2023年河北省邯郸市高考数学一模试卷【答案版】

2023年河北省邯郸市高考数学一模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣8＜0}，B ＝{x |y ＝ln （x +1）}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，2）
B ．（﹣1，4）
C ．（0，2）
D ．（0，4）
2．已知复数z 是方程x 2+4x +5＝0的一个根，且复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，则z =（ ） A ．2﹣i
B ．2+i
C ．﹣2﹣i
D ．﹣2+i
3．在等差数列{a n }中，“a 2+a 5＝a 3+a m ”是“m ＝4”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝2，则2a+1
+
8b+1
的最小值是（ ）
A ．2
B ．4
C ．9
2
D ．9
5．已知函数f （x ﹣1）为偶函数，且函数f （x ）在[﹣1，+∞）上单调递增，则关于x 的不等式f （1﹣2x ）＜f （﹣7）的解集为（ ） A ．（﹣∞，3）
B ．（3，+∞）
C ．（﹣∞，2）
D ．（2，+∞）
6．抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），一条平行于x 轴的光线，经过点A （3，1），射向抛物线C 的B 处，经过抛物线C 的反射，经过抛物线C 的焦点F ，若|AB |+|BF |＝5，则抛物线C 的准线方程是（ ） A ．x ＝﹣4
B ．x ＝﹣2
C ．x ＝﹣1
D ．x =−1
2
7．某校大一新生A ，B ，C ，D 欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社．已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有（ ） A ．21种 B ．30种
C ．42种
D ．60种
8．已知a =
3301，b =2201，c =ln 101100
，则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞b D ．b ＞a ＞c
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知向量a →
=(2，1)，|b →
|=2|a →|，且a →
⊥b →，则b →
=（ ） A ．（2，﹣4）
B ．（﹣2，﹣4）
C ．（﹣2，4）
D ．（2，4）
10．已知函数f （x ）＝log 2（x +6）+log 2（4﹣x ），则（ ） A ．f （x ）的定义域是（﹣6，4） B ．f （x ）有最大值
C ．不等式f （x ）＜4的解集是（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）
D ．f （x ）在[0，4]上单调递增 11．已知双曲线C ：
x 2a 2
−
y 2b 2
=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作圆x 2+y 2＝a 2的切线
l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．若a ＝3，b ＝4，则|BF 1|+|BF 2|＝26
B ．若BF 2⊥BF 1，则双曲线
C 的渐近线方程为y ＝±2x C ．若|MB |＝2|MF 1|，则双曲线C 的离心率是√13
D ．若M 是BF 1的中点，则双曲线C 的离心率是√5
12．在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，P 在棱BC 上（不包括端点），则下列判断正确的是（ ）
A ．存在点P ，使得AP ⊥平面DD 1E
B ．存在点P ，使得三棱锥P ﹣DD 1E 的体积为45
C ．存在点P ，使得点P 到DE 的距离为5
D ．当P 为BC 的中点时，三棱锥P ﹣DD 1
E 外接球的表面积为86π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．身体质量指数，也就是BMI 指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．某校为了解该校学生的身体健康情况，从某班随机抽取20名学生进行调查，得到这20名学生的BMI 指数分别是15，15.3，15.6，15.9，16.2，16.6，17.5，17.8，18.2，18.7，19.3，19.5，20.3，21.1，21.5，22.7，22.9，23.1，23.4，23.5，则这组数据的第65百分位数是 ．
