北京市海淀区届高三二模考试数学理海淀一模共14页word资料
2023年北京海淀区高三一模数学试题及答案
海淀区2022—2023学年第二学期期中练习高三数学参考答案一、选择题二、填空题 （11）(,2)(1,)−∞−+∞（12）2（13）2π （答案不唯一，[,]62ϕππ∈） （14）1；(,0][2,)−∞+∞（15）①③三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）由直三棱柱111−ABC A B C 可知1BC CC ⊥，又因为AC BC ⊥，且1ACCC C =,所以BC ⊥平面11CC A A .由1C D ⊂平面11CC A A ，所以1BC C D ⊥.在矩形11CC A A 中，111,2AD DA CC ===，所以1DC DC ==.可得22211C C C D CD =+，所以1C D CD ⊥.又因为BC CD C =， 所以1C D ⊥平面BCD .（Ⅱ）由题意可知，1,,CA CB CC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系C xyz −，则(0,0,0)C ，(1,0,1)D ，(0,1,0)B ，1(0,0,2)C ，(1,1,1)BD =−，1(0,1,2)BC =−,(1,0,1)CD =. 设平面1BC D 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,BD BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x y z y z −+=⎧⎨−+=⎩令1z =，则2y =，1x =， 得(1,2,1)=n . 设直线CD 与平面1BC D 所成角为θ，则sin |cos ,|θ⋅=<>==CD CD CD n n n ，所以直线CD 与平面1BC D 所成角的正弦值为3.（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）由sin 23sin b A a B 及正弦定理，得sin sin 23sin sin B A A B .由倍角公式得2sin sin cos 3sin sin B A A A B .在ABC △中，sin 0,sin 0A B ， 得3cos 2A .因为π(0,)2A ，所以π6A .（Ⅱ）记ABC △的面积为ABC S △.选条件②：由（Ⅰ）知π6A ，又由题知33ABC S △， 可得1sin 2△ABC S bc A 得123bc . 又由条件②，即334b c ，解得33,4b c .由余弦定理，得2222cos 32716233427a b c bc A，所以7.a选条件③：又由条件③，即cos C =(0,π)C ∈，可得sin C =. 所以sin sin()sin cos cossin B A C AC A C =+=+12=+= 由（Ⅰ）知π6A， 又由题知33ABCS △，可得1sin 2△ABC S bc A . 得123bc .由正弦定理得::sin :sin :sin 7:a bc A B C ==.可设7,,a kbc ===.由bc =k =.得a =（18）（本小题14分） 解：（Ⅰ）设该户网购生鲜蔬菜次数超过20次为事件C ，在A 组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则3()10P C =.（Ⅱ）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为310，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为710. X 的取值范围为{}0,1,2.3721(0)(1)(1)1010100P X ==−⨯−=， 373729(1)(1)(1)1010101050P X ==⨯−+−⨯=， 3721(2)1010100P X ==⨯=. 212921()012110050100E X =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）12()()D D ξξ=.19. （本小题14分）解：（Ⅰ）依题意可得：22,b =⎧⎪⎨=⎪⎩解得 1.a b ⎧⎪⎨=⎪⎩椭圆E 的方程为2215x y +=.（Ⅱ）依题意, 可设直线l 方程为(0)y kx m km =+≠，1122(,),(,)M x y N x y . 联立方程221,5.x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(51)10550k x kmx m +++−=.22222(10)4(51)(55)10020200km k m k m ∆=−⋅+−=−+>，即2251k m >−.1221051km x x k +=−+，21225551m x x k −=+. 在直线l 方程y kx m =+中，令0y =，得m x k=−，得(,0)m P k −.依题意得11'(,)M x y −，得直线'M N 方程为211121()y y y x x y x x −=+++. 令0x =，得122112Q x y x y y x x +=+.所以△OPQ 的面积为1221121122OPQ P Q x y x y m S x y k x x ∆+=⋅=⋅+. 122112211212()()2()x y x y x kx m x kx m kx x m x x +=+++=++222225510102515151m km k k k k k −−=⋅−=+++. 即1102210OPQ m k S k km=⋅=△，解得14k =±，经检验符合题意. 所以k 的值为14±.解：（Ⅰ）当1a =时，()e x f x x =−.则(0)1f =.求导得'()e 1x f x =−，得'(0)0f =.所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为1y =. （Ⅱ）求导得'()e 1ax f x a =−.当0a ≤时，'()0f x <恒成立，此时()f x 在R 上单调递减.当0a >时，令'()0f x =，解得ln =a x a −.()f x 与()f x '的变化情况如下：由上表可知，()f x 的减区间为ln (,)a a −∞−，增区间为ln (,)a a−+∞. 综上，当0a ≤时，()f x 的减区间为(,)−∞+∞，无增区间； 当0a >时，()f x 的减区间为ln (,)a a −∞−，增区间为ln (,)a a −+∞. （Ⅲ）将()f x 在区间[1,1]−上的最大值记为max ()f x ，最小值记为min ()f x .由题意，若[1,1]x ∃∈−，使得|()|3f x ≥成立，即max ()3f x ≥或min ()3f x ≤−. 当[1,1]x ∈−时，()e 1ax f x x x =−>−≥−.所以若[1,1]x ∃∈−，使得|()|3f x ≥成立，只需max ()3f x ≥. 由（Ⅱ）可知()f x 在区间[1,1]−上单调或先减后增，故max ()f x 为(1)f −与(1)f 中的较大者， 所以只需当(1)3f −≥或(1)3f ≥即可满足题意.即(1)e 13a f −−=+≥或(1)e 13a f =−≥.解得ln2a ≤−或ln 4a ≥.综上所述，a 的取值范围是(,ln 2][ln 4,)−∞−+∞.解：（Ⅰ）（ⅰ）不满足.令3i j ==，16i j a a =不是数列{}n a 中的项.（ⅱ）满足. 对于任意()i j b b i j ,≥，(21)(21)2(21)1i j b b i j ij i j =−−=−−+−.由于211ij i j −−+≥，故令21k ij i j =−−+即可.（Ⅱ）（1）对于有穷数列{}n a 记其非零项中，绝对值最大的一项为p a ，绝对值最小的一项为q a .故令i j p ==时，存在一项2||||k i j p a a a a ==.又p a 是数列{}n a 非零项中绝对值最大的，所以2||p p a a ≥，即0||1p a <≤. 再令i j q ==时，存在一项2||||k i j q a a a a ==.又q a 是数列{}n a 非零项中绝对值最小的，所以2||q q a a ≤，即||1q a ≥. 又1||||1q p a a ≤≤≤,所以数列所有非零项的绝对值均为1.又数列{}n a 的各项均不相等，所以其至多有0,1,1−共3项.所以3m ≤.（2）构造数列{}:0,1,1n a −.其任意两项乘积均为0,1,1−之一，满足性质①. 其连续三项满足0(1)10−−−=，满足性质②. 又其各项均不相等，所以该数列满足条件，此时3m =.（3）由（1）（2），m 的最大值为3.（Ⅲ）（1）首先证明：当120,1a a ><−时，数列满足2120,0,t t a a −><且2||||,1,2,3,t t a a t +<=.（*）因为对于任意数列的连续三项12,,n n n a a a ++，总有12121()()02n n n n n n a a a a a a ++++−−−−=. 即21n n n a a a ++=−或2112n n n a a a ++=−. 不论是哪种情形，均有 当10n n a a +>>时，21102n n n n a a a a ++≥−>>，即2||||n n a a +>. 当10n n a a +<<时，21102n n n n a a a a ++≤−<<，亦有2||||n n a a +>. 又1201a a >>−>，故性质（*）得证.（2）考虑123,,a a a 三项，有312a a a =−或31212a a a =−. 若312a a a =−, 则1321a a a =+<，此时令1i j ==，有211a a <，由性质（*）知不存在k 使得0k a >，且211k a a a =<.高三数学参考答案 第7页（共7页） 故只有31212a a a =−，此时1321322a a a =+<. 因为534323311155()22242a a a a a a a ≥−≥−−>=, 所以令1i j ==时，21594a a <<. 由性质（*）知，只有211a a =或213a a =. 当213a a =时，12132()4a a a a ==−=，此时令2,1i j ==，214a a =−但423152a a a ≤−=，即421||||a a a >，由性质（*）知不存在k 使得21k a a a =. 所以211a a =，即11a =，从而22a =−.（3）经验证，数列{}n a ：1222,2,nn n n a n −⎧⎪=⎨⎪−⎩是奇数，是偶数满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列. 假设s a 是第一个不满足上述通项公式的项，4s ≥.当21,2s t t =+≥时，只能为11212122(2)32t t t t t t a a a −−+−=−=−−=⋅. 令21,3i t j =−=，则2t i j a a =.但21212t t t a a −+<<，由性质（*），不存在k 使得i j k a a a =.当2,2s t t =≥时，只能为11222221112232222t t t t t t t a a a −−−−−=−=−−=−⋅>−. 则2222122122211115119()222224216t t t t t t t t t t a a a a a a a a ++−−≤−≤−−=−=−⋅<−. 令22,3i t j =−=，则2t i j a a =−，但2222t t t a a +>−>，由性质（*），不存在k 使得i j k a a a =. 故不存在不满足上述通项公式的项.综上，数列{}n a 的通项公式为1222,2,nn n n a n −⎧⎪=⎨⎪−⎩是奇数,是偶数.。
北京市海淀二模(数学理)试题(含答案)word版
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理）答案及评分参考选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9. 6 10. 11 11.32，11613.222, (4(1), (4t tttt⎧+⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为偶数)为奇数)14. ①②, 9三、解答题(本大题共6小题,共80分)15. （共13分）解：（Ⅰ）1()(1cos2)22f x x x=+ωω………2分1sin(2)26x=++πω, ………………3分因为()f x最小正周期为π,所以22ππω=，解得1ω=, …………4分所以1()sin(2)62πf x x=++, ………… 5分所以21()32πf=-. …………6分（Ⅱ）分别由222,()262k x k k Zπππππ-≤+≤+∈，3222,()262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得,()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，2,().63k x k k Z ππππ+≤≤+∈………8分 所以,函数()f x 的单调增区间为[,],()36k k k Z ππππ-+∈；()f x 的单调减区间为2[,],().63k k k Z ππππ++∈…………10分 由2,(62ππx k πk Z +=+∈）得,()26k πx πk Z =+∈. 所以，()f x 图象的对称轴方程为 ()26k πx πk Z =+∈. ………13分16.（共13分）解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A , …………………………1分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13， …………3分则4265()1()1381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ .……………6分(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2,3,4, ……7分由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13，且每个人下电梯互不影响， 所以，1(4,)3X B . …………………9分………………11分14()433E X =⨯=. ……………………13分17.(共14分)（Ⅰ）证明：设F 为DC 的中点，连接BF ，则DF AB =∵AB AD ⊥，AB AD =，//AB DC ， ∴四边形ABFD 为正方形， ∵O 为BD 的中点， ∴O 为,AF BD 的交点，∵2PD PB ==，∴PO BD ⊥， ………………………………..2分∵BD ==∴PO=12AO BD == 在三角形PAO 中，2224PO AO PA +==，∴PO AO ⊥，……………………………4分 ∵AO BD O = ，∴PO ⊥平面ABCD ； ……………………………5分 (Ⅱ)方法1：连接PF ，∵O 为AF 的中点，E 为PA 中点， ∴//OE PF ，∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面PDC . ……………9分方法2：由(Ⅰ)知PO ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥，所以过O 分别做,AD AB 的平行线，以它们做,x y 轴，以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得：(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,1,0)D -(1,1,0)F ，(1,3,0)C，P ，11(,,222E --，则11(,222OE =--，(1,1,PF =，(1,1,PD =-，(1,3,PC = .∴12OE PF =-∴//OE PF∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面PDC ； ……………9分A DO CPB EF(Ⅲ) 设平面PDC 的法向量为111(,,)n x y z =，直线CB 与平面PDC 所成角θ，则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111111300x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，解得1110y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，则平面PDC的一个法向量为)n = ，又(2,2,0)CB =--则sin cos ,θn CB =<>==， ∴直线CB 与平面PDC. ……………14分 18. (共14分）解：（I ）当0a =时，()ln f x x x x =-，'()ln f x x =-， ……2分所以()0f e =，'()1f e =-， ………………………4分 所以曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程为y x e =-+.………………………5分 （II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞21'()()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x=-+--+=-，…………………………6分①当0a ≤时，210ax -<，在(0,1)上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x < 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上递减； ……………………8分②当102a <<时，在(0,1)和1(,)2a +∞上'()0f x >，在1(1,)2a上'()0f x < 所以()f x 在(0,1)和1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a上递减；………………………10分③当12a =时，在(0,)+∞上'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； ………12分④当12a >时，在1(0,)2a 和(1,)+∞上'()0f x >，在1(,1)2a上'()0f x < 所以()f x 在1(0,)2a 和(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a上递减………………14分19．(共13分） 解：（I ）由题意可得OP OM ⊥， ………2分所以0OP OM ⋅=，即(,)(,4)0x y x -= ………4分即240x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为24x y = ………5分 （II ）设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ，则11'(,)A x y -.由244y kx x y=-⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx -+=， ………6分 则216640k ∆=->，即||2k >. ………7分12124,16x x k x x +==. …………………9分直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+212221222212212222121222112()1()4()41444 y 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x -∴=-++-∴=-++--∴=-+-∴=+………………12分即2144x x y x -=+ 所以，直线'A B 恒过定点(0,4). …………13分 20. (共13分）解：(Ⅰ)由变换T 的定义可得1:0,1,1,0,0,1A ………………2分 0:1,0,1A ……………4分(Ⅱ) 数列0A 中连续两项相等的数对至少有10对 …………5分证明：对于任意一个“0-1数列”0A ，0A 中每一个1在2A 中对应连续四项1,0,0,1，在0A 中每一个0在2A 中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”0A 中的每一个项在2A 中都会对应一个连续相等的数对， 所以2A 中至少有10对连续相等的数对. …………………8分(Ⅲ) 设k A 中有k b 个01数对，1k A +中的00数对只能由k A 中的01数对得到，所以1k k l b +=，1k A +中的01数对有两个产生途径：①由k A 中的1得到； ②由k A 中00得到，由变换T 的定义及0:0,1A 可得k A 中0和1的个数总相等，且共有12k +个，所以12k k k b l +=+， 所以22k k k l l +=+，由0:0,1A 可得1:1,0,0,1A ，2:0,1,1,0,1,0,0,1A 所以121,1l l ==， 当3k ≥时，若k 为偶数，222k k k l l --=+ 4242k k k l l ---=+ 2422l l =+上述各式相加可得122421(14)11222(21)143k k kk l ---=++++==-- ，经检验，2k =时，也满足1(21)3k k l =-若k 为奇数，222k k k l l --=+ 4242k k k l l ---=+ 312l l =+上述各式相加可得12322(14)112221(21)143k k kk l ---=++++=+=+- ，经检验，1k =时，也满足1(21)3k k l =+所以1(21),31(21),3kkkklk⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数………………………………………………..13分。
北京市海淀区高三二模数学理科含答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2013.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B = A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,)+∞2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为 A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3-3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.3005.在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为A.32B. 36C. 42D.487.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为 A. 2 B.12+ C.13+ D.23+666左视图5俯视图主视图8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A. 若34a =，则m 可以取3个不同的值 B. 若2m =，则数列{}n a 是周期为3的数列C.T ∀∈*N 且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 在极坐标系中，极点到直线cos 2ρθ=的距离为_______.10.已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 按照从大到小．．．．排列为______. 11.直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30，直线2l 过点(2,0)且与直线1l 垂直，则直线1l 与直线2l 的交点坐标为____.12.在ABC ∆中，30,45,2A B a ∠=∠==，则_____;b =C _____.AB S ∆=13.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅的取值范围是______________.14.在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W . (I) 给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y x =对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12； 其中，所有正确结论的序号是_____。
北京市海淀区高三二模数学参考答案(理科)
