2023年高考数学押题预测及答案解析(新高考Ⅰ卷)

2023年高考数学押题预测及答案解析（新高考Ⅰ卷）
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知集合{}1,3,5,7A =，{}12,N B x x x *
=-<<∈，则A B 中的元素个数为（
）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B
【详解】由题设{1}B =，所以{}1,3,5,7A B ⋃=，故其中元素共有4个.故选：B
2．已知，i 为虚数单位，则z =（）
A ．2i -+
B ．2i
-C ．2i
+D ．2i
--【答案】C
【详解】因为i 12i z
=-，则()i i 122i z ==+.故选：C.i
12i z
=-3．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布()2
120,N σ
，已
(140)0.2P X >=，则[100,140]X ∈的学生人数为（
）
A ．5
B ．10
C ．20
D ．30
【答案】D
【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布()2
120,N σ，所以期末考试数学成
绩关于120μ=对称，
则(140)(100)0.2P X P X >=<=，所以(100140)0.6P X ≤≤=，
所以[100,140]X ∈的学生人数为：0.65030⨯=人.故选：D.
4．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形，122AA AB ==，M 为1AA 的中点，则过点M ，D 和1B 的平面截直四棱柱1111ABCD A B C D -所得截面的面积为（）
A ．
B ．
C D
【答案】D 【详解】如图，
过点D 作1MB 的平行线，交1CC 于点F ，则F 为1CC 的中点，连接1FB ，则过点M ，
D 和1B 的平面截直四棱柱1111ABCD A B C D 所得截面即四边形1DFB M ．
易得11DF FB MB MD ====1DFB M 为菱形，连接MF ，
则
1DB MF ⊥，又1DB ==M F =
=
所以截面面积为12
=故选：D ．
5．已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>，若0ππ,43x ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦
使得()f x 的图象在点
()()0
,x f x 处的切线与x 轴平行，则ω的最小值是（
）
A ．
34
B ．1
C ．
32
D ．2
【答案】A
【详解】(
)πsin cos sin 4f x x x x ωωω⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
，
因为0ππ,43x ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦
使得()f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴平行，
所以函数()f x 在ππ
,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在最值，即函数()f x 在ππ
,43⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上存在对称轴，
令πππ,42
x k k ω+=+∈Z ，得π
π
,4k x k ω
ω
=+
∈Z ，因为π
π4
3
x -≤≤，所以ππ
ππ4
43
k ω
ω-≤
+
≤，即111443k ωω-≤+
≤，则33,441
k k k ωω⎧
≥+
⎪∈⎨⎪≥--⎩Z ，又0ω>，故0k =时，ω取最小值为34
，故选：A
6．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>上顶点A 与右顶点C 连线与
过下顶点B 和右焦点F 的直线交于点P ，若APB ∠为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A
．⎫
⎪⎪⎝⎭
B
．⎛
⎝⎭
C
．⎫
⎪⎪⎝⎭
D
．⎛
⎝
⎭
【答案】D
【详解】设椭圆的半焦距为c ，
由题意可得：()()()()0,,0,,,0,,0A b B b C a F c -，
可得：()(),,,FB c b AC a b =--=-uu r uuu r
，
由图可得：∠APB 即为,FB AC uu r uuu r
的补角，若∠APB 为钝角，即,FB AC uu r uuu r
为锐角，
由图可知
,0FB AC ≠uu r uuu r ，故原题意等价于2220FB AC ac b ac a c ⋅=-+=-+->uu r uuu r ，
整理得210e e +-<，且01e <<，解得0e <<
，
所以椭圆的离心率的取值范围是⎛ ⎝⎭
.故选：D.
7．已知()e ln 2x
f x x =++，若0x 是方程()()e f x f x -'=的一个解，则0x 可能存在的
区间是（）
A ．()0,1
B ．()
1,2C ．()
2,3D ．()
3,4【答案】C
【详解】()1e x f x x
'=+，所以()()11
e ln 2e ln 2x
x f x f x x x x x ⎛⎫-=++-+=-+ ⎪⎝⎭
'，
因为0x 是方程()()e f x f x -'=的一个解，
所以0x 是方程1
ln 2e 0x x
-+-=的解，令()1ln 2e g x x x
=-+-，则()21
1
'=+
g x x
x ，当0x >时，
()2
110g x x x '=+>恒成立，
所以()1ln 2e g x x x
=-+-单调递增，
又()()13152ln22e ln2e 0,3ln32e ln3e 02
2
3
3
g g =-+-=+-<=-+-=+->，所以0(2,3)x ∈.故选：C.