14．在正四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ＝AB ，点E ，F 满足PD →
=3PE →
，DP →
=3DF →
，则异面直线BE 与CF 所成角的余弦值为 ．
15．已知点A （0，0），B （6，0），符合点A ，B 到直线l 的距离分别为1，3的直线方程为 （写出一条即可）．
16．在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为边AB 的中点，G ，F 分别为边AD ，BC 上的动点，且∠FEG =
2π
3
，则GE +EF 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ﹣1．
（1）求{a n }的通项公式；
（2）若b n ＝a n +log 2a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ．
18．（12分）已知函数f(x)=√3sin2ωx −2cos 2ωx +2(ω∈N +)在(π，4π
3)上单调． （1）求f （x ）的单调递增区间；
（2）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＝3，f(A
2
)=2，求△ABC 周长的最大值． 19．（12分）如图1，四边形ABCD 是等腰梯形，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，AD ＝2BC ＝2EF ＝4．将四边形ABFE 沿着EF 折起到四边形A 1B 1FE 处，使得A 1C ＝3，如图2，G 在A 1E 上，且A 1E →
=3A 1G →
． （1）证明：A 1C ∥平面DFG ；
（2）求平面DFG 与平面A 1CD 夹角的余弦值．
20．（12分）甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各投篮一次．比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得﹣1分；若甲未投中，乙投中，甲得﹣1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．当甲、乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜：4轮比赛后，若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局、甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.6，且互不影响．一轮比赛中甲的得分记为X ． （1）求X 的分布列；
（2）求甲、乙两人最终平局的概率；
（3）记甲、乙一共进行了Y 轮比赛，求Y 的分布列及期望． 21．（12分）已知椭圆C ：
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线x 2﹣y 2＝1的离心率互为倒数，点A
（2，2）在椭圆C 上，不过点A 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线AP ，AQ 的斜率之和为1，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由．
22．（12分）已知函数f （x ）＝sin x ﹣ax cos x ．
（1）当a ＝1时，求曲线y ＝f （x ）在x =π
2处的切线方程；
（2）对任意的x ∈（0，+∞），都有f （x ）＜ax 2+ax ，求a 的取值范围．
2023年河北省邯郸市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，B＝{x|y＝ln（x+1）}，则A∩B＝（）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，4）C．（0，2）D．（0，4）
解：因为A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}＝{x|﹣2＜x＜4}，
B＝{x|y＝ln（x+1）}＝{x|x＞﹣1}，
则A∩B＝{x|﹣1＜x＜4}．
故选：B．
2．已知复数z是方程x2+4x+5＝0的一个根，且复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则z=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i
解：复数范围内方程x2+4x+5＝0的根为x＝﹣2±i，
因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限，
所以z＝﹣2﹣i，则z=−2+i．
