2023年高三数学《函数的单调性与奇偶性》知识梳理与专项练习(含答案解析)

2023年高三数学《函数的单调性与奇偶性》知识梳理
与专项练习（含答案解析）
知识梳理
一 函数的单调性
1. 单调性的定义
一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有
12()()f x f x <，
那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有
12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数。

2.单调性的注意事项
1. 函数的单调性要针对区间而言，因此它是函数的局部性质；对于连续函数，单调区间可闭可开，即“单调区间不在一点处纠结”；单调区间不能搞并集。

2. 若函数()f x 满足1212()[()()]0x x f x f x −−
>，则函数在该区间单调递增；若满足
1212()[()()]0x x f x f x −−<，则函数在该区间单调递减。

3. 函数单调性的判断方法主要有：
(1) 定义法：在定义域内的某个区间D 上任取12,x x 并使得12x x <，通过作差比较1()
f x 与
2()f x 的大小来判断单调性。

(2) 性质法：若函数()f x 为增函数，()g x 为增函数，()h x 为减函数，()x ϕ为减函数，则有
①()()f x g x +为增函数，②()()f x h x −为增函数， ③()()h x x ϕ+为减函数，④()()h x g x −为减函数。

(3) 图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。

二 函数的奇偶性
一.函数奇偶性的定义：
(1)对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =− ⇔函数()f x 是偶函数； (2)对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f −=− ⇔函数()f x 是奇函数。

二．函数奇偶性的相关性质
1.奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。

这两个概念的区别之一就是:奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；
2.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.
3.常用的结论：若()f x 是奇函数，且x 在0处有定义，则()0f x =;
4.(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反;奇函数()f x 在区间[],(0)a b a b ≤<上单调递增(减)，则()f x 在区间[],b a −−上也是单调递增(减)；
(2)偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同;偶函数()f x 在区间[],(0)a b a b ≤<上单调递增(减)，则()f x 在区间[],b a −−上是单调递减(增)；
5.若函数()g x 是奇函数,()f x 是奇函数 ，定义域都是关于原点对称的 (1) ()()g x f x ±是奇函数, (2) ()()g x f x ⋅或
()
()
g x f x 是偶函数 (3) |()|f x 是偶函数, (4) (||)f x 是偶函数
6.若函数()g x 是偶函数,()f x 是偶函数 ，定义域都是关于原点对称的 (1) ()()g x f x ±是偶函数, (2) ()()g x f x ⋅或
()
()
g x f x 是偶函数 (3) |()|f x 是偶函数, (4) (||)f x 是偶函数
7.若函数()g x 是奇函数,()f x 是偶函数，定义域都是关于原点对称的 (1) ()()g x f x ±是非奇非偶函数, (2) ()()g x f x ⋅或
()
()
g x f x 是奇函数 8. 若函数()g x 是偶函数,()f x 是奇函数 ，定义域都是关于原点对称的 (1)()g x c ±是是偶函数 (2)()f x c ±是非奇非偶函数, 9.若函数(),(),[()]g x f x f g x ，定义域都是关于原点对称 (1) ()g x 是奇函数时，()f x 奇函数，则[()]y f g x =是奇函数； (2) ()g x 是奇函数时，()f x 偶函数，则[()]y f g x =是偶函数；
题型战法
题型战法一 单调性与奇偶性的判断
典例1．下列函数既是偶函数又在()0,∞+上单调递减的是（ ） A ．1y x x
=+ B ．3y x =− C ．2y x =− D ．2
1y x =−
【答案】C 【解析】 【分析】
逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案. 【详解】
解析：A 项1y x x
=+，B 项3y x =−均为定义域上的奇函数，排除； D 项2
1
y x =−
为定义域上的偶函数，在(0,)+∞单调递增，排除； C 项2y x =−为定义域上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递减. 故选：C.
