巧用圆转化轴对称中的最值问题

２０２２年５月下半月㊀
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巧用圆转化轴对称中的最值问题
◉广州市真光中学㊀苏国东
㊀㊀摘要:
轴对称中的最值问题常出现在动态几何压轴题中,其中一类最值问题可通过构造辅助圆,转化为圆上一点到圆外一点或一直线的距离最值问题进行解决．
关键词:圆;转化;轴对称;最值问题
１引言
轴对称背景下的几何动点最值问题,是初中数学的重难点问题,常见于压轴题,对学生的直观想象㊁数学建模㊁推理运算能力和素养有较高要求．其中一类最值可通过巧妙构造辅助圆,转化为与圆有关的距离最值,从而解决问题．
２转化为圆上一点到圆外一点的距离最值
结论:设圆的半径为r ,圆心O 到圆外一点A 的
距离为d ,则圆上任意一点P 到点A 的最大距离为
d ＋r ,最小距离为d －r
．
图１
如图１,分别连接O ,A ,P ,
由三角形三边关系可知,P A ɤP O ＋
O A ＝P １O ＋O A ＝P １A ,P A ȡO A －O P ＝O A －O P ２＝P ２A ．
所以当点P 在P １的位置,即点O 在线段P A 上时,P A 取得最大值d ＋r ,
当点P 在P ２的位置,即点P 在线段O A 上时,P A 取得最小值d －r ．
利用这一结论,往往可以快速地解决关于圆上动点的最值问题,做到化动为静,转为定量计算．
在部分压轴题中,圆是被隐藏起来的,当题意中出现定点㊁定长等相关信息时,往往可考虑构造辅助圆解题．特别地,在特定的轴对称背景下,对称前后的对应线段长度相等且共顶点,也就具备了构造辅助圆的条件
．
图２
例１㊀如图２,矩形A B C D 中,A B ＝
３,B C ＝４,
点P 是边A D 上一动点,将әA B P 沿B P 折叠后得әB P M ,
求点D 到点M 的最短距离．
解析:因为将әA B P 沿B P 折叠后得到әB P M ,
由轴对称的性质可得B A ＝B M ＝３,
所以点M 在以点B 为圆心,３为半径的圆上运动．如图３,当B ,M ,D 三点共线时,D M 最小．因为A B ＝３,B C ＝４,可求得B D ＝
５,此时D M ＝B D －B M ＝５－３＝２．
图３
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图４
例２㊀如图４,已知菱形A B C D 的边长为２３,
点A 在x 轴负半轴上,
点B 在坐标原点,点D 的坐标为(－３,３),抛物线y ＝a x ２＋b (a ʂ０)的顶点E 在D C 边上,并经过A B 边的中点．
(１
)求该抛物线的解析式;(２)点C 关于直线y ＝k x ＋３(k ʂ０)的对称点是C ᶄ,求点C ᶄ到点A 的最短距离．
解析:(１)由题意得A B 的中点坐标为(－３,０)
,C D 的中点E 坐标为(０,３),利用待定系数法可求得该抛物线的解析式为y ＝－x ２＋３;
(２)因为直线y ＝k x ＋３(k ʂ０)经过点E (０,３
)
,图５
点C 关于y ＝k x ＋３的对称点是点C ᶄ,由轴对称的性质可知E C ＝
E C ᶄ＝３,所以点C ᶄ在以点E 为圆心,３为半径的圆上运动,如图５．当A ,C ᶄ,E 三点共线时,A C ᶄ最小．在R t әA O E 中,A O ＝２３,
O E ＝３,所以A E ＝２１,此时A C ᶄ＝A E －E C ᶄ＝
２１－３．
通过上述解法还可得出,当点C ᶄ落在A E 的延长
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线上时,A C ᶄ可取得最大值２１＋３．
３转化为圆上一点到圆外一直线的距离最值
