2010-2019十年高考数学真题分类汇编专题08 数列 学生版解析版

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十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题 08 数列
一、选择题
1.(2019·全国 1·理 T9)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.已知 S 4=0,a 5=5,则(
)
A.a n =2n-5
C.S n =2n 2-8n
B.a n =3n-10
D.S n =1n 2-2n
2.(2019·浙江·T10)设 a,b∈R,数列{a n }满足 a 1=a,a n+1=a n +b,n∈N *,则(
)
A.当 b=1时,a 10>10
C.当 b=-2 时,a 10>10
B.当 b=1时,a 10>10
D.当 b=-4 时,a 10>10
3.(2018·全国 1·理 T4)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和,若 3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则 a 5=( )
A.-12
B.-10
C.10
D.12
4.(2018·浙江·T10)已知 a 1,a 2,a 3,a 4 成等比数列,且 a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若 a 1>1,则(
)
A.a 1<a 3,a 2<a 4
B.a 1>a 3,a 2<a 4
C.a 1<a 3,a 2>a 4
D.a 1>a 3,a 2>a 4
5.(2018·北京·理 T4 文 T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比
例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从
第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12√2.若第一个单音的频率为 f,则第
八个单音的频率为(
)
A. √2f
B. √
22f C. 12√25f
D. 12√27f
6.(2017·全国 1·理 T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴
趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动 .这款软件的激活码为下面数学问题的答案 :已知数列
1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,22,
依此类推.求满足如下条件的最小整数 N:N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码
是(
)
A.440
B.330
C.220
D.110
7.(2017·全国 3·理 T9)等差数列{a n }的首项为 1,公差不为 0.若 a 2,a 3,a 6 成等比数列,则{a n }前 6 项的和为
(
)
A.-24
B.-3
C.3
D.8
8.(2016·全国 1·理 T3)已知等差数列{a n }前 9 项的和为 27,a 10=8,则 a 100=(
)
2
B.19
2
C.10
D.12
2
D.1
2
D.n (n -1)
3
B.-1
3
C.1
9
D.-1
4
3
2 2
A.100
B.99
C.98
D.97
9.(2015·浙江·理 T13)已知{a n }是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 S n ,若 a 3,a 4,a 8 成等比数列,则(
)
A.a 1d>0,dS 4>0
B.a 1d<0,dS 4<0
C.a 1d>0,dS 4<0
D.a 1d<0,dS 4>0
10.(2015·全国 2·文 T5)设 S n 是等差数列{a n }的前 n 项和,若 a 1+a 3+a 5=3,则 S 5=( )
A.5
B.7
C.9
D.11
11.(2015·全国 1·文 T7)已知{a n }是公差为 1 的等差数列,S n 为{a n }的前 n 项和.若 S 8=4S 4,则 a 10= (
A.17
12.(2015·全国 2·理 T4)已知等比数列{a n }满足 a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则 a 3+a 5+a 7=(
)
A.21
B.42
C.63
D.84
13.(2015·全国 2·文 T9)已知等比数列{a n }满足 a 1=1,a 3a 5=4(a 4-1),则 a 2=(
)
A.2
B.1
C.1
8 14.(2014·大纲全国·文 T8)设等比数列{a n }的前 n 项和为 S n .若 S 2=3,S 4=15,则 S 6=(
)
A.31
B.32
C.63
D.64
15.(2014·全国 2·文 T5)等差数列{a n }的公差为 2,若 a 2,a 4,a 8 成等比数列,则{a n }的前 n 项和 S n =(
A.n(n+1)
B.n(n-1)
C.n (n+1)
2
16.(2013·全国 2·理 T3)等比数列{a n }的前 n 项和为 S n .已知 S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则 a 1=(
)
A.1
9
17.(2013·全国 1·文 T6)设首项为 1,公比为2的等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ,则(
)
A.S n =2a n -1
B.S n =3a n -2
C.S n =4-3a n
D.S n =3-2a n
18.(2013·全国 1·理 T12)设 A △n B n C n 的三边长分别为 a n ,b n ,c △n , A n B n C n 的面积为 S n ,n=1,2,3,….若
b 1>
c 1,b 1+c 1=2a 1,a n+1=a n ,b n+1=c n +a n ,c n+1=b n +a n ,则(
)
A.{S n }为递减数列
B.{S n }为递增数列
C.{S 2n-1}为递增数列,{S 2n }为递减数列
)
)
2.(2019·全国
3·理 T14)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.若 a 1≠0,a 2=3a 1
,则S 10
= .
4
3 4
1 S
4 4
D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列
19.(2013·全国 1·理 T7)设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,若 S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则 m= ( )
A.3
B.4
C.5
D.6
20.(2012·全国·理 T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则 a 1+a 10=(
)
A.7
B.5
C.-5
D.-7
21.(2012·全国·文 T12)数列{a n }满足 a n+1+(-1)n a n =2n-1,则{a n }的前 60 项和为(
)
A.3 690
B.3 660
C.1 845
D.1 830
二、填空题
1.(2019·全国 3·文 T14)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.若 a 3=5,a 7=13,则 S 10=
. S 5
3.(2019·江苏·T8)已知数列{a n }(n∈N *)是等差数列,S n 是其前 n 项和.若 a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则 S 8 的值是
. 4.(2019·北京·理 T10)设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n .若 a 2=-3,S 5=-10,则 a 5= ,S n 的最小值为
.
5.(2019·全国 1·文 T14)记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若 a 1=1,S 3=3,则 S 4=
.
6.(2019·全国 1·理 T14)记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若 a 1=1 , a 2=a 6,则 S 5=________.