故选：D．
3．在等差数列{a n}中，“a2+a5＝a3+a m”是“m＝4”的（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：当{a n}的公差d＝0时，由a2+a5＝a3+a m，得m是任意的正整数，
所以由“a2+a5＝a3+a m”推不出“m＝4”，
由m＝4，得a2+a5＝a3+a m，
所以由“m＝4”可以推出“a2+a5＝a3+a m”，
则“a2+a5＝a3+a m”是“m＝4”的必要不充分条件．
故选：A．
4．已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则2
a+1+
8
b+1
的最小值是（）
A．2B．4C．9
2
D．9解：因为a+b＝2，所以（a+1）+（b+1）＝4，
则
2
a+1
+
8
b+1
=
1
4
[(a+1)+(b+1)](
2
a+1
+
8
b+1
)=
1
4
[
2(b+1)
a+1
+
8(a+1)
b+1
+10]≥
1
4
×(2×4+
10)=9
2，
当且仅当a=1
3
，b=
5
3
时，等号成立．
故选：C．
5．已知函数f（x﹣1）为偶函数，且函数f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，则关于x的不等式f（1﹣2x）＜f（﹣7）的解集为（）
A．（﹣∞，3）B．（3，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）
解：因为f（x﹣1）为偶函数，所以f（x﹣1）的图像关于y轴对称，
则f（x）的图像关于直线x＝﹣1对称，
因为f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，所以f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递减，
因为f（1﹣2x）＜f（﹣7）＝f（5），所以﹣7＜1﹣2x＜5，
解得x＜3，
即原不等式的解集为（﹣∞，3）．
故选：A．
6．抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），一条平行于x轴的光线，经过点A（3，1），射向抛物线C的B 处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若|AB|+|BF|＝5，则抛物线C的准线方程是（）
A．x＝﹣4B．x＝﹣2C．x＝﹣1D．x=−1
2
解：由抛物线的定义可得|AB|+|BF|=3+p
2
=5，解得p＝4，则
抛物线C的准线方程是x=−p
2
=−2．
故选：B．
7．某校大一新生A，B，C，D欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社．已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有（）
A．21种B．30种C．42种D．60种
解：4名大一新生分成2个组，一组1人另一组3人或2个组各2 人，有C41+C42
A22
种方案，
3个社团选择2个社团，有C32种方案，
把2个组分配给2个社团，有A22种方案，
由题意可得这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有（C41+C42
A22
）C32A22=42种．
故选：C ． 8．已知a =
3301，b =2201，c =ln 101100
，则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞b D ．b ＞a ＞c
解：因为a −b =
3301−2201=603−602301×201=1
301×201
＞0，所以a ＞b ． 设f(x)=lnx −2(x−1)x+1，则f ′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2
x(x+1)
2≥0，故f(x)=lnx −2(x−1)
x+1在（0，+∞）上单调递增．
因为f （1）＝0，所以f(101100)=ln 101100−2(101
100−1)101100
+1
=ln 101100−2
201＞f(1)=0，即c ＞b ．
设g(x)=lnx −
3(x−1)x+2，则g ′(x)=1x −9(x+2)2=(x−1)(x−4)x(x+2)
2，当x ∈（1，4）时，g '（x ）＜0，则g （x ）在（1，4）上单调递减．
因为g （1）＝0，所以g(101100)=ln 101100−3(101100−1)101100
+2
=ln 101100−3
301＜g(1)=0，即a ＞c ．
综上a ＞c ＞b ． 故选：B ．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知向量a →
