性质）．
3．计算题，
（1）如图2-62，、是两条射线，∠2+∠3+∠4=∠1+∠2+∠5=180︒，求∠1+∠2+∠3的度数．
（2）如图2-63，已知，∠100︒，平分∠，⊥．求∠和∠的度数．
（3）如图2-64，已知，∠60︒，∠60︒，是∠的平分线．求∠的度数．
（4）如图2-65，已知是∠的平分线，∠50︒，∠70︒，，求∠和∠的度数．
纵横发散
1．如图2-66，已知∠∠D，．与平行吗？试说明你的理由．
2．如图2-67，已知∠1=∠2，求∠3+∠4的度数．
解法发散
1．如图2-68，已知，⊥，⊥．求证：．（用两种方法说明理由）．
2．如图2-69，、、，是直线，∠1=∠２．a与b平行吗？简述你的理由．用
a b c（
三种方法，简述你的理由）
变更命题发散
如图2-70，，∠40︒，∠62︒，平分∠，求∠的度数．
如图2-71，已知，∠30︒，∠60︒，、三等分∠．
（1）求∠的度数；
（2）吗？为什么？
3．如图2-72，已知∠1=100︒，∠2=80°，∠3=95︒，那么∠4是多少度？
4．如图2-73，、、、构成的角中，已知∠1=∠2=∠3，问图中有平行线吗？如果有，把彼此平行的直线找出来，并说明其中平行的理由．
5．如图2-74，已知∠1+∠2=180︒，∠3=95︒．求∠4的度数？
6．如图2-75，已知l，求∠x,∠y的度数．
7．如图2-76，直线l,l分别和直线l,l相交，∠1与∠3互余，∠2与∠3的余
1234
角互补，∠4=115︒．求∠3的度数．
转化发散
1．如图2-77，已知∠∠B，∠∠，垂直于，G为垂足，试问，能否垂直，为什么？
2．如图2-78，已知∠∠B，⊥，∠∠，试问与垂直吗？简述你的理由．
分解发散
发散题如图2-79，，∠1=∠2，∠3=∠4，求∠的度数．
综合发散
1．证明：两条平行线被三条直线所截的一对同旁内角的角平分线互相垂直．2．求证：两条直线被第三条直线所截，若一组内错角的角平分线互相平行，则这两条直线也相互平行．
3△．在中，平分∠，交于E，交于F，求证：平分∠．
4．线段被分成2:3:4三部分，已知第一和第三两倍分的中点间的距离是5.4,求的长．
5．已知：如图2-80，，⊥，求证∠1与∠A互余．
【提高能力测试】
题型发散
选择题，把正确答案的代号填入括号内．
（1）如图2-81，能与∠α构成同旁内角的角有（）
（A）1个（B）2个
（C）5个（D）4个
（2）如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（）
（A）42︒,138︒（B）都是10︒
（C）42︒,138︒或42︒，10︒（D）以上答案都不对
（3）如图2-82，，，平分∠．∠40°，∠30°，则∠等于（）
（A）10︒（B）15︒（C）5︒（D）7.5︒
（4）如图2-83，已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：，．
证明：∵∠1=∠2（已知），
（A）∴（同位角相等，两直线平行）
∴∠3=∠5（内错角相等，两直线平行）
（B）∵∠3=∠4（已知）
（C）∴∠5=∠4（等量代换）
（D）∴（内错角相等，两直线平行）
则理由填错的是（）
（5）如图2-84，已知，，⊥，∠1=40︒，那么，∠的度数为（）
（A）40︒（B）45︒
（C）50︒（D）55︒
（6）直线l//l，D、A是l上的任意两点，且A在D的右侧，E、B是l上任1212
意两点，且B在E的右侧，C是l和l之间的某一点，连结和，则（
）
12
（A）∠∠∠
（B）∠∠∠360︒
（C）（A）和（B）的结论都不可能
（D）（A）和（B）的结论有都可能
（7）如图2-85，如果∠1=∠2，那么（）
（A）（内错角相等，两直线平行）
（B）（内错角相等，两直线平行）
（C）（两直线平行，内错角相等）
（D）（两直线平行，内错角相等）
（8）如图2-86，，设∠90︒，那么x、y和z的关系是（）
（A）y=x+z
（B）x+y+z=180︒
（C）x+y-z=90︒
（D）y+z-x=90︒
（9）如图2-87，∠1:∠2:∠3=2:3:4，，，则∠A:∠B:∠()
（A）2:3:4（B）3:2:4
（C）4:3:2（D）4:2:3
（10）如图2-88，已知，，，平分∠，那么图中与∠相等的角有（）
．
（A ）5 个
（B ）4 个 （C ）3 个 （D ）2 个
2．填空题．
（1）三条相交直线交于一点得 6 个角，每隔 1 个角的 3 个角的和是度．
（2）∠A 和∠B 互为邻补角，∠A:∠9:6，则∠,∠.