7.(2018·全国 1·理 T14)记 S n 为数列{a n }的前 n 项和.若 S n =2a n +1,则 S 6=
.
8.(2018·北京·理 T9)设{a n }是等差数列,且 a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为
.
9.(2018·上海·T10)设等比数列{a n }的通项公式为 a n =q n-1(n∈N *),前 n 项和为 S n ,若 lim a S n = 2,则 q=.
n →∞ n+1
10.(2018·江苏·T14)已知集合 A={x|x=2n-1,n∈N *},B={x|x=2n ,n∈N *}.将 A∪B 的所有元素从小到大依次
排列构成一个数列{a n }.记 S n 为数列{a n }的前 n 项和,则使得 S n >12a n+1 成立的 n 的最小值为 .
n
11.(2017·全国 2·理 T15)等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,a 3=3,S 4=10,则 ∑ 1 =____________.
k=1 k 12.(2017·全国 3·理 T14)设等比数列{a n }满足 a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则 a 4=
.
13.(2017·江苏·理 T9 文 T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前 n 项和为 S n .已知 S 3=7,S 6=63,则 a 8=.
14.(2016·浙江·理 T13 文 T13)设数列{a n }的前 n 项和为 S n ,若 S 2=4,a n+1=2S n +1,n∈N *,则 a 1=
,S 5= .
15.(2016·北京·理 T12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前 n 项和.若 a 1=6,a 3+a 5=0,则 S 6= . 16.(2016·全国 1·理 T15)设等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则 a 1a 2…a n 的最大值为
.
17.(2015·全国 1·文 T13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前 n 项和.若 S n =126,则 n=
.
18.(2015·湖南·理 T14)设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和,若 a 1=1,且 3S 1,2S 2,S 3 成等差数列,则 a n =
.
19.(2015·福建·文 T16)若 a,b 是函数 f(x)=x 2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且 a,b,-2 这三个数可适
a n =n+1(n∈N ).则数列{ }前 10 项的和为____________.*
1
27.(2014·全国
2·文 T16)数列{a n }满足 a n+1=
,a 8=2,则 a 1=____________.1
3 3
当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于
.
20.(2015·江苏·理 T11)设数列{a n }满足 a 1=1,且 a n+1-
a n
21.(2015·全国 2·理 T16)设 S n 是数列{a n }的前 n 项和,且 a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则 S n =
.
22.(2015·广东·理 T10)在等差数列{a n }中,若 a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则 a 2+a 8=
.
23.(2015·陕西·文 T13)中位数为 1 010 的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列的首项为 .
24.(2014·江苏·理 T7)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若 a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则 a 6 的值是
.
25.(2014 · 广 东 · 文 T13) 等 比 数 列 {a n } 的 各 项 均 为 正 数 , 且
a 1a 5=4, 则
log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=
.
26.(2014·安徽·理 T12)数列{a n }是等差数列,若 a 1+1,a 3+3,a 5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q=
.
1-a n
28.(2014·北京·理 T12)若等差数列{a n }满足 a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当 n=
时,{a n }的前 n 项和最大.
29.(2014·天津·理 T11)设{a n }是首项为 a 1,公差为-1 的等差数列,S n 为其前 n 项和.若 S 1,S 2,S 4 成等比数列, 则 a 1 的值为
.
30.(2013·全国 2·理 T16)等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,已知 S 10=0,S 15=25,则 nS n 的最小值为
.
31.(2013·辽宁·理 T14)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前 n 项和.若 a 1,a 3 是方程 x 2-5x+4=0 的两 个根,则 S 6=
.
32.(2013·全国 1·理 T14)若数列{a n }的前 n 项和 S n =2a n +1,则{a n }的通项公式是 a n =
.
33.(2012·全国·文 T14)等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ,若 S 3+3S 2=0,则公比 q=
.
三、计算题
1.(2019·全国 2·文 T18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16.
(1)求{a n }的通项公式;
(2)设 b n =log 2a n .求数列{b n }的前 n 项和.
2.(2019·全国 2·理 T19)已知数列{a n }和{b n }满足 a 1=1,b 1=0,4a n+1=3a n -b n +4,4b n+1=3b n -a n -4. (1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列; (2)求{a n }和{b n }的通项公式.
3.(2019·天津·文 T18)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,公比大于 0.已知 a 1=b 1=3,b 2=a 3,b 3=4a 2+3. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;
b k ,n = 2k ,
(2)记 c n =√ a n
*
*
,n∈N ,证
(2)已知数列{b
n }(n∈N )满足:b 1=1,* 1 = 2 − 2 ,其中 S n 为数列{b n }的前 n 项和.
b n ,n 为偶数,
2
(2)设数列{c n }满足 c n ={ 1,n 为奇数,
求 a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n (n∈N *).
2
4.(2019·天津·理 T19)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知 a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式;
1,2k < n < 2k1 ,
(2)设数列{c n }满足 c 1=1,c n ={ 其中 k∈N *.
①求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; 2n
②求∑ a i c i (n∈N *).
i=1 5.(2019 · 浙 江 · T 20) 设 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n ,a 3=4,a 4=S 3. 数 列 {b n } 满 足 : 对 每 个 n ∈
N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列.
(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;
2b n
6.(2019·江苏·T 20)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M - 数列”.
(1)已知等比数列{a n }(n∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M - 数列”;
S n
b n b n1
①求数列{b n }的通项公式;
②设 m 为正整数.若存在“M - 数列”{c n }(n∈N *),对任意正整数 k,当 k≤m 时,都有 c k ≤b k ≤c k+1 成立,求 m 的 最大值.
7.(2018·北京·文 T15)设{a n }是等差数列,且 a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2.
(1)求{a n }的通项公式; (2)求e a 1
e a 2 +…+e a n .