变式1-1．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上是单调递增函数的是（ ） A ．||1y x =− B ．23y x =−+
C ．lg y x =
D ．3x y =
【答案】A 【解析】 【分析】
根据奇偶性与单调性的概念逐一判断 【详解】
对于A ，函数为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，满足题意 对于B ，函数为偶函数，但在(0,)+∞上单调递减，故B 错误 对于C ，函数为非奇非偶函数，故C 错误 对于D ，函数为非奇非偶函数，故D 错误 故选：A
变式1-2．下列函数中为奇函数，且在定义域上是增函数的是（ ） A ．22x x y −=+ B ．sin y x =
C ．tan y x =
D ．5
3y x =
【答案】D 【解析】 【分析】
结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．
【详解】
对于函数()22x x y f x −==+，定义域为R ，且()()22x x
f x f x −−==+，所以函数
22x x y −=+为偶函数，不符合题意；
对于sin y x =在定义域R 上不单调，不符合题意； 对于tan y x =在定义域上不单调，不符合题意；
对于5
3y x =，由幂函数的性质可知，函数5
3y x =在定义域R 上为单调递增的奇函数，符合题意． 故选：D ．
变式1-3．下列函数中，既是奇函数又在区间(),0−∞上单调递增的是（ ） A ．()cos f x x =− B ．()sin f x x = C ．()tan f x x = D ．()31
f x x x −=−
【答案】D 【解析】 【分析】
利用()cos f x x =−是偶函数判定选项A 错误；利用(2π)(π)0f f −=−=判定选项B 错误；利用()tan f x x =的定义域判定选项C 错误；利用奇偶性的定义证明()f x 是奇函数，再通过基本函数的单调性判定()f x 的单调性，进而判定选项D 正确. 【详解】
对于A ：()cos f x x =−是偶函数，即选项A 错误；
对于B ：()sin f x x =是奇函数，但(2π)(π)0f f −=−=， 所以()sin f x x =在区间(),0−∞上不单调递增， 即选项B 错误；
对于C ：()tan f x x =是奇函数，
但()tan f x x =的定义域为ππ(π,π)22
k k −++，Z k ∈， 即选项C 错误；
对于D ：因为R x ∀∈，R x −∈，
有()3311
()()()()x x f f x x x x −−=−−=−−=−−−，
即()f x 是奇函数；
因为3
1y x =在区间(),0−∞上单调递增，
121
y x x
−−=−=
在区间(),0−∞上单调递增， 所以()31
f x x x −=−在区间(),0−∞上单调递增，
即选项D 正确. 故选：D.
变式1-4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．y x =， x ∈R B ．1()2
x y = ，x ∈R C ．y x =， x ∈R D ．3y x =− ，x ∈R
【答案】D 【解析】 【分析】
根据基本函数的奇偶性和单调性进行判断即可求解. 【详解】
对于A ：y x =是偶函数，故选项A 错误；
对于B ：1()2
x
y =是非奇非偶函数，故选项B 错误；
对于C ：y x =是奇函数，且在定义域(,)−∞+∞上为增函数， 故选项C 错误；
对于D ：3y x =−是奇函数，且在定义域(,)−∞+∞上为减函数， 故选项D 正确. 故选：D.