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数 学 （理科） 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A2.C3.D4.A.5.D6.B7.C8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.01x <<{或(0,1) }11.1 12.213. 14.6，5050 {本题第一空3分，第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin sin a bA B=----------------------------2分因为,a A b ==所以sin sin b A B a === ---------------------------5分 在锐角ABC ∆中，60B =o ---------------------------7分 （Ⅱ）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ----------------------------9分 又因为3a c =所以2222193c c c =+-，即23c = -------------------------------11分解得c = -------------------------------12分经检验，由222cos 02b c a A bc +-=<可得90A >o ，不符合题意，所以c =舍去. --------------------13分 16.解：（Ⅰ）因为1//C F 平面AEG又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A I 平面AEG AG =，1所以1//C F AG . ---------------------------------3分 因为F 为1AA 中点，且侧面11ACC A 为平行四边形所以G 为1CC 中点，所以112CG CC =.------------------------4分 （Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， ----------------------------------5分 又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得11(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)C B C A -----------------------------6分 因为,E G 分别是1,BC CC 的中点，所以(1,1,0),(2,0,1)E G . -----------------------------7分1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=u u u r u u u r. --------------------------------8分所以1EG CA ⊥u u u r u u u r，所以1EG A C ⊥. --------------------------------9分 （Ⅲ）设平面AEG 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u r u u u r 即0,20.x y x z +=⎧⎨+=⎩ --------------------------10分 令1x =，则1,2y z =-=-，所以(1,1,2)=--n . --------------------------11分 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)=m -------------------------------11分所以cos ,||||⋅<>==⋅n m n m n m --------------------------------13分由题意知二面角1A AG E --为钝角， 所以二面角1A AG E --的余弦值为. --------------------------------14分 16.解：（Ⅰ）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1,2,3,4,5i = 由已知可得()0.6,()0.5i i P A P B ==设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ， -------------------------------1分 因为,A B 两车是否出车相互独立，且事件1111,A B A B 互斥 ----------------2分所以111111111111()()()()()()()()P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+ 0.6(10.5)(10.6)0.5=⨯-+-⨯ --------------------------4分 0.5=所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分，有一个不扣分}（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分 112(0)()()0.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯=2112(1)()()()()0.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= 1122(2)()()()()0.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯=112(3)()()0.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯= ----------------------------10分所以的的分布列为--------------11分()00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-------------------------------13分18.解： （Ⅰ）当π2a =时，π()()sin cos ,(0,)2f x x x x x π=-+∈ π'()()cos 2f x x x =- --------------------------------1分由'()0f x =得π2x =--------------------------------------2分 的情况如下4分因为(0)1f =，(π)1f =-，所以函数()f x 的值域为(1,1)-. ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ）'()()cos f x x a x =-，①当ππa <<时，(),'()f x f x 的情况如下9分所以函数()f x 的单调增区间为π(,)2a ，单调减区间为π(0,)2和(,π)a②当πa ≥时，(),'()f x f x 的情况如下13分所以函数()f x 的单调增区间为π(,π)2，单调减区间为π(0,)2.19.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)1x y a a +=>.-------------------------------1分由e =，可得222112a e a -==,-----------------------------------------------------2分解得22a =, ----------------------------------------------3分所以椭圆的标准方程为22121x y +=. ------------------------------------------4分（Ⅱ）法一：设00(,),C x y 且00x ≠，则00(,)D x y -. ----------------------------------------5分 因为(0,1),(0,1)A B -, 所以直线AC 的方程为0011y y x x -=+. ----------------------------------------6分 令0y =，得001M x x y -=-，所以00(,0)1x M y --. ------------------------------------7分 同理直线BD 的方程为0011y y x x +=--，求得00(,0)1x N y -+.-----------------------8分0000(,1),(,1),11x x AM AN y y -=-=--+u u u u r u u u r -----------------------------------------9分所以AM AN ⋅=u u u u r u u u r 202011x y -+-, --------------------------------------10分 由00(,)C x y 在椭圆G ：2212x y +=上，所以22002(1)x y =-,-------------------11分所以10AM AN ⋅=-≠u u u u r u u u r, -----------------------------13分所以90MAN ∠≠o ,所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . ------------------------------14分 法二：因为,C D 关于y 轴对称，且B 在y 轴上所以CBA DBA ∠=∠. ------------------------------------------5分 因为N 在x 轴上，又(0,1),(0,1)A B -关于x 轴对称所以NAB NBA CBA ∠=∠=∠, ------------------------------------------6分 所以//BC AN , -------------------------------------------7分 所以180NAC ACB ∠=-∠o , ------------------------------------------8分 设00(,),C x y 且00x ≠，则22002(1)x y =-. ----------------------------------------9分因为22200000003(,1)(,1)(1)02CA CB x y x y x y x ⋅=-+=--=>u u u r u u u r ,----------------11分所以90ACB ∠≠o , -----------------------------------12分 所以90NAC ∠≠o , ----------------------------------13分 所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . -------------------------------14分 法三：设直线AC 的方程为1y kx =+，则1(,0)M k-， ---------------------------------5分22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩ 化简得到222(1)20x kx ++-=，所以22(12)40k x kx ++=，所以12240,21kx x k -==+, -----------------------------6分所以22222421112121k k y kx k k k --+=+=+=++, 所以222421(,)2121k k C k k --+++， ----------------------------7分 因为,C D 关于y 轴对称，所以222421(,)2121k k D k k -+++. ----------------------------8分所以直线BD 的方程为222211211421k k y x k k -+++=-+，即112y x k =-.------------------10分 令0y =，得到2x k =，所以(2,0)N k . --------------------11分 1(,1)(2,1)10AM AN k k⋅=--⋅-=-≠u u u u r u u u r , ----------------------12分所以90MAN ∠≠o , ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆恒过(0,2)和(0,2)-两点. --------------------------14分{法4 :转化为文科题做，考查向量AC AN ⋅u u u r u u u r的取值}20.解：（Ⅰ）110d =,27d =,20142d = ---------------------------3分 （Ⅱ）法一：① 当2d =时，则(,,)(,1,2)a b c a a a =++所以1(,1,2)(1,2,)f a a a a a a ++=++，122d a a =+-=，由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次 小数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以，当2d =时，(1,2,3,)n d d n ==L 恒成立. ②当3d ≥时，则1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-所以11(1)d b a b a c a d =+-+=-<-=或12(1)3d c a d =--+=- 所以总有1d d ≠.综上讨论，满足(1,2,3,)n d d n ==L 的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 法二：因为a b c <<，所以数组(,,)a b c 的极差2d c a =-≥所以1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-，若2c -为最大数，则12(1)3d c a c a d =--+=--< 若121b c a +≥->+，则1(1)(1)d b a b a c a d =+-+=-<-= 若112b a c +>+≥-，则1(1)(2)3d b c b c =+--=-+， 当3b c d -+=时，可得32b c -+≥，即1b c +≥ 由b c <可得1b c +≤ 所以1b c +=将1c b =+代入3b c c a -+=-得1b a =+所以当(,,)(,1,2)a b c a a a =++时，2n d =（1,2,3,n =L ）由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次小 数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以满足(1,2,3,)n d d n ==L 的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 （Ⅲ）因为,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列的三项，所以,,a b c 是形如4k m ⋅（其中*m ∈N ）的数，又因为1114(31)3331k k k k k k k C C --=+=++++L所以,,a b c 中每两个数的差都是3的倍数.所以(,,)a b c 的极差0d 是3的倍数. ------------------------------------------------9分 法1：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，不妨设a b c <<，依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （1,2,3,,i x =L ，x ∈N ）中，总满足ic 是唯一最大数，i a 是最小数时，一定有2a x b x c x +<+<-，解得3c bx -<. 所以，当2,3,,13c bi -=-L 时，111(2)(1)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-. 3322(,,)(,,)333c b a c b c b c bf a b c -+-++=，3c bd b a -=- 依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （,1,,333c b c b c bi y ---=++L ，y ∈N ）中，总满足i i c b =是最大数，i a 是最小数时，一定有32233a cbc by y +-++<-，解得3b ay -<. 所以，当,1,,1333c b c b c ai ---=+-L 时，111(1)(2)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-.3(,,)(,,)333c a a b c a b c a b cf a b c -++++++=，30c a d -= 所以存在3c an -=，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.--------------------------------13分 法2：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，则①当(,,)i i i a b c 中有唯一最大数时，不妨设i i i a b c ≤<，则1111,1,2i i i i i i a a b b c c +++=+=+=-，所以111111,3,3i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=--=---=--所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i b c +≤，则3i d ≥，1130i i i i c b c b ++-=--≥， 所以111i i i a b c +++≤≤所以11133i i i i i i d c a c a d +++=-=--=--------------------------------------------11分 ②当(,,)i i i a b c 中的最大数有两个时，不妨设i i i a b c <=，则1112,1,1i i i i i i a a b b c c +++=+=-=-，所以1111113,3,i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=---=---=-，所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i a b +≤，则3i d ≥，1130i i i i b a b a ++-=--≥ 所以11133i i i i i i d b a b a d +++=-=--=-.所以当3i d ≥时，数列{}i d 是公差为3的等差数列.------------------------------12分 当3i d =时，由上述分析可得10i d +=，此时1113i i i a b ca b c +++++=== 所以存在3dn =，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.----------------------------------13分。
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北京市海淀区高三第二次模拟试题数学学校 班级 姓名题号 一 二 三总分（17） （18）（19）（20）（21）（22）分数注意事项：1、答第I 卷前，考生除需将学校、班级、姓名写在试卷上，还务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上。
2、每小题选出答案后，除需答在试卷上，还需用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案号.3、考试结束，考生将试卷和答题卡一并交回.第I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）不等试9|123|≤-x 的整数解的个数是（ ）（A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4（2）抛物线的顶点在坐标系原点，焦点是椭圆1422=+y x 的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为（ ）（A ）32 （B ）3 （C ）321 （D ）341 （3）已知集合A 、B 、C 为非空集合，,C A M ⋂=,C B N ⋂=N M P ⋃=，则（ ） （A ）一定有C P C =⋂ （B ）一定有P P C =⋂ （C ）一定有P C P C ⋃=⋂ （D ）一定有=⋂P C φ （4）已知实数a 、b 满足ab>0，则代数式abb a 22+的值（ ）（A ）有最小值但没有最大值 （B ）有最大值但没有最小值 （C ）既有最大值也有最小值 （D ）没有最大值也没有最小值（5）把函数x a y -=和函数)(log x y a -=的图像画在同一个坐标系中，得到的图像只可能是下面四个图像中的（ ）（6）函数)sin 3)(cos cos 3(sin x x x x y --=的最小正周期为（A）4π（B）2π（C）π（D）2π（7）如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，ADPDABCDPD=⊥,平面，则P A与BD所成角的度数为（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°（8）（理科作）参数方程⎪⎩⎪⎨⎧θ-θ=θ=ctgtgyx2sin2（θ是参数）所表示的曲线是（）（A）直线（B）抛物线（C）椭圆（D）双曲线（文科作）如果等比数列}{na的首项是正数，公比大于1，那么数列}{log31na（）（A）是递增的等比数列（B）是递减的等比数列（C）是递增的等差数列（D）是递减的等差数列（9）522⎪⎭⎫⎝⎛-yx的展开式中系数大于–1的项共有（）（A）5项（B）4项（C）3项（D）2项（10）已知平面α、β、γ直线l、m满足：ml⊥、γ⊥α、m=α⋂γ、l=β⋂γ，那么在：①γ⊥β；②α⊥l；③β⊥m中，可以由上述已知条件推出的只有（）（A）①和②（B）②和③（C）①和③（D）②（11）（理科作）在极坐标系中，方程12sin2cos322-θ-θ=ρ表示的曲线是（）（A）平行于极轴的直线（B）垂直于极轴的直线（C）圆心在极点的圆（D）经过极点的圆（文科作）设△ABC的三个内角A、B、C的度数成等差数列，则tg(A+C)的值为（）（A）33（B）33-（C）3（D）3-（12）北京某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到两台，不同送法的种数共有（）（A）10种（B）9种（C）8种（D）6种第II卷二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果（13）复数iz521+=，iz312-=，复数324134zx=，则|z|=（14）圆锥的底面和顶点都在同一个球面上，球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为（答案写成分数形式）（15）过点M （0，4）、被圆4)1(22=+-y x 截得的线段长为32的直线方程为 （16）已知数列}{n a 、}{n b 都是等差数列，01=a 、41-=b ，用k S 、'k S 分别表示数列}{n a 、}{n b 的前k 项和（k 是正整数），若0='+k k S S ，则k k b a +的值为 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本小题满分12分） 设a >0,1≠a .解关于x 的不等式0)1(log )3(log 2<--++x x x xa a （18）（本小题满分12分）（理科作）在△ABC 中a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +⋅-=-⋅+，且B A ≠求证：△ABC 是直角三角形（文科作）已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边.（I ）若△ABC 面积为23，c =2，A =︒60，求b ，a 的值； （II ）若a cosA =b cosB ，试判断△ABC 的形状，证明你的结论. （19）（本小题满分12分）在如图的三棱锥P –ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A =AC =1，PC =BC ，PB 和平面ABC 所成的角为︒30（I ）求证：平面PBC ⊥平面P AC ；（II ）比较三个侧面的面积的算术平均数与底面积数值的大小，并说明理由； （III ）求AB 的中点M 到直线PC 的距离（20）（本小题满分12分）某种细菌每隔两小时分裂一次（每一个细菌分裂成两个，分裂瞬间的时间忽略不计），研究开始计时时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究进行时间t 的函数，记作y =f (t ).（I ）写出函数y =f (t )的定义域和值域；（II ）在给出的坐标系中画出y =f (t ) (60≤≤t )的图像；（III ）写出研究进行到第n 小时（Z n n ∈≥,0）时细菌的总数有多少个（用关于n 的式子表示）.（21）（本小题满分12分）设双曲线13222=-x ay 的焦点分别为1F 、2F ，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线`L 、2L 的方程；（II ）若A 、B 分别为1L 、2L 上的动点，且2|AB |=5|1F 2F |，求线段AB 的中点M 的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线.（22）（本小题满分14分）已知函数)(1log 2N n xy n∈= （I ）当n =1，2，3，…时，把已知函数的图像和直线y =1的交点的横坐标依次记为321,,a a a …，求证1321<++++n a a a a ；（II ）对于每一个n 的值，设n A 、n B 为已知函数的图像上与x 轴距离为1的两点，求证：n 取任意一个正整数时，以n n B A 为值径的圆都与一条定直线相切，并求出这条定直线的方程和切点的坐标.参考答案与评分标准二、填空题：（13）227；（14）329；（15）x = 0或15x + 8y – 32 = 0（写出一个方程给2分）；（16）4. 三、解答题： （17）解：原不等式等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+<+>->+,0x 1x3log 0x x 20x 10x 3a…………………………………………………3分即 ⎪⎩⎪⎨⎧>-+<<-.0x 1x3log 0x 2a 当a > 1时，⎪⎩⎪⎨⎧>-+<<-,1x1x 30x 2解得–1< x < 0；…………………………………………………………………………7分当0 < a < 1时，⎪⎩⎪⎨⎧<-+<<<-,1x 1x300x 2 解得–2 < x <–1.………………………………………………………………………11分所以当a > 1时原不等式的解集为{}0x 1|x <<-；当0 < a < 1时原不等式的解集为{}1x 2|x -<<-.……………………………12分 （18） （理科）解：由已知得：)]B A sin()B A [sin(b )]B A sin()B A [sin(a 22++-=--+∴B cos A sin b 2B sin A cos a 222=.……………………………………………………3分 由正弦定理得a sinB = b sinA, ∴a cosA = b cosB.又由正弦定理得2RsinA=a ，2RsinB=b,∴2RsinAcosA=2RsinBcosB,……………………………………………………………8分 即sin2A=sin2B由已知A 、B 为三角形内角且A ≠B, ∴2A+2B=180°. 即A+B=90°.∴△ABC 为直角三角形.……………………………………………………………12分 （文科）解：（Ⅰ）由已知得︒==60sin b A sin bc 2123， ∴b=1.……………………………………………………………………………3分由余弦定理3A cos bc 2c b a 222=-+=∴a=3.……………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由正弦定理得2RsinA=a ，2RsinB=b ，∴2RsinAcosA=2RsinBcosB ，……………………………………………………9分 即sin2A=sin2B.由已知A 、B 为三角形内角， ∴A+B=90°或A=B ，∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形.………………………………………12分 （19） 解：（Ⅰ）由已知PA ⊥平面ABC ，PA=AC=1， ∴△PAC 为等腰直角三角形，且PC=CB=2， 在Rt △PAB 中∠PBA=30°， ∴PB=2，∴△PCB 为等腰直角三角形. ∵PA ⊥平面ABC ，PC ⊥BC ，∴AC ⊥BC ，又C PC AC = ，∴BC ⊥平面PAC ， ∵⊂BC 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC.…………………………………………………4分 （Ⅱ）三个侧面及底面都是直角三角形，求得侧面PAC 面积值为21，侧面PAB 面积值为23，侧面PCB 面积值为1，底面积值为22. 三个侧面面积的算术平均数为633+.…………………………………7分 ∵6233322633-+=-+, 其中0)23()89()23()223(2333>-+-=-++=-+，∴三个侧面面积的算术平均数大于底面积的数值.……………………8分（Ⅲ）如图，过M 作MD ⊥AC ，垂足为D. ∵平面PAC ⊥平面ABC 且相交于AC ， ∴MD ⊥平面PAC.过D 作DE ⊥PC ，垂足为E ，连结ME ，则DE 是ME 在平面PBC 上的射影， ∵DE ⊥PC ，∴ME ⊥PC ，ME 的长度即是M 到PC 的距离. 在Rt △ABC 中，MD ∥BC ，MD=21BC=22，在等腰Rt △PAC 中，DE=DCsin45°=42∴ME=4108121DE MD 22=+=+，即点M 到PC 的距离为410.…12分 （20）解：（1）定义域为),0[+∞，……………………2分 值域为{}N n ,2y |y n ∈=.……………4分 （2）如图：…………………………………8分 （3）n 为偶数时：2n22y ⨯=，……………10分 n 为奇数时：21n 22y -⨯=，……………12分（21）解：（1）由已知得已知双曲线的离心率为2a3a 2=+，解得1a 2=，所以已知双曲线方程为13y x 22=-，它的渐近线1L 、2L 的方程为0y 3x 0y 3x =+=-和.…………3分（2）因为2121F F 5AB 2,4F F ==，所以|AB|=10.设A 在1L 上，B 在2L 上，则可以设A )y ,y 3(11、B )y ,y 3(22-， ∴.10)y y ()y y (3221221=-++①…………………………………………5分 设：AB 的中点M （x ，y ），则2y y y ,2y 3y 3x 2121+=-=. ∴y 2y y ,3x 2y y 2121=+=-，………………………………………………9分代入①得1003x 4y 1222=+，即125y 375x 22=+为中点M 的轨迹过程，轨迹为椭圆.…………………………………………………………………12分 （22）解：原函数可化为：x log n 1y 21=……………………………………………………2分 (Ⅰ) y = 1时，可求得n21x ⎪⎭⎫⎝⎛=，即1n nn 212121a -⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，∴{}n a 是以21为首项，21为公比的等比数列. ∴1211211)211(21a a a a n n n 321<-=--=+++ .………………………………7分 （Ⅱ）同理可以求n A 、n B 的横坐标，可得n A 、n B 的坐标分别为)1,2()1,21(n n -和.因此nn22n n n n 2122)212(B A +=+-=. 因此n A n B 中点C 到y 轴距离2B A 2212n n n n =+, ∴以C 为圆点、n A n B 为直径的圆必与定直线y 轴相切，这条定直线的方程为x=0.由点C 的纵坐标为0，可知从点C 到y 轴作垂线的垂足就是原点即切点，所以切点坐标为（0，0）.………………………………………………………………………………………14分 （说明：囿于篇幅，本答案只给出一种解法，其他解法可相应给分.）。