8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足:对任意 x∈N *,都有|b n -a n |≤1,则称{b n }与{a n }
“接近”.
(1)设{a n }是首项为 1,公比为1的等比数列,b n =a n+1+1,n∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由;
(2)设数列{a n }的前四项为 a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合 M={x|x=b i ,i=1,2,3,4},
求 M 中元素的个数 m:
(3)已知{a n }是公差为 d 的等差数列.若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近,且在 b 2-b 1,b 3-b 2,…,b 201-b 200 中至
少有 100 个为正数,求 d 的取值范围.
9.(2018·江苏·T 20)设{a n }是首项为 a 1,公差为 d 的等差数列,{b n }是首项为 b 1,公比为 q 的等比数列.
√ (k+1)(k+2)
-2(n∈N *). a
(1)设 a 1=0,b 1=1,q=2,若|a n -b n |≤b 1 对 n=1,2,3,4 均成立,求 d 的取值范围;
(2)若 a 1=b 1>0,m∈N *,q∈(1, m 2],证明:存在 d∈R,使得|a n -b n |≤b 1 对 n=2,3,…,m+1 均成立,并求 d 的取值 范围(用 b 1,m,q 表示).
10.(2018·天津·文 T18)设{a n }是等差数列,其前 n 项和为 S n (n∈N *);{b n }是等比数列,公比大于 0,其前 n 项 和为 T n (n∈N *).已知 b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (1)求 S n 和 T n ;
(2)若 S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数 n 的值.
11.(2018·天津·理 T18)设{a n }是等比数列,公比大于 0,其前 n 项和为 S n (n∈N *),{b n }是等差数列.已知 a 1=1,a 3=a 2+2,a 4=b 3+b 5,a 5=b 4+2b 6. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;
(2)设数列{S n }的前 n 项和为 T n (n∈N *), ①求 T n ;
n
k
1
②证明 ∑
(T k +b k+2)b k 2n+2
n+2
12.(2018·全国 2·理 T17 文 T17)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和,已知 a 1=-7,S 3=-15.
(1)求{a n }的通项公式; (2)求 S n ,并求 S n 的最小值.
13.(2018·全国 1·文 T17)已知数列{a n }满足 a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设 b n = n .
(1)求 b 1,b 2,b 3;
(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式.
14.(2018·全国 3·理 T17 文 T17)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;
(2)记 S n 为{a n }的前 n 项和,若 S m =63,求 m.
15.(2017·全国 1·文 T17)设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和,已知 S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;
(2)求 S n ,并判断 S n+1,S n ,S n+2 是否成等差数列.
16.(2017 · 全 国 2 · 文 T17) 已 知 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 等 比 数 列 {b n } 的 前 n 项 和 为 T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.
(1)若 a +b =5,求{b }的通项公式;
(2){b
n }为各项非零的等差数列,其前 n 项和为 S n .已知 S 2n+1=b n b n+1,求数列{b n }的前 n 项和 T n .
(2)若 T 3=21,求 S 3.
17.(2017·全国 3·文 T17)设数列{a n }满足 a 1+3a 2+…+(2n -1)a n =2n. (1)求{a n }的通项公式;
(2)求数列{ a n }的前 n 项和.
2n+1
18.(2017·天津·理 T18)已知{a n }为等差数列,前 n 项和为 S n (n∈N *),{b n }是首项为 2 的等比数列,且公比大 于 0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;
(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前 n 项和(n∈N *).
19.(2017·山东·理 T19)已知{x n }是各项均为正数的等比数列,且 x 1+x 2=3,x 3-x 2=2. (1)求数列{x n }的通项公式;
(2)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,依次连接点 P 1(x 1,1),P 2(x 2,2)…P n+1(x n+1,n+1)得到折线 P 1P 2…P n+1,求由该 折线与直线 y=0,x=x 1,x=x n+1 所围成的区域的面积 T n .
20.(2017·山东·文 T19)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且 a 1+a 2=6,a 1a 2=a 3.
1)求数列{a n }的通项公式;
a n
21.(2017·天津·文 T18)已知{a n }为等差数列,前 n 项和为 S n (n∈N *),{b n }是首项为 2 的等比数列,且公比大
于 0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;
(2)求数列{a 2n b n }的前 n 项和(n∈N *).
22.(2016·全国 2·理 T17)S n 为等差数列{a n }的前 n 项和,且 a 1=1,S 7=28.记 b n =[lg a n ],其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.
(1)求 b 1,b 11,b 101;
(2)求数列{b n }的前 1 000 项和.
(2)令 c n =(a n +1
)
(b n +2) ,求数列{c n }的前 n 项和 T n .
(1)设 c n =b n+1 − b n 2,n∈N *,求证:数列{c n }是等差数列;
(2)设 a 1=d,T n = ∑ (-1)k b k 2d 28.(2016·天津·文 T18)已知{a n }是等比数列,前 n 项和为 S n (n∈N *),且 1 − 1
3
32
23.(2016·全国 2·文 T17)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6.
(1)求{a n }的通项公式;
(2)设 b n =[a n ],求数列{b n }的前 10 项和,其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 24.(2016·浙江·文 T17)设数列{a n }的前 n 项和为 S n .已知 S 2=4,a n+1=2S n +1,n∈N *. (1)求通项公式 a n ;
(2)求数列{|a n -n-2|}的前 n 项和.
25.(2016·北京·文 T15)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且 b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4. (1)求{a n }的通项公式;
(2)设 c n =a n +b n ,求数列{c n }的前 n 项和.
