专题27 基本不等式-高考全攻略之备战2018年高考数学理考点一遍过 含解析 精品

考点27 基本不等式
基本不等式：
错误！未找到引用源。

（1）了解基本不等式的证明过程.
（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
一、基本不等式
1．基本不等式：
错误！未找到引用源。

（1）基本不等式成立的条件：错误！未找到引用源。

.
（2）等号成立的条件，当且仅当错误！未找到引用源。

时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
，几何平均数为错设错误！未找到引用源。

，则a、b的算术平均数为
错误！未找到引用源。

误！未找到引用源。

，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当错误！未找到引用源。

时，x＋y有最小值是错误！未找到引用源。

.(简记：积定和最小)
（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当错误！未找到引用源。

时，xy有最大值是
错误！
.(简记：和定积最大)
未找到引用源。

4．常用结论
（1）错误！未找到引用源。

（2）
错误！未找到引用源。

（3）
错误！未找到引用源。

（4）
错误！未找到引用源。

（5）错误！未找到引用源。

（6）
错误！未找到引用源。

（7）
错误！未找到引用源。

二、基本不等式在实际中的应用
1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；
2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及
错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

等．
解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．
考向一利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的常用技巧：
（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．
（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配.
①拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．
②并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．
③配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.
典例1若正数a ，b 满足错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的最小值为
A ．1
B ．6
C ．9
D ．16
【答案】B
【解析】解法一：因为错误！未找到引用源。

，所以a ＋b =ab ⇒(a −1)·(b −1)=1，
所以错误！未找到引用源。

=2×3=6(当且仅当错误！未找到引用源。

，b =4时取“=”).
解法二：因为错误！未找到引用源。

，所以a ＋b =ab ，
所以
错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

(当且仅当错误！未找到引用源。

，b =4时取“=”)．
解法三：因为错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，所以
错误！未找到引用源。

(当且仅当b =4时取“=”)．
【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
1．已知错误！未找到引用源。

为正实数，则错误！未找到引用源。

的最大值为 A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C．
错误！未找到引用源。

D．
错误！未找到引用源。

考向二基本不等式的实际应用
有关函数最值的实际问题的解题技巧：
（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
（3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.
典例 2 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为错误！未找到引用源。

，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
【答案】5 8
【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型
错误！未找到引用源。

上靠拢.
2．某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房，经初步估计得知，如果将楼房建为错误！未找到引用源。

层，则每平方米
的平均建筑费用为
错误！未找到引用源。

（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=错误！未找到引用源。

）
考向三基本不等式的综合应用
基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：
（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.
典例3下列不等式一定成立的是
A．
错误！未找到引用源。

B．
错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．
错误！未找到引用源。

【答案】C
【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题.
3．已知实数错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，若不等式
错误！未找到引用源。