8．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120 ；当三角形有一内角大于或等于120 时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知,,a b c 分别是ABC 三个内角,,A B C 的对边，且
22()6b a c --=，
cos sin 2cos 6A C B π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，若点P 为ABC 的费马点，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=
（
）
A ．6-
B ．4
-C ．3
-D ．2
-【答案】C
【详解】1cos 2sin cos ,cos 2sin cos cos 62A C B A C C B π⎫⎛
⎫=-∴=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
Q ,
即cos cos cos cos A C B C B =-,
又A B C π++=cos cos()cos cos sin sin A B C B C B C ∴=-+=-+,
cos cos sin sin cos cos cos B C B C C B C B ∴-+=-,
即sin sin cos B C C B =,
sin sin 0,tan
cos B C B B
≠∴=
=Q 又(0,),3B B π
π∈∴=.
由三角形内角和性质知：△ABC 内角均小于120°，结合题设易知：P 点一定在三角形的内部，
再由余弦定理知,2221
cos 22a c b B ac +-=
=,22()6,6b a c ac =-+∴=Q ,12121211
sin sin sin sin 6sin 232323223ABC S PA PB PB PC PA PC ac B ππππ∴=
⋅+⋅+⋅==⨯⨯V ,
6PA PB PB PC PA PC ∴⋅+⋅+⋅=.
由6PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=等号左右两边同时乘以2cos
3
π
可得：2222cos
cos cos 6cos 3333
PA PB PB PC PA PC ππππ
⋅+⋅+⋅=⨯，∴26cos 33
PA PB PB PC PA PC π⋅+⋅+⋅=⨯=-uu r uu r uu r uu u r uu r uu u r .
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．2022年6月，某学校为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，对100名学生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，为进一步了解学生的答题情况，通过分层抽样，从成绩在区间[70,90)内的学生中抽取6人，再从这6人中先后抽取2人的成绩作分析，下列结论正确的是（
）
A ．频率分布直方图中的0.030x =
B ．估计100名学生成绩的中位数是85
C ．估计100名学生成绩的80%分位数是95
D ．从6人中先后抽取2人作分析时，若先抽取的学生成绩位于[)70,80，则后抽取的学生成绩在[)80,90的概率是415
【答案】AC
【详解】对于A ：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得
10(0.0050.010.0150.040)1x ⨯++++=，解得0.030x =，故
A 正确；
对于B ：全校学生成绩的中位数为
()()00050010001510=030500050010001510=0605........x ..++⨯<+++⨯>，，
故中位数位于[]8090，
之间，故中位数为()2
260
809080=3
3
+´-，故B 错误，对于C ：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为0.2
9010950.4
+⨯=分，故C 正确．
对于D ：在被抽取的学生中，成绩在区间[70，80)和[)80,90的学生人数之比为
100.0151
100.0302
⨯=⨯，故[)70,80抽取了
2人，[)80,90中抽取了4人，先抽取的学生成绩位
于[)70,80，则第二次抽取时，是在5个人中抽取，而此时学生成绩在[)80,90的个数有4个，故概率为45
，故D 不正确，故选：AC
10．已知3()()f x x g x =为定义在R 上的偶函数，则函数()g x 的解析式可以为（）
A ．1()lg
1x g x x +=-B ．()33x x g x -=-
C ．11()221
x g x =++D ．)
()ln
g x x
=+【答案】BD
【详解】因为3()()f x x g x =是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数.
对于A ，定义域为(1,1)-，所以不满足题意；
对于B ，定义域为R ，()33()x x g x g x --=-=-，符合题意；
对于C ，定义域为R ，111231
()()221212212
x x x x
g x g x --=+=+=-≠-+++，不符合题意；
对于D ，定义域为R ，)
()ln
g x x -=，而
))
()()ln
ln
0g x g x x x -+=+=，符合题意.