26.(2016·山东·理 T18 文 T19)已知数列{a n }的前 n 项和 S n =3n 2+8n,{b n }是等差数列,且 a n =b n +b n+1. (1)求数列{b n }的通项公式;
n+1
n
27.(2016·天津·理 T18)已知{a n }是各项均为正数的等差数列,公差为 d.对任意的 n∈N *,b n 是 a n 和 a n+1 的等
比中项.
2
2
n n 2,n∈N *,求证: ∑ 1 k1 k1 T
k
< 1 .
2
a 1 a 2
2 a 3
,S 6
=63.
(1)求{a n }的通项公式;
(2)若对任意的 n∈N *,b n 是 log 2a n 和 log 2a n+1 的等差中项,求数列{(-1)n b 2n }的前 2n 项和.
29.(2016·全国 1·文 T17)已知{a n }是公差为 3 的等差数列,数列{b n }满足 b 1=1,b 2=1,a n b n+1+b n+1=nb n .
(1)求{a n }的通项公式;
(2)求{b n }的前 n 项和.
30.(2016·全国 3·文 T17)已知各项都为正数的数列{a n }满足 a 1=1, a 2n -(2a n+1-1)a n -2a n+1=0. (1)求 a 2,a 3;
(2)求{a n }的通项公式.
31.(2016·全国 3·理 T17)已知数列{a n }的前 n 项和 S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式;
(2)若 S 5=31,求λ.
(2)设 b n =
n+1(2)设
S n 为数列{a n }的前 n 项和,b n =
,求数列{b n }的前 n 项和 T n .a
(2)设 b n = 38.(2015·山东·文 T19)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列,数列{ ,求数列{b n }的前 n 项和.
,n∈N ,求数列{b n }的前 n 项和.*
a n ·a n+1}的前 n 项和为 .n
2
2 2 3
1
32.(2015·北京·文 T16)已知等差数列{a n }满足 a 1+a 2=10,a 4-a 3=2.
(1)求{a n }的通项公式;
(2)设等比数列{b n }满足 b 2=a 3,b 3=a 7.问:b 6 与数列{a n }的第几项相等?
33.(2015·重庆·文 T16)已知等差数列{a n }满足 a 3=2,前 3 项和 S 3=9.
(1)求{a n }的通项公式;
(2)设等比数列{b n }满足 b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前 n 项和 T n . 34.(2015·福建·文 T17)等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设 b n =2a n -2+n,求 b 1+b 2+b 3+…+b 10 的值.
35.(2015·全国 1·理 T17)S n 为数列{a n }的前 n 项和.已知 a n >0,a n +2a n =4S n +3.
(1)求{a n }的通项公式;
1
a n a n+1
36.(2015·安徽·文 T18)已知数列{a n }是递增的等比数列,且 a 1+a 4=9,a 2a 3=8.
(1)求数列{a n }的通项公式;
S n S n+1
37.(2015·天津·理 T18)已知数列{a n }满足 a n+2=qa n (q 为实数,且 q≠1),n∈N *,a 1=1,a 2=2,且 a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5 成等差数列.
(1)求 q 的值和{a n }的通项公式;
l o g 2a 2n
a 2n -1
1
2n+1 (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设 b n =(a n +1)·2a n ,求数列{b n }的前 n 项和 T n .
39.(2015·浙江·文 T17)已知数列{a n }和{b n }满足 a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (n∈N *),b 1+1b 2+1b 3+…+n b n =b n+1-1(n∈N *).
(1)求 a n 与 b n ;
(2)记数列{a n b n }的前 n 项和为 T n ,求 T n .
40.(2015 · 天 津 · 文 T18) 已 知 {a n } 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ,{b n } 是 等 差 数 列 , 且 a 1=b 1=1,b 2+b 3=2a 3,a 5-3b 2=7. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;
(2)当
d>1 时,记 c n =a n
,求数列{c n }的前 n 项和 T n .
2
(2)证明: a 2
a n
S n =n +n ,n∈N *.
(2)设 b n = a n a n+1
项和 T n .
,求数列{b n }的前 n
(2)令
b n =(-1)n-1 4n ,求数列{b n }的前 n 项和 T n .
(2)设 c n =a n b n ,n∈N *,求数列{c n }的前 n 项和.
41.(2015·湖北·文 T19)设等差数列 {a n }的公差为 d,前 n 项和为 S n ,等比数列 {b n }的公比为 q,已知 b 1=a 1,b 2=2,q=d,S 10=100.
(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;
b n
42.(2014·全国 2·理 T17)已知数列{a n }满足 a 1=1,a n+1=3a n +1.
(1)证明:{a n + 1}是等比数列,并求{a n }的通项公式;
1 a 1
+ 1 +…+ 1 < 3.
2
43.(2014·福建·文 T17)在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81.
(1)求 a n ;
(2)设 b n =log 3a n ,求数列{b n }的前 n 项和 S n .
44.(2014·湖南·文 T16)已知数列{a n }的前 n 项和
2
2
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设 b n =2a n +(-1)n a n ,求数列{b n }的前 2n 项和.
45.(2014·北京·文 T14)已知{a n }是等差数列,满足 a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足 b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }为等比数 列.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;
(2)求数列{b n }的前 n 项和.
46.(2014·大纲全国·理 T18)等差数列{a n }的前 n 项和为 S n .已知 a 1=10,a 2 为整数,且 S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式;
1 47.(2014·山东·理 T19)已知等差数列{a n }的公差为 2,前 n 项和为 S n ,且 S 1,S 2,S 4 成等比数列.
(1)求数列{a n }的通项公式;
a n a n+1
48.(2014·全国 1·文 T17)已知{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4 是方程 x 2-5x+6=0 的根.
(1)求{a n }的通项公式;
2
2
a 2n -1a 2n+1 }的前 n
3 3
- 2
(2)求数列{a n }的前 n 项和.