结论:设圆的半径为r ,圆心O 到圆外一条直线l
的距离为d ,则圆上任意一点P 到直线l 的最大距离为d ＋r ,最小距离为d －
r ．
图６
如图６,连接O P ,
作PH 垂直l 于点H ,易知PH ＋O P ȡO H １＝
O P １＋P １H １,
即PH ȡP １H １,所以当点P 在P １的位置,即点P 在线
段O H 上时,P H 取得最小值d －r ;又因为P H ɤP O ＋
O H １＝P ２O ＋O H １＝P ２H １,
即PH ɤP ２H １,所以当点P 在P ２的位置,即点O 在线段PH 上时,PH 取得最大值d ＋r ．
同上述方法,可以在特定的轴对称问题中构造辅助圆
,借助以上结论快速找到解决最值问题的突破口．图７
例３㊀如图７,在R tәA B C
中,øC ＝９０ʎ,A C ＝３,B C ＝４,
点E 在边A C 上,C E ＝１,
点D 是边B C 上的动点,将әC D E 沿D E 翻折得到әC ᶄD E ,求әA B C ᶄ面积的最小值．
解析:因为将әC D E 沿D E 翻折得到әC ᶄD E ,
由轴对称的性质可知E C ＝E C ᶄ＝１,所以点C ᶄ在以点E 为圆心,
１为半径的圆上运动．
图８
如图８,作C ᶄH 垂直A B 于点
H ,在点C ᶄ运动的过程中,E C ᶄ＋
C ᶄH ȡE H ,当点E ,C ᶄ,H 三点共线时C ᶄH 最小．
由已知可得A E ＝２,A B ＝５,根据әAH E ʐәA C B ,有E H B C ＝A E A B ,故E H ４＝２
５
,
所以E H ＝
８５,C ᶄH ＝８５－１＝３
５
．此时әA B C ᶄ面积最小,最小值为１
２
ˑA B ˑC ᶄH ＝３
２
．
４构造轴对称转化为与圆有关的距离最值
由上述案例可知,在特定的轴对称背景下的最值问题可以转化为与圆相关的最值问题简便求解．更进一步的,在部分最值问题中,还可以考虑通过将图形翻折,构造出某组对应线段共顶点的轴对称模型,巧
用圆化解问题．
图９
例４㊀如图９,在әA B C 中,
øB A C ＝１２０ʎ,点D 在әA B C 的内部或边上,点E 在әA B C 的外
部,满足A D ＝A E ＝２,B E ＝４,
C D ＝１,øC A D ＋øC A E ＝１８０ʎ．
(１)求证:øA B C ＋øA C B ＝øB A E ＋øC A D ;
(２)线段B C 的长度是否存在最大值,若存在,求出该值,若不存在
,请说明理由．图１０
解析:(１)如图１０,延长E A 至点F ．
因为øC A D ＋øC A E ＝１８０ʎ,所以øC A F ＝øC A D ,
所以øB A E ＋øC A D ＝øB A E ＋øC A F
＝１８０ʎ－øB A C ＝øA B C ＋øA C B ,
即øA B C ＋øA C B ＝øB A E ＋øC A
D ;
图１１
(２)如图１１,将线段B E 沿
B A 翻折后得到线段B E ᶄ,由对称性可知B E ᶄ＝B E ＝４,所以点E ᶄ在以点B 为圆心,４为半径的圆上运动．
连接A E ᶄ,E ᶄD ,因为øB A C ＝１２０ʎ,所以øE A B ＋øC A F ＝６０ʎ．
由于A B ,A C 分别平分øE A E ᶄ,øD A F ,所以øB A E ᶄ＋øD A C ＝６０ʎ,øE ᶄA D ＝６０ʎ．
因为A E ᶄ＝A E ＝A D ＝２,故әA E ᶄD 为等边三
角形,E ᶄD ＝２,所以B C ɤB E ᶄ＋E ᶄD ＋D C ＝４＋２＋
１＝７．
当点E ᶄ,D 落在B C 边上时,B ,E ᶄ,D ,C 四点共
线,此时B C 存在最大值,该值为７．Z
０
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