高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 3.4 导数在实际生活中的应用》8

导数在研究函数中的应用
连云港外国语学校方芹
1教学目标：
（1）学生在解决问题过程中体会如何解决一个问题，即要清楚我要解决什么，我已经有什么；（2）学生在学习过程中感受和体会数学自身发展的一般规律，学会用相互联系的观点辩证地看问题；
（3）学生通过独立思考和合作交流，发展思维，养成良好的思维与学习习惯，提升自主学习能力；
（4）利用导数求函数的单调区间、极值、最值
2教学重点：
（1）如何利用导数求函数的单调区间、极值、最值；
（2）为什么利用导数可以研究函数的单调性．
教学难点：为什么利用导数可以研究函数的单调性．
3教学方法：
采用教师引导学生自主的教学方法．教师引领学生经历研究问题的过程，渗透研究问题的一般方法．
教学手段：元认知提示语、几何画板、多媒体技术．
4教学过程：
师：同学们，这段时间我们又学习了函数的导数，那么你们觉得接下来可以研究什么？
师生活动：对话讨论，引导学生提出本节课的问题: 利用导数研究函数的单调区间、极值、最值．
设计意图：引导学生提出本节课的课题问题．提出问题是教学中最重要的环节，而问题最好由学生提出，但这很困难，必须由教师进行适当的启发．希望通过教师的引导帮助学生提出问题，同时引导学生自己提出学习任务．
活动小结：同学们提了很多想法，其中，有函数的单调性，的确，导数可以刻画函数变化趋势，而函数的单调性也是对函数变化趋势的一种刻画，估计，它们之间是有一定关系的．那么，我们先来探讨导数与函数的单调性之间究竟有什么关系
【问题1】函数的导数与函数的单调性有什么关系？PPT
师生活动：教师引导学生提出并分享猜想．
设计意图：引导学生提出猜想，提高学生从数学角度发现、猜想的意识和能力．在猜想过程中渗透研究问题的方法，鼓励学生大胆表达自己的想法．
活动小结：通过例子，发现和猜想出不少的结论，通常做研究往往就是这样一个从特殊到一般的过程．那接下来，这些结论到底对不对呢？若不对，你能举个反例吗？想想看．
师：请几个同学来分析一下，你认为这个结论对吗？若不对，你的反例是什么？
师生活动：教师引导、调动学生积极思考并表达自己的想法．
设计意图：对猜想去伪存真，这是在进行猜想后通常要做的工作．
活动小结：经过大家共同的努力，通过举反例说明了有些结论是不对的，这个大家无法举出反例，而且也认为它是对的．现在将大家认为正确的这个结论打出来．
（PPT）结论：如果在区间I上f错误!＞0，那么函数=f为区间I上的增函数．
【问题2】你能解释上述结论吗？
师生活动：在学生充分的独立思考后，交流各自的想法，对问题达成共识．
设计意图：本节课重点即是借助几何直观探索并了解为什么利用导数可以研究函数的单调性，引导学生从数和形两个角度来分析．研究问题的过程也通常是首先关注解决什么问题，其次关注有什么条件或者工具．
活动小结：刚才研究问题的过程说明，要解决一个问题，首先要关注，要解决什么问题？其次要关注，我们有什么条件或者工具？这里，我们要解决的问题是“怎么用导数判断函数单调性”，已有的条件是函数的导数．条件是导数，那我们自然要考虑导数的定义或者几何意义．这样，我们就解决了利用导数研究函数单调性的问题．
师生活动：师生共同完成．让一个同学先发言，然后问大家，是否同意他所说的方法和答案，若同意再进行板书．
设计意图：一是会利用导数研究函数的单调性；二是规范书写，起到例题的示范作用．
活动小结：如果我们知道了函数f错误!在哪个区间大于0，就知道了函数在该区间上为增函数，因此他先求了f错误!＞0的解集．那么，正确求解不等式f错误!错误!＞0（或者f错误!错误!＜0）就很重要．
【练习】确定函数f＝－n的单调区间．
师生活动：找两个同学到黑板板演，然后集体评价．
设计意图：巩固利用导数研究函数单调性，同时提醒同学注意函数定义域．再一次说明，正确