49.(2014·安徽·文 T18)数列{a n }满足 a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n(n+1),n∈N *.
(1)证明:数列{a n }是等差数列;
n
(2)设 b n =3n ·√a n ,求数列{b n }的前 n 项和 S n .
50.(2014·山东·文 T19)在等差数列{a n }中,已知公差 d=2,a 2 是 a 1 与 a 4 的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设 b n =a n (n+1),记 T n =-b 1+b 2-b 3+b 4-…+(-1)n b n ,求 T n .
51.(2014·大纲全国·文 T17)数列{a n }满足 a 1=1,a 2=2,a n+2=2a n+1-a n +2.
(1)设 b n =a n+1-a n ,证明{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.
52.(2014·全国 1·理 T17)已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n+1=λS n -1,其中λ为常数. (1)证明:a n+2-a n =λ;
(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由.
53.(2013·全国 2·文 T17)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且 a 1,a 11,a 13 成等比数列. (1)求{a n }的通项公式; (2)求 a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.
54.(2013·全国 1·文 T17)已知等差数列{a n }的前 n 项和 S n 满足 S 3=0,S 5=-5. (1)求{a n }的通项公式;
(2)求数列{1
项和.
55.(2012·湖北·理 T18 文 T20)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为 8.
(1)求等差数列{a n }的通项公式;
(2)若 a 2,a 3,a 1 成等比数列,求数列{|a n |}的前 n 项和.
56.(2011·全国·文 T17)已知等比数列{a n }中,a 1=1,公比 q=1.
(1)S n 为{a n }的前 n 项和,证明:S n =1 2a n ;
(2)设 b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{b n }的通项公式.
57.(2011·全国·理 T17)等比数列{a n }的各项均为正数,且 2a 1+3a 2=1,a 3 =9a 2a 6.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设 b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{
}的前 n 项和.
1 b n
58.(2010·全国·理 T17)设数列{a n }满足 a 1=2,a n+1-a n =3·22n-1.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)令 b n =na n ,求数列{b n }的前 n 项和 S n .
59.(2010·全国·文 T17)设等差数列{a n }满足 a 3=5,a 10=-9, (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)求数列{a n }的前 n 项和 S n 及使得 S n 最大的序号 n 的值.
2
解得{ 1 故 a n =2n-5,S n =n 2-4n,故选 A. 2 2 2
1 2
2
2
2
22
2
2
3
2 16 2
16
16 16 × 1 +…>1+4+7>10,故选 A.
a 1+a 2+a 3+a 4=a 1(1-q ),a 1+a 2+a 3=a 1(1-q ).
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题 08 数列
一、选择题
1.(2019·全国 1·理 T9)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.已知 S 4=0,a 5=5,则(
)
A.a n =2n-5
C.S n =2n 2-8n
B.a n =3n-10
D.S n =1n 2-2n
【答案】A
【解析】由题意可知,{ S 4 = 4a 1 + 4×3 ·d = 0,
a 5 = a 1 + 4d = 5,
a = -3, d = 2.
2.(2019·浙江·T10)设 a,b∈R,数列{a n }满足 a 1=a,a n+1=a n +b,n∈N *,则(
)
A.当 b=1时,a 10>10
C.当 b=-2 时,a 10>10
B.当 b=4时,a 10>10
D.当 b=-4 时,a 10>10
【答案】A
【解析】当
b= 1 时 ,a 2= a 1 + 1 ≥ 1 ,a 3= a 2 + 1 ≥ 4 ,a 4= a 3 + 1 ≥ 17 ≥1,当 n≥4 时,a n+1= a n + 1
≥ a n ≥1,则
lo g 17 a n+1>2lo g 17 a n ⇒lo g 17 a n+1>2n-1, 则 a n+1≥ （ 17 ）
16
16
16
2n -1
(n≥4), 则 a 10≥ （ 17 ） 26 = （ 1+ 16 ） 64=1+ 64 +
64×63 2 162
3.(2018·全国 1·理 T4)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和,若 3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则 a 5=(
)
A.-12
B.-10
C.10
D.12
【答案】B
【解析】因为 3S 3=S 2+S 4,所以 3S 3=(S 3-a 3)+(S 3+a 4),即 S 3=a 4-a 3.设公差为 d,则 3a 1+3d=d,又由 a 1=2,得 d=-3,所
以 a 5=a 1+4d=-10.
4.(2018·浙江·T10)已知 a 1,a 2,a 3,a 4 成等比数列,且 a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若 a 1>1,则( )
A.a 1<a 3,a 2<a 4
B.a 1>a 3,a 2<a 4
C.a 1<a 3,a 2>a 4
D.a 1>a 3,a 2>a 4
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为 q,则
4 3 1-q
1-q
3 3 a n , 由题意 , a
n = 12√2(n≥2),所以 {a n } 为等比数列 , 因为 a 1=f,所以
为 n,则前 n 组的项数和为n (1n ).第 n 组的和为1-2 =2n -1,前 n 组总共的和为2(1-2 )-n=2n+1-2-n.
∵a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3),
∴a 1+a 2+a 3=e a 1a
2a 3a
4
,即 a 1(1+q+q 2)=e a 1(1qq
2q 3).
又 a 1>1,∴q<0.
假设 1+q+q 2>1,即 q+q 2>0,解得 q<-1(q>0 舍去).
由 a 1>1,可知 a 1(1+q+q 2)>1,
∴a 1(1+q+q 2+q 3)>0,即 1+q+q 2+q 3>0,
即(1+q)+q 2(1+q)>0,即(1+q)(1+q 2)>0,这与 q<-1 相矛盾.