2014年北京市海淀区高三二模数学(理)试题Word版带解析
海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习数 学（理科） 2014．5一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．sin(150)- 的值为A.12-B.12C. 32-D. 32.解析：01sin(150)sin1502-=-=-知识点;三角函数--------三角函数-------诱导公式 难度系数：22．已知命题:p “0a ∀>，有1ae ≥成立”，则p ⌝为A.0a ∃≤，有1a e ≤成立B.0a ∃≤，有1ae ≥成立 C.0a ∃>，有1ae <成立 D.0a ∃>，有1ae ≤成立解析：命题的否命题，存在变为任意，任意变为存在，条件不变，结论变为对立。
知识点：集合与逻辑用语---------常用逻辑用语---------全称量词与存在性量词难度系数：13．执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4，则输入的x 应为 A.2- B.16 C. 2-或8 D. 2-或16解析：该程序框图是一分段函数21,log ;4,16;1,2,16, 2.x x S x S x x S S x ->===≤===-知识点;算法与框图--------算法和程序框图 难度系数：24．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心到极轴的距离为 A.1 B.2 C. 3 D. 2 .解析：把极坐标方程转化为标准方程，两边同乘以ρ，222222sin ,2,(1)1x y y x y ρρθ=+=+-=圆心到极轴的距离为1. 知识点：解析几何---------极坐标方程-------简单曲线的极坐标方程难度系数：25．已知(,)P x y 是不等式组10300x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，表示的平面区域内的一点，(1,2)A ，O 为坐标原点，则OA OP的最大值是否开始输入1>xx S -=2 x S 2log =输出S结束A.2B.3C. 5D. 6解析：本题为不等式和向量的综合问题，做出平面区域2OA OP x y ∙=+，做出平面区域，把区域交点坐标带入，所以2OA OP x y ∙=+的最大值是6.知识点：不等式--------线性规划----------线性规划；平面向量---------数量积及其应用-------数量积的定义 难度系数：36．一观缆车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 的 长），巨轮的半径30m ，2AM BP ==m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈， 若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为()h t m ， 则()h t = A.30sin()30122t ππ-+ B. 30sin()3062t ππ-+ C. 30sin()3262t ππ-+D. 30sin()62t ππ-解析：根据题意，函数的周期是2126ππ=，当t=0时，h （t ）=0，所以答案B. 知识点：三角函数-----------三角函数-----------三角函数应用 难度系数：37．已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是 A.(2,4) B.(,2)-∞ C. (2,)+∞ D. (4,)+∞ 解析：等差数列的单调性与公差d有关，d>0数列是增的，110181954,294,7272222a a a d a a d d d d +=+==+=-+=+>，所以答案C.知识点：数列-----------等差数列难度系数：38．已知点E ，F 分别是正方体1111ABCD A BC D -的棱AB ，1AA 的中点， 点M ，N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有 A.0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条.解析：直线11,D E C F 在平面上有投影，过F 一定能做出底面的平行面，此时面与11,D E C F 一定相交，所以这样的平面有无数多条。
海淀区2024届高三一模数学试题答案
第 1 页（共 8 页）海淀区2023—2024学年第二学期期中练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）D （2）A （3）B （4）C （5）D （6）A（7）B（8）C（9）D （10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （ 11 ）4（12）2 （13）16 4041-（14）1- π(,0)4-（答案不唯一）（15）②③④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及sin cos 2b C B c +=，得sin sin cos 2sin B C C B C =.因为(0,π)C ∈，所以sin 0C ≠.所以sin 2B B =. 所以πsin()13B +=.因为(0,π)B ∈， 所以ππ32B +=，即π6B =.（Ⅱ）由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=.因为a =， 所以22126c b c +-=. 因为4b c +=， 所以2c =.所以ABC △的面积为1sin 2ac B =第 2 页（共 8 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）取PC 的中点N ，连接MN ，ND .因为M 为BP 的中点， 所以12MN BC =，//MN BC . 因为//AD BC ， 所以//AD MN .所以M ，N ，D ，A 四点共面. 因为//AM 平面CDP ，平面MNDA 平面CDP DN =，所以//AM DN . 所以MN AD =. 所以2BC AD =.（Ⅱ）取BC 的中点E ，连接AE ，AC . 由（Ⅰ）知2BC AD =. 所以EC AD =. 因为//EC AD ，所以四边形AECD 是平行四边形. 所以1EC AD ==，AE CD =. 因为1AB CD ==，所以112AE BC ==. 所以90BAC ∠=︒，即AB AC ⊥. 选条件①：BP DP =.（ⅰ）因为1AB AD ==，PA PA =， 所以PAB PAD ≅△△. 所以PAB PAD ∠=∠.因为AB PA ⊥，所以90PAB ∠=︒. 所以90PAD ∠=︒，即AP AD ⊥. 所以AP ⊥平面ABCD .（ⅱ）由（ⅰ）知AP ⊥平面ABCD . 所以AP AC ⊥.N ABCDMPABCDEMP第 3 页（共 8 页）因为PA AB ⊥，1AP =，如图建立空间直角坐标系A xyz -. 则(0,0,1)P，C，1(2D -.所以1(,2CD =-，1(1)22PD =--，(0,AC =.设平面PDC 的法向量为 (,,)x y z =n ，则0,0,CD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即10,210.2x y x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩ 令x =，则1y =-，z =.于是3,1,3)=--n .因为AC 为平面PAB 的法向量，且cos ,|||AC AC AC ⋅<>==⋅n n n|，所以二面角C l B --.选条件③：CBM CPM ∠=∠. （ⅰ）所以CB CP =. 因为1AB AP ==，CA CA =， 所以ABC APC ≅△△.所以90PAC BAC ∠=∠=︒，即PA AC ⊥. 因为PA AB ⊥， 所以PA ⊥平面ABCD . （ⅱ）同选条件①．D第 4 页（共 8 页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）当35a =时，（ⅰ）由表可知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为103545+=.所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为450.45100=． 所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45．（ⅱ）根据题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为35735109=+.所以从该校学生活动成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为79. 同理，从该校学生活动成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为29. 由表可知X 的所有可能取值为6,7,8． 7749(6)9981P X ==⨯=，7228(7)29981P X ==⨯⨯=， 224(8)9981P X ==⨯=．所以X 的数学期望4928458()6788181819E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）7．第 5 页（共 8 页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意知1m >. 设2a m =，21b =，则2221c a b m =-=-.因为G， 所以222a c =，即2(1)m m =-． 所以2m =，1c =.所以m 的值为2，点F 的坐标为(1,0)．（Ⅱ）由题意可设 00(,)P x y （000x y ≠），(2,)Q Q y ，(,0)M M x ，则02x <，0M x x ≠，220022x y +=. ①因为PF FQ ⊥,所以00(1,)(1,)0Q x y y -⋅=. 所以01Q x y y -=. ② 因为Q ，P ，M三点共线，0((0,2)x ∈， 所以0002Q My y y x x x -=--. ③由①②③可得02M x x =. 由（Ⅰ）可知1(A，2A .所以2221200000222||||||()(2)(MP MA MA x y x x x -⋅=-+-- 222000220044412122x x x x x =-++--+=-.所以2212||||||102x MP MA MA -⋅=-<，即212||||||MP MA MA <⋅.第 6 页（共 8 页）（20）（共15分） 解：（Ⅰ）因为12()e a x f x x -=⋅，所以111222'()e e e (1)22a x a x a x x xf x ---=-⋅=-. 令'()0f x =，得2x =．'()f x 与()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,2)-∞；单调递减区间是(2,)+∞．（Ⅱ）令2()()e h x f x a -=+，则'()'()h x f x =.由（Ⅰ）可得：函数()h x 的单调递增区间是(,2)-∞；单调递减区间是(2,)+∞． 所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=⋅+. 所以当2x >时，1222()e +e e (0)a xh x x aa h ---=⋅>=；当02x <<时，()(0)h x h >，即当(0,)x ∈+∞时，()((0),(2)]h x h h ∈.所以()|()|g x h x =在(0,)+∞上存在最大值的充分必要条件是122|2ee ||e |a a a ---⋅+≥，即122122e e e e e 02a a a aa -----⋅++=+≥.令12()e e x m x x --=+，则12'()e e x m x --=+. 因为12'()e e 0x m x --=+>，所以()m x 是增函数. 因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-. 所以a 的取值范围为[1,)-+∞.第 7 页（共 8 页）（21）（共15分）解：（Ⅰ）11b =,36b =． （Ⅱ）由题意知3m ≥.当3m =时，因为11a ≥，00b =，所以11b =. 因为23a a ≠，且2a ，3a 均为正整数， 所以21a >，或31a >. 所以23b ≤.因为4a ，5a ，6a 是互不相等的正整数，所以必有一项大于2. 所以36b ≤.所以12310b b b ++≤，不合题意.当4m =时，对于数列Q ：4,1,3,2,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4有12313711b b b ++=++=.综上所述，m 的最小值为4.（Ⅲ）因为1min{|,}t t n b n n b a t +=>>，0,1,,2023t =，所以1t t b b +>，0,1,,2023t =.（ⅰ）若12024t b +≤，则当1t n b +<时，至少以下情况之一成立：①n a t ≤，这样的n 至多有t 个；②存在i t ≤，i b n =，这样的n 至多有t 个. 所以小于1t b +的n 至多有2t 个. 所以1121t b t t t +≤++=+.第 8 页（共 8 页）令212024t +≤，解得11012t +≤. 所以10122024b ≤.（ⅱ）对*k ∈N ，若12024t t b k b +≤<，且120242024(1)t l k b k ++<≤+，因为1min{|,}t l t l n b n n b a t l +++=>>+，所以当1(2024,)t l n k b ++∈时，至少以下情况之一成立：① n a t l ≤+，这样的n 至多有t l +个；② 存在i ，t i t l <≤+且i b n =，这样的n 至多有l 个. 所以120241202421t l b k t l l k t l ++≤++++=+++. 令212024t l ++≤，解得2023[]2t l -≤，即20251[]2tt l +++≤，其中[]x 表示不大于x 的最大整数.所以当12024t t b k b +≤<时，2025[]22024(1)t b k +≤+；综上所述，定义11012C =，12025[]2kk C C ++=，则2024k C b k ≤. 依次可得：21518C =，31771C =，41898C =，51961C =，61993C =，72009C =，82017C =，92021C =，102023C =.所以202320241020240b ≤⨯=.。
2024年北京海淀区高三二模数学试题和答案
高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 8 页）海淀区2023—2024学年第二学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C（2）D （3）B （4）C （5）A （6）C （7）B （8）A （9）D （10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（ 11 ）1 （1222(1x y ++=（或22(1x y -+=） （13）π 2- （14）7（15）①②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：选择条件②：()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到．（Ⅰ）因为2()2cos 2xf x x ωω=+，所以π()cos 12cos()13f x x x x ωωω=++=-+. 因为()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到，所以()y f x =的最小正周期为π.因为0ω>，所以2ω=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2cos(2)13f x x =-+． 因为(0,)x m ∈， 所以πππ2(,2)333x m -∈--. 因为不等式()2f x <在区间(0,)m 内有解，即π1cos(2)32x -<在区间(0,)m 内有解， 所以ππ233m ->，即π3m >.高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 8 页）所以m 的取值范围是π(,)3+∞． 选择条件③：()f x 在区间ππ(,)36-内无极值点，且ππ()2()263f f -=-+.（Ⅰ）因为2()2cos 2xf x x ωω=+，所以π()cos 12sin()16f x x x x ωωω=+=++． 因为ππ()2()263f f -=-+， 所以ππ()()463f f --=． 所以()f x 分别在π6x =，π3x =-时取得最大值、最小值. 所以()f x 的最小正周期ππ2[()]π63T ≤⨯--=. 因为()f x 在区间ππ(,)36-内无极值点， 所以()f x 的最小正周期ππ2[()]π63T ≥⨯--=. 所以πT =.因为0ω>， 所以2π2Tω==． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin(2)16f x x =++． 因为(0,)x m ∈， 所以πππ2+(,2+)666x m ∈. 因为不等式()2f x <在区间(0,)m 内有解，即π1sin(2)62x +<在区间(0,)m 内有解， 所以π5π2+66m >，即π3m >. 所以m 的取值范围是π(,)3+∞．高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 8 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）连接BM ，MN ，BN .因为AB PB =，M 为AP 的中点，所以BM AP ⊥.因为MN AP ⊥，所以AP ⊥平面BMN .因为AP ⊂平面PAC ，所以平面BMN ⊥平面PAC .（Ⅱ）因为PO ⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，所以PO OB ⊥，PO OC ⊥，PBO ∠为直线PB 与平面ABC 所成的角.因为直线PB 与平面ABC 所成角为π6， 所以π6PBO ∠=. 因为2PB =，所以1PO =，OB =.2=，所以1OA =.因为2AB =，所以222AB OB OA =+.所以OB OA ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -.则(0,1,0)A，B ，(0,3,0)C ，(0,0,1)P ，11(0,,)22M . 所以(0,3,1)PC =-，(BC =-，N P A B CM高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 8 页） 51(0,,)22MC =-. 设平面PBC 的法向量为 (,,)x y z =n ，则0,0,PC BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即 30,30.y z y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则x 3z =.于是,3)=n .设CM 与平面PBC 所成角为θ，则||sin |cos ,|13|||MC MC MC θ⋅=<>===⋅n n n |. 所以直线CM 与平面PBC .（18）（共13分） 解：（Ⅰ）根据题中数据，共有206080+=张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以该照片确为女性的概率为603804=． （Ⅱ）设事件A ：输入男性照片且识别正确．根据题中数据，()P A 可估计为9031204=． 由题意知X 的所有可能取值为1，2，3．3(1)4P X ==，133(2)4416P X ==⨯=，111(3)4416P X ==⨯=. 所以X 的分布列为所以()1234161616E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）231p p p <<.高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 8 页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意可设椭圆E 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），222c a b =-.因为以E的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为所以22a c +=12c a =．所以a =，c =所以26b =．所以椭圆E 的方程为22186x y +=. （Ⅱ）设直线l 的方程为2x ty =+（0t ≠），令16x =，得14y t=，即14(16,)P t ．由223424,2x y x ty ⎧+=⎨=+⎩得22(34)12120t y ty ++-=． 设11(,)A x y ，22(,)C x y ，则1221234ty y t +=-+，1221234y y t =-+． 设AC 的中点为33(,)N x y ，则12326234y y ty t +==-+． 所以3328234x ty t =+=+. 因为四边形ABCD 为菱形, 所以N 为BD 的中点，AC BD ⊥. 所以直线BD 的斜率为t -. 所以直线BD 的方程为2268()3434t y t x t t +=--++. 令0x =得222862343434t t ty t t t =-=+++. 所以22(0,)34tB t +.高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 8 页）设点D 的坐标为44(,)x y ，则43216234x x t ==+，432221423434t ty y t t =-=-++，即221614(,)3434tD t t -++. 所以直线PD 的方程为2214141434(16)161634t t t y x t t ++-=--+，即7(4)6y x t =-.所以直线PD 过定点(40)，.（20）（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，()ln(1)f x x =-+（ⅰ）1()1f x x '=--． 所以(2)2f =，(2)0f '=．所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为2y =．（ⅱ）由（ⅰ）知()ln(1)f x x =-+(1,3]x ∈，1()1f x x '=-，且(2)0f '=． 当(1,2)x ∈时，因为111x >>-，所以()0f x '>； 当(2,3)x ∈时，因为111x <<-()0f x '<. 所以()f x 在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减.因为(2)2f =，(3)ln 20f =>，3(1e )330f -+=-+-+.所以函数()f x 恰有一个零点.（Ⅱ）由()ln()f x x a =-+()f x '=设()()g x x a -，(,3)x a a ∈，则'()10g x =-<.所以()g x 是(,3)a a 上的减函数.因为()0g a =>，(3)20g a a =-<，所以存在唯一0(,3)x a a ∈，00()()0g x x a -=．高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 8 页）所以()f x '与()f x 的情况如下：所以()f x 在区间(,3)a a 上的最大值是0000()ln()ln()2()f x xa x a x a =-+=-+-． 当1a ≥时，因为(2)0g a a ≤，所以02x a ≤.所以0()ln(2)2(2)ln 2f x a a a a a a ≤-+-=+． 所以0()()ln 2f x f x a a ≤≤+，符合题意.当01a <<时，因为(2)0g a a >，所以02x a >.所以0()ln(2)2(2)ln 2f x a a a a a a >-+-=+，不合题意．综上所述，a 的取值范围是[1,)+∞．（21）（共15分）解：（Ⅰ）m 的值为27或32． （Ⅱ）（ⅰ）假设存在{1,2,,}i n ∈，使得i i a d >.记i i x a d =-，由*i a ∈N ，*i d ∈N 得*x ∈N . 因为i i i x a d a =-<，所以i x A ∉. 因为12,,,n A A A 具有性质P ，所以存在{1,2,,}j n ∈，且j i ≠，使得j x A ∈.不妨设0(1)j j x a k d =+-，0*k ∈N .记i j y x d d =+，则0(1)j i j y a d k d =++-，由0*i d k +∈N ，所以j y A ∈.高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 8 页）因为(1)i i i j i j i y a d d d a d d =-+=+-，*j d ∈N ， 所以i y A ∈. 所以ij A A ≠∅，与i j A A ∅=矛盾.所以i i a d ≤（1,2,,i n =）. （ⅱ）记12n M d d d =，{1,2,,}A M =.因为{|(1),1,2,}i i i A x x a k d k ==+-=，且1i i a d ≤≤， 所以i A A 中恰有iMd 个元素，1,2,,i n =. 令i iB A A =，1,2,,i n =，则12n B B B A =，ij B B ∅=（1i j n ≤<≤）.由A 中元素的个数可得1ni iMM d ==∑，即111ni i d ==∑.由A 中所有元素之和可得1(1)(+1)()22ni i i i i iM Md d M M Ma d d =-=+∑，即211(+1)1()22nn i i i i ia M M M M M d d ===+-∑∑. 所以111+1122222n nn i i i i i i i ia a M Mn M nd d d ====+-=+-∑∑∑. 所以112ni i ia n d =+=∑.。
北京市海淀区高三数学理科二模试卷及答案(WORD版)