故选：BD.
11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为边AD 的中点，点P 为线段1D B 上的动点，设11D P D B λ=，则（
）
A ．当13
λ=时，EP //平面1AB C
B ．当12
λ=时，PE 取得最小值，其值为
C ．PA PC +
D ．当1C ∈平面CEP 时，14
λ=
【答案】BC
【详解】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示的空间直角坐标系，
11(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(1,0,0)A B C D B E ，111()2,22,(2,,22),D D P D B B λλλλ==-=-
，则点(2,2,22)P λλλ-，
对于A ，13λ=，224(,,)333P ，124
(,,333
EP =- ，而1(2,2,0),(0,2,2)AC AB =-= ，
显然1112(2)22)0,22220D B AC D B AB ⋅=⨯-+⨯=⋅=⨯-⨯= ，即1D B
是平面1AB C 的一个法向量，
而10124
(22323
)3(EP D B -⨯⋅=-+⨯⨯≠+ ，因此EP 不平行于平面1AB C ，即直线EP 与平
面1AB C 不平行，A 错误；
对于B ，(21,2,22)EP λλλ-=-
，则
||EP ，
因此当1
2
λ=时，PE
B 正确；对于
C ，(22,2,22),(2,22,22)AP PC λλλλλλ-=--=--
，
于是||||3
AP PC += ，当且仅当23λ=
时取等号，C 正确；
对于D ，取11A D 的中点F ，连接1,,EF C F CE
，如图，
因为E 为边AD 的中点，则11////EF DD CC ，当1C ∈平面CEP 时，P ∈平面1CEFC ，连接111B D C F Q = ，连接BD CE M = ，连接MQ ，显然平面1CEFC 平面
11BDD B MQ =，
因此1MQ D B P = ，111//,BB CC CC ⊂平面1CEFC ，1BB ⊄平面1CEFC ，则1//BB 平面
1CEFC ，
即有1//MQ BB ，而
1111112D Q D F QB B C ==，所以111111
3
D P D Q D B D B λ===，D 错误.
故选：BC
12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为坐标原点，()2,0B ，点列P 在圆2
221639x y ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭上，若对于*n ∀∈N ，存在数列{}n a ，16a =，使得1
42
221
n
n PB a n PA a n -⋅+=
⋅-，则下列说法正确的是（
）
A ．{}n a 为公差为2的等差数列
B ．{}n a 为公比为2的等比数列
C ．2023202340472a =⋅
D ．{}n a 前n 项和()1
2212
n n S n +=+-⋅【答案】CD
【详解】对AB ，由点列P 在圆2
221639x y ⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭上，则由参数方程得
424cos ,333P θθ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
，则2
2
222
4428064sin cos 2cos 3339942016442cos sin cos 9933
3θθθPB PA θ
θθ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴
2PB
PA
=.对于*
n ∀∈N
，存在数列{}n a ，16a =，使得1
42221n
n PB a
n PA a
n -⋅+=
⋅-，即1
42
21n n a n a n -+=-①，146
21
n n a n a n ++=+②，①②两式相除得()()()
()()2
2
11
12121232112112121n n n n n n n n a a a a n n n
a n a -++--+⎛⎫
=⇒⋅= ⎪-+++⋅+⎝⎭+，令21n n a b n =
+，则211n n n b b b -+⋅=，则{}n b 为以首项1
12211
a b =
=´+，公比为11124222112121212121
n n n n n n n a b a n n n q a b a n n n n -----+===⋅=--+=++⋅的等比数列.
则
()221221
n n n
n n a b a n n ==⇒=+⋅+，AB 错；对C ，()220232023203
2202312
40472a =⋅⨯+⋅=，C 对；
对D ，()123252212n
n S n =⨯+⨯+++ ，
()23123252212n n S n +=⨯+⨯+++ ，
两式相减得，()1231
32222222212
n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+ ()()()()12311112122222212212221212
n n n n n n n n +++++-=++++-+=
-+=---⋅- .
∴()1
2212n n S n +=+-⋅，D 对.
