7.4.1 二项分布(第1课时)(课件)-2020-2021学年下学期高二数学同步精品课堂(新教材人
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第七章 随机变量及其分布
7.4 二项分布与超几何分布 7.4.1 二项分布(第1课时)
素养目标
1．理解n重伯努利试验的模型及 二项分布，并能解答一些简单的 实际问题；(重点) 2．能进行一些与n重伯努利试验 的模型及二项分布有关的概率的 计算．(重点、难点)
学科素养
1．数学抽象； 2．数学建模； 3．数学运算
小数)
解：记事件 A 为“1 小时内，1 台机床需要工人照管”，1 小时内 5
台机床需要照管相当于 5 次独立重复试验．
1 小时内 5 台机床中没有 1 台需要工人照管的概率 P5(0)＝1－145＝ 345，
1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率P5(1)＝C
1 5
×
1 4
×1－144， 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为P＝1－[P5(0) ＋P5(1)]≈0.37.
为
1 6
，因此，先后抛掷三次，出现0次6点朝上的概率为
1－16
3＝
122156，所以至少出现一次6点朝上的概率是1－122156＝29116.故选D.
4．已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B4，13，则P(ξ＝3)＝(
)
A．3821
B．1861
C．2841
D．881
D 解析：ξ～B 4，13 表示做了4次独立试验，每次试验成功概率为
1．运用伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的 试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立 的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在 任何一次试验中某一事件发生的概率都相等．
2．对于公式 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独 立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式． 3．二项分布的简单应用是求 n 重伯努利试验事件中事件 A 恰好发生 k 次的概率．
2．某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点 后面第2位) (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率； (3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
解：(1)记“预报1次准确”为事件A，则P(A)＝0.8. 5次预报相当于5重伯努利试验． 2次准确的概率P1＝C25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05. 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准 确或只有1次准确”， 其概率P2＝C05×(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.006 72. 所求概率为1－P2＝1－0.006 72≈0.99.
P(X＝1)＝C13291×792＝29483，
P(X＝2)＝C23292×791＝22483，
P(X＝3)＝C33293×790＝7829. 故X的分布列为
X0 1 2 3
P
343 729
98 243
28 243
8 729
确定一个二项分布模型的步骤： (1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率P； (2)确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； (3)设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p)．
B．X～B(0.5,5)
C．X～B(2,0.5)
D．X～B(5,0.5)
D 解析：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数X～B5，12.故
选D.
2．某人通过普通话二级测试的概率是
1 4
，若他连续测试3次(各次测
试互不影响)，那么其中恰有1次通过的概率是( )
A．614
B．116
C．2674
D．34
B．②③
C．①②③
D．①②④
C 解析：每次试验的结果可以相同，可以同时发生，故④错误．
2．已知随机变量X服从二项分布，X～B 6，13 ，则P(X＝2)等于
()
A．136
B．4423
C．21433
D．28403
D 解析：因为X～B6，13，所以P(X＝2) ＝C26132234＝28403.
3．设每次试验的成功率为p(0<p<1)，重复进行10次试验，其中前6 次都未成功后4次都成功的概率为( ) A．C410p4(1－p)6 B．C410p4(1－p)4 C．p4(1－p)6 D．p6(1－p)4 C 解析：根据相互独立事件同时发生的概率公式，故选C.
伯努利试验概率求法的三个步骤
1．位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动
一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为
1 3
，向
右移动的概率为23，则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是( )
A．2443
B．2843
C．24403
D．28403
D 解析：由题意，可知质点P左移2个单位，右移3个单位后可到达 点(1,0)，因此质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是C35233132＝28403.
1．n重伯努利试验 (1)我们把只包含两个可能结果 的试验叫做伯努利试验．将一个伯努 利试验独立地重复 进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)特征：①同一个伯努利试验 重复做n次 ； ②各次试验的结果 相互独立 ．
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为
3 8
.“ξ＝12”的含义
是前11次红球出现9次，第12次摸出的球是红球，故P(ξ＝12)＝C
9 11
389·582·38.
1．伯努利试验满足的条件是( )
①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有发生与不发生两种情况；
③每次试验中同一事件发生的机会是均等的；
④每次试验发生的事件是互斥的．
A．①②
13，则P(ξ＝3)＝C34×133×231＝4×821＝881.