（3）如果∠1 和∠2 互补，∠2 比∠1 大10︒ ，则∠1,∠2.
（4）如图 2-89，已知，分别截、于 G 、H 两点，平分∠，平分∠，求证： 证明：∵ （ ） ，∴∠∠（
）．
又∵平分∠（ ） ∴ ∠1 1 （
）．
2
∵平分（
），
∴ ∠2（
），
则（
）．
（5）如图 2-90，已知 l // l ，∠1= 40︒ ，∠2= 55︒ ，则∠3,∠4.
1
2
（6）如图 2-91，
①∵∠1=∠2，∠3=∠2，∴∠1=∠3（）
②∵∠1=∠3，∴∠1+∠2=∠3+∠2（），
即∠∠，
③∵∠∠
∴∠－∠2=∠－∠2（），
即∠3=∠1．
（7）如图2-92，已知，、、都是直线，∠2=∠3，求证：∠1=∠4．证明：∵、、都是直线（），
∴∠1=∠2，∠3=∠4（）．
∵∠2=∠3（），
∠1=∠4（）．
（8）如图2-93，∠∠，平分∠，平分∠，求证：∠∠．
证明：∵平分∠（），
∴∠2∠（）
∵平分∠（）
∴∠2∠（）
∵∠∠（），
∴2∠2∠（），
即∠∠，
（9）如图2-94，⊥，∠1=∠2，∠3=∠4，求证⊥，
证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4（）
∴∠1+∠3=∠2+∠4（），
即∠∠．
∵⊥（）∴∠90︒（）
∴∠90︒（），∴⊥（）．
（10）如图2-95，∠1=∠3，平分∠，求证：．
证明：∵平分∠（），
∴∠1=∠3（）．
∵∠1=∠2（），
∴∠3=∠2（），
∴（）．
3．计算题
（1）如图2-96，已知l//l，∠1=65︒，∠2=35︒，求∠x和∠y的度数．
12
（2）如图2-97，已知∠∠75︒，∠55︒．求∠的度数．
（3）如图2-98，已知3∠33.75︒，过∠内一点P作，，⊥．求2∠的度数．
43
（4）如图2-99，已知，∠1=3∠2，∠2=28︒．求1∠C．
2
（5）如图2-100，⊥，直线过O点，∠20︒．求∠的度数．
4．作图题．
已知∠α，∠β（∠α>∠β）,求作∠γ=1(∠α-∠β)．
2
解法发散
1．已知，试问∠∠∠360．（用两种以上方法判断）
2．如图2-101，已知∠∠∠，那么吗？为什么？（用四种方法判断）
变更命题发散
1．如图2-102，在折线中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长，交于点M．那么，∠∠3，为什么？
1．如图2-103，已知，∠1=∠2．试问∠∠吗？为什么？（提示：作辅助线）．
分解发散
如图2-104，，在直线，和上分别任取一点E、F．
（1）如图2-104，已知有一定点P在、之间，试问∠∠吗？为什么？
（2）如图2-105，如果、的外部有一定点P，试问
∠∠－∠吗？为什么？
（3）如图2-106，，是折线，那么∠∠∠∠∠G吗？简述你的理由．
转化发散
1．判断互为补角的两个角中，较小角的余角等于这两个互为补角的差的一半．2．已知点C在线段的延长线上，24，3，E是的中点，D是的中点，求的长．
8
迁移发散
平面上有10条直线，其中任何两条都不平行，而且任何三条都不经过同一点，这10条直线最多分平面为几个区域？
综合发散
1．线段14，C是上的一点，8，又D是上一点，1:2，E是的中点，求线段的长．