故选：CD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分,其中第16题第一空2分，第二空3分．
13．已知向量a ，b 的夹角为3
π，且||4,||2a b == ，则向量2a b +
在向量a 上的投影
向量为__________.(用a
表示)
【答案】32
a
【详解】∵a b ，夹角为π
3
，4a = ，2b = ∴
22π1(2)||2||||cos 42422432
a b a a a b +⋅=+=+⨯⨯⨯= ，∴所以向量2a b + 在向量a 方向上的投影向量为(2)243||||442a b a a a a a a +⋅⋅=⨯=
.故答案为：32
a
.
14．已知函数()()3215
23
3
f x x f x x '=-+-，则曲线()y f x =在()()22f ,处的切线方程
为__________.【答案】30
x y --=【详解】因为()()32
15233
f x x f x x '=-+-，所以2()=2(2)1f x x x f '-'+，
则(2)=4(2)14f f '-'+，所以(2)=1f '；
所以()321
533f x x x x =-+-，所以85(2)42133
f =-+-=-，
曲线()y f x =在()()22f ,处的切线方程为()12y x --=-，即30x y --=.故答案为：30x y --=.
15．冰雹猜想是指：一个正整数x ，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就析出偶数因数2n ，这样经过若干次，最终回到1．问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题，已知正整数列{}n a 满足
*1*31,N 2
,N 22n n n n n a a a a a +⎧
+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，若存在首项150a <，使得101a =，已知()11,2,...9i a i ≠=，则
1a =___________.（写出一个满足条件的值即可）
【答案】12或13（只填写一个即可）
【详解】*
1*31,N 2
,N 22
n n n n n a a a a a +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩ ，101a =，
所以若9a 是偶数，则91022a a ==，若9a 是奇数，则1091
03
a a -=
=，与已知矛盾，故92a =；
所以若8a 是偶数，则8924a a ==，若8a 是奇数，则9811
33
a a -=
=，与已知矛盾，故
84a =；
所以若7a 是偶数，则7828a a ==，若7a 是奇数，则871
13
a a -=
=，与已知矛盾，故78a =；所以若6a 是偶数，则67216a a ==，若6a 是奇数，则7618
33
a a -=
=，与已知矛盾，故616a =；
所以若5a 是偶数，则56232a a ==，若5a 是奇数，则651
53
a a -=
=，故632a =或5；余下推导用图表示可得：()()()()512128256326485214284124816802040510133612⎧⎧⎧⎪⎪⎪←←⎨⎪←←⎪⎨⎪⎩⎪⎪←←⎪⎪⎩←←←←⎨
⎧⎪⎧⎪←←⎪⎪
⎨←⎨⎪⎪⎩
⎪⎪
←←⎩⎩
舍舍舍舍故答案为：12或13（只填写一个即可）
16．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角ABC 外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC 三边翻折后交于点P .若3AB =，则sin PAC ∠=___________；若::6:5:4AC AB BC =，则
PA PB PC ++的值为
___________.
【答案】
4
23
4
/5.75【详解】设外接圆半径为R ，则2R =，由正弦定理，可知
3
24sin sin AB R ACB ACB
∠∠===，
即3sin 4
ACB ∠=，由于ACB ∠
是锐角，故cos 4
ACB ∠=
，又由题意可知P 为三角形ABC 的垂心，即⊥AP BC ,故π2
PAC ACB ∠∠=-，
所以sin cos 4
PAC ACB ∠∠==
；设,,CAB CBA ACB ∠θ∠α∠β===，
则π
ππ,,2
2
2
PAC PBA PAB ∠β∠θ∠α=-=-=-，
由于::6:5:4AC AB BC =，不妨假设6,5,4AC AB BC ===，
由余弦定理知222222222654345614659
cos ,cos ,cos 2654245824616
θαβ+-+-+-=
=====⨯⨯⨯⨯⨯⨯，设AD,CE,BF ππ,22
ECB EBC PCD CPD ∠+∠=∠+∠=,故EBC CPD ∠=∠
,
则得πππAPC CPD EBC ABC ∠∠∠=-∠=-=-，
所以24
ππsin sin sin sin 22PC PA AC AC
R APC ABC ∠∠βθ=====⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
同理可得24
πsin sin sin 2PB AB AB
R APB ACB ∠∠α====⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
所以()31923
4cos cos cos 448164
PA PB PC θαβ⎛⎫++=++=++=
⎪⎝⎭,
；234四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A 级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A 级旅游景区首道门票至少半价优惠．本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的22⨯列联表：
不满意
满意总计
50周岁及以下55
50周岁以上
15
总计
100
(1)根据统计数据完成以上22⨯列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？
(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及
以上景区的人数为X ，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率．
①求X 的分布列和数学期望；②求()11P X -≤．
参考公式及数据：()()()()()
2
2n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．
()
2P k αχ=≥0.1000.0500.0100.001
k
2.706
3.841
6.63510.828
【答案】(1)补全的22⨯列联表见解析；有关；(2)①分布列见解析；() 2.7E X =；②0.271
【详解】（1）由题意，抽取的100人年龄在50周岁及以下的有60人，则年龄在50周岁以上的有40人，补全的22⨯列联表如下：
则2
12.7610.82820806040
χ⨯⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯.所以在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联.