北京市海淀区2012高三二模数 学（理科）2012.05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若sin cos 0θθ<，则角θ是 （A ）第一或第二象限角 （B ）第二或第三象限角 （C ）第三或第四象限角 （D ）第二或第四象限角 （2）已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是 （A ）0x ∀∈R ，021x ≠ （B ）0x ∀∉R ，021x ≠ （C ）0x ∃∈R ，021x ≠（D ）0x ∃∉R ，021x ≠（3）直线11x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的倾斜角的大小为（A ）4-π （B ）4π （C ）2π（D ）34π（4）若整数,x y 满足1,1,3,2x y x y y ìïïï-?ïïï+?íïïïï£ïïî则2x y +的最大值是 （A ）1（B ）5（C ）2 （D ）3（5）已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +u u u r u u u u r的最小值是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D）（6）为了得到函数2log y =2log y x =的图象上所有的点的（A ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度（C ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度（D ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度俯视图主视图（7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（A ）203（B ）43（C ）6 （D ）4（8）点(,)P x y 是曲线1:(0)C y x x=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②OAB ∆的周长有最小值4+；③曲线C 上存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于14的概率是_________． （10）已知1021012311(1)x a a x a x a x +=++++L . 若数列123,,,,(111,)k a a a a k k ＃?Z L 是一个单调递增数列，则k 的最大值是 . （11）在ABC ∆中，若120A ??，5c =，ABC ∆的面积为，则a = .（12）如图，O e 的直径AB 与弦CD 交于点P ，7, 5, 15CP PD AP ===，则DCB Ð＝______.（13）某同学为研究函数()1)f x x =＃的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则()AP PF f x +=. 请你参考这些信息，推知函数()f x 的图象的对称轴是 ；函数()4()9g x f x =-的零点的个数是 .（14）曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹. 则曲线C 与y 轴交点的坐标是 ；又已知点(,1)B a （a 为常数），那么BEFAB C DPPB PA +的最小值()d a = .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知公差不为０的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346S a =+，且1413,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列1{}nS 的前n 项和公式. (16)（本小题满分14分）如图所示，PA ^平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，30CBA??，2PA AB ==，点E 为线段PB 的中点，点M 在»AB 上，且OM ∥AC ． （Ⅰ）求证：平面MOE ∥平面P AC ；（Ⅱ）求证：平面P AC ^平面PCB ；（Ⅲ）设二面角M BP C --的大小为θ，求cos θ的值．(17)（本小题满分13分）某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A ,B 两个项目可供选择：且X 1的数学期望E (X 1)=12；(2)投资B 项目一年后获得的利润X 2(万元)与B 项目产品价格的调整有关， B 项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p (0< p <1)和1-p . 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数X (次)与X 2的关系如下表所示：（Ⅱ）求X 2的分布列；（Ⅲ）若E (X 1)< E (X 2)，则选择投资B 项目，求此时 p 的取值范围.(18)（本小题满分13分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(1,2-在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；ME BOCAP（Ⅱ）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分14分）已知函数21()ln()(0)2f x a x a x x a =--+<. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+； （Ⅲ）当45a =-时，记函数()f x 的零点为0x ，若对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=都有21()()f x f x m -≥成立，求实数m 的最大值.（本题可参考数据：99ln 20.7,ln 0.8,ln 0.5945≈≈≈）(20)（本小题满分13分）将一个正整数n 表示为12(*)p a a a p +++?N L 的形式，其中*i a ÎN ，1,2,,i p =L ，且p a a a ≤≤≤Λ21，记所有这样的表示法的种数为)(n f （如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故5)4(=f ）.（Ⅰ）写出)5(),3(f f 的值，并说明理由；（Ⅱ）对任意正整数n ，比较)1(+n f 与)]2()([21++n f n f 的大小，并给出证明； （Ⅲ）当正整数6≥n 时，求证：134)(-≥n n f ．海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理科）参考答案及评分标准 2012．05一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）12（10）６ （11（12）45° （13）12x =；2 （14）(0,±； 1.41,4, 1.41,2, 1 1.a a a a a a ìï??ïïï+-<?íïï--<<ïïïî或注：（13）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为0d ¹.因为346S a =+， 所以11323362da a d 创+=++. ① ……………………………………3分 因为1413,,a a a 成等比数列，所以2111(12)(3)a a d a d +=+. ② ……………………………………5分由①，②可得：13,2a d ==. ……………………………………6分 所以21n a n =+. ……………………………………7分 （Ⅱ）由21n a n =+可知：2(321)22n n nS n n ++?==+.……………………………………9分所以11111()(2)22n S n n n n ==-++. ……………………………………11分 所以123111111n nS S S S S -+++++L 11111111111()2132435112n n n n =-+-+-++-+--++L 21111135()212124(1)(2)n n n n n n +=+--=++++.所以数列1{}nS 的前n 项和为2354(1)(2)n n n n +++.……………………………………13分(16)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以 OE ∥PA . ……………………………………1分 因为 PA Ì平面PAC ，OE Ë平面PAC ，所以 OE ∥平面P AC . ……………………………………2分因为 OM ∥AC ， 因为 AC Ì平面PAC ，OM Ë平面PAC ，所以 OM ∥平面P AC . ……………………………………3分因为 OE Ì平面MOE ，OM Ì平面MOE ，OE OM O =I ，所以 平面MOE ∥平面P AC . ………………………………………5分（Ⅱ）证明：因为 点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以 90ACB??，即BC AC ⊥.因为 PA ^平面ABC ，BC Ì平面ABC ， 所以PA BC ⊥. ……………………………………7分因为 AC Ì平面PAC ，PA Ì平面PAC ，PA AC A =I ，所以 BC ^平面PAC . 因为 BC Ì平面PBC ，所以 平面P AC ^平面PCB . ……………………………………9分（Ⅲ）解：如图，以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -． 因为 30CBA??，2PA AB ==，所以2cos30CB =?1AC =.延长MO 交CB 于点D . 因为 OM ∥AC ，所以131, 1,222MD CB MD CD CB ^=+===. 所以 (1,0,2)P ，(0,0,0)C，B，3(2M . 所以 (1,0,2)CP =u u u r，CB =u u u r.设平面PCB 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.CP CBìï?ïíï?ïîu u u r u u u r m m所以(,,)(1,0,2)0,(,,)0,x y z x y z ì?ïïíï?ïî即20,0.x z ì+=ïïíï=ïî 令1z =，则2,0x y =-=.所以 (2,0,1)=-m . ……………………………………12分 同理可求平面PMB 的一个法向量n ()=.……………………………………13分 所以 1cos ,5⋅==-⋅m n m n m n . 所以 1cos 5θ=. ………………………………………14分 (17)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得：0.41,11120.41712.a b a b ++=⎧⎨+⨯+=⎩解得：0.5,0.1a b ==. ……………………………………3分 （Ⅱ）X 2 的可能取值为4.12,11.76,20.40.()[]2 4.12(1)1(1)(1)P X p p p p ==---=-，()[]22211.761(1)(1)(1)(1)P X p p p p p p ==--+--=+-，()220.40(1)P X p p ==-.所以X 2的分布列为:（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：()2224.12(1)11.76(1)20.40(1)E Xp p p p p p ⎡⎤=-++-+-⎣⎦211.76p p =-++. ……………………………………11分因为E (X 1)< E (X 2)，所以21211.76p p<-++. 所以0.40.6p <<.当选择投资B 项目时，p 的取值范围是()0.4,0.6.……………………………………13分(18)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意知：1c =. 根据椭圆的定义得：22a =，即a =……………………………………3分 所以 2211b =-=.所以 椭圆C 的标准方程为2212x y +=. ……………………………………4分 （Ⅱ）假设在x 轴上存在点(,0)Q m ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r恒成立. 当直线l 的斜率为0时，(A B .则7,0)(,0)16m m ?=-. 解得 54m =?. ……………………………………6分 当直线l的斜率不存在时，(1,(1,22A B -.由于557(1,(1,424216+?-?，所以54m ?. 下面证明54m =时，716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.……………………………………8分显然 直线l 的斜率为0时，716QA QB ⋅=-u u u r u u u r .当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y .由221,21x y x ty ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(2)210t y ty ++-=. 显然0∆>.1221222,21.2t y y t y y t ìïï+=-ïï+ïíïï=-ïï+ïî……………………………………10分 因为 111x ty =+，221x ty =+，所以 112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -?=--+ 2121211(1)()416t y y t y y =+-++2221121(1)24216t t t t t =-+++++ 22222172(2)1616t t t --+=+=-+.综上所述：在x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.……………………………………13分(19)（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为(,)a +∞.2(1)'()1a x a xf x x x a x a-++=-+=--. ……………………………………1分令'()0f x =，0x =或+1x a =.当10a -<<时，+10a >，函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(0,1)a +，单调递减区间是(,0)a 和(1,)a ++?.……………………………………3分当1a =-时，2'()01x f x x -=≤+. 所以，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+?. ……………………………………4分 当1a <-时，+10a <，函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)a +，单调递减区间是(,1)a a +和(0,)+?.……………………………………5分（Ⅱ）证明：当12(ln21)0a -<<-<时，由（Ⅰ）知，()f x 的极小值为(0)f ，极大值为(1)f a +.因为(0)ln()0f a a =->，2211(1)(1)(1)(1)022f a a a a +=-+++=->，且()f x 在(1,)a ++?上是减函数，所以()f x 至多有一个零点. ……………………………………7分 又因为211(2)ln 2[2(ln 21)]022f a a a a a a +=--=---<， 所以 函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+.……………………………………9分（Ⅲ）解：因为412(ln 21)5-<-<-， 所以 对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=由(Ⅱ)可知：1[0,1)x a ∈+，20(1,]x a x ∈+，且21x ≥. ……………………………………10分因为 函数()f x 在[0,1)a +上是增函数，在(1,)a ++?上是减函数，所以 1()f x (0)f ≥，2()f x (1)f ≤. ……………………………………11分 所以 12()()(0)(1)f x f x f f -?.当45a =-时，1(0)(1)ln()12a f f a a -=--=491ln 542->0. 所以 12()()(0)(1)0f x f x f f -?>. ……………………………………13分所以 21()()f x f x -的最小值为491(0)(1)ln 542f f -=-. 所以 使得21()()f x f x m -≥恒成立的m 的最大值为491ln 542-.……………………………………14分(20)（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以3)3(=f ．因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1， 所以7)5(=f ． ……………………………………3分 （Ⅱ）结论是)1(+n f )]2()([21++≤n f n f . 证明如下：由结论知，只需证).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f因为21≥+n ，把1+n 的一个表示法中11a =的1a 去掉，就可得到一个n 的表示法；反之，在n 的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个1n +的表示法，即1+n 的表示法中11a =的表示法种数等于n 的表示法种数，所以)()1(n f n f -+表示的是1+n 的表示法中11a ¹的表示法数，)1()2(+-+n f n f 是2n +的表示法中11a ¹的表示法数．同样，把一个11a ¹的1+n 的表示法中的p a 加上1， 就可得到一个11a ¹的2n +的表示法，这样就构造了从11a ¹的1+n 的表示法到11a ¹的2+n 的表示法的一个对应.所以有).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f ……………………………………9分（Ⅲ）由第（Ⅱ）问可知：当正整数6m ³时，()(1)(1)(2)(6)(5)f m f m f m f m f f --?--吵-L. 又,7)5(,11)6(==f f 所以 ()(1)4f m f m --?. *对于*式，分别取m 为n ,,7,6Λ，将所得等式相加得)5(4)5()(-≥-n f n f .即134)(-≥n n f ． ……………………………………13分。
2025届北京市海淀区高考数学二模试卷含解析
2025届北京市海淀区高考数学二模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（ ） A 322+B 342+C 322+D 342+ 3．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（ ） A ．36种B ．44种C ．48种D ．54种4．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z = A ．1 B 5C ．5D ．555．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒6．231+=-ii （ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 7．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18B ．14 C ．16D ．128．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O ，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ） A ．152B ．102C ．153D ．10310．已知平面向量a b ，满足21a b a ＝，＝,与b 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥+－，则实数λ的值为（ ） A ．7-B ．3-C ．2D ．311．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A 22B 5C ．1316D 11 12．已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，则32y x --的取值范围为（ ）A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(1,2]C ．(,0][2,)-∞+∞D ．(,1)[2,)-∞⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市海淀区2023-2024学年高三下学期期末练习(二模)数学试卷(含解析)
北京市海淀区2023-2024学年高三下学期期末练习（二模）数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知集合，.若，则a 的最大值为( )A.2 B.0 C. D.-22．在的展开式中，x 的系数为( )A.40 B.10 C. D.3．函数是( )A.偶函数，且没有极值点B.偶函数，且有一个极值点C.奇函数，且没有极值点D.奇函数，且有一个极值点4．已知抛物线，则线段的中点的纵坐标为( )C.3D.45．在中，，，的长为( )6．设a ，，，且，则( )C. D.7．在中，，且，则( )A.C.8．设是公比为的无穷等比数列，为其前n 项和，.则“”是“存在最小值”的( ){}1,0,1,2A =-{3}B xa x =≤<∣A B ⊆1-52(x x-40-10-()3,01,03x x x f x x ⎧≤⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩24x =6AF ABC △4AB =5AC =cos C =+b ∈R 0ab ≠a b ><2a b >()sin a b a b -<-32a b>ABC △C ∠=CB ==()1CA CB λλ=+- 4CP AB ⋅= λ={}n a ()1q q ≠-n S 10a >0q >n SA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9．设函数的定义域为D ，对于函数图象上一点，若集合只有1个元素，则称函数具有性质.下列函数中具有性质的是( )A.C. D.10．设数列的各项均为非零的整数，其前n 项和为.若为正偶数，均有，且，则的最小值为( )A.0B.22C.26D.31二、填空题11．若，则12．已知函数.①若，则函数②若函数在区间上的最小值为，则实数13．二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在114．如图，在正方体中，P 为棱上的动点，平面，Q 为垂足.给出下列四个结论：①；()f x ()f x ()00,x y ()(){}00,k k x x y f x x D ∈-+∀∈≤R ∣()f x 0x P 1P ()f x x =-()lg f x x =()3f x x =()πsin 2f x x =-{}n a n S ()*,j i i j -∈N 2j i a a ≥20S =10S ()2(i)2i x x +=∈R x ()2cos sin f x x a x =+0a =(f x ()f x ()0,π2-a ()2*n n ∈N n n ⨯162n n ⨯1111ABCD A B C D -AB DQ ⊥1D PC 1D Q CQ =②线段的长随线段的长增大而增大；③存在点P ，使得；④存在点P ，使得平面.三、双空题15．已知双曲线四、解答题16．已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定.（1）求的值；（2）若不等式在区间内有解，求m 的取值范围.条件①：；条件②：的图象可由的图象平移得到；条件③：在区间内无极值点，且.17．在三棱锥中，，M 为的中点.（1）如图1，若N 为棱上一点，且，求证：平面平面；（2）如图2，若O 为延长线上一点，且平面，直线与平面与平面所成角的正弦值.DQ AP AQ BQ ⊥//PQ 1D DA 22:4x C y -=2()2cos (0)2xf x x ωωω=>()f x ω()2f x <()0,m (2π)3f =()y f x =2cos2y x =()f x ππ(,36-ππ(2(263f f -=-+P ABC -2AB PB ==AP PC MN AP ⊥BMN ⊥PAC CA PO ⊥ABC 2AC ==PB ABC PBC18．图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：（1）从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；（2）在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设X 表示测试的次数，估计X 的分布列和数学期望；（3）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为）.现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为，，.试比较，，的大小.（结论不要求证明）19．已知椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在坐标原点.以E的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为（1）求栯圆E 的方程；（2）设过点的直线l （不与坐标轴垂直）与椭圆E 交于不同的两点A ，C ，与直EX 50%1:11p 2p 3p 1p 2p 3p ()2,0M线交于点P .点B 在y 轴上，D 为坐标平面内的一点，四边形是菱形.求证：直线过定点.20．已知函数.（1）若，①求曲线在点处的切线方程；②求证：函数恰有一个零点；（2）若对恒成立，求a 的取值范围.21．设正整数，，，，这里，2，…，n .若，且，则称，，…，具有性质P .（1）当时，若，，具有性质P ，且，，，令，写出m 的所有可能值；（2）若，，…，具有性质P ：①求证：；②求16x =ABCD PD ()()ln 0)f x x a a =-+>1a =()y f x =()()2,2f ()f x ()ln 2f x a a ≤+(),3x a a ∈2n ≥i a *i d ∈N (){}1,1,2,i i i A x x a k d k ==+-= 1i =*12n A A A =N ()1i j A A i j n =∅≤<≤ 1A 2A n A 3n =1A 2A 3A 11a =22a =33a =123m d d d =1A 2A n A ()1,2,,i i a d i n ≤= 1n i =参考答案1．答案：C 解析：由于，所以，故a 的最大值为，故选：C.2．答案：A 解析：设的通项，则，化简得，令，则x 的系数为，即A 正确.故选：A.3．答案：B 解析：当时，，则，当时，，则，所以函数是偶函数，由图可知函数有一个极大值点.故选：B.4．答案：C 解析：抛物线的焦点，解得，故线段.故选：C.5．答案：A解析：由余弦定理可得，A B ⊆1a ≤-1-52(x x-1k T +()5115C 2k k k k T x x --+=-()5215C 2k k k k T x -+=⋅-⋅2k =()225C 240-=0x ≤0x ->1()()3()3x x f x f x --===0x >0x -<1()3()()3x x f x f x --===()f x ()f x 24x y =(0,1F 6A y +=5A y =AF 3=222222543cos 2104AC CB ABCB C AC BC BC +-+-===⋅故选：A.6．答案：C解析：对于A ，取，，故A 错误，对于B ，，，故B 错误，对于C ，由于，，故在单调递减，故，因此，，由于，所以，故，C 正确，对于D ，，，则故选：C.7．答案：B 解析：由题可知，，故，故，解得故选：B.8．答案：A 解析：若且公比，则，所以单调递增，存在最小值，故充分条件成立.若且，当n 为奇数时，，单调递减，故最大值为时，，而15180BC BC +=⇒=2a =b =-122a b =->=-1a =b =-2a b=()sin 0y x x x =->cos 10y x '-≤=sin y x x =-()0,+∞sin 0x x -<sin x x <()0,x ∈+∞a b >0a b ->()sin a b a b -<-3a =-4b =-13227a b =<0CA CB ⋅= CP AB⋅ ()()()()2211881168CA CB CB CA CA CB λλλλλλλ⎡⎤=+-⋅-=-+-=-+-=-+⎣⎦ 1684λ-+=λ=10a >0q >110n n a a q -=>n S n S 1S 10a >q =11112211013212n n n a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-->⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭121132n n S a ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n S 1n =11S a =，当n 为偶数时，，单调递增，故最小值为，所以，即由，存在最小值得不到公比，故必要性不成立.故公比“”是“存在最小值”的充分不必要条件.故选： A.9．答案：D解析：根据题意，要满足性质，则的图象不能在过点的直线的上方，且这样的直线只有一条；对A ：的直线，如下所示：数形结合可知，过点的直线有无数条都满足题意，故A 错误；对B ：的图象，以及过点的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点的直线，使得的图象都在该直线的上方，故B 错误；对C ：的图象，以及过点的直线，如下所示：123n S a <121132n n S a ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n S 2n =2S =S 110a >n S 0q >10a >0q >n S 1P ()f x ()()1,1f ()f x x =-)1,0()1,0()lg f x x =()1,0()1,0()f x ()3f x x =()1,1数形结合可知，不存在过点的直线，使得的图象都在该直线的上方，故C 错误；对D ：的图象，以及过点的直线，如下所示：数形结合可知，存在唯一的一条过点的直线，即，满足题意，故D 正确.故选：D.10．