∴1+q+q 2<1,即-1<q<0.∴a 1>a 3,a 2<a 4.
5.(2018·北京·理 T4 文 T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比
例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从
第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12√2.若第一个单音的频率为 f,则第
八个单音的频率为(
)
A. √2f
B. √
22f C. 12√25f
D. 12√27f
【答案】D
【解析】设第 n 个单音的频率为
a n -1
a 8=a 1×(12√2)7= 12√27f,故选 D.
6.(2017·全国 1·理 T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴
趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动 .这款软件的激活码为下面数学问题的答案 :已知数列
1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,22,
依此类推.求满足如下条件的最小整数 N:N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码
是(
)
A.440
B.330
C.220
D.110
【答案】A
【解析】设数列的首项为第 1 组,接下来两项为第 2 组,再接下来三项为第 3 组,以此类推,设第 n 组的项数
n n
2 1-2 1-2
由题意,N>100,令n (1n )
>100,得 n≥14 且 n∈N *,即 N 出现在第 13 组之后.若要使最小整数 N 满足:N>100 且
2
前 N 项和为 2 的整数幂,则 S N -S n (1n )应与-2-n 互为相反数,即 2k -1=2+n(k∈N *,n≥14),所以 k=log 2(n+3),解 2
得 n=29,k=5.
2
2
-a 3 3
1 3
所以 N=
29×(1+29 )
+5=440,故选 A. 2
7.(2017·全国 3·理 T9)等差数列{a n }的首项为 1,公差不为 0.若 a 2,a 3,a 6 成等比数列,则{a n }前 6 项的和为
( )
A.-24
B.-3
C.3
D.8
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为 d,则 d≠0,a 23 =a 2·a 6,
即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),
解得 d=-2,
所以 S 6=6×1+6×5
×(-2)=-24,故选 A.
8.(2016·全国 1·理 T3)已知等差数列{a n }前 9 项的和为 27,a 10=8,则 a 100=(
)
A.100
B.99
C.98
D.97
【答案】C
【解析】因为 S 9=(a 1 +a
9 )×9=27,a 1+a 9=2a 5,
所以 a 5=3.又因为 a 10=8,所以 d=
a 10-55=1.
故 a 100=a 10+(100-10)×1=98.
9.(2015·浙江·理 T13)已知{a n }是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 S n ,若 a 3,a 4,a 8 成等比数列,则( A.a 1d>0,dS 4>0 B.a 1d<0,dS 4<0 C.a 1d>0,dS 4<0 D.a 1d<0,dS 4>0
【答案】B
【解析】设{a n }的首项为 a 1,公差为 d,则 a 3=a 1+2d,a 4=a 1+3d,a 8=a 1+7d.
∵a 3,a 4,a 8 成等比数列,
∴(a 1+3d)2=(a 1+2d)(a 1+7d),即 3a 1d+5d 2=0.
∵d≠0,∴a 1d=-5d 2<0,且 a 1=-5
d.
∵dS 4=4d(a 2+a 4)=2d(2a 1+3d)=-2d 2
<0.
10.(2015·全国 2·文 T5)设 S n 是等差数列{a n }的前 n 项和,若 a 1+a 3+a 5=3,则 S 5=(
)
A.5
B.7
C.9
D.11
【答案】A
【解析】由 a 1+a 3+a 5=3 及等差中项,得 3a 3=3,解得 a 3=1.故
)
2
B.19
2
C.10
D.12
【解析】由题意知a 1+a 3+a 5=1+q 2+q 4=21=7,解得 q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.
a 1 2
2
2 2
4
2
4 2
S 5=
5(a 1+a 5)
=5a 3=5.
11.(2015·全国 1·文 T7)已知{a n }是公差为 1 的等差数列,S n 为{a n }的前 n 项和.若 S 8=4S 4,则 a 10= (
)
A.17
【答案】B
【解析】∵公差 d=1,S 8=4S 4,
∴8(a 1+a 8) = 4×4(
a 1+a 4),
2
2
即 2a 1+7d=4a 1+6d,解得 a 1=1.
∴a 10=a 1+9d=1+9=19.
12.(2015·全国 2·理 T4)已知等比数列{a n }满足 a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则 a 3+a 5+a 7=(
)
A.21
B.42
C.63
D.84
【答案】B
3
13.(2015·全国 2·文 T9)已知等比数列{a n }满足 a 1=1,a 3a 5=4(a 4-1),则 a 2=(
)
A.2
B.1
C. 1
2
D.
1 8
【答案】C
【解析】∵a 3a 5=4(a 4-1),∴a 4 =4(a 4
-1),解得 a 4=2.
又 a 4=a 1q 3,且 a 1=1,∴q=2.∴a 2=a 1q=1.
14.(2014·大纲全国·文 T8)设等比数列{a n }的前 n 项和为 S n .若 S 2=3,S 4=15,则 S 6=(
)
A.31
B.32
C.63
D.64
【答案】C
【 解 析 】 由 等 比 数 列 前 n 项 和 的 性 质 , 得 S 2,S 4-S 2,S 6-S 4 成 等 比 数 列 , 所 以 (S 4-S 2)2=S 2(S 6-S 4), 即
(15-3)2=3(S 6-15),解得 S 6=63,故选 C.
15.(2014·全国 2·文 T5)等差数列{a n }的公差为 2,若 a 2,a 4,a 8 成等比数列,则{a n }的前 n 项和 S n =( )
A.n(n+1)
C.n (n+1)
2
【答案】A
B.n(n-1)
D.n (n -1)
2
3
B.-1
3
C.1
9
D.-1
q 4 = 9 = 1.
