大学物理 第10章波的干涉

第 10 章 波 的 干 涉
第三篇 波动学
教学内容: 教学内容
10.1 波的叠加与干涉 10.5 驻波 10.2 分波阵面干涉 10.3 光程与光程差 10.4 分振幅干涉
教学基本要求: 教学基本要求:
1 理解 理解波的相干条件及获得相干光的方法 及获得相干光的方法，能应 用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强 和减弱的条件. 2 掌握光程的概念以及光程差和相位差的关 掌握光程的概念以及光程差和相位差的关 光程的概念以及光程差和相位差 理解在什么情况下的反射光有相位跃变. 系，理解在什么情况下的反射光有相位跃变 3 能分析杨氏双缝干涉条纹及薄膜等厚干涉 分析杨氏双缝干涉条纹及 杨氏双缝干涉条纹 条纹的位置 的位置. 条纹的位置 4 了解迈克耳孙干涉仪的工作原理. 了解迈克耳孙干涉仪的工作原理 迈克耳孙干涉仪的工作原理
10.1 波的叠加与干涉
1. 波的叠加原理
1）几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、振幅、 ）几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、振幅、 保持它们原有的特性 传播方向）不变，互不干扰。 传播方向）不变，互不干扰。
2）在相遇区域内任一点的振动为各列波单独存在时在该点所 ） 引 起的振动位移的矢量和 振动位移的矢量和。 起的振动位移的矢量和。 y 一般而言， 一般而言， 波的叠加较复杂
v水 > v空 气
对立面：惠更斯--波动说 对立面：惠更斯--波动说 --
v水 < v空 气
2）光的机械波动说（19世纪初--后半世纪） 光的机械波动说（19世纪初--后半世纪） 世纪初--后半世纪 英国人杨和法国人菲涅尔通过干涉、衍射、 英国人杨和法国人菲涅尔通过干涉、衍射、偏振等实验证明 了光的波动性及光的横波性。 了光的波动性及光的横波性。 3）光的电磁说（19世纪的后半期---） 光的电磁说（19世纪的后半期---） 世纪的后半期--19世纪后半期Maxwell建立电磁理论，提出了光的电磁性， 19世纪后半期Maxwell建立电磁理论，提出了光的电磁性， 世纪后半期Maxwell建立电磁理论 1887年赫兹用实验证实 年赫兹用实验证实。 1887年赫兹用实验证实。 4）光的量子说（20世纪初---） 光的量子说（20世纪初---） 世纪初--电磁波动说在解释“热幅射实验” 电磁波动说在解释“热幅射实验”及“光电效应”等实验 光电效应” 粒二象性。 遇到困难。提出光的波——粒二象性。 粒二象性 遇到困难。提出光的波
由于波的强度正比于振幅的平方， 由于波的强度正比于振幅的平方，而
2 A 2 = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ
所以两列波叠加后的强度为： 所以两列波叠加后的强度为：
I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos ∆ϕ
叠加后波的强度随着两列相干波在空间各点所引起的振动 相位差的不同而不同。 相位差的不同而不同。当I1=I2时，有：
为同方向同频率振动合成。 为同方向同频率振动合成。
y = y1 + y 2 = A cos(ωt + ϕ )
r2 − r1 ) 合振幅为 A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 − ω u − 2π (r − r ) + ϕ − ϕ = 1 cos 1)加强条件 2 1 λ 2 1
l=n
λn
2
表示与某一个n 值对应的波长， λ n 表示与某一个 值对应的波长，则由上式可得容许的波
长为
2L λn = n
这说明在弦上形成驻波的波长值是不连续的，是量子化的， 这说明在弦上形成驻波的波长值是不连续的，是量子化的， 相应的频率为： 相应的频率为：
u νn = n 2l
n = 1,2, L
5-5-1纵驻波.exe
驻波现象：振幅、频率、 (1) 驻波现象：振幅、频率、传播速度都相同的两列相干
波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特 在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特 相反 殊的干涉现象. 殊的干涉现象