答案：B 解析：因为，所以，互为相反数，不妨设，，为了取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，由题意知：满足，取的最小值；满足，因为，，故取的最小值；满足，取的最小值；同理，取的最小值；所以，满足，取的最小值；()1,1()f x ()πsin 2f x x =-()1,1-()1,1-1y =-0k =2120S a a =+=1a 2a 10a >20a <10S 3a 312a a ≥3a 12a 5a 51531224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩10a >1142a a >5a 14a 7a 717317531224248a a a a a a a a a ≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩7a 18a 9a 116a 135791111112481631a a a a a a a a a a a ++++=++++=4a 422a a ≥4a 22a满足，因为，所以，取的最小值；满足，因为，所以，取的最小值；同理，取的最小值；所以，所以，因为数列的各项均为非零的整数，所以当时，有最小值22.故选：B.11．答案：1解析：因为，所以，即，所以，解得.故答案为：1.12．答案：①π；②解析：当时，，当时，，且二次函数开口向下，要使得在区间上的最小值为，则需要，且当时取最小值，故，解得，故答案为：π，.13．答案：7解析：由题意可知的二维码共有个，，故，6a 62642224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩20a <2224a a >6a 12a 8a 828418641224248a a a a a a a a a ≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩20a <222482a a a >>8a 12a 10a 12a 24681022222222229a a a a a a a a a a a ++++=++++=101211131931922S a a a a a =+=-={}n a 11a =10S 2(i)2i x +=222i i 2i x x ++=212i 2i x x -+=21022x x ⎧-=⎨=⎩1x =2-0a =()2cos f x x ==2ππ2==()222cos sin sin sin 1sin 12a f x x a x x a x x ⎛⎫=+=-++=--++ ⎪⎝⎭()0,πx ∈(]sin 0,1x ∈()f x ()0,π2-1022a a -≥-sin 1x =112a -++=-2a =-2-n n ⨯22n ≤221615316022602n n -⨯⨯≤⇒≤2231637n n -≥⇒≥由于，所以，故答案为：7.14．答案：①②④解析：在正方体中，令，以点D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，令平面的法向量，则，取，得，由平面于Q ，得，即，，显然，解得于是，对于①，，①正确；对于②，上单调递增，②正确；对于③，而，，，，若，显然，即不存在，使得，③错误；对于④，平面的一个法向量，而，*n ∈N 7n ≥1111ABCD A B C D -1AB =(01)AP t t =≤≤(0,0,0)D (0,1,0)C 1(0,0,1)D (1,,0)P t 1(0,1,1)CD =-(1,1,0)CP t =-1D PC (,,)n x y z = 10(1)0n CD y z n CP x t y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩1y =(1,1,1)n t =-DQ ⊥1D PC ((1),,)DQ n t λλλλ==-((1),,)Q t λλλ-((1),1,)CQ t λλλ=-- 2(1)10CQ n t λλλ⋅=-+-+=λ=222111(,,)(1)2(1)2(1)2t Q t t t --+-+-+1||||D Q CQ ===||DQ ==(1,0,0)A (1,1,0)B ((1)1,,)AQ t λλλ=-- ((1)1,1,)BQ t λλλ=---2222[(1)1](1)(23)(32)10AQ BQ t t t t λλλλλλ⋅=--+-+=-+--+=22(32)4(23)430t t t t ∆=---+=--<[0,1]t ∈0AQ BQ ⋅= 1D DA (0,1,0)DC = ((1)1,,)PQ t t λλλ=---由，得，即，令，，显然函数在上的图象连续不断，而，，因此存在，使得，此时平面，因此存在点P ，使得平面，④正确.所以所有正确结论的序号是①②④.故答案为：①②④.；或（）解析：，即，故焦点与到，则以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程为或，或（）.16．答案：（1）条件选择见解析，（2）解析：（1）依题意，，选条件①，由，得，即，，，显然的值不唯一，因此函数不唯一，不符合题意.选条件②，的图象可由的图象平移得到，因此的最小正周期为函数的最小正周期π，而，0PQ DC t λ⋅=-=t λ=t =322310t t -+-=32()231f t t t t =-+-[0,1]t ∈()f t [0,1](0)10f =-<(1)10f =>(0,1)t ∈()0f t =PQ ⊄1D DA //PQ 1D DA 22(1x y ++=22(1x y +=22:4x C y -==12y x =20x y -=)()2x y -=122(1x y ++=22(1x y -+=221x y +=22(1x y -+=2ω=π(,)3+∞π()cos 12cos(13f x x x x ωωω=+=-+(2π)3f =ππ2cos()1233ω-+=ππcos(33ω-=ππ2π33k -=+k ∈N ππ2π33k -=-+k ∈*N ω()f x ()y f x =2cos 2y x =()y f x =2cos 2y x =ω>π=所以.选条件③，在区间内无极值点，且，则，即函数分别在时取得最大值､最小值，于是的最小正周期，由在区间内无极值点，得的最小正周期，因此，而，所以.（2）由（1）知，由，得，由不等式在区间内有解，即内有解，则有所以m 的取值范围是.17．答案：（1）证明见解析解析：（1）连接，，.因为，M 为的中点，所以.又，，，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）因为平面，平面，平面，所以，，为直线与平面所成的角.2ω=()f x ππ(,36-ππ(2(263f f -=-+ππ(()463f f --=()f x x =π3x =-()f x ππ2[()]π63T ≤⨯--=()f x ππ(,)36-()f x ππ2[(π63T ≥⨯--=πT =0ω>2π2Tω==π()2cos(213f x x =-+(0,)x m ∈πππ2(,2333x m -∈--()2f x <(0,)m πcos(23x -<)m π23m ->>π(,)3+∞BM MN BN AB PB =AP BM AP ⊥MN AP ⊥MN BM M = MN BM ⊂BMN AP ⊥BMN AP ⊂PAC BMN ⊥PAC PO ⊥ABC OB ⊂ABC OC ⊂ABC PO OB ⊥PO OC ⊥PBO ∠PB ABC因为直线与平面所以因为，所以，，所以.又，故.所以.如图建立空间直角坐标系.则，，，，.所以，，.设平面的法向量为，则即令，则.设与平面所成角为，则所以直线与平面.（2）分布列见解析；（3）PB ABC PBO ∠=2PB =1PO =OB =2=1OA =2AB =222AB OB OA =+OB OA ⊥O xyz -()0,1,0A )B()0,3,0C ()0,0,1P 110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭()0,3,1PC =- ()BC = 510,,22MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭PBC (),,n x y z =00n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩3030y z y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩1y =)n = CM PBC θsin cos ,MC n MC n MC nθ⋅====⋅ CM PBC ()2116E X =231p p p >>解析：（1）根据题中数据，共有张照片被识别为女性，其中确为女性的（2）设事件输入男性照片且识别正确.根据题中数据，由题意知X 的所有可能取值为1，2，3.所以X 的分布列为.（3）.（2）证明见解析，.因为以E 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为所以所以..（2）设直线l 的方程为，令，得.由得.206080+==:A ()P A =()1P X ==()13244X ==⨯=()11344P X ==⨯=312123161616⨯+⨯=231p p p >>216y +=221(0)y a b b+=>>222c a b =-22a c +==a ==26=216y +=()20x ty t =+≠16x =y =1416,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭2234242x y x ty ⎧+=⎨=+⎩()223412120t y ty ++-=设，，则设的中点为，则所以因为四边形为菱形，所以N 为的中点，.所以直线的斜率为.所以直线的方程为.令得.设点D 的坐标为，则，即.所以直线的方程为，即.所以直线过定点.20．答案：（1）①；②证明见解析()11,A x y ()22,C x y 12y y +=12y y =AC ()33,N x y 1232y y y +==332x ty =+=ABCD BD AC BD ⊥BD t -BD 22683434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭0x =22863434t t y t t =-=++220,34t t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭()44,x y 43216234x x t ==+4322234t y y t =-=+221614,3434t D t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭PD ()221414143416161634t t t y x t t ++-=--+()746y x t=-PD ()4,02y =（2）解析：（1）当时，.①所以，.所以曲线在点处的切线方程为.②由①知，.当，所以；当.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.因为，，，所以函数恰有一个零点.（2）由设，，则.所以是上的减函数.因为，，所以存在唯一，.所以与的情况如下：[)1,+∞1a =()()ln 1f x x =-+()11f x x =-'()22f =()20f '=()y f x =()()2,2f 2y =()()ln 1f x x =-+(]1,3x ∈()11f x x =-'()20f '=()1,2x ∈1>>()0f x '>(2,3x ∈1<<()0f x '<()f x ()1,2()2,3()22f =()3ln20f =>()31e 330f -+=-+<-+<()f x ()()ln f x x a =-+()f x '=()()g x x a =--(),3x a a ∈()10g x -'=<()g x (),3a a ()0g a =>()320g a a =-<()0,3x a a ∈()()000g x x a =-=()f x '()f x.当时，因为，所以.所以.所以，符合题意.当时，因为，所以.所以，不合题意.综上所述，a 的取值范围是.21．答案：（1）27或32引理1：若，，…，具有性质P ，则.引理1的证明：假设结论不成立.不妨设，则正整数，但，故一定属于某个，不妨设为.则由知存在正整数k ，使得.这意味着对正整数，有，，但，矛盾.所以假设不成立，从而一定有，从而引理1获证.引理2：若，，…，具有性质P ，则，且证明：取集合.注意到关于正整数k 的不等式等价于而由引理1有，即.()()()()0000ln ln 2f x x a x a x a =-+=-+-1a ≥()20g a a =-≤02x a ≤()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a ≤-+-=+()()0ln 2f x f x a a ≤≤+01a <<()20g a a =>02x a >()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a >-+-=+[)1,+∞1A 2A n A ()1,2,,i i a d i n ≤= ()1,2,,i i a d i n ≤= 11a d >111a d A -∉*12n A A A =N 11a d -()2i A i n ≤≤2A 112a d A -∈()11221a d a k d -=+-1112c a d d d =-+()111212111c a d d d a d d A =-+=+-∈()()11122212212211c a d d d a k d d d a k d d A =-+=+-+=++-∈12A A =∅ ()1,2,,i i a d i n ≤= 1A 2A n A 111ni i d ==∑1ni i ia d ==∑{}121,2,...,...n T d d d =()1201...i i n a k d d d d <+-≤11i i i i a a k d d -<≤-i i a d ≤011iia d ≤-<这意味着数列而，，…，两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数，故T 中的元素属于且仅属于某一个，这就证明了引理2的第一个结论；再考虑集合T 中全体元素的和.一方面，直接由另一方面，，公差为的等差数列.所以的所有元素之和为.最后，再将这n 个集合的全部元素之和相加，得到T 中全体元素的和为.，所以有综上，引理2获证.1i i i i a a k d d -<≤-+12...n i d d d k d ≤()(11,2,...k i i x a k d k =+-=1A 2A n A (1i A i n ≤≤12...A T A T +++ 12......nT T A T A T d +=+++ 211...1nd d +++={121,2,...,...n T d d d =T A i i d i T A 11122i i i i i i i i TT TT T a a d T d d d d d ⎛⎫⎛⎫⋅+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1,2,...,i T A i n = 112ni i i i T T a T d d =⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑112ni i i i T T a T d d =⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑()22111111122222nnn ni i i i i i i i i iiiT T T T Tn TTa a a T TT d d d d d ====⎛⎫+⎛⎫=+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑1n i i ia d ==∑1ni i i a d ==回到原题.将，，从小到大排列为，则，.若，则，所以每个不等号都取等，从而，故；情况1：若，矛盾；情况2：若.此时如果，矛盾；如果，故；如果，由于，设，，则，.故对于正整数对，有，从而，这与矛盾.综上，m 的取值只可能是27或32.当时，；当时，.所以的所有可能取值是27和32.（2）①由引理1的结论，即知；②由引理2的第二个结论，即知1d 2d 3d 123r r r ≤≤123123m d d d r r r ==23123111111r r d d d +=++=13r ≥1231111111111311r r r r r r r =++≤++=≤1233r r r ===12327m r r r ==1r =311110r r +=-=1r =31111r r =-=23221111r r r r =+≤+=24≤2r =21102r =-=2r =2112r =-=34=12332m r r r ==23r =12r =()()123123,,,,i i i r r r d d d ={}{}123,,1,2,3i i i =12i d =23i d =()()2121212112331212211i i i i i i i i k a a a a k a a a a ⎧=+--+--⎪⎨=+--+--⎪⎩2112231i i k k a a -=--12121223i i i i a k a k A A +=+∈ 12i i A A =∅ ()()123,,3,3,3d d d =27m =()()123,,4,2,4d d d =32m =123m d d d =()1,2,,i i a d i n ≤= 1ni i i a d ==∑。
北京海淀区高三二模数学(理)试题答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科）参考答案及评分标准说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I）因为πsin()04x -≠所以ππ,4x k -≠Z k ∈ ……………………2分 所以函数的定义域为π{|π+,4x x k ≠Z}k ∈ ……………………4分（II ）因为22cos sin ()1sin cos x xf x x x-=-- ……………………6分= 1(cos sin )x x -+1sin cos x x =++π= 1)4x + ……………………8分又sin y x=的单调递增区间为 ππ(2π,2π)22k k -+ ，Z k ∈令 πππ2π2π242k x k -<+<+解得 3ππ2π2π44k x k -<<+ ……………………11分 9． 2 10．c b a >> 11. 12． 13．[0,1]14．②③;2又注意到ππ+,4x k ≠所以()f x 的单调递增区间为3ππ(2π,2π)44k k -+， Z k ∈ …………………13分16. 解：（I ）设至少一张中奖为事件A则2()10.50.75P A =-= …………………4分(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ则ξ可以取5,0,45,145-- …………………6分 ξ的分布列为…………………8分所以ξ的期望为550%0(50%2%)(45)2%(145)E p p ξ=⨯+⨯--+-⨯+-⨯ 2.590%145p =-- …………………11分 所以当 1.61450p ->时，即8725p < …………………12分 所以当80725p <<时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13分17.解：（I ）因为点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上所以PH ⊥平面ABC ，所以PH ⊥AC …………………1分因为在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=，30CAB ∠=，2BC =，4AD =所以4AC =，60CAB ∠=，所以ADC ∆是等边三角形，所以H 是AC 中点， …………………2分所以//HE PC …………………3分 同理可证//EF PB 又,HEEF E CP PB P ==所以//EFH PBC 平面PBC …………………5分 （II ）在平面ABC 内过H 作AC 的垂线如图建立空间直角坐标系，则(0,2,0)A -，P ，B …………………6分因为(0,E -，(0,HE =- 设平面PHB 的法向量为(,,)n x y z =因为(3,1,0)HB =，HP =所以有00HB n HP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z +==⎪⎩，令x =则3,y =- 所以(3,3,0)n =- …………………8分cos ,||||22n HE n HE n HE ⋅<>===⋅⋅…………………10分所以直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值为…………………11分 (III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………12分因为在直角三角形PHA 中，122EH PE EA PA ====， …………………13分在直角三角形PHB 中，点4,PB =122EF PB == 所以点E 到四个点,,,P O C F的距离相等 …………………14分 18.解: (I) 因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠ …………………2分 当0a =，1()||e 2t S t t =，其中0t ≠ 当0t >时，1()e 2t S t t =，1'()(1)e 2tS t t =+，所以'()0S t >，所以()S t 在(0,)+∞上递增， …………………4分当0t <时，1()e 2t S t t =-，1'()(1)e 2tS t t =-+，令1'()(1)e 02t S t t =-+>， 解得1t <-，所以()S t 在(,1)-∞-上递增 令1'()(1)e 02t S t t =-+<， 解得1t >-，所以()S t 在(1,0)-上递减 ……………7分综上，()S t 的单调递增区间为(0,)+∞，(,1)-∞-()S t 的单调递增区间为(1,0)-（II ）因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠ 当2a >，[0,2]t ∈时，1()()e 2t S t a t =-因为0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e1'()[(1)]e 2tS t t a =---，令'()0S t =，得1t a =- …………………8分当12a -≥时，即3a ≥时1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,2)t ∈成立，()S t 单调递增所以当2t =时，()S t 取得最大值21(2)(2)e 2S a =-令21(2)e e 2a -≥ ，解得 22ea ≥+ ， 所以3a ≥…………………10分当12a -<时，即3a <时1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,1)t a ∈-成立，()S t 单调递增1'()[(1)]e 02t S t t a =---<对(1,2)t a ∈-成立，()S t 单调递减所以当1t a =-时，()S t 取得最大值11(1)e 2a S a --=令11(1)e e 2a S a --=≥ ，解得ln22a ≥+所以ln223a +≤<…………………12分综上所述，ln22a+≤…………………13分19.解:(I)因为椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点, 所以1a b ==,椭圆M 的方程为2213x y += …………………4分 (II)设1122(,),(,),A x y B x y 因为AB 的垂直平分线通过点1(0,)2-， 显然直线AB 有斜率，当直线AB 的斜率为0时,则AB 的垂直平分线为y 轴,则1212,x x y y =-=所以111111=|2|||||||||2AOB S x y x y x ∆==2211(3)322x x +-≤=，所以AOB S ∆≤1||x =AOB S ∆………………7分 当直线AB 的斜率不为0时,则设AB 的方程为y kx t =+所以2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到222(31)6330k x kt t +++-= 当224(933)0k t ∆=+->, 即2231k t +>①方程有两个不同的解 又122631kt x x k -+=+，1223231x x ktk +-=+ …………………8分所以122231y y tk +=+， 又1212112202y y x x k ++=-+-，化简得到2314k t += ②代入①，得到04t <<…………………10分又原点到直线的距离为d =12|||AB x x =-=所以1=||||2AOB S AB d ∆=化简得到AOB S ∆…………………12分因为04t <<，所以当2t =时，即k =AOB S ∆ 综上，AOB ∆面积的最大值为…………………14分 20.（I ）解：法1：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法2：24123712371237210121012101--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列法3：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列…………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果首先操作第三列，则22221212a a a a a a a a -----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -， 这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数， 所以 12a ≤或52a ≥ 当12a ≤时，则接下来只能操作第一行， 22221212a a a a a a a a ------此时每列之和分别为2222,22,22,2a a a a --- 必有2220a -≥，解得0,1a =- 当52a ≥时，则接下来操作第二行 22221212a a a a a a a a ------此时第4列和为负，不符合题意. …………………6分② 如果首先操作第一行22221212a a a a a a a a -----则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a当1a =时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉 当1a ≠时，22a -，22a -至少有一个为负数，所以此时必须有2220a -≥，即11a -≤≤，所以0a =或1a =- 经检验，0a =或1a =-符合要求 综上：0,1a =-…………………9分（III ）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。
海淀高三二模数学理科试题及答案word资料9页
