习题-不等式及其解法

专题七 不等式
7.1 不等式及其解法
基础篇 固本夯基
考点一 不等式的概念与性质
1.(2022届四川绵阳诊断,2)若0<a<b,则下列结论正确的是( )
A.ln a>ln b
B.b 2<a 2
C.1a <1b
D.(12)a >(12)b
答案 D
2.(2022届安徽芜湖模拟,10)已知a,b 为实数且a>b>0,则下列所给4个不等式中一定成立的是( ) ①1a -1<1b -1;②2 022a-2 021>2 022b-2 021;③a+b+2>2√a +2√b ;④1a +1b >4a+b .
A.②④
B.①③
C.②③④
D.①②③④
答案 C
3.(2022届新疆模拟,3)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a>b>0,则下列结论错误．．
的是( ) A.1a <1b B.log 2(a-b)>0
C.a 12>b 12
D.3a >3b
答案 B
4.(2021河南焦作二模,6)已知1a >1b >0,则下列不等式①b a >1;②|a|>|b|;③a 3>b 3;④(12)a >(12)b ,其中正确的是( )
A.①②
B.③④
C.②③
D.①④
答案 D
5.(2021河北唐山模拟,5)已知
x>0,y>0,M=x 2x+2y ,N=4(x -y)5,则M 和N 的大小关系为( )
A.M>N
B.M<N
C.M=N
D.以上都有可能
答案 A
6.(2021安徽宣城二模,6)设m=log 45,n=log 315,则( )
A.m+n<0<mn
B.mn<0<m+n
C.m+n<mn<0
D.mn<m+n<0
答案 D
7.(2017北京,13,5分)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.
答案-1,-2,-3(答案不唯一)
考点二不等式的解法
1.(2022届江西上饶月考,9)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数,则实数a的取值范围是()
A.[-2,-1)∪(3,4]
B.(-2,-1)∪(3,4)
C.(3,4]
D.(3,4)
答案A
2.(2021东北三省模拟,7)关于x的不等式ax-b>0的解集是(-1,+∞),则关于x的不等式(bx+a)(x-3)>0的解集是()
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.(-1,3)
C.(1,3)
D.(-∞,1)∪(3,+∞)
答案C
3.(2021新疆第二次适应性检测,3)若关于x的不等式cosx-2
x2-mx-n
>0的解集为(-2,3),则mn=()
A.5
B.-5
C.6
D.-6
答案C
4.(2020陕西汉中二模,12)对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么使得不等式4[x]2-36[x]+45<0成立的x的取值范围是()
A.(3
2,15
2
) B.[2,8]
C.[2,8)
D.[2,7]
答案C
5.(2021河南六市二模,9)已知定义域为R的函数f(x)在[2,+∞)上单调递减,且f(4-x)+f(x)=0,则使得不等式f(x2+x)+f(x+1)<0成立的实数x的取值范围是()
A.{x|-3<x<1}
B.{x|x<-1或x>3}
C.{x|x<-3或x>1}
D.{x|x≠-1}
答案C
6.(2021安徽安庆一中月考,11)若a<0,则不等式a(x+1)·(x+1
a
)>0的解集是()
A.{x|-1<x<-1
a } B.{x|-1
a
<x<-1}
C.{x|x<-1
a 或x>-1} D.{x|x<-1或x>-1
a
}
答案A
7.(2021北京东城一模,6)已知函数f(x)={2x -1,0<x <2,6-x,x ≥2,
则不等式f(x)≥√x 的解集为( ) A.(0,1] B.(0,2] C.[1,4] D.[1,6]
答案 C
8.(2022届上海二模,7)不等式
2x -a x+a >0的解集为M,且2∉M,则实数a 的取值范围是 .
答案 (-∞,-2]∪[4,+∞)
综合篇 知能转换
考法 含一元二次不等式恒成立问题的常见解法
1.(2022届四川乐山期中,7)不等式x 2+ax+4<0的解集为空集,则a 的取值范围是( )
A.[-4,4]
B.(-4,4)
C.(-∞,-4)∪[4,+∞)
D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
答案 A
2.(2022届湖南联考,9)已知函数f(x)=-x 2+ax+b 2-b+1(a,b ∈R),对任意实数x 都有f(1+x)=f(1-x)成立,当x ∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b 的取值范围是( )
A.(-1,0)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.(-∞,-1)
答案 C
3.(2021安徽名校期末,4)已知使不等式x 2+(a+1)x+a ≤0成立的任意一个x,都满足不等式3x-1≤0,则实数a 的取值范围为( )
A.(-13,+∞)
B.[-13,+∞)
C.(-∞,-13)
D.(-∞,-13]
答案 B
4.(2020安徽舒城模拟,7)若不等式x 2+px>4x+p-3在0≤p ≤4时恒成立,则x 的取值范围是( )
A.[-1,3]
B.(-∞,-1]
C.[3,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
答案 D
5.(2021西安中学二模,16)函数f(x)={ln(2-x),x≤1,
-x2+1,x>1,
若|f(x)|-ax+a≥0恒成立,则实数a的取值范围
是.
答案[0,2]
6.(2021河南新乡一模,16)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,当x≥0时,f(x)=x2.若不等式1
4
f(ax2)+f(3-x)≥0对任意x∈R恒成立,则实数a的最小值为.
答案1
6
应用篇知行合一
应用不等式在实际问题中的应用
1.(2022届安徽六校联考,7实际生活)现有一台不等臂的天平,它有左、右两个托盘,若同一个物体放在左、右托盘各测一次所得的质量分别是a,b(单位:g),则下列关于物体的真实质量m(g)的表述正确的是()
A.m<√ab
B.m>a+b
2
C.m<a+b
2
D.m>√ab
答案C
2.(2021吉林白山联考(三),10实际生活)光线通过一块玻璃,强度要损失10%,若光线强度要减弱到原来的1
5以下,则要通过这样的玻璃的块数至少为(lg3≈0.477,lg2≈0.3)()
A.14
B.15
C.16
D.18
答案C
3.(2021陕西汉中二模,4实际生活)在流行病学中,基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本
传染数高于1时,每个感染者平均会感染一个以上的人,从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长,当基本传染数持续低于1时,疫情才可能逐渐消散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染病的基
本传染数为R0,1个感染者在每个传染期会接触到N个新人,这N个人中有V个人接种过疫苗(V
N
称为接种率),那么1个感染者新的传染人数为R0
N
(N-V).已知新冠病毒在某地的基本传染数R0=5,为了使1个感染者新的传染人数不超过1,该地疫苗的接种率至少为()
A.50%
B.60%
C.70%
D.80%
答案D
4.(2019课标Ⅰ,4,5分
美育教育)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5-12√5-12≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉
的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子
下端的长度为26 cm,则其身高可能是( )
A.165 cm
B.175 cm
C.185 cm
D.190 cm
答案 B
5.(2021呼和浩特一模,15实际生活)若a 克不饱和糖水中含有b 克糖,则糖的质量分数为b
a ,这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m 克糖,生活经验告诉我们糖水会变甜,从而可抽象出不等式b+m a+m >
b a (a>b>0,m>0),数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出log 32 log 1510(用“<”或“>”填空);并写出上述结论所对应的一个糖水不等式 .
答案 <;ln2+ln5ln3+ln5>ln2ln3(第二空答案不唯一)
6.(2019北京,14,5分实际生活)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%. ①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x 的最大值为 . 答案 ①130 ②15。