2023年高考数学----等比放缩典型例题讲解

2023年高考数学----等比放缩典型例题讲解
例1．（2022·重庆八中高三阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知1=2a ，{}32n n a S −是公差为2的等差数列. (1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：
12111
1n
a a a ++⋅⋅⋅+<. 【解析】（1）111322a S a −==，()322212n n a S n n ∴−=+−=，即3
2n n S a n =−； 当2n ≥且n *∈N 时，()1133
122
n n n n n a S S a n a n −−=−=−−+−，
即132n n a a −=+，()1131n n a a −∴+=+，又113a +=，
∴数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，
13n n a ∴+=，则31n n a =−.
（2）由（1）得：11
31n
n a =−，
()()212323320331331331n n n n n n n n n ⋅−−−−==>−−−，123n n a ∴<， 2121111112221332111333313
n n n n a a a ⎛⎫
− ⎪⎝⎭
∴++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=⨯=−<−.
例2．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中0,q
n N *>∈．
(1)若2322,,2a a a +成等差数列，求{}n a 的通项公式；
(2)设数列{}n b 满足n b =且253b =
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：()1433
n n
n n T n N *−−>∈．
【解析】（1）由11n n S qS +=+得211n n S qS ++=+，两式相减得21(1)n n a qa n ++=≥， 由211S qS =+可得21a qa =，故1n n a qa +=对所有n N *∈都成立， 所以数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列，从而1n n a q −=， 由2322,,2a a a +成等差数列可得32232a a =+，化简得22320q q −−=， 又0q >，解得1
2,2
q q ==−（舍去），
所以()12n n a n −*
=∈N ．
（2
）由题意可知n b ==
由253b =
53
，解得44,33q q ==−（舍去），
又22
2(1)
1144411333n n n −−−⎡⎤⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+=+>⎢⎥⎢⎥ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
1
43n −⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()143n n b n N −*⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，
则1
1241443143
313
n
n n b b b −⎛⎫− ⎪⎛⎫⎝⎭+++>+
++=
⎪⎝⎭−， 即()1433
n n
n n T n N *−−>∈．
例3．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，已
知3453a a S +=，154a a S =，数列{}n b 满足()1
1322n n n b b n −−=+≥，且111b a =−.
(1)求{}n a 的通项公式，并证明数列12n n
b ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
是等比数列； (2)若数列{}n c 满足()
()()1
14111n n n n n
c a a −+=−−−，求{}
n c 的前n 项和的最大值、最小值. (3)求证：对于任意正整数n ，
12
11132
n b b b +++<. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，
由3451543a a S a a S +=⎧⎨=⎩，可得111111
5423(3)52
43(4)42a d a d a d a a d a d ⨯⎧
+++=+⎪⎪⎨⨯⎪+=+⎪⎩
，解得122a d =⎧⎨=⎩或100a d =⎧⎨=⎩（舍去），
22(1)2n a n n =+−=∴．
又1111b a =−=，则
113122
b +=， 由()1
1322n n n b b n −−=+≥，可得
1131
2222
n n n n b b −−=⋅+，∴11311222n n n n b b −−⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴数列12n n
b ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
是以32为首项，32为公比的等比数列； （2）由（1）可得()
()()()()()()
()()1
11
144411111212212121n n n n n n n n n c a a n n n n −−−+=−=−=−−−−+−−+
()
()()()()()1
12121122111121121n n n n n n n n −−⎛⎫
=−+ ⎪++−=+−⎝−+−⎭
，
设{}n c 的前n 项和为n W ，
则()11231111111111335572121n n n W c c c c n n −⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+++⋯+=+−++++⋯+−+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
1
1(1)21
n n −=+−+， 当n 为奇数时，1121
n W n =++随着n 的增大而减小，可得4
13n W <≤，
当n 为偶数时，1121
n W n =−
+随着n 的增大而增大，可得4
15n W ≤<，
n W ∴的最大值为
43
，最小值为4
5．
（3）证明：因为数列12n n
b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，32为公比的等比数列， ∴3122n
n n
b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，∴32n n
n b =−． 所以1111
323n n n n b −=≤−， 所以
123
1111n
b b b b ++++ 21
111133
3n −≤+++
+
11133131123213
n n
⎡⎤⎛⎫⨯−⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==−<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦−， 所以
12
11132
n b b b +++
<． 例5．（2022·浙江大学附属中学高三期中）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，{}32n n a S −是公差为2的等差数列.
(1)求证{}1n a +为等比数列，并求{}n a 的通项公式；
(2)证明：12
111
1n
a a a ++
+<. 【解析】（1）因为{}32n n a S −是公差为2的等差数列，1111123232a S a a a −−===，
所以()232122n n n n a S =−⨯−+=， 当2n ≥时，112322n n a n S −−=−−，
两式相减得，12332n n n a a a −−−=，即132n n a a −=+， 故()1131n n a a −+=+，又113a +=，
所以{}1n a +是首项为3，公比为3的等比数列， 故1
133
3n n n a −+=⨯=，则31n n a =−.
（2）因为*N n ∈，所以()
2313323323n n n n n
−>+−>+−>，则
211331n n n a >=−，即123n
n a <， 所以2
1
2
1113311122
2
12111
333313
n
n n
n a a a ⎡⎤⎛⎫−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦++
+
<+++
=⨯=−< ⎪⎝⎭
−.
例6．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，22
121n n a a n −−=−，{}
n a 的前n 项和为n S .
(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；
(2)数列{}n b 是等比数列，q 为数列{}n b 的公比，且13b q a ==，记21
n n n n
S a c b −+=，证明：122733
n c c c ≤++⋅⋅⋅+< 【解析】（1）当2n ≥时，22121n n a a n −−=−累加可得22,0,,n n n a n a a n =>\=且当1n =时，11
a =符合，n a n ∴=.
由等差数列前n 项和的公式可得：(1)
2
n n n S +=
（2）由（1）得21
3n n n c +=，
对于左边，12
3c =
，又1
20,3n n k k c c =>>å， 对于右边，212(1)121
3221312212112
2,(1)(11)313133
n n
n n n n c
n n n n c n n ++++++++?=?+?=++,. 综上：122
7
3
3
n c c c ?+
+<成立.
例7．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三开学考试）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，
12n n S a +=+．
(1)证明：数列{}2n S −为等比数列；
(2)记数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：2n T <．
【解析】（1）因为
()
1122n n n n S a S S ++=+=+−，所以122n n S S +=+，
所以()1222n n S S +−=−， 因为120S −≠，所以10n S −≠，
12
22
n n S S +−=−， 故数列{}2n S −为等比数列，首项为121S −=，公比为2；
（2）由（1）可知122n n S −−=，所以11
111222n n n S −−=<+， 所以21111111212121222212
n n n n T −⎛
⎫− ⎪⎛
⎫⎝⎭<+++⋅⋅⋅+==−< ⎪⎝⎭−．。