题型战法二 函数（包含复合函数）的单调区间
典例2．函数2()24f x x x =−+的单调区间为（ ） A ．在R 上单调递增
B ．在R 上单调递减
C ．在(,1)−∞单调递增，在(1,)+∞单调递减
D ．在(,1)−∞单调递减，在(1,)+∞单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】
求出函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】
2()24f x x x =−+的对称轴为1x =，开口向上，
所以2()24f x x x =−+在在(,1)−∞单调递减，在(1,)+∞单调递增， 故选：D
变式2-1．函数1()f x x
=的单调递减区间是（ ） A ．(,0),(0,)−∞+∞ B ．(0,)+∞ C ．(,0)(0,)−∞+∞ D ．(,0)−∞
【答案】A 【解析】 【分析】
根据反比例函数的性质得解； 【详解】
解：因为1()f x x
=定义域为(,0)(0,)−∞+∞，函数在(,0)−∞和(0,)+∞上单调递减， 故函数的单调递减区间为(,0)−∞和(0,)+∞； 故选：A
变式2-2．函数()|2|f x x =−−的单调递减区间为（ ） A ．（–∞，2] B ．[2，+∞） C ．[0，2] D ．[0，+∞）
【答案】B 【解析】 【分析】
直接根据函数的解析式可得函数|2|y x =−的单调区间，即可得到答案； 【详解】
∵22222
x x y x x x −≥⎧=−=⎨
−+<⎩，，， ∴函数|2|y x =−的单调递减区间是（–∞，2]，增区间为[2，+∞）， ∴()|2|f x x =−−的单调递减区间是[2，+∞）， 故选：B ．
变式2-3．函数y = ） A ．[)1,−+∞ B ．[)1,+∞
C ．(],1−∞−
D ．(],3−∞−
【答案】B 【解析】
先求得函数y 的定义域为(][),31,−∞−+∞，再结合二次函数性质和复合函数单调性的
判定方法，即可求解. 【详解】
令2230x x +−≥，解得3x ≤−或1≥x ，即函数y 的定义域为(][),31,−∞−+∞，
又由函数()2
23f x x x =+−表示开口向上，且对称轴的方程为1x =−的抛物线，
根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数y =[)1,+∞. 故选：B.
变式2-4．函数()()2
13
log 6f x x x =−++的单调递减区间为（ ）
A ．12,2
⎛⎫
− ⎪⎝
⎭
B ．1,2
⎛⎫
−∞ ⎪⎝
⎭
C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．1,32
⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
根据真数大于零，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函数的单调递减区间. 【详解】
由260x x −++>得，()2,3x ∈−
所以函数()()2
13
log 6f x x x =−++的定义域为()2,3−
令26t x x =−++，则13
log y t
=是单调递减函数 又26t x x =−++，在12,2⎛
⎫
− ⎪⎝
⎭
上单调递增，在1,32
⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减
由复合函数的单调性可得函数()()2
13log 6f x x x =−++的单调递减区间为12,2⎛⎫− ⎪
⎝
⎭. 故选：A. 【点睛】
本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的定义域，对数函数的性质，属于中档题.
题型战法三 根据奇偶性求解析式
典例3．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，2()f x x x =+，则当0x <时，()f x =（ ） A ．2x x + B ．2x x −+ C ．2x x − D ．2x x −−
【答案】B 【解析】 【分析】
根据奇函数的性质，利用()()f x f x =−−，即可求出结果. 【详解】
设0x <，则0x −>，所以()2
f x x x −=−，
又()f x 为奇函数，所以()()()22
f x f x x x x x =−−=−−=−+，
所以当0x <时，()2
f x x x =−+.
故选：B.
变式3-1．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，()2f x x =+，则当0x <时，
()f x =（ ）
A ．2x −−
B ．2x −+
C ．2x −
D ．2x +
【答案】B 【解析】 【分析】
当0x <时可得0x −>，整体代入已知解析式结合函数的奇偶性可得． 【详解】
解：当0x <时可得0x −>， 当0x >时，()2f x x =+，
()2f x x ∴−=−+，
又函数为定义在R 上的偶函数，
∴当0x <时2()f x x =−+， 故选：B ．
变式3-2．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()21x f x x =+−，则当0x <时，
()f x =（ ）
A ．21x x −−−
B ．21x x −++
C ．121x −−−−
D ．121x −−++
【答案】D 【解析】 【分析】
根据奇函数的性质进行求解即可. 【详解】
当0x <时，则0x −>，因为()f x 是奇函数， 所以()()21x f x f x x −=−−=−++. 故选：D
变式3-3．函数f (x )为R 上奇函数，且()1(0)f x x =>，则当0x <时，f (x )＝（ ）
A ．1
B ．1
C 1
D 1
【答案】B 【解析】 【分析】
根据奇函数的性质进行求解即可. 【详解】
当0x <时，0x −>， 因为函数f (x )为R 上奇函数，
所以()()1)1f x f x =−−=−=， 故选：B
变式3-4．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1x f x e −=−，则当0x <时，()f x =（ ） A ．e 1x −− B ．e 1x −+ C ．e 1x −−− D ．1x e −+
【答案】D 【解析】 【分析】
首先设0x <，得到0x −>，再代入()1x f x e −=−，利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】
设0x <，则0x −>，因为函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1x f x e −=−，
()()1x f x e f x −=−=−，即：()1x f x e =−+.