=(2，1)，|b →
|=2|a →
|，且a →
⊥b →
，则b →
=（ ） A ．（2，﹣4）
B ．（﹣2，﹣4）
C ．（﹣2，4）
D ．（2，4）
解：设b →
=(x ，y)，因为|b →
|=2|a →
|，a →
⊥b →
，所以{b →
2=4a →
2a →⋅b →=0
⇒{x 2+y 2=202x +y =0
，解得{x =2y =−4或{x =−2y =4，
故b →=(2，−4)或b →
=(−2，4)． 故选：AC ．
10．已知函数f （x ）＝log 2（x +6）+log 2（4﹣x ），则（ ） A ．f （x ）的定义域是（﹣6，4） B ．f （x ）有最大值
C ．不等式f （x ）＜4的解集是（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）
D ．f （x ）在[0，4]上单调递增 解：由题意可得{
x +6＞0
4−x ＞0
，解得﹣6＜x ＜4，即f （x ）的定义域是（﹣6，4），则A 正确；
f(x)=log 2(−x 2−2x +24)，因为y ＝﹣x 2﹣2x +24在（﹣6，﹣1）上单调递增，在（﹣1，4）上单调递减，y ＝log 2x 在（0，+∞）上单调递增，所以f （x ）在（﹣6，﹣1）上单调递增，在（﹣1，4）上单调递减，所以f （x ）max ＝f （﹣1）＝2log 25，则B 正确；
因为f （x ）在（﹣6，﹣1）上单调递增，在（﹣1，4）上单调递减，且f （﹣4）＝f （2）＝4，所以不等式f （x ）＜4的解集是（﹣6，﹣4）∪（2，4），则C 错误； 因为f （x ）在（﹣1，4）上单调递减，所以D 错误． 故选：AB ． 11．已知双曲线C ：
x 2a 2
−
y 2b 2
=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作圆x 2+y 2＝a 2的切线
l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．若a ＝3，b ＝4，则|BF 1|+|BF 2|＝26
B ．若BF 2⊥BF 1，则双曲线
C 的渐近线方程为y ＝±2x C ．若|MB |＝2|MF 1|，则双曲线C 的离心率是√13
D ．若M 是BF 1的中点，则双曲线C 的离心率是√5 解：如图所示，
对于A ：由a ＝3，b ＝4，得c ＝5，所以|OF 1|＝5，|OM |＝3，|MF 1|＝4， 设|BF 2|＝m ，则|BF 1|＝m +6，
在△BF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠BF 1F 2=(m+6)2
+102
−m 22×10(m+6)=4
5，解得m ＝10，
则|BF 2|＝10，|BF 1|＝16，从而|BF 1|+|BF 2|＝26，故A 正确；
对于B ：由BF 2⊥BF 1，得OM ∥BF 2，因为O 为F 1F 2的中点，所以M 为BF 1的中点， 由题意可知|OM |＝a ，|MF 1|＝b ，则|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝2b ． 由双曲线的定义可得|BF 1|﹣|BF 2|＝2b ﹣2a ＝2a ，即b ＝2a ， 则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，故B 正确； 对于C ：由|MB |＝2|MF 1|，得|BF 1|＝3b ，则|BF 2|＝3b ﹣2a ，
在△BF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠BF 1F 2=(3b)2+(2c)2−(3b−2a)2
2×3b×2c =b
c
，
整理得b a =3
2
，则e =√(b a )2+1=√13
2，故C 错误；
对于D ：因为M ，O 分别是BF 1，F 1F 2的中点，所以OM ∥BF 2，所以|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝2b ． 由双曲线的定义可得|BF 1|﹣|BF 2|＝2b ﹣2a ＝2a ，即b ＝2a ，则e =√(b
a )2+1=√5，故D 正确． 故选：ABD ．
12．在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，P 在棱BC 上（不包括端点），则下列判断正确的是（ ）
A ．存在点P ，使得AP ⊥平面DD 1E
B ．存在点P ，使得三棱锥P ﹣DD 1E 的体积为45
C ．存在点P ，使得点P 到DE 的距离为5
D ．当P 为BC 的中点时，三棱锥P ﹣DD 1
E 外接球的表面积为86π
解：以D 1为原点，分别以D 1A 1→