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2019.5选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是A ．(1,1) B. (1,1)- C. (1,1)-- D. (1,1)-2. 已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，下图中阴影部分所表示的集合为 A {1} B. {0,1} C. {1,2} D. {0,1,2} 3．函数21()log f x x x=-的零点所在区间 A ．1(0,)2 B. 1(,1)2C. (1,2)D. (2,3)4.若直线l 的参数方程为13()24x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为A ．45-B ． 35-C ． 35D ． 455. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不．可能是．．．该锥体的俯视图的是 7．若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； 其中，所有正确结论的序号是A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③ 8. 在一个正方体1111ABCD ABCD -中，P 为正方形1111A B C D 四,AB BC 中边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足M Q M λ=的实数λ的值有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9．点(,)P x y 在不等式组2,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为_______.10．运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为 .11．若4234512345(1)x mx a x a x a x a x a x -=++++，其中26a =-，则实数m 的值为；12345a a a a a ++++的值为 .12．如图，已知O 的弦AB 交半径OC 于点D ，若3AD =，2BD =，且D 为OC 的中点，则CD 的长为 .13．已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+= (,)t n ∈∈**N N ，记数列{()f t ，则()f t = .14. 已知函数sin ()xf x x=（1）判断下列三个命题的真假：①()f x 是偶函数；②()1f x < ；③当32x π=时，()f x 取得极小值. 其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号） （2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为___________. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.A1D 1A 1C 1B DC BOPNM Q15. （本小题共13分）已知函数2()cos cos f x x x x ωωω=+ (0)ω>的最小正周期为π.（Ⅰ）求2()3f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间及其图象的对称轴方程. 16.（本小题共13分）某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(Ⅱ) 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望. 17.(本小题共14分)如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求证：//OE 平面PDC ；(Ⅲ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值． 18. (本小题共14分）已知函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . （I ）当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程（e 2.718...=）； （II ）求函数()f x 的单调区间. 19．(本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过原点O .（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ，试判断直线'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论. 20. (本小题共13分）对于数列12n A a a a ：，，，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“0-1数列”.定义变换T ，T 将“0-1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A :1,0,1，则():0,1,1,0,0,1.T A 设0A 是“0-1数列”，令1(),k k A T A -=(Ⅰ) 若数列2A ：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列10,A A ；(Ⅱ) 若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；(Ⅲ)若0A 为0，1，记数列k A 中连续两项都是0的数对个数为k l ，1,2,3,k =⋅⋅⋅.求k l 关于k 的表达式.海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理）答案及评分参考2019．5选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9. 6 10. 11 11.32，11613.222, (4(1), (4t tttt⎧+⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为偶数)为奇数)14. ①②, 9三、解答题(本大题共6小题,共80分)15. （共13分）解：（Ⅰ）1()(1cos2)222f x x x=++ωω………………2分1sin(2)26x=++πω, …………………3分因为()f x最小正周期为π,所以22ππω=，解得1ω=, …………………………4分所以1()sin(2)62πf x x=++, …………………… 5分所以21()32πf=-. ………………………6分（Ⅱ）分别由222,()262k x k k Zπππππ-≤+≤+∈，3222,()262k x k k Zπππππ+≤+≤+∈可得,()36k x k k Zππππ-≤≤+∈，2,().63k x k k Zππππ+≤≤+∈………………8分所以,函数()f x 的单调增区间为[,],()36k k k Z ππππ-+∈； ()f x 的单调减区间为2[,],().63k k k Z ππππ++∈………………10分 由2,(62ππx k πk Z +=+∈）得,()26k πx πk Z =+∈. 所以，()f x 图象的对称轴方程为 ()26k πx πk Z =+∈. ………………13分16.（共13分）解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A , …………………1分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13， …………………………3分则4265()1()1381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ .…………………………6分(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2,3,4, …………………………7分 由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13，且每个人下电梯互不影响， 所以，1(4,)3XB . ………………………9分………………………11分14()433E X =⨯=. …………………………13分17.(共14分)（Ⅰ）证明：设F 为DC 的中点，连接BF ，则DF AB = ∵AB AD ⊥，AB AD =，//AB DC ， ∴四边形ABFD 为正方形， ∵O 为BD 的中点， ∴O 为,AF BD 的交点， ∴PO BD⊥， ………………………………..2分在三角形PAO 中，2224PO AO PA +==，∴PO AO ⊥，……………………………4分ADOCPBEF∵AOBD O =，∴PO ⊥平面ABCD ； ……………………………5分(Ⅱ)方法1：连接PF ，∵O 为AF 的中点，E 为PA 中点， ∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面PDC . ……………………………9分方法2：由(Ⅰ)知PO ⊥平面ABCD ，又A B A D ⊥，所以过O 分别做,AD AB 的平行线，以它们做,x y 轴，以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得：则11(,,222OE =--，(1,1,PF =，(1,1,PD =-，(1,3,PC =.∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面P； …………………………………9分 (Ⅲ) 设平面PDC 的法向量为111(,,)n x y z =，直线CB 与平面PDC 所成角θ，则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111111300x y x y ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，解得1110y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，则平面PDC 的一个法向量为(2,0,1)n =，又(2,2,0)CB =--则sin cos ,3θn CB =<>==， ∴直线CB 与平面PDC ………………………………………14分 18. (共14分）解：（I ）当0a =时，()ln f x x x x =-，'()ln f x x =-， ………………………2分 所以()0f e =，'()1f e =-， ………………………4分 所以曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程为y x e =-+.………………………5分 （II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞21'()()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x=-+--+=-，…………………………6分①当0a ≤时，210ax -<，在(0,1)上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x <所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上递减； ……………………………………………8分②当102a <<时，在(0,1)和1(,)2a +∞上'()0f x >，在1(1,)2a上'()0f x < 所以()f x 在(0,1)和1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a上递减；………………………10分③当12a =时，在(0,)+∞上'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； ……………………………………………12分④当12a >时，在1(0,)2a 和(1,)+∞上'()0f x >，在1(,1)2a上'()0f x < 所以()f x 在1(0,)2a 和(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a上递减……………………………14分19．(共13分） 解：（I ）由题意可得OP OM ⊥， ……………………………2分所以0OP OM ⋅=，即(,)(,4)0x y x -= ………………………………4分 即240x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为24x y = ……………5分 （II ）设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ，则11'(,)A x y -.由244y kx x y=-⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx -+=， ………………………………6分 则216640k ∆=->，即||2k >. ………………………………7分12124,16x x k x x +==. …………………………………9分直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+212221222212212222121222112()1()4()41444 y 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x -∴=-++-∴=-++--∴=-+-∴=+……………………………………12分即2144x x y x -=+ 所以，直线'A B 恒过定点(0,4). ……………………………………13分 20. (共13分）解：(Ⅰ)由变换T 的定义可得1:0,1,1,0,0,1A …………………………………2分0:1,0,1A …………………………………4分(Ⅱ) 数列0A 中连续两项相等的数对至少有10对 …………………………………5分证明：对于任意一个“0-1数列”0A ，0A 中每一个1在2A 中对应连续四项1,0,0,1，在0A 中每一个0在2A 中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”0A 中的每一个项在2A 中都会对应一个连续相等的数对，所以2A 中至少有10对连续相等的数对. …………………………………………………………8分 (Ⅲ) 设k A 中有k b 个01数对，1k A +中的00数对只能由k A 中的01数对得到，所以1k k l b +=，1k A +中的01数对有两个产生途径：①由k A 中的1得到； ②由k A 中00得到，由变换T 的定义及0:0,1A 可得k A 中0和1的个数总相等，且共有12k +个，所以12kk k b l +=+， 所以22kk k l l +=+，由0:0,1A 可得1:1,0,0,1A ，2:0,1,1,0,1,0,0,1A 所以121,1l l ==， 当3k ≥时，若k 为偶数，222k k k l l --=+上述各式相加可得122421(14)11222(21)143k k kk l ---=++++==--，经检验，2k =时，也满足1(21)3k k l =-若k 为奇数，222k k k l l --=+上述各式相加可得12322(14)112221(21)143k k kk l ---=++++=+=+-，经检验，1k =时，也满足1(21)3k k l =+所以1(21),31(21),3kkkklk⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数…………………………………………………………………………………..13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
北京市海淀区高考二模数学理科试题及答案
x - 1 ， ．那么 是⎨y = 1 - t ï ï 1 2海淀区高三年级第二学期期末练习数 学〔理科〕2021.05一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 〔1〕假设sin θ cos θ < 0 ，那么角θ 是 〔A 〕第一或第二象限角 〔B 〕第二或第三象限角 〔C 〕第三或第四象限角 〔D 〕第二或第四象限角〔2〕命题 p ： ∃x∈R 2x0 = 1⌝p， ∀x 0 ∈ R 2x 0 ≠ 1 ， ∃x 0 ∈ R 2x 0 ≠ 1， ∀x 0 ∉ R 2x 0 ≠ 1 ， ∃x 0 ∉ R 2x 0 ≠ 1〔3〕直线 ⎧x = 1 + t 〔 t 为参数〕的倾斜角的大小为 ⎩ 〔A 〕 -π 〔B 〕 π 〔C 〕 π〔D 〕3π4 ìïï x - 4 24y £ 1,〔4〕假设整数 x , y 满足ïíx + y ³ ï y £ 3 , ïî 21, 那么2x + y 的最大值是〔A 〕1 〔B 〕 5〔C 〕 2〔D 〕 3〔5〕点F , F 是椭圆 x 2 + 2 y 2 = 2 的两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么PF 1 + PF 2 的最小值是〔A 〕〔B 〕1〔C 〕2〔D 〕 2〔6〕为了得到函数 y = log 2 的图象，可将函数 y = log 2 x 的图象上所有的点的〔A 〕纵坐标缩短到原来的 12倍，横坐标不变，再向右平移 1 个单位长度20 〔A 〕〔C 〕〔B 〕〔D 〕OP〔B 〕纵坐标缩短到原来的 1 2倍，横坐标不变，再向左平移 1 个单位长度〔C 〕横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再向左平移 1 个单位长度 〔D 〕横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向右平移 1 个单位长 度〔7〕某几何体的主视图与俯视图如下图，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为 2 的正方形，两条虚线互相垂直，那么该几何体的体积是主视图20〔A 〕3 4 〔B 〕 3〔C 〕 6〔D 〕 4俯视图〔8〕点 P (x , y ) 是曲线C : y = 1(x > 0) 上的一个动点，曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、xy 轴分别交于 A , B 两点，点 O 是坐标原点. 给出三个命题：① PA = PB ；② ∆OAB 的周长有最小值4 + 2 ；③曲线C上存在两点M , N ，使得 ∆OMN 为等腰直角三角形．其中真命题的个数是〔A 〕１ 〔B 〕２ 〔C 〕３ 〔D 〕０二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在题中横线上.〔9〕在面积为 1 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P ，那么∆PAB 的面积大于等于 1的概率4是．〔10〕(x + 1)10 = a + a x + a x 2 ++ a x 10. 假设数列a , a , a ,, a (1£ k £ 11, k Î Z )12311123k是一个单调递增数列，那么k 的最大值是 .〔11〕在∆ABC 中，假设ÐA =120° ， c = 5 ， ∆ABC 的面积为5 〔12〕如图，O 的直径 AB 与弦CD 交于点 P ，，那么a = .DCP = 7, PD = 5, AP =1，那么ÐDCB ＝.A B5C23P〔13〕某同学为研究函数 f (x ) 1+ (1- x )2 (0 £ x £ 1) 的性质，构造了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC ，点 P 是边 BC 上的一个动点，设CP = x ，那么 AP + PF = f ( x ) . 请你参考这些信息，推知函 DC F数 f (x ) 的图象的对称轴是 ；函数g ( x ) = 4 f ( x ) - 点的个数是 .9 的零 ABE 〔14〕曲线C是平面内到定点A (1, 0)的距离与到定直线x = - 1的距离之和为 3 的动点 P的轨迹. 那么曲线 C与 y 轴交点的坐标是； 又点B (a ,1)〔 a为常数〕 ， 那么PB + PA 的最小值d (a ) = .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤. 〔15〕〔本小题总分值 13 分〕公差不为０的等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ， S 3 = a 4 + 6 ，且 a 1 , a 4 , a 13 成等比数列.〔Ⅰ〕求数列{a n }的通项公式；〔Ⅱ〕求数列{ 1S n} 的前n 项和公式.(16)〔本小题总分值 14 分〕P如下图， PA ^ 平面 ABC ，点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上，ÐCBA = 30°， PA = AB = 2 ，点 E 为线段 PB 的中点，点 M 在 ABE上，且OM ∥ AC ． 〔Ⅰ〕求证：平面 MOE ∥平面 PAC ； C〔Ⅱ〕求证：平面 PAC ^ 平面 PCB ； AB〔Ⅲ〕设二面角 M - BP - C 的大小为θ ，求cos θ 的值．OM1+ x 2某公司准备将 100 万元资金投入代理销售业务，现有 A ,B 两个工程可供选择： (1)投资 A 工程一年后获得的利润 X 1(万元)的概率分布列如下表所示：X 1 11 1217Pa0.4b且 X 1 的数学期望 E (X 1)=12；(2)投资 B 工程一年后获得的利润 X 2(万元)与 B 工程产品价格的调整有关， B 工程产品价格根据销售情况在 4 月和 8 月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在 4 月和 8 月进行价风格整的概率分别为 p (0< p <1)和 1 p . 经专家测算评估:B 工程产品价格一年内调整次数 X (次)与 X 2 的关系如下表所示：X (次) 0 1 2X 2(万元) 4.12 11.7620.40 〔Ⅰ〕求 a ,b 的值； 〔Ⅱ〕求 X 2 的分布列；〔Ⅲ〕假设 E (X 1)< E (X 2)，那么选择投资 B 工程，求此时 p 的取值范围. (18)〔本小题总分值 13 分〕x 2 y 2 F (1, 0)椭圆C :+ a 2 b 2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为 ，且点(-1,) 在椭圆C 上. 2〔Ⅰ〕求椭圆C 的标准方程；〔Ⅱ〕动直线l 过点 F ，且与椭圆C 交于 A ， B 两点.试问 x 轴上是否存在定点 Q ，7 使得QA ⋅ QB = - 16恒成立？假设存在，求出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由.2函数 f (x ) = a ln(x - a ) - 1x 2+ x (a < 0) .2〔Ⅰ〕求 f (x ) 的单调区间；〔Ⅱ〕假设-1 < a < 2(ln 2 -1) ，求证：函数 f (x ) 只有一个零点 x 0 ，且a +1 < x 0 < a + 2 ； 〔Ⅲ〕当 a = - 4时，记函数 f (x ) 的零点为 x ，假设对任意 x , x ∈[0, x ] 且 x - x = 1, 都51221有 f ( x 2 ) - f ( x 1) ≥ m 成立，求实数m 的最大值.〔此题可参考数据： ln 2 ≈ 0.7, ln 9 ≈ 0.8, ln 9≈ 0.59 〕45(20)〔本小题总分值 13 分〕将 一 个 正 整 数 n 表 示 为 a 1 + a 2 ++ a p ( p Î N *) 的 形 式 ， 其 中 a i Î N * ，i =1, 2,, p ， 且 a 1 ≤ a 2 ≤ ≤ a p ， 记 所 有 这 样 的 表 示 法 的 种 数 为4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故 f (4) = 5 〕.〔Ⅰ〕写出 f (3), f (5) 的值，并说明理由；f (n ) 〔 如〔Ⅱ〕对任意正整数 n ，比拟 f (n +1) 与 1[ f (n ) + f (n + 2)] 的大小，并给出证明；2〔Ⅲ〕当正整数n ≥ 6 时，求证： f (n ) ≥ 4n - 13 ．ï1海淀区高三年级第二学期期末练习数 学〔理科〕 参考答案及评分标准2021．05一. 选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.题号〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕 〔5〕 〔6〕 〔7〕 〔8〕 答案 D A D BCAAC二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.1〔9〕 2 〔10〕６ 〔11〕〔12〕45°ïì a 2- 2a + 2, a £ - 1.4或a ³ 1,x = 12(0, ± 3) ïí a + 4,- 1.4 < a £ - 1,〔13〕；2 〔14〕ïî2 - a ,；- 1< a < 1.注：〔13〕、〔14〕题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤. 〔15〕〔本小题总分值 13 分〕解：〔Ⅰ〕设等差数列{ a n } 的公差为 d ¹ 0 .因为 S 3 = a 4 + 6 ，所以3a + 3´ 2´ 2d= a 1 + 3d + 6 . ① ……………………………………3 分因为a 1 , a 4 , a 13 成等比数列，所以a (a + 12d ) = (a + 3d )2. ② ……………………………………5 分111由①，②可得： a 1 = 3, d = 2 . (6)分所以a n = 2n + 1.……………………………………7 分〔Ⅱ〕由a n = 2n + 1可知： S n (3+ 2n + 1)´ = 2n= n 2 + 2n .6111 1 1 1……………………………………9 分所以 == S n n (n + 2) 2 ( -n n + 2 ) . ……………………………………11 分1 1 1 1 1所以 S + S+ + + + S S S 123n - 1n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( - + - + - + + - + - )2 13 24 35 n - 1 n + 1 n n + 21 1 1 1 1 3n 2 + 5n = ( + - - ) = . 2 1 2 n + 1 n + 2 4(n + 1)(n + 2)1 3n2 + 5n所以数列{ S n } 的前 n 项和为 .4(n + 1)(n + 2)……………………………………13 分(16)〔本小题总分值 14 分〕〔Ⅰ〕证明：因为点 E 为线段 PB 的中点，点O 为线段 AB 的中点， 所 以 OE ∥ PA . ……………………………………1 分 因为 PA Ì 平面 PAC ， OE Ë 平面 PAC ， 所以 OE ∥平面 PAC .……………………………………2 分因为 OM ∥ AC ，因为 AC Ì 平面 PAC ， OM Ë 平面 PAC ， 所以 OM ∥平面 PAC .…………… ………………………3 分因为 OE Ì 平面 MOE ， OM Ì 平面 MOE ， OE OM = O ，所 以 平 面 MOE ∥ 平 面 PAC . ………………………………………5 分〔Ⅱ〕证明：因为 点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上，所以 ÐACB = 90° ，即 BC ⊥ AC . z因为 PA ^ 平面 ABC ， BC Ì 平面 ABC ， P所 以 PA ⊥ BC . …7 分因 为 AC Ì 平 面 PAC ， PA Ì 平 面 PAC ，E PA AC = A ，CD所以 BC ^ 平面 PAC .AB因为 BC Ì 平面 PBC ，Oy所 以 平 面 PAC ^ 平 面 PCB . …9 分 xM〔Ⅲ〕解：如图，以 C 为原点， CA 所在的直线为 x 轴，3 3 M ( , , 0) ⎨2 CB 所 在 的 直 线 为 y 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 C - xyz ． 因 为PA = AB = 2 ，所以 CB = 2 c os 30° = ， AC =1. 延长 MO 交CB 于点 D . 因为 OM ∥ AC ，ÐCBA = 30°，所以 MD ^ CB , MD =1+ 1 = 3, C D = 1 CB =3 .2222所以 P (1, 0, 2) ， C (0, 0, 0) ， B (0, 3, 0) ， 3 . 2 2所以 CP = (1, 0, 2) ， CB = (0, 3, 0) . 设平面 PCB 的法向量m = (x , y , z ) .ìï m ×CP = 0, ìï (x , y , z )×(1, 0, 2) = 0, ìï x + 2z = 0,因为 íï m 0.所以 íï (x , y , z )×(0, 3, 0) = 0, 即íï 3 y = 0.ïî ×CB = ïîïî令 z =1，那么 x = -2, y = 0 .所以 m = (- 2, 0,1) . ………………12 分同理可求平面 PMB 的一个法向量 n = (1, 3,1). …………13 分所以 cos m , n= m ⋅ n = - 1 . 所 以 cos θ = 1 . ……14 分m ⋅ n5 5(17)〔本小题总分值 13 分〕 解：〔Ⅰ〕由题意得：⎧a + 0.4 + b = 1, ⎩11a +12 ⨯ 0.4 +17b = 12.解得： a = 0.5, b = 0.1. ……………3 分〔Ⅱ〕X 2 的可能取值为4.12,11.76, 20.40 .P ( X 2 = 4.12) = (1 - p )[1- (1- p )] = p (1- p ) ，P ( X = 11.76) = p [1 - (1 - p )] + (1 - p )(1 - p ) = p 2 + (1 - p )2 ， P ( X 2 = 20.40) = p (1- p ) .所以 X 2 的分布列为: X 24.1211. 7620.40 Pp (1-p ) p 2+(1-p )2p (1-p )……………………………………9 分〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可得： E ( X 2 ) = 4.12 p (1- p ) +11.76 ⎣⎡ p 2 + (1 - p )2 ⎤⎦+ 20.40 p (1- p ) = - p 2 + p +11.76 . …………11 分2 y ïî 因为 E (X 1)< E (X 2)，所以12 < - p 2+ p + 11.76 .