重庆市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试文科数学试题含答案

重庆市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试
文科数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.双曲线-=1的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
2.如图，如下放置的四个几何体中，其正视图为矩形的是（）
A. B. C. D.
3.若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为（）
A. ∈，
B. ∈，
C. ∈，
D. ∃ ∈，
4.已知点A（1，0），B（-1，0）．动点M满足|MA|-|MB|=2，则点M的轨迹方程是（）
A. B. C. D.
5.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，且A′B′=A′C′，
那么△ABC是（）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 钝角三角形
6.圆x2+y2-4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）
A. B. C. D.
7.已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，过点F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|=6，则|AF1|+|BF1|=（）
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
8.由直线y=x+2上的点向圆（x-4）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值为（）
A. B. C. D.
9.已知p：-2＜x＜5，q：x2+（a+2）x+2a＜0，若q是p的必要而不充分条件，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
10.设双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为2，则双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离为（）
A. B. 2 C. D. 4
11.过双曲线-=1右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；
当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是（）
A. B. C. D.
12.如图，若P为椭圆C：+=1（a＞b＞0）上一点，F（-2，0）为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直
径的圆与PF相切于中点，则椭圆C的方程为（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知双曲线方程为：-=1，则双曲线的上焦点的坐标是______．
14.将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的侧面积为______．
15.若a＞2，则双曲线-=1的离心率e的取值范围是______．
16.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，∠F1PF2=60°，记椭圆和双曲线的离心
率分别为e1，e2，则e12+e22的最小值是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x-m）≤0．
（1）求满足p为真时所有实数x的取值集合；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18.已知圆C：x2+y2+4y-21=0．
（1）判断点M（-3，-3）和点N（a，）（a∈R）在圆上、圆外、还是圆内？
（2）若过点M（-3，-3）的直线l被圆C所截得的弦长为8，求l的方程．
19.已知抛物线的顶点在原点，圆（x-2）2+y2=4的圆心恰是抛物线的焦点．
（1）求抛物线的方程；
（2）一直线的斜率等于2，且过抛物线的焦点，与抛物线相交于A，B两点，求△OAB的面积．
20.已知点P是圆x2+y2=2上一动点，作PD⊥x轴，垂足为D，且=．
（1）求动点M轨迹C的方程；
（2）已知直线l：y=2x+m（m＞0），P为轨迹C所表示的曲线上一动点，若点P到直线l距离的最小值为．求实数m的值．
21.已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点为F，直线l交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，D（x0，
y0）为AB的中点，且|AF|+|BF|=1+2x0．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若x1x2+y1y2=-1，求的最小值．
22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1）、P2（0，1）、P3（-1，）、P4（1，）
中恰有三点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C上存在不同的两点M、N关于直线x+y=1对称，求直线MN的方程；
（3）设直线l不经过点P2且与C相交于A、B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率之和为2，试问：直线l是否过定点？如过定点，求出定点坐标；如不过定点，说明理由．
参考答案
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】D
12.【答案】B
13.【答案】（0，5）
14.【答案】π
15.【答案】（，）
16.【答案】1+