，D 1C 1→
，D 1D →
的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为AB ＝6，所以D 1（0，0，0），D （0，0，6），A （6，0，6），E （6，3，0），P （t ，6，6）（0＜t ＜6），
对于A ：当P 是BC 的中点时，P （3，6，6），AP →
=(−3，6，0)，D 1E →
=(6，3，0)，D 1D →
=(0，0，6)， 所以{AP →
⋅D 1E →
=0AP →⋅D 1D →
=0
， 所以AP ⊥D 1E ，AP ⊥D 1D ，D 1E ∩D 1D ＝D 1，D 1E ，D 1D ⊂平面DD 1E ， 所以AP ⊥平面DD 1E ，则A 正确；
对于B ：由正方体的性质可得DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，则DD 1⊥D 1E ，
因为AB ＝6，所以DD 1＝6，D 1E =3√5，则△DD 1E 的面积S =1
2×6×3√5=9√5，
由选项A 可知，平面DD 1E 的一个法向量n →
=1
3AP →=(−1，2，0)，D 1P →
=(t ，6，6)，设点P 到平面DD 1E 的距离为h ，则ℎ=|n →
⋅D 1P →||n →|
=
12−t
5
， 由0＜t ＜6，则
6√55＜ℎ＜12√5
5
，从而三棱锥P ﹣DD 1E 的体积V ∈（18，36），故B 错误； 对于C ：DE →
=(6，3，−6)，DP →
=(t ，6，0)，则点P 到DE 的距离d =√DP →
2−(
DP →⋅DE →
|DE →
|
)2=
√5t 2−24t+288
3
，
因为0＜t ＜6，所以
12√55
≤d ＜6，5＜12√5
5，则C 错误；
对于D ：如图，分别取棱AB ，B 1C 1的中点F ，G ，连接DF ，EF ，EG ，D 1G ，PG ，PD ，PF ， 则三棱锥P ﹣DD 1E 的外接球与三棱柱DFP ﹣D 1EG 的外接球为同一个球． 由题意可得D 1E =D 1G =3√5，EG =3√2，
由余弦定理可得cos ∠ED 1G =D 1E 2+D 1G 2
−EG 2
2D 1E⋅D 1G =45，从而sin ∠ED 1G =3
5
， 则△D 1EG 的外接圆半径r =EG 2sin∠ED 1
G =5√2
2，
从而三棱柱DFP ﹣D 1EG 外接球的半径R 满足R 2=r 2+(AA 12)2=504+9=86
4
， 故其外接球的表面积S ＝4πR 2＝86π，D 正确． 故选：AD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．身体质量指数，也就是BMI 指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．某校为了解该校学生的身体健康情况，从某班随机抽取20名学生进行调查，得到这20名学生的BMI 指数分别是15，15.3，15.6，15.9，16.2，16.6，17.5，17.8，18.2，18.7，19.3，19.5，20.3，21.1，21.5，22.7，22.9，23.1，23.4，23.5，则这组数据的第65百分位数是 20.7 ． 解：因为20×0.65＝13， 所以这组数据的第65百分位数是20.3+21.1
2
=20.7．
故答案为：20.7．
14．在正四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ＝AB ，点E ，F 满足PD →
=3PE →
，DP →
=3DF →
，则异面直线BE 与CF 所成角的余弦值为
√70
14
． 解：如图，取棱PC 的中点G ，连接BG ，EG ，
由题意可知PE ＝EF ，即E 是PF 的中点，
因为G 是PC 的中点，所以EG ∥CF ，则∠BEG 是异面直线BE 与CF 所成的角（或补角），
正四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ＝AB ，设AB ＝6，△CFD 中，CD ＝6，DF ＝2，∠PDC ＝60°，CF =√CD 2+FD 2−2×CD ×FD ×cos∠CDF =√62+22−2×6×2×1
2=2√7， 则EG =12
CF =√7，
正三角形PBC 中，BG =3√3，△BPD 与△BAD 中，PB ＝AB ，PD ＝AD ，BD ＝BD ，△BPD ≅△BAD ， ∴∠BPD ＝∠BAD ＝90°，BE =√BP 2+PE 2=√62+22=2√10， 在△BEG 中，由余弦定理可得cos ∠BEG =40+7−27
2×2√10×√7
=√7014．
故答案为：
√70
14