(2) 驻波方程：设有两列简谐波，分别沿 轴的正方向和负方 驻波方程：设有两列简谐波，分别沿x轴的正方向和负方
λ
cos 2 π ν t
cos 2 π
x
λ
x=
1 0 2 π = ± ( k + ) π k = 0,1,2,L λ 2 λ ±k k = 0 ,1, L Amax = 2 A 波腹 2 1 λ ± (k + ) k = 0,1, L Amin = 0 波节
2 2
=
1 2π
x
x
λ
= ±k π
k = 0 ,1, 2 , L
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 − 2π =−
r2 − r1
π
2
−
π
2
λ
2π λ =− − ⋅ 2 λ 4
π
= −π
所以S 左侧各点的干涉相消，其合振幅恒为0, 0,所以合成波的 所以S1左侧各点的干涉相消，其合振幅恒为0,所以合成波的 强度也为0 强度也为0。
10.5 驻波
1. 驻波的形成及特征 驻波的形成及特征:
2 1 2 2
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 −
当
2π
ϕ1 = ϕ 2
λ
(r2 − r1 ) = ±2kπ
( k = 0,1,2L)
时，波程差为
∆r = r2 − r1 = ±kλ
A = A1 + A2
( k = 0,1,2L)
当波程差为波长的整数倍时加强。 当波程差为波长的整数倍时加强。
− 2π (r − r ) + ϕ − ϕ = −1 2)减弱条件 cos 2 1 2 1 λ 2π ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 − (r2 − r1 ) = ±(2k + 1)π , ( k = 0,1,2L) λ
当
− 2π (r − r ) + ϕ − ϕ A = A + A + 2 A1 A2 cos 2 1 λ 2 1
2 1 2 2
ϕ1 = ϕ 2 时，波程差为
∆r = r2 − r1 = ±(2k + 1) ,
2
λ
( k = 0,1,2L)
当波程差为半波长的奇数倍时减弱。 A = A1 − A2 | 当波程差为半波长的奇数倍时减弱。 |
驻 波 的 形 成
(3) 驻波的特点 驻波的特点:
1)各点做简谐振动的频率相同； 各点做简谐振动的频率相同； 各点做简谐振动的频率相同 2) 波节、波腹位置 波节、 由驻波方程
y = 2 A cos 2 π
x
波节----振幅始终为0的位置 波节----振幅始终为 的位置 ----振幅始终为 波腹-------振幅始终最大的位置 波腹----振幅始终最大的位置
x
λ
)
λ
cos 2π ν t
各质点都在作同频率的 简谐运动
讨论
驻波表达式
y = 2 A cos 2 π
x
这一函数不满足
因此， y (t + ∆t , x + ut ) = y (t , x)，因此，它不表
λ
cos 2 π ν t
示行波，只表示各点都在做简谐运动。 示行波，只表示各点都在做简谐运动。 各点都在做简谐运动
∆ϕ I = 2 I 1 (1 + cos ∆ϕ ) = 4 I 1 cos 2
2
干涉现象的强度分布
为两个相干波源， 例10.1 设S1 、 S2为两个相干波源，两者相距四分之一波 如图10-2所示。 S1比S2的相位超前π/2。若两列波在 所示。 的相位超前π 。 长，如图 所示 S1、S2连线方向上的强度相同，且不随距离变化，求在 1、 连线方向上的强度相同，且不随距离变化，求在S S2连线上 (1) S2右侧各点的合成波的强度如何？ 右侧各点的合成波的强度如何？ (2) S1左侧各点的合成波的强度如何？ 左侧各点的合成波的强度如何？
满足这三个条件的两列波称为相干波 振动方向相同、频率相同、 振动方向相同、频率相同、相位差恒定 是两列波能够发生干涉的必要条件。 是两列波能够发生干涉的必要条件。
干涉加强减弱的条件 干涉加强减弱的条件
设有两个相干波源S1及S2，其振动方程为 设有两个相干波源 及 ，
y10 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) y 20 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