17.【答案】（本题满分为10分）
解：（1）p为真时，|x+1|≤2，可得：，得：A=[-3，1]，…（5分）
（2）命题p对应的数集为A=[-3，1]，命题q对应的数集为B；
因为p是q的必要不充分条件，所以B⊊A，…（2分）
①m=-1时，满足B⊊A，∴m=-1，
②m＞-1时，m≤1，满足B⊊A，∴-1＜m≤1，
③m＜-1时，m≥-3，满足B⊊A，∴-3≤m＜-1，
综上得：-3≤m≤-1．…（3分）
【解析】
（1）p为真时，有已知可得：，即可阶段其取值集合；
（2）通过讨论m的范围，结合集合之间的关系，从而得到答案．
本题考查了复合命题的真假，考查了集合之间的关系，是一道基础题．
18.【答案】解：（1）根据题意，圆C：x2+y2+4y-21=0，其标准方程为x2+（y+2）2=25；
其圆心为（0，-2），半径r=5，
对于M（-3，-3），有（-3）2+（-3+2）2=10＜25，点M在圆内；
对于N，（a，），有a2+（+2）2＞25，点N在圆外；
（2）根据题意，由（1）的结论，圆C的圆心为（0，-2），半径r=5，
若过点M（-3，-3）的直线l被圆C所截得的弦长为8，则圆心C到直线l的距离d==3，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-3，圆心到直线l的距离d=3，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+3=k（x+3），即kx-y+3k-3=0，
若圆心到直线l的距离d=3，则=3，解可得k=-，
此时直线l的方程为y+3=-（x+3），即4x+3y+21=0；
综合可得：直线l的方程为x=-3或4x+3y+21=0．
【解析】
（1）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析其圆心与半径，结合点与圆位置关系的判断方法，分析可得答案；
（2）根据题意，由直线与圆的位置关系分析可得圆心C到直线l的距离d，分直线l的斜率不存在与存在2种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案．
本题考查点与圆、直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相交时弦长的计算，属于基础题．
19.【答案】解：（1）圆（x-2）2+y2=4的圆心坐标为（2，0），
即抛物线的焦点为F（2，0），…（2分）
∴p=4；…（1分）
∴抛物线方程为y2=8x．…（1分）
（2）由已知得直线AB的方程为y=2（x-2）；…（1分）
将y=2x-4代入y2=8x得x2-6x+4=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，…（2分）
|AB|=x1+x2+p=6+4=10；…（2分）
点O到直线AB：2x-y-4=0的距离为：
d==；…（2分）
∴△OAB的面积为×10×=4．…（1分）
【解析】
（1）求出圆心坐标，得出抛物线的焦点，从而求得抛物线的方程；
（2）写出直线AB的方程，与抛物线方程联立求得|AB|的值，再计算点O到直线AB的距离d，从而求出△OAB的面积．
本题考查了圆的方程与抛物线方程应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题．
20.【答案】解：（1）设M（x，y），P（x0，y0），则D（x，0），
∵=，即，，，
∴x0=x，，
又P在x2+y2=2上，∴ ，
∴x2+2y2=2，
∴动点M的轨迹方程为：；
（2）设P（，），
则P到直线l的距离为d==．
∵m＞0，∴当sin（θ-α）=-1时，d取得最小值．
即，解得m=8（m＞0）．
【解析】
（1）设M（x，y），P（x0，y0），则D（x，0），由向量等式可得x0=x，，把P的坐标代入
x2+y2=2，即可求得动点M的轨迹方程；
（2）设P（），由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值．
本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了椭圆参数方程的用法，是中档题．
21.【答案】解：（1）根据抛物线的定义知|AF|+|BF|=x1+x2+p，x1+x3=2x D，
∵|AF|+|BF|=1+2x D，
∴p=1，
∴y2=2x．
（2）设直线l的方程为x=my+b，代入抛物线方程，得y2-2my-2b=0，
∵x1x2+y1y2=-1，即，
∴y1y2=-2，即y1y2=-2b=-2，
∴b=1，
∴y1+y2=2m，y1y2=-2，
==，
，
∴，
令t=m2+1，t∈[1，+∞），
则；
即的最小值为．
【解析】
（1）根据题意，根据抛物线的定义知|AF|+|BF|=x1+x2+p，x1+x3=2x D，分析可得|AF|+|BF|=1+2x D，解可得p的值，代入抛物线的方程即可得答案；
（2）设直线l的方程为x=my+b，代入抛物线方程，得y2-2my-2b=0，由根与系数的关系分析可得b的值，由此表示|AB|，进而可以用m表示，由基本不等式的性质分析可得答案．
本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，关键是求出抛物线的标准方程．22.【答案】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1）、P2（0，1）、P3（-1，）、P4（1，）
结合椭圆几何特征，可得P2（0，1）、P3（-1，）、P4（1，）在椭圆上，
所以b=1，+=1，解得a=2，
∴椭圆C的方程为+y2=1．
（2）设直线MN为y=x+m，线段MN中点为D，
由点差法得，k MN•k CD=-，解得OD：y=-x，
联立x+y=1，解得中点D（，-），∴l MN：y=x-．
（3）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立椭圆C得（4k2+1）x2+8kbx+4b2-4=0，
∴ ，，
==2k•=2k-=2，
∴k=b+1，代入直线l得：y=kx+k-1，
∴直线过定点（-1，-1）．
当直线l斜率的不存在时，经检验得l也经过点（-1，-1），
综上得：直线l过定点（-1，-1）．。