． 15．已知点A （0，0），B （6，0），符合点A ，B 到直线l 的距离分别为1，3的直线方程为 x +2√2y +3=0或x −2√2y +3=0或2x +√5y −3=0或2x −√5y −3=0（写出一条即可） （写出一条即可）． 解：由题意可知直线l 是圆x 2+y 2＝1与圆（x ﹣6）2+y 2＝9的公切线，
因为两圆为外离关系， 所以满足条件的直线l 有四条，
当直线l 是两圆的外公切线时，由几何性质（相似三角形的性质）易知直线l 过点（﹣3，0）， 设直线l 的方程为x ＝my ﹣3，则
√1+m 2
=1，解得m =±2√2，
此时直线l 的方程为x +2√2y +3=0或x −2√2y +3=0，
当直线l 是两圆的内公切线时，由几何性质（相似三角形的性质）易知直线l 过点(3
2，0)，
设直线l 的方程为x =ny +3
2，则
|32
|
√1+n 2
=1，解得n =±√5
2，
此时直线l 的方程为2x +√5y −3=0或2x −√5y −3=0．
故答案为：x +2√2y +3=0或x −2√2y +3=0或2x +√5y −3=0或2x −√5y −3=0（写出一条即可）．
16．在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为边AB 的中点，G ，F 分别为边AD ，BC 上的动点，且∠FEG =
2π3，则GE +EF 的取值范围是 [8√33
，2√6] ． 解：如图，
设∠AEG ＝α，则∠FEB =
π3−α，GE =2cosα，EF =2
cos(π3
−α)， ∴GE +EF =2cosα+2cos(π3−α)=3cosα+3sinα√32
sinαcosα+12
cos =8√3sin(α+π3)2sin(2α+π
6)+1
， 令t =sin(α+π3)，则sin(2α+π6)=−cos(2α+π6+π2)=−cos(2α+2π3)=2sin 2(α+π
3)−1=2t 2−1， ∴GE +EF =
8√3t 4t 2−1=8√34t−1
t
， ∵α∈[π
12，π
4]，∴α+π
3∈[5π
12，7π
12]，∴t ∈[√6+√2
4
，1]，
又易知y =4t −1
t 在[√6+√2
4
，1]上单调递增，
∴2√2≤4t −
1
t
≤3， ∴
8√33≤GE +EF =8√3
4t−
1t
≤2√6． 故答案为：[8√3
3，2√6]．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ﹣1． （1）求{a n }的通项公式；
（2）若b n ＝a n +log 2a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1﹣1，解得a 1＝1．
当n ≥2时，S n ﹣1＝2a n ﹣1﹣1，则a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n ﹣2a n ﹣1，即a n ＝2a n ﹣1（n ≥2），
从而{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 因此a n =a 1q n−1=2n−1，n ≥2， 又当n ＝1时，也满足， 故a n =2n−1．
（2）由（1）可得a n+1=2n ，则b n =2n−1+n ， 故T n =(1+1)+(2+2)+(22+3)+⋯+(2n−1+n) ＝（1+2+22+⋯+2n ﹣
1）+（1+2+3+⋯+n ）
=1−2n 1−2+(1+n)n 2
=2n+1
+n 2+n−2
2
． 18．（12分）已知函数f(x)=√3sin2ωx −2cos 2ωx +2(ω∈N +)在(π，4π
3)上单调． （1）求f （x ）的单调递增区间；
（2）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＝3，f(A 2
)=2，求△ABC 周长的最大值． 解：（1）由题意可得f(x)=√3sin2ωx −cos2ωx +1=2sin(2ωx −π6)+1， 因为f （x ）在(π，4π
3
)上单调， 所以1
2×
2π|2ω|
≥
4π3
−π，解得−32≤ω≤3
2，
因为ω∈N +，
所以ω＝1，即√3sin2ωx −cos2ωx +1=2sin(2x −π
6)+1， 令2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π
2(k ∈Z)， 解得kπ−π6≤x ≤kπ+π
3(k ∈Z)，
即f （x ）的单调递增区间是[kπ−π6，kπ+π3
](k ∈Z)； （2）因为f(A
2)=2， 所以2sin(A −π6
)+1=2， 所以sin(A −π6)=12
， 因为0＜A ＜π， 所以−π6＜A −π6＜5π
6， 所以A =π
3，
由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，