（2）①由题意可得，游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9，则(3,0.9)X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3，
033(0)C 0.10.001P X ==⨯=，12
3(1)C 0.90.10.027P X ==⨯⨯=，
223(2)C 0.90.10.243P X ==⨯⨯=，333(3)C 0.90.729P X ==⨯=，
所以X 的分布列如下：
X
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
因为，所以数学期望()30.9 2.7E X =⨯=.
②()(11)(0)(1)(2)13P X P X P X P X P X -≤==+=+==-=10.7290.271=-=.18．从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
①)222
S b c a =
+-，其中S 为ABC 的面积，②sin sin sin a b c b C A B +-=-，
cos c b C C a
++=
．在ABC 中，角A ，B ，C 对应边分别为a ，b ，c ，_______________．(1)求角A ；
(2)若D 为边AB 的中点，CD =b c +的最大值．
【答案】(1)π
3A =(2)
【详解】（1）选①，由余弦定理得：2222cos b c a bc A +-=，
又1sin 2
S bc A =，所以1sin 2cos 24
bc A bc A =⨯，
得
tan A =因为0πA <<，所以π
3A =．选②，因为
sin sin sin a b c b C A B +-=-，由正弦定理得：a b c b
c a b
+-=-，
整理得：222
b c a bc
+-=，
由余弦定理得：
2221 cos
22
b c a
A
bc
+-
==，
因为0π
A
<<，所以
π
3
A=．
cos c b
C C
a
+
+=
sin sin
cos
sin
C B
C C
A
+
+=，
sin cos sin sin sin
C A C A C B
+=+，
又因为π
A C B
+=-，
所以()
sin sin sin cos sin cos
B A
C A C C A
=+=+，
sin sin cos sin
C A C A C
-=，
因为0π
C
<<，所以sin0
C≠，
π
cos2sin1
6
A A A⎛⎫
-=-=
⎪
⎝⎭
，
因为0π
A
<<，所以π
ππ5
666
A
-<-<，
所以
ππ
66
A-=，即π
3
A=．
（2）在ACD
中，设ADCθ
∠=，
由正弦定理得
4
2π
sin sin
3
AC AD
θθ
==
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，
所以4sin
ACθ
=，
2π
4sin
3
ADθ
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
，
∴(
)
2π
4sin8sin8sin444
3
b cθθθθθϕ
⎛⎫
+=+=+=+≤
⎪
⎝⎭
其中tan
2
ϕ=，当
π
2
θϕ
+=时取等号，所以b c+
的最大值是
19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123n n S a +=-，且13a =.(1)求{}n a 的通项公式；
(2)已知13log ,,n n n a n b a n ⎧⎪
=⎨⎪⎩为奇数为偶数
，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】(1)3n
n a =(2)()()
2
1
21193,884
931,8
4n n n
n n T n n +⎧+⨯--
⎪⎪=⎨
⎪--⎪⎩为奇数为偶数【详解】（1）∵123n n S a +=-，则有：当1n =时，12236S a =-=，解得29a =；当2n ≥时，则123n n S a -=-，
两式相减得12n n n a a a +=-，即13n n a a +=；注意到211,330a a a ==≠，故()*
13n n a a n +=∈N ，
∴{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，故1333n n n a -=⨯=.（2）由（1）得,3,n n
n n b n -⎧=⎨
⎩
为奇数
为偶数，当n 为偶数时，()()
1213124n n n n T b b b b b b b b b -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()
24131333n n =-++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()2919112219
n
n n ⎛⎫- ⎪⎡⎤⋅+-⎣⎦⎝⎭=-+
-()
2
93184
n n =--；
当n 为奇数时()
()211111931384n n n n n n T T b +++++=-=---()2
11193884
n n ++=⨯--
；综上所述：()()
2
12119
3,884
931,8
4n n n
n n T n n +⎧+⨯--
⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩为奇数为偶数.