，对任意的正实数错误！未找到引用源。

恒成立，则实数错误！未找到引用源。

的取值范围是
A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

典例4 已知正项等比数列错误！未找到引用源。

满足：错误！未找到引用源。

，若存在两项错误！未找到引用源。

，使得错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的最小值为
A ．错误！未找到引用源。

B ．9
C ．错误！未找到引用源。

D ．不存在
【答案】C
错误！未找到引用源。

，当且仅当错误！未找到引用源。

时等号成立.
综上，错误！未找到引用源。

的最小值为错误！未找到引用源。

.本题选择C 选项.
【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
4．函数错误！未找到引用源。

的图象恒过定点A ，若点A 在直线错误！未找到引用源。

上，则错误！未找到引用源。

的最小值为________.
1．“a >b >0”是“ab <错误！未找到引用源。

”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．函数
错误！未找到引用源。

取得最小值时，错误！未找到引用源。

的值为
A．
错误！未找到引用源。

B．
错误！未找到引用源。

C．1 D．2
3．已知错误！未找到引用源。

，则
错误！未找到引用源。

的最小值是
A．2 B．错误！未找到引用源。

C．4 D．5
4．若正实数a，b满足错误！未找到引用源。

，则
A．
错误！未找到引用源。

有最大值4 B．错误！未找到引用源。

有最大值错误！未找到引用源。

C．ab有最小值
错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

有最小值
错误！未找到引用源。

5．在平面直角坐标系中，已知第一象限的点错误！未找到引用源。

在直线错误！未找到引用
源。

上，则
错误！未找到引用源。

的最小值为
A．24 B．25
C．26 D．27
6．在区间
错误！未找到引用源。

上随机地取一个数错误！未找到引用源。

，使
错误！未找到
引用源。

恒成立的概率是
A．
错误！未找到引用源。

B．
错误！未找到引用源。

C．
错误！未找到引用源。

D．
错误！未找到引用源。

7．已知错误！未找到引用源。

，如果不等式
错误！未找到引用源。

恒成立，那么错误！未找到引用源。

的最大值等于
A．10 B．7
C．8 D．9
8．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储
时间为错误！未找到引用源。

天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产
品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 A ．60件 B ．80件 C ．100件
D ．120件
9．设正实数x ，y ，z 满足错误！未找到引用源。

，则当错误！未找到引用源。

取得最大值时，
错误！未找到引用源。

的最大值为
A ．0
B ．1
C ．错误！未找到引用源。

D ．3
10．已知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

成等比数列，则错误！未找到引用源。

有 A ．最小值错误！未找到引用源。

B ．最小值错误！未找到引用
源。

C ．最大值错误！未找到引用源。

D ．最大值错误！未找到引用
源。

11．当x >0时，错误！未找到引用源。

的最大值为.
12．已知x >0，y >0，且错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的最小值为. 13．若实数错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的最
小值为.
14．已知错误！未找到引用源。

的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，错误！未找到引用
源。

，当内角C 最大时，错误！未找到引用源。

的面积等于. 15．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，
正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：
（1）仓库底面积S 的取值范围是多少？
（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？
1．（2017年高考山东卷）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 A ．()21log 2a b a a b b +
<<+ B ．()21log 2a b a b a b <+<+ C ．()21log 2
a b a a b b +
<+< D ．()21log 2a b a b a b +<+<
2．（2015年高考陕西卷）设错误！未找到引用源。

，若错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则下列关系式中正确的是
A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

3．(2017年高考天津卷)若错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引
用源。

的最小值为___________．
4．（2017年高考江苏卷）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买错误！未找到引用源。

吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为错误！未找到引用源。

万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则错误！未找到引用源。

的值是___________．
1．【答案】C
【方法点睛】分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值.
2．【答案】当错误！未找到引用源。

时，最小值为5000元.
【解析】设楼房每平方米的平均综合费用为错误！未找到引用源。

，
则错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，当且仅当错误！未找到引用源。

时，等号取到.
所以，当错误！未找到引用源。

时，最小值为5000元. 3．【答案】D
4．【答案】4
【解析】由题意知A (1,1)，∴错误！未找到引用源。

，
∵m >0，n >0，∴错误！未找到引用源。

，当且仅当错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

时取等号.
1．【答案】A
【解析】a >b >0⇒a 2
+b 2
>2ab ，充分性成立，ab <错误！未找到引用源。

⇒a ≠b ，a ，b 错误！
未找到引用源。

R ，必要性不成立，故选A. 2．【答案】B
【解析】错误！未找到引用源。

，当且仅当错误！未找到引用源。

时取等号,此时
错误！未找到引用源。

，故选B.
3．【答案】C
【解析】由
可知，
，当且仅当
，即
时等号成立，
又
，当且仅当，即，，即
时等号成立．
4．【答案】B
【解析】∵正实数a ，b 满足错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