即b 2+c 2﹣bc ＝9，即3bc ＝（b +c ）2﹣9， 因为bc ≤(b+c 2
)2
，当且仅当b ＝c 时，等号成立， 所以
3(b+c)2
4
≥(b +c)2−9，解得b +c ≤6，
则a +b +c ≤9，即△ABC 周长的最大值为9．
19．（12分）如图1，四边形ABCD 是等腰梯形，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，AD ＝2BC ＝2EF ＝4．将四边形ABFE 沿着EF 折起到四边形A 1B 1FE 处，使得A 1C ＝3，如图2，G 在A 1E 上，且A 1E →
=3A 1G →
． （1）证明：A 1C ∥平面DFG ；
（2）求平面DFG 与平面A 1CD 夹角的余弦值．
解：（1）证明：连接CE ，交DF 于点H ，连接GH ， 根据题意易证△CHF ∽△EHD ，∴CH
EH
=
CF ED
=1
2
，
又A 1E →
=3A 1G →
，∴A 1G EG
=1
2
，
∴
CH EH
=
A 1G EG
，∴GH ∥A 1C ，
又GH ⊂平面DFG ，A 1C ⊄平面DFG ， ∴A 1C ∥平面DFG ；
（2）由图1可知A 1E ⊥EF ，DE ⊥EF ，
∵AD ＝2BC ＝2EF ＝4，E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴CF ＝1，EF ＝A 1E ＝2，则CE =√5，又A 1C ＝3， ∴CE 2+A 1E 2=A 1C 2，∴A 1E ⊥CE ， 又EF ，CE ⊂平面CDEF ，且EF ∩CE ＝E ， ∴A 1E ⊥平面CDEF ，
∴以EF →
，ED →
，EA 1→
的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建系如图，
根据题意可得：A 1（0，0，2），C （2，1，0），D （0，2，0），F （2，0，0），G(0，0，4
3)，
∴A 1C →=(2，1，−2)，CD →=(−2，1，0)，DF →=(2，−2，0)，DG →
=(0，−2，4
3)， 设平面DFG 的法向量为n →
=(x ，y ，z)， 则{n →
⋅DF →
=2x −2y =0n →⋅DG →=−2y +4
3z =0，取n →=(2，2，3)， 设平面A 1CD 的法向量为m →
=(a ，b ，c)，
则{m →
⋅A 1C →
=2a +b −2c =0
m →
⋅CD →=−2a +b =0
，取m →=(1，2，2)， ∴平面DFG 与平面A 1CD 夹角的余弦值为：
|cos ＜m →
，n →
＞|=|m →⋅n →
||m →||n →|=4+4+9×1+4+4
=4√17
17．
20．（12分）甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各投篮一次．比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得﹣1分；若甲未投中，乙投中，甲得﹣1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．当甲、乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜：4轮比赛后，若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局、甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.6，且互不影响．一轮比赛中甲的得分记为X ． （1）求X 的分布列；
（2）求甲、乙两人最终平局的概率；
（3）记甲、乙一共进行了Y 轮比赛，求Y 的分布列及期望． 解：（1）根据题意可得X ＝﹣1，0，1， 又P （X ＝﹣1）＝（1﹣0.5）×0.6＝0.3， P （X ＝0）＝0.5×0.6+（1﹣0.5）（1﹣0.6）＝0.5， P （X ＝1）＝0.5×（1﹣0.6）＝0.2， ∴X 的分布列为：
（2）∵甲、乙两人最终平局，∴甲、乙一定进行了四轮比赛分三种情况： ①四轮比赛中甲、乙均得0分，其概率为0.54＝0.0625，
②四轮比赛中有两轮甲、乙均得0分，另两轮，甲、乙各得1分，
其概率为2C 42
×0.5×0.5×0.2×0.3=0.18，
③四轮比赛中甲、乙各得2分，且前两轮甲、乙各得1分， 其概率为4×0.2×0.3×0.2×0.3＝0.0144，
∴甲、乙两人最终平局的概率为0.0625+0.18+0.0144＝0.2569； （3）∵Y ＝2，3，4，
又P （Y ＝2）＝0.3×0.3+0.2×0.2＝0.13，
P （Y ＝3）＝2×0.3×0.3×0.5+2×0.2×0.2×0.5＝0.13， P （Y ＝4）＝1﹣P （Y ＝2）﹣P （Y ＝3）＝0.74， ∴Y 的分布列为：