5．已知甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是 0.7,0.6，且每次试跳成功与否之间没有影响． (1)求甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率； (2)若甲、乙各试跳两次，求甲比乙的成功次数多一次的概率．
解：(1)记“甲在第i次试跳成功”为事件A1，“乙在第i次试跳成 功”为事件B1， “甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C. 由对立事件的概率计算公式得： P(C)＝1－P( A1 B1 )＝1－P( A1 )P( B1 )＝1－0.3×0.4＝0.88. (2)设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi，“乙在两次试跳中成 功i次”为事件Ni，所求概率P＝P(M1N0)＋P(M2N1)＝P(M1)P(N0)＋ P(M2)·P(N1)＝C12×0.7×0.3×0.42＋0.72×C12×0.6×0.4＝0.302 4.
4．某射手每次射击击中目标的概率是
2 3
，且各次射击的结果互不影
响．假设这名射手射击5次，则恰有2次击中目标的概率为
________．
40 243
解析：P(X＝2)＝C252321－233＝24403.
5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是
1 4
，求1小
时内5台机床中至少2台需要工人照管)]n＝1 .
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)伯努利试验每次试验之间是相互独立的．( √ ) (2)伯努利试验每次试验只有发生与不发生两种结果．( √ ) (3)两点分布就是二项分布．( × ) (4)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键是判断其是否满足独 立性和重复性．( √ )
(3)由题意知第1,2,4,5次预报中恰有1次准确． 所以概率P3＝C14×0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02. 即恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
二项分布及其应用
【例2】抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点P的横坐标，另一枚 的点数为点P的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点P在圆x2＋ y2＝16内的次数X的分布列．
右，3次向上，所以质点P移动5次后位于点(2,3)的概率即为质点P的
5次移动中恰有2次向右移动的概率，而每一次向右移动的概率都是
1 2
，所以向右移动的次数X～B
5，12
，所以所求的概率为P(X＝2)＝
C25122123＝C25125.
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，正面向上的次数为X，则
() A．X～B(5,1)
情境导学
刘备帐下以诸葛亮为首的智囊团共有9名谋士(不包括诸葛亮)，假 定对某事进行决策时，每名谋士贡献正确意见的概率为0.7，诸 葛亮贡献正确意见的概率为0.85.现刘备为某事可行与否征求智囊 团的意见． 有以下两种方案： (1)征求每名谋士的意见，并按多数人的意见做出决策． (2)采纳诸葛亮的意见． 应按哪种方案做出决定？
求伯努利试验的概率
【例1】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
2 3
和
3 4
，假
设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．(结果用分数作答)
(1)求甲射击3次至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的
概率． 解：(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意
知，射击3次，相当于3重伯努利试验，故P(A1)＝1－P(
A
1)＝1－
2 3
3
＝2179.
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，
恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C
2 2
×
2 3
2＝
4 9
，P(B2)＝C
1 2
×341×1－34＝38.由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝49×38＝16.
3．一个袋中有除颜色外其他都相同的5个白球，3个红球，现从袋
中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时
停止．设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于( )
A．C11023810·582
B．C911389·582·38
C．C911589·382
D．C911389·582
B
提示：由题意可知，每次摸出红球的概率为
p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝ Cknpk(1－p)n－k ，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式 的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 X～B(n，p) ．
n
n
由二项式定理，容易得到 P(X＝k)＝ Cknpk(1－p)n－k＝
k＝0
位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单 位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是
12，质点P移动5次后位于点(2,3)的概率是( )
A．125 C．C33123
B．C25125 D．C25C35125
B 解析：质点P由原点移动到(2,3)需要移动5次，且必须有2次向
2．有以下试验： ①掷一枚质地均匀的硬币5次； ②某人连续投篮3次； ③袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球，2个白球，不放回地从 中摸3次； ④袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球，2个白球，有放回地从 中摸3次． 其中为伯努利试验的是________．(只填序号)
①②④ 提示：③中不放回地摸球每次结果是相互影响的，不是相 互独立事件，因此③不是伯努利试验．
C
解析：∵某人通过普通话二级测试的概率是
1 4
，他连续测试3
次，
∴其中恰有1次通过的概率是p ＝C13141－142＝2674.故选C.
