二元一次方程组含参问题解析版

二元一次方程组含参问题

考试要求：

例题精讲：

板块一 三元一次方程组

☞三元一次方程组

解三元一次方程组的基本方法是将三元一次方程组通过消元的方式，转化为二元一次方程组来求解

【例1】 解下列方程组

⑴3423126x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩ ①②③ ⑵2

24104x y z x y z x y z -+=⎧⎪

+-=⎨⎪++=⎩ ①②③ 【解析】代入消元法或加减消元法

【答案】⑴ ①+②得，5216x y += ④

②+③得，3418x y += ⑤

④2⨯-⑤得，714x =，2x =，把2x =代入④式得3y = 把2x =，3y =代入③得1z =

∴原方程组的解为231x y z =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

⑵310x y z =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

【巩固】已知有理数x 、y 、z 满足2(2)3673340x z x y y z --+--++-=，求x 、y 、z 的值

【解析】考查了非负数性质的应用

【答案】由非负数的性质可得2036703340x z x y y z --=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩，解得3

131

x y z =⎧⎪⎪

=⎨⎪

⎪=⎩

板块二 含参数方程组

☞方程组解x 与y 之间数量关系

【例2】 方程组43235x y k

x y -=⎧⎨+=⎩

的解x 与y 的值相等，则k 等于________

【解析】方法一：将求解得，56

109k x k y +⎧

=⎪⎪⎨-⎪=

⎪⎩

，∵x 与y 的值相等，∴51069k k +-=

∴1k =

此方法为通用解法，很多同学都会采用这种方法，但是我们发现这种方法虽然正确，但是解题效率比较低，因此我们可以考虑其他方法

方法二：∵x 与y 的值相等，∴x y =

我们可以降原问题转化为解关于x 、y 、k 的三元一次方程组43235x y k x y x y -=⎧⎪

+=⎨⎪=⎩

①②③，只

需要求出k 的值即可，将③代入①、②得，∴1x =，1k =

【答案】1k =

【巩固】若方程组431

(1)3x y ax a y +=⎧⎨+-=⎩

的解x 与y 相等，则a 的值等于_________

【解析】转化为关于x 、y 、a 的三元方程组，求解即可

【答案】11a =

【巩固】若联立方程式310

23x ay x y +=⎧⎨-=⎩

的解x 与y 之和是3，试求出此联立方程的解与a 的值

【解析】转化为①②③，可以先将②③组合求出x 、y ，再代入方程①，略

【答案】2

1x y =⎧⎨=⎩

，4a =

【巩固】若方程组322543x y k

x y k +=⎧⎨+=+⎩的解之和5x y +=-，求k 的值

【解析】方法一：解方程组，然后代入，略

方法二：转化为解三元方程组3225435x y k x y k x y +=⎧⎪

+=+⎨⎪+=-⎩

，略

43235x y k x y -=⎧⎨+=⎩55x k

x =⎧⎨=⎩

431

(1)3x y ax a y x y +=⎧⎪

+-=⎨⎪=⎩

310233x ay x y x y +=⎧⎪

-=⎨⎪+=⎩322543x y k

x y k +=⎧⎨+=+⎩

5x y +=-

方法三：整体构造，①

②

，②-①得，223x y k +=-

∵，∴310k -=-，∴13k =

【答案】

【巩固】若方程组352

23x y k x y k +=+⎧⎨+=⎩的解x 、y 的值和为2，试求k 的值

【解析】给出构造法，其他略，①

②，②2⨯-①，得2x y k +=-

∵2x y +=，∴22k -=，∴4k =

【答案】4k =

☞同解方程

【例3】 已知方程组3247x y mx ny -=⎧⎨+=⎩与2319

53mx ny y x -=⎧⎨-=⎩

有相同的解，求m 、n 的值

【解析】∵方程组3247x y mx ny -=⎧⎨+=⎩与2319

53mx ny y x -=⎧⎨-=⎩

有相同的解

∴可以将原问题转化为324

7

231953

x y mx ny mx ny y x -=⎧⎪+=⎪

⎨-=⎪⎪-=⎩ ①②③④，可由方程①④，先进行求解，再将

所得的结果代入②③求解m 、n 的值

【答案】由题意得32453x y y x -=⎧⎨-=⎩，解得2

1x y =⎧⎨=⎩

将21x y =⎧⎨=⎩

代入72319mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩得27

4319m n m n +=⎧⎨-=⎩

解得41m n =⎧⎨=-⎩

【巩固】已知两组x 、y 的二元一次方程组2320x y ax by -=-⎧⎨-=⎩

与9

23ax by x y +=⎧⎨-=⎩有相同的解，试求a 、

b 的值

【解析】略

【答案】1

2a b =⎧⎨=⎩

【巩固】已知两组关于x 、y 的二元一次方程组3522x y ax by +=⎧⎨+=⎩

与320

25ax by x y -=⎧⎨-=⎩有相同的值，

试求a 、b 的值

【解析】略

322543x y k x y k +=⎧⎨+=+⎩5x y +=-13k =35223x y k x y k +=+⎧⎨+=⎩