,当且仅当
错误！未找到引用源。

时取等号.故错误！未找到引用源。

有最小值4，故A 不正确；
由于错误！未找到引用源。

,∴错误！未找到引用源。

⩽错误！未找到引用源。

,故错误！
未找到引用源。

有最大值错误！未找到引用源。

，故B 正确；
由基本不等式可得a +b =1⩾2错误！未找到引用源。

,∴错误！未找到引用源。

,故ab 有最
大值错误！未找到引用源。

，故C 不正确；
∵错误！未找到引用源。

,故错误！未找到引用源。

有最小值错误！未找到引用源。

，故D 不正确. 故选B. 5．【答案】B
6．【答案】A
【解析】由错误！未找到引用源。

恒成立，得错误！未找到引用源。

，
设错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，当且仅当错误！未找到引用源。

，即错
误！未找到引用源。

时，等号成立，所以问题转化为错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

，所以在区间错误！未找到引用源。

上随机地取一个数错误！未找到引用源。

时，使错误！未找到引用源。

恒成立的概率是错误！未找到引用源。

，故选择A. 7．【答案】D
【解析】不等式错误！未找到引用源。

恒成立，即不等式错误！未找到引用源。

恒成立，
而错误！未找到引用源。

当且仅当错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

时取等
号，所以错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

的最大值等于错误！未找到引用源。

，选D ． 8．【答案】B
【解析】每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是错误！未找到引用源。

元，仓
储费用是错误！未找到引用源。

元，每件产品的总费用为错误！未找到引用源。

，当且仅当
错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

时取等号.故选B.
9．【答案】B
【解析】由题意得，
错误！未找到引用源。

，当且仅当错误！未找到引用源。

时等号成立，
此时错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

，当且仅当错误！未找到引用源。

时等
号成立，故所求的最大值为1.
【名师点睛】解题的关键是通过条件转化成能利用基本不等式的形式进行求解. 10．【答案】A
11．【答案】1
【解析】∵x >0，∴错误！未找到引用源。

，当且仅当错误！未找到引用源。

，即x =1时取
等号．
12．【答案】错误！未找到引用源。

【解析】∵x >0，y >0，且
错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

，当且仅当
错
误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

时，取等号．
13．【答案】4
【解析】因为
错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

.所以
错误！未找到引
用源。

,即错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

.当且仅当错误！未找到引
用源。

时取等号，故错误！未找到引用源。

的最小值为4. 14．【答案】错误！未找到引用源。

【解析】根据正弦定理及错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

，∴
错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

，当且仅当错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

时，
等号成立，此时错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

.
15．【答案】（1）错误！未找到引用源。

；（2）当S 取到最大允许值100 m 2
时，正面铁栅长为
15 m.
∵x >0，y >0，
∴错误！未找到引用源。

当且仅当错误！未找到引用源。

时取等号， ∴错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

. ∴错误！未找到引用源。

， ∴0<S ≤100.
故S 的取值范围是错误！未找到引用源。

．
（2）当S =100 m 2
时，错误！未找到引用源。

，且xy =100. 解之得x =15(m)，错误！未找到引用源。

(m)．
答：仓库面积S 的取值范围是错误！未找到引用源。

，当S 取到最大允许值100 m 2
时，正
面铁栅长为15 m.
1．【答案】B
【解析】因为错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，所以
221,01,1,log ()log 1,2a
b
a b a b ><<∴
<+>= 错误！未找到引用源。

，所以选B. 2．【答案】C
3．【答案】错误！未找到引用源。

【解析】错误！未找到引用源。

（前一个等号成立的条件是错误！未找到引用源。

，后一个等号成立的条件是错误！未找到引用源。

，两个等号可以同时成立，当且仅当错误！未找到引用源。

时取等号）．
【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：
①错误！未找到引用源。

，当且仅当错误！未找到引用源。

时取等号；
②错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，当且仅当错误！未找到引用源。

时取等
号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．4．【答案】30
【解析】总费用为错误！未找到引用源。

，当且仅当错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

时等号成立．
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．。