3．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点朝上的
概率是( )
A．122156
B．22156
C．23116
D．29116
D 解析：因为将一颗质地均匀的骰子抛掷一次出现6点朝上的概率
解：由题意可知，点P的坐标共有6×6＝36(种)情况，其中在圆x2＋ y2＝16内的有点(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2) 共8种，则点P在圆x2＋y2＝16内的概率为386＝29. 由题意可知X～B3，29， 所以P(X＝0)＝C03290×793＝374239，
谢谢观看
7.4 二项分布与超几何分布 7.4.1 二项分布(第1课时)
素养目标
1．理解n重伯努利试验的模型及 二项分布，并能解答一些简单的 实际问题；(重点) 2．能进行一些与n重伯努利试验 的模型及二项分布有关的概率的 计算．(重点、难点)
学科素养
1．数学抽象； 2．数学建模； 3．数学运算
小数)
解：记事件 A 为“1 小时内，1 台机床需要工人照管”，1 小时内 5
台机床需要照管相当于 5 次独立重复试验．
1 小时内 5 台机床中没有 1 台需要工人照管的概率 P5(0)＝1－145＝ 345，
1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率P5(1)＝C
1 5
×
1 4
×1－144， 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为P＝1－[P5(0) ＋P5(1)]≈0.37.
为
1 6
，因此，先后抛掷三次，出现0次6点朝上的概率为
1－16
3＝
122156，所以至少出现一次6点朝上的概率是1－122156＝29116.故选D.
4．已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B4，13，则P(ξ＝3)＝(
)
A．3821
B．1861
C．2841
D．881
D 解析：ξ～B 4，13 表示做了4次独立试验，每次试验成功概率为
1．运用伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的 试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立 的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在 任何一次试验中某一事件发生的概率都相等．
2．对于公式 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独 立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式． 3．二项分布的简单应用是求 n 重伯努利试验事件中事件 A 恰好发生 k 次的概率．
2．某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点 后面第2位) (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率； (3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
解：(1)记“预报1次准确”为事件A，则P(A)＝0.8. 5次预报相当于5重伯努利试验． 2次准确的概率P1＝C25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05. 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准 确或只有1次准确”， 其概率P2＝C05×(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.006 72. 所求概率为1－P2＝1－0.006 72≈0.99.
P(X＝1)＝C13291×792＝29483，
P(X＝2)＝C23292×791＝22483，
P(X＝3)＝C33293×790＝7829. 故X的分布列为
X0 1 2 3
P
343 729
98 243
28 243
8 729
确定一个二项分布模型的步骤： (1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率P； (2)确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； (3)设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p)．
B．X～B(0.5,5)
C．X～B(2,0.5)
D．X～B(5,0.5)
D 解析：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数X～B5，12.故
选D.
2．某人通过普通话二级测试的概率是
1 4
，若他连续测试3次(各次测
试互不影响)，那么其中恰有1次通过的概率是( )
A．614
B．116
C．2674
D．34
B．②③
C．①②③
D．①②④
C 解析：每次试验的结果可以相同，可以同时发生，故④错误．
2．已知随机变量X服从二项分布，X～B 6，13 ，则P(X＝2)等于
()
A．136
B．4423
C．21433
D．28403
D 解析：因为X～B6，13，所以P(X＝2) ＝C26132234＝28403.
3．设每次试验的成功率为p(0<p<1)，重复进行10次试验，其中前6 次都未成功后4次都成功的概率为( ) A．C410p4(1－p)6 B．C410p4(1－p)4 C．p4(1－p)6 D．p6(1－p)4 C 解析：根据相互独立事件同时发生的概率公式，故选C.
伯努利试验概率求法的三个步骤
1．位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动
一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为
1 3
，向
右移动的概率为23，则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是( )
A．2443
B．2843
C．24403
D．28403
D 解析：由题意，可知质点P左移2个单位，右移3个单位后可到达 点(1,0)，因此质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是C35233132＝28403.
1．n重伯努利试验 (1)我们把只包含两个可能结果 的试验叫做伯努利试验．将一个伯努 利试验独立地重复 进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)特征：①同一个伯努利试验 重复做n次 ； ②各次试验的结果 相互独立 ．
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为
3 8
.“ξ＝12”的含义
是前11次红球出现9次，第12次摸出的球是红球，故P(ξ＝12)＝C
9 11
389·582·38.
1．伯努利试验满足的条件是( )
①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有发生与不发生两种情况；
③每次试验中同一事件发生的机会是均等的；
④每次试验发生的事件是互斥的．
A．①②
13，则P(ξ＝3)＝C34×133×231＝4×821＝881.