20．如图1，在四边形ABCD 中，BC CD ⊥，//AE CD ，AE =BE =2CD =2
，CE 将四边形AECD 沿AE
折起，使得BC =2所示的几何体
.
(1)若G 为AB 的中点，证明：DG ⊥平面ABE ；(2)若F 为BE 上一动点，且二面角B AD F --
EF EB 的值.
【答案】(1)证明见解析(2)
1
4
【详解】（1）如图，取BE 的中点O ，连接OC ，OG ，则//OG AE ，12
=OG AE ，因为//CD AE ，1
2
CD AE =，故//CD OG 且CD =OG ，所以四边形CDGO 为平行四边形，则//DG CO .
因为AE CE ⊥，AE EB ⊥，CE EB E ⋂=，,CE EB ⊂面BCE ，所以⊥AE 平面BCE ，CO ⊂面BCE ，所以AE CO ⊥.因为BC =CE ，所以BE CO ⊥.
因为BE AE E = ，,BE AE ⊂面ABE ，所以CO ⊥平面ABE ，所以DG ⊥平面ABE
.
（2）如图，过点E 作直线//l DG ，则直线l ⊥面ABE ，,AE EB ⊂面ABE ，又AE EB ⊥，所以直线l ，EA ，EB 两两相互垂直，
以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()0,2,0B
，
(C
，(D ，
设()()0,,002F t t ≤≤
，则(AD =- ，()2,2,0AB =- ，()02,,0AF t =-
.
设面ADF 的一个法向量为()111,,m x y z =
，则111110
20AD m x y AF m x ty ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
，令12y =，
则)2,2,2t m t ⎛⎫
-= ⎪ ⎪⎝⎭
.设面ABD 的一个法向量为()222,,x n y z =
，则222220
220
AD n x y AB n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
，令21x =，则()1,1,0n =r
，所以
cos ,43m n m n m n ⋅==
，解得1
2
t =或8（舍去），
故
1
4
EF EB =.21．如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A 处，另一端固定在画板上点F 处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C 的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P 处，此时，30,90FAP AFP ∠∠=︒=︒.设直尺边沿所在直线为a ，以过F 垂直于直尺的直线为x 轴，以过F 垂直于a 的垂线段的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C 的方程；
(2)斜率为k 的直线过点(0,3)D -，且与曲线C 交于不同的两点M ，N ，已知k 的取值范围为(0,2)，探究：是否存在λ，使得DM DN λ=
，若存在，求出λ的范围，若不存在，说明理由.【答案】(1)23y x =；
(2)存在1
(0,(4,)4
λ∈⋃+∞，使得DM DN λ= 成立.
【详解】（1）依题意，笔尖到点F 的距离与它到直线a 的距离相等，因此笔尖留下的轨迹为以F 为焦点，a 为准线的抛物线，设其方程为
22(0)y px p =>，
则(,0)2
p F ，由30,90,||||3FAP AFP PF PA ︒︒∠=∠=+=，得2,1PA PF PF ==
，
由60FPA ︒∠=得点P 的横坐标122p -，而抛物线的准线方程为2p x =-，则11222
p p
-+=，解得3
2
p =，
所以轨迹C 的方程为23y x =.