2. 弦线上的驻波
用电动音叉在绳上产生驻波
这一驻波是由音叉在绳中引起的向右传播的波和反射 后向左传播的波合成的结果。改变拉紧绳子的张力， 后向左传播的波合成的结果。改变拉紧绳子的张力，就能 改变波在绳上的传播速度。 改变波在绳上的传播速度。
固定, 波节， 由于弦线两端固定 必定形成波节 由于弦线两端固定 必定形成波节，所以其波长 λn和弦线长 l 应满足 以
x
2. 波的干涉
频率相同、振动方向相同、 频率相同、振动方向相同、有恒定的相位差的两列波相遇 使某些地方振动始终加强，或始终减弱的现象。 时，使某些地方振动始终加强，或始终减弱的现象。
相干波条件
1)两列波振动方向相同； 两列波振动方向相同； 两列波振动方向相同 2)两列波频率相同； 两列波频率相同； 两列波频率相同 3)两列波有稳定的相位差。 两列波有稳定的相位差。 两列波有稳定的相位差
向传播， 向传播，它们的表达式为
正向 负向
y 1 = A cos 2π (ν t −
y 2 = A cos 2 π (ν t +
x
λ
)
)
x
其合成波为： 其合成波为： y
= y1 + y 2
x
λ
= A cos 2π (ν t −
= 2 A cos 2π
驻波的振幅与位置 有关
x
λ
) + A cos 2π (ν t +
相邻波节距离
x k +1 − x k = [2( k + 1) + 1] − (2k + 1) = 4 4 2
相邻波腹距离
λ
λ
λ
λ =λ x k+1 − x k = ( k + 1) − k
2 2
λ
2
λ /2
波节
λ /2
波腹
3) 相邻两波节间各点相位相同，而一个波节两侧各点相位相 相邻两波节间各点相位相同，而一个波节两侧各点相位相 相位相同 反。因为振幅因子的值对于两个波节之间的各点有相同的 符号，因此相位总是一样。 符号，因此相位总是一样。而在一个波节两侧此因子有相 反的符号，即相位相反。 反的符号，即相位相反。 4) 在驻波中，没有振动状态或相位的传播，也没有能量的传播. 在驻波中，没有振动状态或相位的传播，也没有能量的传播
式中的u为弦线中的波速。 式中的 为弦线中的波速。 为弦线中的波速
上式中的频率叫弦振动的本征频率，频率由此式决定的各 上式中的频率叫弦振动的本征频率，频率由此式决定的各 本征频率 种振动方式称为弦线振动的简正模式 其中最低的频率叫基频 简正模式。 基频， 种振动方式称为弦线振动的简正模式。其中最低的频率叫基频， 其他较高频率都是基频的整数倍， 其他较高频率都是基频的整数倍，他们各以其对基频的倍数而 称为二次、三次…谐频 谐频。 称为二次、三次 谐频。
l=
ห้องสมุดไป่ตู้
λ1
2
两端固定的弦振 两端固定的弦振 固定 动的简正模式
2λ 2 l= 2
l=n
λn
2
n = 1, 2,L
3λ3 l= 2
10.2 分波阵面干涉
人们对光的认识经历了一个否定的否定过程。 • 人们对光的认识经历了一个否定的否定过程。
1）光的机械微粒学说（17世纪---18世纪末） 光的机械微粒学说（17世纪---18世纪末） 世纪---18世纪末 代表： 代表：牛顿
当此两列波发出的波在空间P点相遇时， 当此两列波发出的波在空间 点相遇时， 点相遇时 两列波在P点引起的振动表达式分别为 点引起的振动表达式分别为： 两列波在 点引起的振动表达式分别为：
P
r1 S1 S2 r2
r1 y1 = A1 cos[ω (t − ) + ϕ1 ] u r2 y 2 = A2 cos[ω (t − ) + ϕ 2 ] u
(− ) λ 4
λ
=0
所以S 右侧各点的干涉加强， 所以S2右侧各点的干涉加强，其合振幅恒为A=2A0。因为波 的强度I∝ A2,所以合成波的强度I=4I1。
左侧任一点Q与 的距离为x， （2） 设S1左侧任一点 与S1的距离为 ，同样的方法可 ） 求得这两列波在Q点引起的振动的相位差为 求得这两列波在 点引起的振动的相位差为
右侧任一点P 的距离为x， 解：（1） 设S2右侧任一点P与S2的距离为 ，则r1=x+λ/4 、 r2=x;而两波源的相位差为 ϕ2-ϕ1= - π/2，所以这两列 /2， ; 波在P 波在P点引起的振动的相位差为
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 − 2π =−
r2 − r1
π
2
+
π
2
λ
=−
π
2
−
2π