故选：D
题型战法四 根据单调性与奇偶性解不等式
典例4．已知奇函数()f x 是定义在区间()2,2−上的增函数，且()()210f t f t ++>，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,23⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B ．11
,32
⎛⎫− ⎪⎝
⎭
C ．1,23
⎛⎫− ⎪⎝⎭
D ．13,22
⎛⎫− ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的单调性、奇偶性、定义域化简不等式()()210f t f t ++>，从而求得t 的取值范围. 【详解】
依题意奇函数()f x 是定义在区间()2,2−上的增函数，
()()()()()210,21f t f t f t f t f t ++>+>−=−，
211122
322212
t t
t t t +>−⎧⎪
−<<⇒−<<⎨⎪−<+<⎩
. 故选：B
变式4-1．定义在R 上的偶函数)f x 在区间[)0,∞+上单调递增，若()()1ln f f x <，则
x 的取值范围是（ ）
A ．()e,+∞
B ．()1,+∞
C ．()(),e e,−∞−⋃+∞
D ．()10,e,e
⎛⎫
⋃+∞ ⎪⎝
⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
根据偶函数及单调性解不等式即可. 【详解】
由题意，ln 1x >，则e x >或10,e
x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭.
故选:D.
变式4-2．若函数()f x 是定义在R 上单调递增的奇函数，且()21f =，则使得
()10f x +<成立的x 的取值范围为（ ）
A ．()2,+∞
B ．()2,−+∞
C ．(),2−∞
D ．(),2−∞−
【答案】D 【解析】 【分析】
根据奇函数的性质，结合单调性进行求解即可. 【详解】
因为函数()f x 是奇函数，所以()2(2)1f f −=−=−， 由()10f x +<可得()1f x <−，即()()2<−f x f ， 又因为函数()f x 是定义在R 上单调递增函数， 所以2x <−. 故选：D
变式4-3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递减，()30f −=，则不等式()0xf x >的解集为 （ ） A ．()(),30,3−∞−⋃ B ．()(),33,−∞−+∞ C ．()()3,00,3− D ．()()3,03,−⋃+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
根据()f x 的单调性、奇偶性画出()f x 的大致图象，由此确定正确选项. 【详解】
依题意函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递减，在(),0∞−上递增，
()()330f f =−=.
画出()f x 的大致图象如下图所示，
由图可知，不等式()0xf x >的解集为()(),30,3−∞−⋃. 故选：A
变式4-4．已知定义在R 上的函数()y f x =是偶函数，且在[0,)+∞上单调递减，则不等式(1)()f x f x −>的解集为（ ） A ．(2,)+∞ B ．(,0)(2,)−∞+∞ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．2,(2,)3
⎛⎫
−∞−+∞ ⎪⎝
⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
利用函数为偶函数可得()f x 在(,0]−∞上单调递增，从而可得|1|||x x −<，解不等式即可求解. 【详解】
因为()f x 为偶函数，且在[0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(,0]−∞上单调递增. 由(1)()f x f x −>，得|1|||x x −<，解得12
x >， 即不等式(1)()f x f x −>的解集为1,2
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. 故选：C
题型战法五 根据单调性与奇偶性比大小
典例5．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)1212,0,(),x x x x ∈+∞≠有
()()1212
0f x f x x x −<−，则（ ）
A ．()()()321f f f <−<
B ．()()()123f f f <−<
C ．()()()213f f f −<<
D ．()()()312f f f <<−
【答案】A 【解析】 【分析】