2．如图2-107，已知∠1=∠2=∠3，∠36︒，∠60︒，平分∠，求∠的度数．3．如图2-108，已知∠1=∠2，∠∠D，试问∠∠F吗？为什么？
4．如图2-109，已知⊥，⊥，∠4=∠C，那么∠1=∠2．谈谈你的理由．
( (
参考答案
【巩固基础训练】
题型发散
1 ． (1)(D) (2)(C) (3)(C) (4)(A) (5)(D) (6)(A) (7)(B)
(8)(B) (9)(A)
(10)(D)
2．(1)如果在同一平面内两条直线没有公共点，那么这两条直线平行．
(2)垂线段．
(3)40°、140°．
(4)垂直．
(5)①∠∠，(两直线平行，同位角相等)，∠1=∠2，∠∠(两直线平行，同旁内
角互补)．
②∥，(内错角相等，两直线平行)．
③∥，(同位角相等，两直线平行)．
(6)(等量代换)，∥， 内错角相等，两直线平行)， 已知)，∠2+∠3=180°，∥(如
两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．
(7)①∠1 和∠2 是同位角．∠1=∠2，则∥(同位角相等，两直线平行)；
②直线、被直线所截，因此∥，∠3=∠4(两直线平行，同位角相等)．
(8)∴ ∠2 = 1 ∠ABC (角平分线定义) 同理 ∠1 = 1 ∠BCD ． 2
2
∴ ∠1 + ∠2 = 1 (∠ABC + ∠BCD) (等式性质)． 2
又∵∥(已知)，
∴∠∠180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠1+∠2=90°(等量代换)．
(9)①如果∠∠，则∥，因为同位角相等，两直线平行．
②如果∠∠，则∥，因为内错角相等，两直线平行．
③如果∠∠180°，则∥，因为同旁内角互补，两直线平行．
(10)∴∠∠．
∴∥(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．
∴∠∠(两直线平行，内错角相等)．
3．(1)、与相交，∠与∠4是同旁内角，
∵∠2+∠3+∠4=∠∠4=180°．
∴∥(同旁内角互补，两直线平行)．
同理，∵∠1+∠2+∠5+∠∠5=180°，∴∥．
∴、在同—条直线上．
(经过直线外一点，有—条而且只有一条直线和这条直线平行)则、在A点处形成一个平角，
故∠1+∠2+∠3=180°．
(2)50°，50°(3)12°(4)25°，85°．
纵横发散
1．∵∥(已知)，
∴∠∠180°(两直线平行，同旁内角互补)．
又∵∠∠D(已知)，
∴∠∠180°(等量代换)．
故∥(同旁内角互补，两直线平行)．
2．∵∠1=∠2(已知)，
∴∥(同位角相等，两直线平行)，
∴∠∠180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∴∠3+∠4=(180°-∠)+(180°-∠)=360°-180°=180°(等量代换)．解法发散
1．(1)通过同位角相等，判断两直线平行．
(2)通过两条直线都和第三条直线垂直来判断这两条直线平行．解法1如图2-1′，∵⊥(已知)，
∴∠1=90°(垂直的定义)．
同理，∠3=90°，∴∠1=∠3．
又∵∥(已知)，
∴∠1=∠2(两条直线平行，同位角相等)，∴∠2=∠3(等量代换)．
∴∥(同位角相等，两直线平行)．
解法2∵⊥(已知)，
∴∠1=90°(垂直的定义)．
又∵∥(已知)，。