∴E （Y ）＝2×0.13+3×0.13+4×0.74＝3.61． 21．（12分）已知椭圆C ：
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线x 2﹣y 2＝1的离心率互为倒数，点A
（2，2）在椭圆C 上，不过点A 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线AP ，AQ 的斜率之和为1，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由．
解：（1）由题意，由x 2﹣y 2＝1的离心率为√2可得椭圆C 的离心率为√22
． 设椭圆C 的焦距为2c ，
则{ c
a
=
√2
24a 2+4b 2=1a 2
=b 2+c 2，解得a 2＝12，b 2＝6， 故椭圆C 的标准方程为
x 212
+
y 26
=1；
（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立{y =kx +m x 212
+y 26=1，整理得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣12＝0，
则Δ＝（4km ）2﹣4（2k 2+1）（2m 2﹣12）＝8（12k 2﹣m 2+6）＞0， 所以x 1+x 2=−
4km 2k 2
+1
，x 1x 2=
2m 2−122k 2
+1
，
因为A （2，2），所以k AP +k AQ =y 1−2x 1−2+y 2−2
x 2−2
=1， 即
kx 1+m−2x 1−2
+
kx 2+m−2x 2−2
=1，
所以（kx 1+m ﹣2）（x 2﹣2）+（kx 2+m ﹣2）（x 1﹣2）﹣（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝0， 整理得（2k ﹣1）x 1x 2+（m ﹣2k ）（x 1+x 2）﹣4m +4＝0， 则(2k −1)
2m 2−122k 2
+1
+(m −2k)(−
4km 2k 2
+1
)−4m +4=0，
整理得4k 2﹣12k ﹣（m 2+2m ﹣8）＝0， 即（2k +m ﹣2）（2k ﹣m ﹣4）＝0， 因为直线l 不过点A ，所以2k +m ﹣2≠0， 则2k ﹣m ﹣4＝0，即m ＝2k ﹣4，
从而直线l 的方程为y ＝kx +2k ﹣4，故直线l 过定点（﹣2，﹣4），
当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝t 与椭圆C 交于（t ，y t ），（t ，﹣y t ）， 不妨设P （t ，y t ），Q （t ，﹣y t ），则k AP +k AQ =2−y t 2−t +2+y t
2−t
=1， 解得t ＝﹣2，此时，直线l 过点（﹣2，﹣4）． 综上，直线l 过定点（﹣2，﹣4）． 22．（12分）已知函数f （x ）＝sin x ﹣ax cos x ．
（1）当a ＝1时，求曲线y ＝f （x ）在x =π
2处的切线方程；
（2）对任意的x ∈（0，+∞），都有f （x ）＜ax 2+ax ，求a 的取值范围． 解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝sin x ﹣x cos x ，则f '（x ）＝x sin x ． 所以f(π2)=1，f ′(π2)=π
2，
故所求切线方程为y −1=π2(x −π2)，即y =π
2x −π2
4+1． （2）设g （x ）＝ax 2+ax ﹣f （x ）＝ax 2+ax +ax cos x ﹣sin x （x ＞0）， 则g '（x ）＝2ax +a ﹣ax sin x +（a ﹣1）cos x ．
因为g （0）＝0，所以至少满足g '（0）＝2a ﹣1≥0，即a ≥1
2． 设h （a ）＝ax 2+ax +ax cos x ﹣sin x ＝x （x +1+cos x ）a ﹣sin x ． 因为x ＞0，x +1+cos x ＞0，所以h （a ）在[1
2，+∞)上单调递增，
所以ℎ(a)≥ℎ(1
2
)=
1
2
x(x+1+cosx)−sinx．
设F(x)=1
2
x2+
1
2
x+
1
2
xcosx−sinx，
则F′(x)=x+1
2
+
1
2
cosx−
1
2
xsinx−cosx=
1
2
[x(2−sinx)+1−cosx]．
因为x＞0，所以x（2﹣sin x）＞0，1﹣cos x≥0，
则F'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即F（x）在（0，+∞）上单调递增，所以F（x）＞F（0）＝0，即对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＜ax2+ax．
故a的取值范围为[1
2
，+∞)．。