先判断函数的单调性，再利用函数的奇偶性得解. 【详解】
解：因为对任意的[)1212,0,(),x x x x ∈+∞≠有()()1212
0f x f x x x −<−，
所以函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递减，
所以()()()321f f f <<，又因为函数()f x 是偶函数， 所以()()()321f f f <−<. 故选：A
变式5-1．设偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,x ∈+∞时，()f x 是减函数，则()2f −，
()πf ，()3f −的大小关系是（ ）．
A ．()()()π32f f f >−>−
B ．()()()2π3f f f −>−>
C ．()()()3π2f f f −<−<
D ．()()()2π3f f f −<−<
【答案】C 【解析】 【分析】
依据偶函数性质及函数单调性即可对()2f −，()πf ，()3f −进行大小比较. 【详解】
函数()f x 为偶函数，则()()2f −=，()()33f f −= 当[)0,x ∈+∞时，()f x 是减函数，又23π<<， 则(2)(3)(π)f f f >>，则(2)(3)(π)f f f −>−> 故选：C
变式5-2．已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，则()1f 和()10f −的大小关系为（ ） A ．()()110f f >− B ．()()110f f <−
C ．()()110f f =−
D ．()1f 和()10f −关系不定
【答案】A 【解析】 【分析】
结合函数的单调性、奇偶性确定正确选项. 【详解】
依题意，偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，()()1010f f −=，
所以()()()11010f f f >=−. 故选：A
变式5-3．定义域为R 的函数()f x 满足:对任意的12,R x x ∈，有1212()(()())0x x f x f x −⋅−>，则有（ ） A ．(2)(1)(3)f f f −<< B ．(1)(2)(3)f f f <−< C ．(3)(2)(1)f f f <−< D ．(3)(1)(2)f f f <<−
【答案】A 【解析】 【分析】
利用函数的单调性，判断选项即可． 【详解】
定义域在R 上的函数()f x 满足：对任意的1x ，2x R ∈，有1212()(()())0x x f x f x −⋅−>， 可得函数()f x 是定义域在R 上的增函数， 所以(2)f f −<（1）f <（3）． 故选：A ．
变式5-4．已知函数()f x 在区间[)0,∞+上是增函数，则(2),(),(3)f f f π的大小关系是（ ）
A ．()()()23f f f π>>
B ．()()()32f f f π>>
C ．()()()23f f f π>>
D ．()()()32f f f π>> 【答案】D 【解析】 【分析】
结合()f x 的单调性比较出三者的大小关系． 【详解】
因为在区间[0,)+∞上是增函数，并且32π>>，所以()(3)(2)f f f π>>， 所以D 选项的正确的． 故选：D
题型战法六 根据单调性求参数
典例6．已知()2
23f x x x =++在()9,a −为单调函数，则a 的取值范围为（ ）
A ．(),1−∞−
B ．(],1−∞−
C ．()9,1−−
D ．(]9,1−−
【答案】D 【解析】 【分析】
求出()2
23f x x x =++的单调性，从而得到91a −<≤−.
【详解】
()223f x x x =++在(),1−∞−上单调递减，在()1,−+∞上单调递增，故要想在()9,a −为单
调函数，需满足91a −<≤−， 故选：D
变式6-1．已知二次函数221y x ax =−+在区间()2,3内是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][),23,−∞⋃+∞ B ．[]2,3 C ．(][),32,−∞−⋃−+∞ D ．[]3,2−−
【答案】A 【解析】 【分析】
结合图像讨论对称轴位置可得. 【详解】 由题知，当222a −−≤或232
a
−−≥，即2a ≤或3a ≥时，满足题意. 故选：A
变式6-2．已知函数2()2f x x ax b =−+在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞） B ．（-∞，1] C ．[-1，+∞） D ．（-∞，-1]
【答案】A 【解析】 【分析】
由对称轴与1比大小，确定实数a 的取值范围. 【详解】
2()2f x x ax b =−+对称轴为x a =，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以
[)1,a ∈+∞.