所以 0.4 < ……13 分p < 0.6 .中选择投资 B 工程时， p 的取值范围是 (0.4, 0.6) .…………… (18)〔本小题总分值 13 分〕 解：〔Ⅰ〕由题意知： c =1 . 根据椭圆的定义得： 2a =+2 ，即a = .2所以 b 2= 2 - 1 =1 .……………………………………3 分所以 椭圆C 的标准方程为 x 2+ 22= 1. ……………………………………4 分〔Ⅱ〕假设在 x 轴上存在点 Q (m , 0) 7 ，使得QA ⋅ QB = - 16恒成立.当直线l 的斜率为 0 时， A ( 2, 0), B (- 2, 0) .那么 ( 2 - m , 0)×(- 2 - m , 0) = -7 . 16解 得 m = ± 5. ……………………………………6 分4当直线l 的斜率不存在时， A (1, 2 ), B (1, -2 ) .22由于(1+ 5,2 )×(1+ 5 ,- 2 ) ¹ - 7，所以m ¹ - 5 . 4 2 4 2 164 5 7 m 下面证明 = 时， QA ⋅Q B = - 4 16 恒成立. ……………………………………8 分7显然 直线l 的斜率为 0 时， QA ⋅ Q B = - .16当 直 线 l 的 斜 率 不 为 0 时 ， 设 直 线 l 的 方 程 为 ： x = ty + 1 ，A ( x 1, y 1 ),B ( x 2 , y 2 ) .ìï x 22 由ïí 2 + y =1, 可得： (t 2 + 2) y 2 + 2ty -1 = 0 .ï x = ty + 1(- 1- 1)2+ ( 2 2 )2í 显然∆ > 0 .ìï y + y = -2t,1 2 t 2+ 2 ……………………………………10 分ï y y = - 1 .îï1 2t 2 + 2 因为 x 1 = ty 1 + 1， x 2 = ty 2 + 1 ，所以 (x - 5 , y )×(x - 5 , y ) = (ty - 1 )(ty - 1) + y y1 4 12 4 2 1 4 2 41 2= (t 2 + 1) y y - 1 t ( y + y ) + 11 2 4 1 216= - (t 2 +1) 11 2t 1+ t +t 2 + 2 4 t 2 + 2 16- 2t 2 - 2 + t 21 7=2(t 2+ 2) x 5+ = - 16 . 167综上所述：在 轴上存在点Q ( , 0) ，使得QA ⋅ QB = - 4 16恒成立.……………………………………13 分(19)〔本小题总分值 14 分〕〔Ⅰ〕解： f ( x ) 的定义域为(a , +∞) .f '(x ) =a- x +1 = -x 2+ (a +1)x . ……………………………………1 分x - a x - a令 f '(x ) = 0 ， x = 0 或 x = a +1.当-1 < a < 0 时， a +1 > 0 ，函数 f ( x ) 与 f '(x ) 随 x 的变化情况如下表：x (a ,0)(0, a + 1)a + 1(a + 1, +∞)f ( x ) -0 +0 -f '(x )极小值极大值所 以 ， 函 数 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 是 (0, a + 1) ， 单 调 递 减 区 间 是 (a , 0) 和(a + 1,+ ¥ ) .……………………………………3 分= -x 2 ≤ f ( x ) ( 1, )当a = - 1 时， f '(x ) 0 . 所以，函数 x +1的单调递减区间是 - + ¥.……………………………………4 分所以， 函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (a + 1, 0) ， 单调递减区间是 (a , a + 1) 和(0, + ¥ ) .……………………………………5 分〔Ⅱ〕证明：当 -1 < a < 2(ln 2 - 1) < 0 时，由〔Ⅰ〕知， f ( x ) 的极小值为 f (0) ，极大值为 f (a + 1) .因 为 f (0) = a ln(-a ) > 0 ，f (a + 1) = - 1 (a + 1)2 + (a + 1) = 1(1 - a 2 ) > 0 ， 且2 2f ( x ) 在(a + 1, + ¥ ) 上是减函数，所以 f ( x ) 至多有一个零点.……………………………………7 分f (a + 2) = a ln 2 - 1 a 2 - a = - 1a [a - 2(ln 2 -1)] < 0又因为 2 2 ，f ( x )x 0 a + 1 < x 0 < a + 2所以 函数只有一个零点 ，且.……………………………………9 分〔Ⅲ〕解：因为 -1 < - 4 < 2(ln 2 -1)5，所 以 对 任 意x 1, x 2 ∈[0, x 0 ] 且x 2 - x 1 = 1,由 (Ⅱ) 可 知 ：x 1 ∈[0, a + 1)，x 2 ∈ (a + 1, x 0 ]x 2 ≥ 1，且 .……………………………………10 分因为 函数f ( x ) [0, a + 1) 在上是增函数，在(a + 1, + ¥ )上是减函数，f ( x 1 ) ≥ 所以f (0)f (x 2 ) ≤ f (1)，.……………………………………11 分f (x1 ) -所以f (x2) ³ f (0) - f (1).a =-4f (0) -f (1) =a ln(a) -1 4ln9-1当 5 时， a -1 2 = 5 4 2 >0.f (x1 ) -所以f (x2) ³ f (0) - f (1) > 0. ……………………………………13分f ( x2) -f (x1)所以的最小值为f (0) -f (1) =4ln9-15 4 2 .f ( x2) -f ( x1) ≥m所以使得m恒成立的4ln9-1的最大值为5 4 2 .……………………………………14 分(20)〔本小题总分值 13 分〕〔Ⅰ〕解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以 f (3) = 3 ．因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，所以f (5) = 7 ．……………………………………3 分〔Ⅱ〕结论是 f (n +1) ≤1[ f (n) +f (n + 2)] . 2证明如下：由结论知，只需证 f (n + 1) -f (n) ≤f (n + 2) -f (n + 1).因为n + 1 ≥ 2 ，把n + 1的一个表示法中a1 =1 的a1 去掉，就可得到一个n 的表示法；反之，在n 的一个表示法前面添加一个“1+〞，就得到一个n + 1的表示法，即n + 1 的表示法中a1 =1 的表示法种数等于n 的表示法种数，所以 f (n + 1) -f (n) 表示的是n +1 的表示法中a1 ¹1 的表示法数，f (n + 2) -f (n + 1) 是n + 2 的表示法中a1 ¹1 的表示法数．同样，把一个a1 ¹1 的n + 1的表示法中的 a p 加上1，就可得到一个a1 ¹1 的n + 2 的表示法，这样就构造了从a1 ¹个对应. 1 的n +1的表示法到a1¹1 的n + 2 的表示法的一所以有f (n + 1) -f (n) ≤〔Ⅲ〕由第〔Ⅱ〕问可知：f (n + 2) -f (n + 1). ……………………………………9 分当正整数m ³ 6 时，f (m)- f (m -1) ³ f (m-1)- f (m -2) ³ ³ f (6) - f (5) .又f (6) = 11, f (5) = 7, 所以 f (m) - f (m -1) ³ 4 . *对于*式，分别取m 为6,7,, n ，将所得等式相加得 f (n) -f (5) ≥ 4(n - 5) .即f (n) ≥ 4n - 13 ．……………………………………13分。
高考北京市海淀区高三数学二模试题(理科)
北京市海淀区2022年高三数学二模试题〔理科〕一．选择题：1．设全集U =R,集合M ={x | x >0},N ={x | x 2≥x },那么以下关系中正确的选项是〔 〕 〔A 〕M N M ∈ 〔B 〕M N M ⊆ 〔C 〕R M N = 〔D 〕()U M N =∅2．等比数列前3项依次为：1,a ,116,那么实数a 的值是〔 〕 〔A 〕116 〔B 〕41 〔C 〕－41 〔D 〕41或－413．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象,可以将函数sin 2y x =的图象〔 〕〔A 〕向右平移6π个长度单位 〔B 〕向左平移6π个长度单位 〔C 〕向右平移3π个长度单位 〔D 〕向左平移3π个长度单位4．假设直线l ：ax +by =1与圆C ：x 2+y 2=1有两个不同的交点,那么点P (a ,b )与圆C 的位置关系是〔 〕〔A 〕点在圆上 〔B 〕点在圆内 〔C 〕点在圆外 〔D 〕不能确定5．假设α、β是两个不同的平面,m 、n 是两条不同的直线,那么以下命题不正确的选项是．．．．．．．〔 〕 〔A 〕α//β,m ⊥α,那么m ⊥β 〔B 〕m //n ,m ⊥α,那么n ⊥α〔C 〕n //α,n ⊥β,那么α⊥β 〔D 〕α β=m ,n 与α、β所成的角相等,那么m ⊥n6．函数g (x )图象与函数f (x )=lg(1)x -的反函数的图象关于原点对称,那么函数g (x ) 图象大致为〔 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕 7．假设f (x )=ax 2+bx +c (a >0,x ∈R),f (－1)=0,那么“b <－2a 〞是“f (2)<0〞的〔 〕〔A 〕充要条件 〔B 〕充分不必要条件 〔C 〕必要不充分条件 〔D 〕既不充分也不必要条件 8．为迎接2022年北京奥运会,某校举行奥运知识竞赛,有6支代表队参赛,每队2名同学,假设12名参赛同学中有4人获奖,且这4人来自3个不同的代表队,那么不同获奖情况种数共有〔 〕 〔A 〕412C 〔B 〕3111162223C C C C C 〔C 〕31116322C C C C 〔D 〕311112622232C C C C C A 二．填空题： 9．2112lim()11x x x →---= . 10．在同一时间内,对同一地域,市、县两个气象台预报天气准确的概率分别为910、54,两个气象台预报天气准确的概率互不影响,那么在同一时间内,至少有一个气象台预报准确的概率是 .11．正四棱锥S －ABCD 内接于球O ,过球心O 的一个截面如图,棱锥的底面边长为a ,那么SC 与底面ABCD 所成角的大小为 ；球O 的外表积为 .12．如图双曲线C 的中央在原点,虚轴两端点分别为B 1、B 2,左顶点和左焦点分别为A 、F ,假设21AB FB ⊥,那么双曲线C 的离心率为 .13．假设函数2()(2)(2)f x a x bx a =++++(a ,b ∈R)的定义域为R,那么3a +b 的取值范围是 .14．对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂〞,仿此,52“分裂〞中最大的数是 ,假设m 3的“分裂〞中最小的数是211,那么m 的值为 . 三．解做题：15．在△ABC 中A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ,向量(1,2sin )m A =,(sin ,1cos )n A A =+,满足//m n ,b +c =3a .〔I 〕求A 的大小； 〔II 〕求sin()6B π+的值.16．如图,直三棱柱A1B1C1－ABC中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB,D、E分别是棱C1C、B1C1的中点,〔I〕求点B到平面A1C1CA的距离；〔II〕求二面角B－A1D－A的大小；〔III〕在线段AC上是否存在一点F,使得EF⊥平面A1BD？假设存在,确定其位置并证实结论；假设不存在,说明理由.17．函数f(x)=mx3+nx2 (m、n∈R,m≠0),函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线与x轴平行, 〔I〕用关于m的代数式表示n；〔II〕求函数f(x)的单调递增区间；〔III〕假设x1>2,记函数y=f(x)的图象在点M(x1,f(x1))处的切线为l,设l与x轴的交点为(x2,0),证实：x2≥3.18．如图,平面内的定点F 到定直线l 的距离为2,定点E 满足：||EF =2,且EF ⊥l 于G ,点Q 是直线l 上一动点,点M 满足：FM MQ =,点P 满足：//PQ EF ,0PM FQ ⋅=,〔I 〕建立适当的直角坐标系,求动点P 的轨迹方程；〔II 〕假设经过点E 的直线l 1与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ,令∠AFB =θ,当34πθπ<≤时,求直线l 1的斜率k 的取值范围.19．函数f (x )的定义域为R,并满足以下条件：① 对任意x ∈R,有f (x )>0； ② 对任意x ,y ∈R,有f (xy )=[f (x )]y ； ③ f (31)>1. 〔I 〕求f (0)的值；〔II 〕求证：f (x )在R 上是单调增函数；〔III 〕假设a >b >c >0,且b 2=ac ,求证：f (a )+f (c )>2f (b ).20．设函数f (x )的定义域、值域均为R,f (x )的反函数为1()fx -,且对于任意实数x ,均有15()()2f x f x x -+<,定义数列{a n }：a 0=8,a 1=10,a n =f (a n －1),n =1,2,……. 〔I 〕求证：1152n n n a a a +-+<；〔II 〕设b n =a n +1－2a n ,n =0,1,2,……,求证：1(6)()2nn b <-〔n ∈N *〕；〔III 〕是否存在常数A 和B ,同时满足：① 当n =0及n =1时,有42n n nA Ba ⋅+=；② 当n =2,3,…….时,有42n n nA Ba ⋅+<成立, 如果存在满足上述条件的实数A 、B ,求出A 、B 的值；如果不存在,证实你的结论.北京市海淀区高三年级第二学期期末练习数学〔理科〕答案一、选择题〔本大题共8小题,每题5分,共40分〕1．C 2．D 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．C 二、填空题〔本大题共6小题,每题5分,共30分〕9．21 10．0.98 11．4π〔2分〕 22a π〔3分〕 12．215+ 13．],6[+∞-〔丢－6扣1分〕 14．9〔2分〕 15〔3分〕三、解做题〔本大题共6小题,共80分〕15．〔共13分〕 解：〔1〕由m //n 得0cos 1sin 22=--A A ………………2分 即01cos cos 22=-+A A 1cos 21cos -==∴A A 或 ………………4分1cos ,-=∆A ABC A 的内角是 舍去 3π=∴A ………………6分〔2〕a c b 3=+ 由正弦定理,23sin 3sin sin ==+A C B………………8分π32=+C B 23)32sin(sin =-+∴B B π ………………10分 23)6sin(23sin 23cos 23=+=+∴πB B B 即 ………………13分 16．〔共14分〕 解：〔1〕∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱住 ∴CC 1⊥底面ABC ∴CC 1⊥BC ∵AC ⊥CB ∴BC ⊥平面A 1C 1CA………………2分 ∴BC 长度即为B 点到平面A 1C 1CA 的距离 ∵BC=2 ∴点B 到平面A 1C 1CA 的距离为2……………………4分 〔2〕分别延长AC,A 1D 交于G. 过C 作CM ⊥A 1G 于M,连结BM ∵BC ⊥平面ACC 1A 1 ∴CM 为BM 在平面A 1C 1CA 的内射影 ∴BM ⊥A 1G ∴∠GMB 为二面角B —A 1D —A 的平面角 ……………………6分 平面A 1C 1CA 中,C 1C=CA=2,D 为C 1C 的中点∴CG=2,DC=1 在直角三角形CDG 中, 552=∴CM 5tan =∴GMB……8分即二面角B —A 1D —A 的大小为5arctan ………………9分〔3〕在线段AC 上存在一点F,使得EF ⊥平面A 1BD ………………10分 其位置为AC 中点,证实如下 ………………11分∵A 1B 1C 1—ABC 为直三棱柱 ∴B 1C 1//BC∵由〔1〕BC ⊥平面A 1C 1CA,∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA∵EF 在平面A 1C 1CA 内的射影为C 1F ∵F 为AC 中点 ∴C 1F ⊥A 1D ∴EF ⊥A 1D………13分同理可证EF ⊥BD ∴EF ⊥平面A 1BD …………………14分 ∵E 为定点,平面A 1BD 为定平面 ∴ 点F 唯一 解法二：〔1〕同解法一……………………4分〔2〕∵A 1B 1C 1—ABC 为直三棱住 C 1C=CB=CA=2 AC ⊥CB D 、E 分别为C 1C 、B 1C 1的中点建立如下图的坐标系得C 〔0,0,0〕 B 〔2,0,0〕 A 〔0,2,0〕 C 1〔0,0,2〕 B 1〔2,0,2〕 A 1〔0,2,2〕D 〔0,0,1〕E 〔1,0,2〕………………6分)2,2,2()1,0,2(1-=-=∴BA BD 设平面A 1BD 的法向量为n ),,1(μλ=⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=++-=+-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴21022202001μλμλμ得即BA n BD n )2,1,1(-=∴n …………8分 平面ACC 1A 1的法向量为m=〔1,0,0〕 6661,cos =>=<m n …………9分即二面角B —A 1D —A 的大小为66arccos ………………10分〔3〕在线段AC 上存在一点F,设F 〔0,y,0〕使得EF ⊥平面A 1BD……11分 欲使EF ⊥平面A 1BD 由〔2〕知,当且仅当n//FE …………12分)2,,1(y EF -= 1=∴y ………………13分 ∴存在唯一一点F 〔0,1,0〕满足条件即点F 为AC 中点………………14分 17．〔共13分〕 解：〔1〕23)(nx mx x f += nx mx x f 23)(2+='∴………………2分由条件得：030)2(=+∴='n m f m n 3-=∴………………4分〔2〕233)(3mx mx x f m n -=∴-= ………………5分mx mx x f 63)(2-='∴………………6分令0630)(2>->'mx mx x f 得200><∴>x x m 或时当………………7分∴函数)(x f 的单调递增区间为),2(),0,(+∞-∞当0<m 时,函数)(x f 的单调递增区间为〔0,2〕…………8分综上：当m>0时,函数)(x f 的单调递增区间为),2(),0,(+∞-∞；当0<m 时,函数)(x f 的单调递增区间为〔0,2〕………………9分〔3〕由〔1〕得：233)(mx mx x f -= mx mx x f 63)(2-=' ))(63()3(:11212131x x mx mx mx mx y l --=--…………10分 令)2(332,2,0,0112121--=>≠=x x x x x m y 则由………………11分030)3(,2)2(3)3(2)2(3181223)2(3323221112111211212≥-∴≥->--=-+-=---=-x x x x x x x x x x x x即：32≥x ……………………13分18．〔共13分〕解：〔1〕以FG 的中点O 为原点,以EF 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系xoy,设点P 〔x,y 〕 那么1:),3,0(),1,0(-=y l E F …………2分EF PQ MQ FM //,= )0,2(),1,(x M x Q -∴…………3分 0=⋅FQ PM 0)2()()2(=-⨯-+⨯-∴y x x …………4分即所求点P 轨迹方程y x 42=…………5分〔2〕设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ,BF 的斜率为2k ,直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得 1242121-==+∴x x kx x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴x x x x y y 646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y FB FA 又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA FBFA θ…………10分 由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或19．〔共14分〕解法一：〔1〕令2,0==y x ,得：2)]0([)0(f f =……………1分 1)0(0)0(=∴>f f …………………………3分〔2〕任取1x 、),(2+∞-∞∈x ,且21x x <. 设,31,312211p x p x ==那么21p p <21)]31([)]31([)31()31()()(2121p p f f p f p f x f x f -=-=-……………………4分)()()(,1)31(2121x f x f x f p p f ∴<∴<> 在R 上是单调增函数……10分〔3〕由〔1〕〔2〕知1)0()(=>f b f 1)(>∴b f b ab f bc b f a f )]([)()(=⋅=bc b f bcb fc f )]([)()(=⋅=……………………11分bc a b c b a b f b f b f c f a f +>+=+∴)]([2)]([)]([)()(而)(2)]([2)]([222222b f b f b f bb ac c a bb bc a =>∴==>++)(2)()(b f c f a f >+∴……………………14分解法二：〔1〕∵对任意x 、y ∈R,有yx f xy f )]([)(=x f x f x f )]1([)1()(=⋅=∴………1分 ∴当0=x 时0)]1([)0(f f =……2分∵任意x ∈R, 0)(>x f ……………………3分 1)0(=∴f ……………………4分〔2〕1)]31([)313()1(,1)31(3>=⨯=∴>f f f f ………………6分xf x f )]1([)(=∴是R 上单调增函数 即)(x f 是R 上单调增函数；………………10分 〔3〕c a c a f b f f c f a f +>+=+)]1([2)]([)]1([)()(……………………11分而)(2)]1([2)]1([222222b f f f b b ac c a b c a =>∴==>++ )(2)()(b f c f a f >+∴……………………14分20．〔共13分〕〔1〕证实：n a x x x f x f =<+-令25)()(1 n n n a a f a f 25)()(1<+∴-…………2分 即n n n a a a 2511<+-+…………4分 〔2〕证实：1125-+-<n n n a a a )2(21211-+-<-∴n n n n a a a a …………6分 62210101-=-=<-a a b b b n n 即 )()21)(6()21(0*∈-=<∴N n b b n n n …………8分 〔3〕解：由〔2〕可知：n n n a a )21)(6(21-+<+…………9分假设存在常数A 和B,使得1,024=+⋅=n B A a n n n 对成立,那么 1024810=+==+=B A a B A a 解得A=B=4…………11分 下面用数学归纳法证实N n n a nn n ∈≥+⨯<,22444对一切成立.〔1〕当n=2时,由n n n a a a 2511<+-+得11122220122444)21)(6(24442)21)(6(22444,,)2()2(2444,22444178102525++++⨯=-++⨯⨯<-+<+⨯<≥=+⨯<=∴+⨯==-⨯=-<k k k k k k k k k k k n a a a k k n a n a a a 则即不等式成立时假设成立时这说明1+=k n 时,不等式成立.综合〔1〕〔2〕,可知N n n a n n n ∈≥+⨯<,22444对一切成立.…………13分∴A=B=4满足题设. 说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
北京市海淀区高三数学二模试题 理(含解析)北师大版