（2）假设存在λ，使得DM DN λ=
，设()()1122,,,M x y N x y ，直线l 的方程为3y kx =-
，
由233y kx y x
=-⎧⎨=⎩消去y 得：22(63)90k x k x -++=，而(0,2)k ∈，22(63)363690k k k ∆=+-=+>，12122
2639
,k x x x x k k
++=
=，2
2
2121222112263(
)(14249)k x x x x k x x x x k k k
++++==++，由DM DN λ= 得12x x λ=，即12x x λ=，于是21
142k k λλ
+
=
++，令11(,)2t k =∈+∞，22
214242(2)2t t t k k ++=++=+-17(,)4
∈+∞，
因此1
174
λλ
+
>
，又0λ>，即217104λλ-+>，解得1
04λ<<或4λ>，
所以存在1
(0,(4,)4
λ∈⋃+∞，使得DM DN λ= 成立.
22．已知函数()()2ln R 2
a
f x x x x x a a =--+∈，()f x '为()f x 的导函数．(1)当12
a =时，若()()g x f x ='在[[],1(0)t t t +>上的最大值为()h t ，求()h t ；
(2)已知12,x x 是函数f （x ）的两个极值点，且12x x <，若不等式112e m m
x x +<恒成立，
求正数m 的取值范围．
【答案】(1)11ln(1),01,22()ln 21,12,
1
ln , 2.
2t t t h t t t t t ⎧
+--<≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎩
(2)[1,)
+∞【详解】（1）当12a =时，(2
11ln 42
f x x x x =--+，其定义域为（0，＋∞），
且()1ln 112f x x x =+--'1ln 2x x =-，所以()1ln 2
g x x x =-，所以()112(0)2
2x
g x x x
x
'-=-=
>，令()0g x '>，得02x <<；令()0g x '<，得2x >，所以()g x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减．①当12t +≤，即01t <≤时，()g x 在[t ，t ＋1]上单调递增，所以()()()()max 111ln 122
h t g x g t t t ==+=+--；
②当2,12t t ≤+>，即12t <≤时，()()()max 2ln21h t g x g ===-；
③当2t >时，g （x ）在[t ，t ＋1]上单调递减，所以()()()max 1
ln 2
h t g x g t t t ===-，
综上所述11ln(1),01,22()ln 21,12,
1
ln , 2.
2t t t h t t t t t ⎧
+--<≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎩
（2）因为112e m m
x x +<，所以121ln ln m x m x +<+，
由题意知()f x 的定义域为(0,),+∞()ln f x x ax '=-，故12,x x 是关于x 的方程()ln 0f x x ax '=-=的两个根，所以()()111222ln 0,ln 0f x x ax f x x ax ='-=-'==，即1122ln ,ln x ax x ax ==，所以121ln ln m x m x +<+，
等价于()12121m ax max a x mx +<+=+．
因为120,0m x x ><<，所以原式等价于121m
a x mx +>+，
又1122ln ,ln x ax x ax ==，作差，得()1
122
ln
x a x x x =-，即1212ln
x x a x x =-，所以原式等价1
1212
2ln 1x
x m x x x mx +>-+，
因为120x x <<，所以()()121212
1ln
m x x x x x mx +-<+恒成立．
令1
2x t x =，则(0,1)t ∈，
故不等式()()
11ln m t t t m
+-<
+在(0,1)t ∈上恒成立，
令()()
11()ln m t t t t m
ϕ+-=-
+．
又因为()()()()()
()
2
222
111t t m m t t t m t t m ϕ--+'=-=++，当21m ≥时，得(0,1)t ∈，所以()0t ϕ'>在(0,1)上单调递增，又()10ϕ=，所()0t ϕ<在(0,1)上恒成立，符合题意；
当21m <时，可得2(0,)t m ∈时，()0t ϕ'>，()2
,1t m ∈时，()0t ϕ'<，
所以()t ϕ在2(0,)m 上单调递增，在2(,1)m 上单调递减，又因为()10ϕ=，
所以()t ϕ在(0,1)上不能恒小于0，不符合题意，舍去．
综上所述，若不等式112e m m
x x +<恒成立，
只需满足21m ≥，又0m >，故m 1≥，即正数m 的取值范围为[1,)+∞．。