【解析】由 S 3=a 2+10a 1,得 a 1+a 2+a 3=a 2+10a 1,整理得 a 3=9a 1,所以 q 2= 3=9.由 a 5=9,得 a 1= a
1
2
3
=1-2a n
【解析】S n =a 1(1-q )
1-q
=
a 1-a n q
3 1-2 2 = 5a ,c =3 2 = 7a ,
a 2=a 1,
b 2=3 1 6 6 2 = 13a , 同理,a 3=a 1,b 3
=6 1
12 2 2
3 3 2 2 2
a 1 a 1
6
√15
2
a 1
3 a 1
6
12 2
a 1
5 7
24
【解析】∵a 2,a 4,a 8 成等比数列,
∴ =a 2·a 8,即(a 1+6)2=(a 1+2)(a 1+14),
解得 a 1=2.
∴S n =na 1+n (n -1)
d=2n+n 2-n=n 2+n=n(n+1).
16.(2013·全国 2·理 T3)等比数列{a n }的前 n 项和为 S n .已知 S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则 a 1=(
)
A.1
9
【答案】C
a a 5 92 9 17.(2013·全国 1·文 T6)设首项为 1,公比为2的等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ,则( )
A.S n =2a n -1
B.S n =3a n -2
C.S n =4-3a n
D.S n =3-2a n
【答案】D
n
3
=3-2a n .
18.(2013·全国 1·理 T12)设 A △n B n C n 的三边长分别为 a n ,b n ,c △n ,
A n
B n
C n 的面积为 S n ,n=1,2,3,….若
b 1>
c 1,b 1+c 1=2a 1,a n+1=a n ,b n+1=c n +a n ,c n+1=b n +a n ,则(
)
A.{S n }为递减数列
B.{S n }为递增数列
C.{S 2n-1}为递增数列,{S 2n }为递减数列
D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列 【答案】B
【解析】因为 b 1>c 1,不妨设 b 1=4a 1,c 1=2a 1,p=1(a 1+b 1+c 1)=3a 1,则 S 1=√3a 1 · 2 · 6 · 5a 1
= 12 a 21;
2
a +a 4a +a
1
1 1
1
2
1
S 2=√3a 1 · 2 · 2a 1
· 3 = √6 a 21;显然 S 2>S 1.
7a +a
1
1
5a +a c 3=6 12 1 = 11a 1,S 3=√3a 1 · 2 · 12 a 1· 12 a 1 = √105 a 21,显然 S 3>S 2.
2
1 联立{a 4
a = -8 可解得{a 4 = -2 或 {a 4 = 4,
当{a 4 = -2
时,q 3=-1, 2
当{a 4 = 4
时,q 3=-2,同理,有 a 1+a 10=-7. q 3
19.(2013·全国 1·理 T7)设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,若 S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则 m= (
)
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】C
【解析】∵S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,
∴a m =S m -S m-1=2,a m+1=S m+1-S m =3. ∴d=a m+1-a m =3-2=1.
∵S m =m (a 1+a m ) = m (a 2+2)
=0,
∴a 1=-2,a m =-2+(m-1)×1=2.∴m=5.
20.(2012·全国·理 T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则 a 1+a 10=( )
A.7
B.5
C.-5
D.-7
【答案】D
【解析】∵{a n }为等比数列,∴a 5a 6=a 4a 7=-8. a + a = 2, a = 4, a = -2, 4 7
7
7
a = 4, 7
故 a 1+a 10=a 4+a 7q 3=-7;
a = -2, 7
21.(2012·全国·文 T12)数列{a n }满足 a n+1+(-1)n a n =2n-1,则{a n }的前 60 项和为(
)
A.3 690
B.3 660
C.1 845
D.1 830
【答案】D
【解析】∵a n+1+(-1)n a n =2n-1,
∴
a 2=1+a 1,a 3=2-a 1,a 4=7-a 1,a 5=a 1,a 6=9+a 1,a 7=2-a 1,a 8=15-a 1,a 9=a 1,a 10=17+a 1,a 11=2-a 1,a 12=23-a 1,…,a 57=a 1,a 58=113
+a 1,a 59=2-a 1,a 60=119-a 1,
∴a 1+a 2+…+a 60=(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+a 7+a 8)+…+(a 57+a 58+a 59+a 60) =10+26+42+…+234=15×(10+234)
=1 830.
二、填空题
1.(2019·全国 3·文 T14)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.若 a 3=5,a 7=13,则 S 10=
.
【答案】100
【解析】设等差数列{a n }的公差为 d,
则{a 3 = a 1 + 6d = 13
,解得{d 1= 2. 2.(2019·全国 3·理 T14)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.若 a 1≠0,a 2=3a 1,则S 10=
.
2 d=10×1+ 2
S 5 =
10a 1+10×9
d
5a 1+ 2
5.(2019·全国 1·文 T14)记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若 a 1=1,S 3= ,则 S 4=
.
4
a = a + 2d = 5, a = 1,
7
1
故 S 10=10a 1+10×9 10×9×2=100.
S 5
【答案】4
【解析】设等差数列{a n }的公差为 d.
∵a 1≠0,a 2=3a 1, ∴a 1+d=3a 1,即 d=2a 1.
∴
S 10
2 5×4d = 100a 1=4. 25a 1
3.(2019·江苏·T 8)已知数列 {a n }(n ∈N *)是等差数列 ,S n 是其前 n 项和 .若 a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则 S 8 的值
是
.
【答案】16
【解析】∵{a n }为等差数列,设公差为 d,a 2a 5+a 8=0,S 9=27,∴
(a 1 + d )(a 1 + 4d ) + a 1 + 7d = 0,①
{
9×8
9a 1 + 2 d = 27,②
整理②得 a 1+4d=3,即 a 1=3-4d,③
把③代入①解得 d=2,∴a 1=-5. ∴S 8=8a 1+28d=16.