解不等式f 错误! ＞0是重要的，否则判断失误．
活动小结：我们已经做了两道题，接下来应该做什么了？练习练习，总结总结．做完一道题，
就要学会做一类题 所以我们要归纳总结一下，利用导数求函数单调区间的思路或者步骤． 备案：我们现在知道了利用导数的正负可以判断函数的增减，我们既然要研究二者的关系，我
们考虑它的逆命题是否也正确呢？
结论：如果在区间I 上f 错误! ＞0，那么函数=f 为区间I 上的增函数．
【问题3】如果函数=f 为区间I 上的增函数，那么在区间I 上f 错误! ＞0．这个说法正确吗？PPT 师生活动：引导学生举出反例．
设计意图：进一步完善函数的导数和函数单调性的关系．
活动小结：如果函数=f 为区间I 上的增函数，那么f 错误! ≥0．
例如在教学导数在研究函数中的应用这一复习课时，我设置了这样的问题：
如何利用导数在研究函数的单调性、极值与最值？
【问题4】试求函数3()31f x x x =-+的单调区间，极值，在区间[]2,2-上的最小值
变式:求函数3()31f x x ax =-+的单调区间
探究：1若()f x 在区间(1,)+∞是增函数，求实数a 的取值范围
2若()f x 在区间(1,2)上有极小值，求实数a 的取值范围
3当关于x 的方程()0f x =有三解，求实数a 的取值范围
4求()f x 在区间[]1,1-上的最小值
5 若对任意的[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围
该问题串入口浅，步步递进，核心内容掌握起来清楚明了。

以问题为中心的探究式的学习方法的好处是学生主动参与知识的发生、发展的过程，在探究的过程中学习科学的研究方法，对学生的终生学习都有积极意义
【问题5】 回顾这节课，我们做了些什么事情？
师生活动： 回顾总结，师生讨论．
设计意图：回顾一堂课做的事情，养成良好的学习习惯．除了知识层面的总结，也强调研究问
题方法的渗透．
活动小结：
（1）首先是导数值的定义和单调性的定义形式上有相似的地方，二者都是刻画曲线的变化趋势
的，然后借助于函数的导数的定义和几何意义，就可以研究函数单调性；
（2）在某区间上导数大于0，则得单调增区间，小于0，则得减区间；
（3）例如研究问题的方法：
①解决问题一个重要的方法就是回到本源，即一切要从定义出发；
②遇到一个新问题，一定要通过对已有的条件进行深究，来找寻解决问题的方向；
③研究一个问题后，可以从多个角度再更深刻地研究这个问题，拓宽视野．
④研究问题的一个好的方法就是“从特殊到一般”，先提出猜想，然后在验证猜想
教学设计说明
本节课的教学过程分为四个阶段：一是引导学生，提出问题；二是循序渐进，建构新知；三是增强体验，综合运用；四是认识升华，回顾总结．
日本数学家米山国藏曾经说过：学生在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，很快就忘掉了然而，不管他们将来从事什么工作，深深铭刻在心中的数学精神、数学的思维方法、推理方法和看问题的着眼点，却能使他们终生受益
因此本节课，希望以知识为载体，逐步向学生渗透研究问题的方法，或者如何解决一个问题，这也是数学教学的重要使命．例如，本节课课题，通过层层启发，最终由学生提出，既引导学生自己主动提出学习任务，也培养学生提出问题的能力；再如，在研究导数与函数单调性之间关系时，教师层层递进启发：如果遇到了困难，不妨借助于几个你熟悉的函数，通过对几个具体例子的分析，发现它们的关系，提出你的猜想；又或者：如果你已经有了发现，能不能有更多的发现，更多的猜想呢？等等．还有，在试图解释结论为何正确时，教师追问：你是怎么想到的？或者，解决一个问题最重要的，就是搞清楚问题是什么、条件是什么等等，促使学生联系导数的定义以及导数的几何意义，更有助于学生体会解决问题的一般方法最后，回顾总结，除了单纯回顾知识内容，也希望引领学生回顾整堂课研究问题的过程和思路，培养学生良好的思维习惯。