故选：A
变式6-3．若函数()()2
318f x x mx m =−+∈R 在()0,3上不单调，则m 的取值范围为（ ）
A ．02m ≤≤
B ．02m <<
C ．0m ≤
D ．2m ≥
【答案】B 【解析】 【分析】
要想在()0,3上不单调，则对称轴在()0,3内 【详解】
()()2318f x x mx m =−+∈R 的对称轴为32m x =
，则要想在()0,3上不单调，则()30,32
m
∈，解得：()0,2m ∈ 故选：B
变式6-4．已知函数()()31,1
1,1x
x f x a x x ⎧−≥⎪=⎨−<⎪⎩
，满足对任意的实数12x x ≠，都有
()()1212
0f x f x x x −>−成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．()1,3
B ．[)1,3
C ．(]1,3
D ．[]1,3
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意可知函数为增函数，然后列出式子1
10
131a a −>⎧⎨−≤−⎩
计算即可. 【详解】
由题可知：任意的实数12x x ≠，都有
()()1212
0f x f x x x −>−成立
所以函数()f x 为R 上的增函数，所以1
10
131a a −>⎧⎨−≤−⎩
，得到13a <?，即(]1,3a ∈ 故选：C
题型战法七 根据奇偶性求参数
典例7．若函数()22x x a
f x a
+=−为奇函数，则实数a 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．1−
D ．±1
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意可得()()0f x f x −+=，计算可得1a =±，经检验均符合题意，即可得解. 【详解】 由()f x 为奇函数，
所以()22122()022122x x x x x
x x x a a a a
f x f x a a a a
−−+++⋅+−+=+=+=−−−⋅−， 所以222220x x a ⋅−⋅=，可得21a =， 解得1a =±，
当1a =−时，()f x 的定义域为R ，符合题意，
当1a =时，()f x 的定义域为()(),00,∞−+∞U 符合题意， 故选：D
变式7-1．已知函数()331,0
,0
x x f x ax b x ⎧+>=⎨+<⎩为偶函数，则2a b +=（ ）
A ．3
B ．32
C ．12
−
D ．32
−
【答案】B 【解析】 【分析】
利用偶函数的性质直接求解即可. 【详解】
由已知得，当0x >时，则0x −<，即()31f x x =+，()3
f x ax b −=−+，
∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x −=，即331x ax b +=−+，
∴1a =−，1b =，∴1
32212
a b −+=+=，
故选：B .
变式7-2．若函数f (x )＝ax 2＋(2b －a )x ＋b －a 是定义在[2－2 a ， a ]上的偶函数，则
−a b ＝（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】 【分析】
利用偶函数的图象关于y 轴对称，可列出方程组，即可得到答案； 【详解】
二次函数为偶函数，∴对称轴为y 轴，且区间[2－2 a ， a ]关于原点对称，
2202
201a a a b a b ⎧−+==⎧⇒⎨
⎨−==⎩⎩
1a b ∴−=
故选：A
变式7-3．已知函数()3
f x x ax b =++为奇函数，则b =（ ）
A ．1−
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据奇函数性质知，()00f =，代入求得参数值. 【详解】
因为()3
f x x ax b =++为奇函数，且()f x 的定义域为R ．
所以()00=f ，所以0b =，经检验符合题意． 故选：B ．
变式7-4．2()4f x ax bx a =+−是偶函数，其定义域为[]1,2a a −−，则a b +等于（ ） A ．1 B ．1− C ．1
3
D ．01
【答案】B 【解析】 【分析】
根据偶函数的定义域关于原点对称()120a a −+−=求得a 的值，再由()()f x f x −=恒成立求得b 的值即可求解. 【详解】
因为2()4f x ax bx a =+−是偶函数，其定义域为[]1,2a a −−，
所以()120a a −+−=，可得1a =−，()f x 定义域为[]22−,
， 所以2()4f x x bx =−++，
由()()f x f x −=可得：2244x bx x bx −−+=−++对于[]2,2x ∈−恒成立， 所以20bx =，可得0b =，所以1a b +=−， 故选：B.。