5．已知甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是 0.7,0.6，且每次试跳成功与否之间没有影响． (1)求甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率； (2)若甲、乙各试跳两次，求甲比乙的成功次数多一次的概率．
解：(1)记“甲在第i次试跳成功”为事件A1，“乙在第i次试跳成 功”为事件B1， “甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C. 由对立事件的概率计算公式得： P(C)＝1－P( A1 B1 )＝1－P( A1 )P( B1 )＝1－0.3×0.4＝0.88. (2)设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi，“乙在两次试跳中成 功i次”为事件Ni，所求概率P＝P(M1N0)＋P(M2N1)＝P(M1)P(N0)＋ P(M2)·P(N1)＝C12×0.7×0.3×0.42＋0.72×C12×0.6×0.4＝0.302 4.
4．某射手每次射击击中目标的概率是
2 3
，且各次射击的结果互不影
响．假设这名射手射击5次，则恰有2次击中目标的概率为
________．
40 243
解析：P(X＝2)＝C252321－233＝24403.
5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是
1 4
，求1小
时内5台机床中至少2台需要工人照管)]n＝1 .
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)伯努利试验每次试验之间是相互独立的．( √ ) (2)伯努利试验每次试验只有发生与不发生两种结果．( √ ) (3)两点分布就是二项分布．( × ) (4)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键是判断其是否满足独 立性和重复性．( √ )
(3)由题意知第1,2,4,5次预报中恰有1次准确． 所以概率P3＝C14×0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02. 即恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
二项分布及其应用
【例2】抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点P的横坐标，另一枚 的点数为点P的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点P在圆x2＋ y2＝16内的次数X的分布列．
右，3次向上，所以质点P移动5次后位于点(2,3)的概率即为质点P的
5次移动中恰有2次向右移动的概率，而每一次向右移动的概率都是
1 2
，所以向右移动的次数X～B
5，12
，所以所求的概率为P(X＝2)＝
C25122123＝C25125.
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，正面向上的次数为X，则
() A．X～B(5,1)
情境导学
刘备帐下以诸葛亮为首的智囊团共有9名谋士(不包括诸葛亮)，假 定对某事进行决策时，每名谋士贡献正确意见的概率为0.7，诸 葛亮贡献正确意见的概率为0.85.现刘备为某事可行与否征求智囊 团的意见． 有以下两种方案： (1)征求每名谋士的意见，并按多数人的意见做出决策． (2)采纳诸葛亮的意见． 应按哪种方案做出决定？
求伯努利试验的概率
【例1】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
2 3
和
3 4
，假
设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．(结果用分数作答)
(1)求甲射击3次至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的
概率． 解：(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意
知，射击3次，相当于3重伯努利试验，故P(A1)＝1－P(
A
1)＝1－
2 3
3
＝2179.
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，
恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C
2 2
×
2 3
2＝
4 9
，P(B2)＝C
1 2
×341×1－34＝38.由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝49×38＝16.
3．一个袋中有除颜色外其他都相同的5个白球，3个红球，现从袋
中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时
停止．设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于( )
A．C11023810·582
B．C911389·582·38
C．C911589·382
D．C911389·582
B
提示：由题意可知，每次摸出红球的概率为
p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝ Cknpk(1－p)n－k ，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式 的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 X～B(n，p) ．
n
n
由二项式定理，容易得到 P(X＝k)＝ Cknpk(1－p)n－k＝
k＝0
位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单 位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是
12，质点P移动5次后位于点(2,3)的概率是( )
A．125 C．C33123
B．C25125 D．C25C35125
B 解析：质点P由原点移动到(2,3)需要移动5次，且必须有2次向
2．有以下试验： ①掷一枚质地均匀的硬币5次； ②某人连续投篮3次； ③袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球，2个白球，不放回地从 中摸3次； ④袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球，2个白球，有放回地从 中摸3次． 其中为伯努利试验的是________．(只填序号)
①②④ 提示：③中不放回地摸球每次结果是相互影响的，不是相 互独立事件，因此③不是伯努利试验．
C
解析：∵某人通过普通话二级测试的概率是
1 4
，他连续测试3
次，
∴其中恰有1次通过的概率是p ＝C13141－142＝2674.故选C.
3．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点朝上的
概率是( )
A．122156
B．22156
C．23116
D．29116
D 解析：因为将一颗质地均匀的骰子抛掷一次出现6点朝上的概率
解：由题意可知，点P的坐标共有6×6＝36(种)情况，其中在圆x2＋ y2＝16内的有点(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2) 共8种，则点P在圆x2＋y2＝16内的概率为386＝29. 由题意可知X～B3，29， 所以P(X＝0)＝C03290×793＝374239，
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