4.(2019·北京·理 T10)设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n .若 a 2=-3,S 5=-10,则 a 5= ,S n 的最小值为
.
【答案】0
-10
【解析】等差数列{a n }中,由 S 5=5a 3=-10,得 a 3=-2,又 a 2=-3,公差 d=a 3-a 2=1,a 5=a 3+2d=0,由等差数列{a n }的性
质得当 n≤5 时,a n ≤0,当 n≥6 时,a n 大于 0,所以 S n 的最小值为 S 4 或 S 5,即为-10.
3 4
【答案】5
8
【解析】设等比数列{a n }的公比为 q.
S 3=a 1+a 1q+a 1q 2=1+q+q 2=3,
即 q 2+q+1=0.解得 q=-1.
4
2
=
1--1)
1+1 3
2
3 3
2 9
3 ∴S 5=a 1(1
-q )
1-q
=
3(1-3 ) 3 S 6=-1(1-2 )=-63.
9.(2018·上海·T
10)设等比数列
{a n } 的通项公式为
a n =q n-1(n ∈N *), 前 n 项和为 S n , 若 lim S n = 1 , 则
n →∞ a n+1
【解析】由 a n =q n-1,得 a n+1=q n .当 q=1 时,不满足题意;当 q≠1 时,S n =a 1(1-q ) = 1-q .
若 0<|q|<1,则 lim 不存在;若|q|>1,
则 lim S n = lim = lim
1-q = 1,解得 q=3.
故 S 4=a 1 (1-q 4) 2
2 4 = 5
. 8
6.(2019·全国 1·理 T14)记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若 a 1=1 , a 4 =a 6,则 S 5=________.
【答案】121
3
【解析】设等比数列{a n }的公比为 q,
则 a 4=a 1q 3=1q 3,a 6=a 1q 5=1q 5.
∵a 4 =a 6,∴1q 6=1q 5
.∵q≠0,∴q=3.
5 1 5
1-3 = 121.
7.(2018·全国 1·理 T14)记 S n 为数列{a n }的前 n 项和.若 S n =2a n +1,则 S 6=
.
【答案】-63
【解析】∵S n =2a n +1,①
∴S n-1=2a n-1+1(n≥2).②
①-②,得 a n =2a n -2a n-1,即 a n =2a n-1(n≥2).
又 S 1=2a 1+1,∴a 1=-1.∴{a n }是以-1 为首项,2 为公比的等比数列,则
6 1-2
8.(2018·北京·理 T9)设{a n }是等差数列,且 a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为
.
【答案】a n =6n-3
【解析】∵{a n }为等差数列,设公差为 d, ∴a 2+a 5=2a 1+5d=36.
∵a 1=3,∴d=6.∴a n =3+(n-1)×6=6n -3.
2
q=
.
【答案】3
n
n 1-q
1-q
1-q n
n →∞ (1-q )q n
1-q n 1 n →∞ a n+1
n →∞ (1-q )q n
n →∞ (1-q ) · 1 -1)=- 1
q n 2
11.(2017·全国 2·理 T15)等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,a 3=3,S 4=10,则 ∑ 1
=____________.
a 1,
10, d 1.
n (n+1)=2(1 - 1 ). 2 2
2
所以 ∑ 1 =2[(1- 1) + (1 - 1)+…+(1 - 1 )]=2(1- 1 ) n
2n
k1 S k
得{ 1 解得{q 1 -2,故 a 4=a 1q 3=-8.
7
4
4 7
10.(2018·江苏·T 14)已知集合 A={x|x=2n-1,n∈N *},B={x|x=2n ,n∈N *}.将 A∪B 的所有元素从小到大依次
排列构成一个数列{a n }.记 S n 为数列{a n }的前 n 项和,则使得 S n >12a n+1 成立的 n 的最小值为
.
【答案】27
【解析】①若 a n+1=2k (k∈N *),则 S n =21+22+…+2k-1+1+3+…+2k -1=2k -2+(2k-1)2⇒(2k-1)2+2k -2>12·2k .
令 2k =t ⇒1t 2+t-2>12t ⇒t(t-44)>8.
4
∴t≥64⇒k≥6.此时,n=k-1+2k-1=37.
②若 a n+1=2k+1(k∈N *),
则 S n =21+22+…+2t +1+3+…+2k -1(2t <2k+1,t∈N *), ∴S n =2t+1-2+k 2>12(2k+1)⇒2t+1>-k 2+24k+14. ∴-k 2+24k+14<2t+1<4k+2⇒k(k-20)>12.
取 k=21,此时77<2t <43(舍),取 k=22,29<2t <45,t=5,n=5+22=27.
2
由①②,得 n min =27.
n k1 S k
【答案】 2n
n+1
【解析】设等差数列的首项为 a 1,公差为 d,由题意可知{
所以 S n =na 1+n (n -1)d=n (1+n )
.
所以 1
2 S n n n+1 a 1 + 2d 3,
4a 1 + 4×3 d
解得{ 1
.
2
2 3 n n+1 n+1 n+1
12.(2017·全国 3·理 T14)设等比数列{a n }满足 a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则 a 4=
.
【答案】-8
【解析】设{a n }的公比为 q,则由题意, a (1 + q )
-1, a
1,
a 1(1-q 2) -3,
13.(2017·江苏·理 T9 文 T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前 n 项和为 S n .已知 S 3=4,S 6=63,则 a 8=
.
【答案】32
【解析】设该等比数列的公比为 q,则 S 6-S 3=63 − 4=14,即 a 4+a 5+a 6=14.①。