2013年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）（2013•海淀区二模）集合A={x|（x﹣1）（x+2）≤0}，B={x|x＜0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[1，2] D．[1，+∞）考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：求解二次不等式化简集合A，然后直接利用并集运算求解．解答：解：由A={x|（x﹣1）（x+2）≤0}={x|﹣2≤x≤1}，B={x|x＜0}，所以A∪B={x|﹣2≤x≤1}∪{x|x＜0}=（﹣∞，1]．故选B．点评：本题考查了并集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的运算题．2．（5分）（2013•海淀区二模）已知数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1•a3=4，a4=8，则a1+q的值为（）A．3B．2C．3或﹣2 D．3或﹣3考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用题目给出的已知条件列关于首项和公比的方程组，求解后即可得到a1+q的值．解答：解：在等比数列{a n}中，由a1•a3=4，a4=8，得，②2÷①得：q4=16，所以q=±2．当q=2时，代入②得，a1=1．当q=﹣2时，代入②得，a1=﹣1．所以a1+q的值为3或﹣3．故选D．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了方程组的解法，是基础题．3．（5分）（2013•海淀区二模）如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据落到不规则图形Ω和正方形中的点的个数，得到概率，即得到两者的面积的比值，根据所给的正方形的边长，求出面积，根据比值得到要求的面积的估计值．解答：解：∵由题意知在正方形中随机投掷n个点，若n个点中有m点落入X中，∴不规则图形Ω的面积：正方形的面积=m：n∴不规则图形Ω的面积=×正方形的面积=×a2=．故选C．点评：本题考查几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．4．（5分）（2013•海淀区二模）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．180 B．240 C．276 D．300考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．解答：解：由题意可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面斜高为5；下部是棱长为6的正方体，所以几何体的表面积为：5个正方形的面积加上棱锥的侧面积，即：5×6×6+4××4=240．故选B．点评：本题考查几何体与三视图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力．5．（5分）（2013•海淀区二模）在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”是“四边形ABCD为平行四边形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：证明题．分析：根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形和必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可．解答：解：由在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”，不能得出AB∥DC，AD∥BC，如图，AB=2DC，AD=2BC，不得到四边形ABCD为平行四边形．也就不得到四边形ABCD为平行四边形，反之，由四边形ABCD为平行四边形，得到AB=DC，AD=BC，从而有：∃λ=1∈R，使得AB=λDC，AD=λBC，故在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要而不充分条件．故选B．点评：本题主要考查对平行四边形的判定定理，必要条件、充分条件与充要条件的判断，能灵活运用平行四边形的判定进行证明是解此题的关键，此题是一个比较综合的题目．6．（5分）（2013•海淀区二模）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为（）A．32 B．36 C．42 D．48考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：2和4需要排在十位、百位和千位，分2排在百位，4排在百位，2和4分别排在十位和千位来考虑，综合可得答案．解答：解：由题意可知：2和4需要排在十位、百位和千位．若2排在百位，则4可以排在十位或千位，剩余的1、3、5可以随意排，因此有2=12种情况，同理当4排在百位时，2可以排在十位或千位，同样有2=12种情况．再考虑2和4分别排在十位和千位的情况，不同的排列有两种情况，而此时由于5不能排在百位，因此只能从个位和万位中选一个，有两种情况，最后剩余的1和3可以随意排列，因此共有2×2×=8种情况．因此所有的排法总数为12+12+8=32种．故选A点评：本题考查排列组合及简单的计数原理，分类考虑是解决问题的额关键，属中档题．7．（5分）（2013•海淀区二模）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2=4x 的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．1C．1D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线c的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．解答：解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以，c2=a2+b2=1，解得a=，双曲线的离心率e===1+．故选B．点评：本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．8．（5分）（2013•海淀区二模）若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n 成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是（）A．若a3=4，则m可以取3个不同的值B．若，则数列{a n}是周期为3的数列C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a n}是周期为T的数列D．∃m∈Q且m≥2，使得数列{a n}是周期数列考点：命题的真假判断与应用．专题：等差数列与等比数列．分析：利用周期数列的定义，分别进行推理证明．解答：解：对于选项A，因为，所以，因为a3=4，所以a2=5或，又因为，a1=m，所以m=6或m=或m=，所以选项A正确；对于选项B，＞1，所以；所以，所以，所以数列{a n}是周期为3的数列，所以选项B正确；对于选项C，当B可知当＞1时，数列{a n}是周期为3的周期数列，所以C正确．故错误的是D．故选D．点评：本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•海淀区二模）在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=2的距离为 2 ．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先求出直线的直角坐标方程，求出极点的直角坐标，即可求得极点到直线ρcosθ=2的距离．解答：解：直线ρcosθ=2 即 x=2，极点的直角坐标为（0，0），故极点到直线ρcosθ=2的距离为2，故答案为 2．点评：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，点到直线的距离的定义，属于基础题．10．（5分）（2013•海淀区二模）已知，，，则a，b，c按照从大到小排列为c＞b＞a ．考点：有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．专题：计算题．分析：利用对数函数与指数函数及正弦函数的性质可对a，b，c的大小作出判断．解答：解：∵a=ln＜ln1=0，0＜b=sin≈sin＜sin30°=，c===＞，∴c＞b＞a．故答案为：c＞b＞a．点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，着重考查对数函数与指数函数及正弦函数的性质，属于基础题．11．（5分）（2013•海淀区二模）直线l1过点（﹣2，0）且倾斜角为30°，直线l2过点（2，0）且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为．考点：两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：用点斜式求出两条直线的方程，再联立方程组，解方程组求得直线l1与直线l2的交点坐标．解答：解：由题意可得直线l1的斜率等于tan30°=，由点斜式求得它的方程为 y﹣0=（x+2），即x﹣3y+2=0．直线l2过的斜率等于=﹣，由点斜式求得它的方程为 y﹣0=﹣（x﹣2），即x+y﹣2=0．由，解得，故直线l1与直线l2的交点坐标为，故答案为．点评：本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，求两条直线的交点坐标，属于基础题．12．（5分）（2013•海淀区二模）在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，，则b= 2 ；S△ABC= ．考点：正弦定理；三角形的面积公式．专题：计算题；解三角形．分析：根据正弦定理的式子，即可解出b==2；由三角形内角和定理，算出∠C=75°，再由正弦定理的面积公式，可以算出S△ABC的大小．解答：解：∵△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，，∴由正弦定理，得b===2∵∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°∴S△ABC=absinC==故答案为：2，点评：本题给出三角形两个角和其中一角的对边，求另一边的大小并求三角形的面积．着重考查了用正弦定理解三角形、三角形面积公式等知识，属于基础题．13．（5分）（2013•海淀区二模）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是[0，1] ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建立空间直角坐标系，求出有关点的坐标可得、、、的坐标，再由=1﹣λ∈[0，1]，可得的取值范围．解答：解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）．∴=（0，1，0）、（﹣1，﹣1，1）．∵点P在线段BD1上运动，∴=λ•=（﹣λ，﹣λ，λ），且0≤λ≤1．∴=+=+=（﹣λ，1﹣λ，λ），∴=1﹣λ∈[0，1]，故答案为[0，1]．点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，属于中档题．14．（5分）（2013•海淀区二模）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线为W．（Ⅰ）给出下列三个结论：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于直线y=x对称；③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；其中，所有正确结论的序号是②③；（Ⅱ）曲线W上的点到原点距离的最小值为．考点：轨迹方程；命题的真假判断与应用．分析：根据动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论．解答：解：∵动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，∴|x|+|y|=∴|xy|+x+y﹣1=0∴xy＞0，（x+1）（y+1）=2或xy＜0，（y﹣1）（1﹣x）=0函数的图象如图所示∴曲线W关于直线y=x对称；曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；由y=x与（x+1）（y+1）=2联立可得x=﹣1，∴曲线W上的点到原点距离的最小值为=故答案为：②③；点评：本题考查轨迹方程，考查数形结合的数学思想，求出轨迹方程，正确作出曲线的图象是关键．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2013•海淀区二模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间．考点：二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由分母不为0，得到sin（x﹣）≠0，利用正弦函数的性质即可求出函数f （x）的定义域；（Ⅱ）函数解析式第二项分子利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的正弦函数公式化简，约分后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调性即可求出函数的单调递增区间．解答：解：（I）∵sin（x﹣）≠0，∴x﹣≠kπ，k∈Z，则函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}；（II）∵f（x）=1﹣=1+（cosx+sinx）=1+sinx+cosx=1+sin（x+），又∵y=sinx的单调递增区间为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z，令2kπ﹣＜x+＜2kπ+，解得：2kπ﹣＜x＜2kπ+，又注意到x≠kπ+，则f（x）的单调递增区间为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z．点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，正弦函数的定义域和值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（13分）（2013•海淀区二模）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．（Ⅰ）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．考点：离散型随机变量及其分布列；互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）利用对立事件概率求解公式，可求至少有一张彩票中奖的概率；（Ⅱ）确定福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金的取值，求出相应的概率，可得其分布列与期望，利用期望大于0，即可求得结论．解答：解：（I）设至少一张中奖为事件A，则P（A）=1﹣0.52=0.75…（4分）（II）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5，0，﹣45，﹣145…（6分）故ξ的分布列为ξ 5 0 ﹣45 ﹣145P 50% 50%﹣2%﹣p 2% p…（8分）所以ξ的期望为Eξ=5×50%+0×（50%﹣2%﹣p）+（﹣45）×2%+（﹣145）×p=2.5﹣90%﹣145p…（11分）所以当1.6﹣145p＞0时，即…（12分）所以当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…（13分）点评：本题考查对立事件的概率公式，考查随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（14分）（2013•海淀区二模）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿对角线AC折起到△PAC的位置，如图2所示，使得点P在平面ABC 上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB，点E，F分别为线段PA，PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EFH∥平面PBC；（Ⅱ）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等？请说明理由．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面平行的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）依题意，可证得△ADC（即△PDC）是等边三角形⇒H是AC的中点，从而可知HE∥PC，可知同理EF∥PB，利用面面平行的判断定理即可证得结论；（Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，以H为坐标原点建立空间直角坐标系，继而可求得A，P，B，E的坐标，设平面PHB的法向量=（x，y，z），由可求得，通过对x赋值，可求得=（，﹣3，0），利用向量的数量积即可求得cos＜，＞，即HE与平面PHB所成角的正弦值；（Ⅲ）在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=PA=2，在直角三角形PHB中，PB=4，EF=PB=2，从而可知E为M即可．解答：解：（Ⅰ）∵点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，所以PH⊥平面ABC，所以PH⊥AC，…1分∵在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4，∴AC=4，∠CAB=60°，∴△ADC是等边三角形，故H是AC的中点，…2分∴HE∥PC…3分同理可证EF∥PB，又HE∩EF=E，CP∩PB=P，∴平面EFH∥平面PBC；…5分（Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，则A（0，﹣2，0），P（0，0，2），B（，1，0）…6分因为E（0，﹣1，），=（0，﹣1，），设平面PHB的法向量=（x，y，z），∵=（，1，0），=（0，0，2），∴，即，令x=，则y=﹣3，∴=（，﹣3，0）…8分cos＜，＞===…10分∴直线HE与平面PHB所成角的正弦值为…11分（Ⅲ）存在，事实上记点E为M即可…12分因为在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=PA=2…13分在直角三角形PHB中，PB=4，EF=PB=2，所以点E到P，H，A，F四点的距离相等…14分点评：本题考查平面与平面平行的判定，考查直线与平面所成的角，考查点、线、面间的距离计算，突出考查空间向量在空间几何中的应用，考查逻辑推理与证明的能力，属于难题．18．（13分）（2013•海淀区二模）已知函数f（x）=e x，A（a，0）为一定点，直线x=t（t≠0）分别与函数f（x）的图象和x轴交于点M，N，记△AMN的面积为S（t）．（Ⅰ）当a=0时，求函数S（t）的单调区间；（Ⅱ）当a＞2时，若∃t0∈[0，2]，使得S（t0）≥e，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先根据题意得到函数S（t）的解析式，再由导数与函数单调性的关系解不等式即可求函数S（t）的单调区间；（Ⅱ）当a＞2时，若∃t0∈[0，2]，使得S（t0）≥e，转化为S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e．先求，令S'（t）=0，得t=a﹣1．下面对字母a进行分类讨论：a﹣1≥2；a﹣1＜2．可得出关于a的不等关系，从而可求出a的范围；解答：解：（I）因为，其中t≠a…（2分）当a=0，，其中t≠0当t＞0时，，，所以S'（t）＞0，所以S（t）在（0，+∞）上递增，…（4分）当t＜0时，，，令，解得t＜﹣1，所以S（t）在（﹣∞，﹣1）上递增令，解得t＞﹣1，所以S（t）在（﹣1，0）上递减…（7分）综上，S（t）的单调递增区间为（0，+∞），（﹣∞，﹣1），S（t）的单调递增区间为（﹣1，0）（II）因为，其中t≠a当a＞2，t∈[0，2]时，因为∃t0∈[0，2]，使得S（t0）≥e，所以S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e，，令S'（t）=0，得t=a﹣1…（8分）当a﹣1≥2时，即a≥3时对t∈（0，2）成立，S（t）单调递增，所以当t=2时，S （t ）取得最大值令，解得 ， 所以a≥3…（10分）当a ﹣1＜2时，即a ＜3时对t ∈（0，a ﹣1）成立，S （t ）单调递增，对t ∈（a ﹣1，2）成立，S （t ）单调递减，所以当t=a ﹣1时，S （t ）取得最大值， 令，解得a≥ln2+2， 所以ln2+2≤a＜3…（12分）综上所述，ln2+2≤a…（13分）点评：本题考查了应用导数研究函数的单调性，以及函数在闭区间上的最值问题，同时考查分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想．19．（14分）（2013•海淀区二模）已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点，求△AOB（O 为原点）面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： （Ⅰ）依题意，可求得a=，b=1，从而可得椭圆M 的方程；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），依题意，直线AB 有斜率，可分直线AB 的斜率k=0与直线AB 的斜率k≠0讨论，利用弦长公式，再结合基本不等式即可求得各自情况下S △AOB 的最大值．解答：解：（Ⅰ）因为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点， ∴a=，b=1，椭圆M 的方程为：+y 2=1…4分 （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为AB 的垂直平分线经过点（0，﹣），显然直线AB有斜率，当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线为y轴，则x1=﹣x2，y1=y2，所以S△AOB=|2x1||y1|=|x1||y1|=|x1|•==，∵≤=，∴S△AOB≤，当且仅不当|x1|=时，S△AOB取得最大值为…7分当直线AB的斜率不为0时，则设AB的方程为y=kx+t，所以，代入得到（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3=0，当△=4（9k2+3﹣3t2）＞0，即3k2+1＞t2①，方程有两个不同的实数解；又x1+x2=，=…8分所以=，又=﹣，化简得到3k2+1=4t②代入①，得到0＜t＜4，…10分又原点到直线的距离为d=，|AB|=|x1﹣x2|=•，所以S△AOB=|AB||d|=••，化简得：S△AOB=…12分∵0＜t＜4，所以当t=2时，即k=±时，S△AOB取得最大值为．综上，S△AOB取得最大值为…14分点评： 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查椭圆的标准方程，着重考查方程思想分类讨论思想与弦长公式，基本不等式的综合运用，考查求解与运算能力，属于难题．20．（13分）（2013•海淀区二模）设A 是由m×n 个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”． （Ⅰ） 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；1 2 3 ﹣7﹣2 1 0 1表1（Ⅱ） 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a 的所有可能值；a a 2﹣1 ﹣a ﹣a 22﹣a 1﹣a 2 a ﹣2 a 2表2（Ⅲ）对由m×n 个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．考点：切变变换． 专题：计算题；图表型． 分析： 解：（I ）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可）（II ） 每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1；①如果操作第三列，第一行之和为2a ﹣1，第二行之和为5﹣2a ，列出不等关系解得a ，b ；②如果操作第一行，可解得a 值；（III ） 按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1﹣（﹣1）=2，但是每次操作都只 是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn 个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立．解答： 解：（I ）法1：1 2 3 ﹣7﹣2 1 0 1改变第4列得：1 2 3 7﹣2 1 0 ﹣1改变第2行得：1 2 3 72 ﹣1 0 1法2：1 2 3 ﹣7﹣2 1 0 1改变第2行得：1 2 3 72 ﹣1 0 ﹣1改变第4列得：1 2 3 72 ﹣1 0 1法3：1 2 3 ﹣7﹣2 1 0 1改变第1列得：﹣1 2 3 72 1 0 ﹣1改变第4列得：﹣1 2 3 72 1 0 ﹣1（写出一种即可）…（3分）（II）每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1；①如果操作第三列，则a a2﹣1 a ﹣a22﹣a 1﹣a2﹣a+2 a2则第一行之和为2a﹣1，第二行之和为5﹣2a，，解得a=1，a=2．…（6分）②如果操作第一行﹣a ﹣a2+1 a a22﹣a 1﹣a2a﹣2 a2则每一列之和分别为2﹣2a，2﹣2a2，2a﹣2，2a2解得a=1 …（9分）综上a=1 …（10分）（III）证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1﹣（﹣1）=2，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立…（13分）点评：本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和切变变换的应用，同时考查了分析问题的能力，属于难题．。
2023届北京市海淀区高三二模数学试卷(word版)
2023届北京市海淀区高三二模数学试卷(word版)一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则（）A．B．C．2D．(★★) 3. 若的展开式中常数项为32，则（）A．5B．6C．7D．8(★★) 4. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（）A．7B．6C．5D．4(★) 6. 已知抛物线，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（）A．B．C．D．(★★) 7. 芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（）A．B．C．D．(★★) 8. 已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且，P是对角线CE的中点，Q是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．C．D．(★★) 9. 已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 10. 已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（）A．B．1C．D．2二、填空题(★★) 11. 在复平面内，复数z所对应的点为，则 ___________ ．(★★) 12. 已知双曲线C经过点，渐近线方程为，则C的标准方程为___________ ．三、双空题(★★) 13. 如图，在中，是边上一点，，则__________ ；的面积为 ___________ ．(★★) 14. 设函数，①若，则不等式的解集为 ___________ ；②若，且不等式的解集中恰有一个正整数，则的取值范围是 ___________ ．四、填空题(★★★★) 15. 在数列中，，．设向量，已知，给出下列四个结论：①；②，；③，；④，．其中所有正确结论的序号是 ___________ ．五、解答题(★★) 16. 已知函数，且．(1)求的值和的最小正周期；(2)求在上的单调递增区间．(★★★) 17. 某大学学院共有学生1000人，其中男生640人，女生360人．该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表．跑步里程s（）男生a12105(1)求的值，并估计学院学生5月份累计跑步里程s（）在中的男生人数；(2)从学院样本中5月份累计跑步里程不少于的学生中随机抽取3人，其中男生人数记为X，求X的分布列及数学期望；(3)该大学学院男生与女生人数之比为，学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样．已知学院和学院的样本数据整理如下表．5月份累计跑步里程平均值（单位：）设A学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为，B学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为，是否存在，使得?如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由．(★★★) 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点．(1)求证：EF//平面PBC；(2)若，二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．求PD的长．条件①：；条件②：．(★★★★) 19. 已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，，直线的方程为．(1)求椭圆的方程及离心率；(2) 是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点．过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点．求的大小．(★★★★★) 20. 已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：；(3)若函数在区间上无零点，求a的取值范围．(★★★★★) 21. 设为整数．有穷数列的各项均为正整数，其项数为m（）．若满足如下两个性质，则称为数列：①，且；②(1)若为数列，且，求m；(2)若为数列，求的所有可能值；(3)若对任意的数列，均有，求d的最小值．。
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海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2011.5选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是A ．(1,1) B. (1,1)- C. (1,1)-- D.(1,1)-2. 已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，下图中阴影部分所表示的集合为A {1} B. {0,1} C. {1,2} D. {0,1,2} 3．函数21()log f x x x=-的零点所在区间A ．1(0,)2 B. 1(,1)2C. (1,2)D. (2,3) 4.若直线l 的参数方程为13()24x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为A ．45- B ． 35- C ． 35 D ． 455. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲乙 9 8 8 1 7 7 9 96 10 2 2 5 6 7 9 95 3 232 37 1 0 4根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不．可能是．．．该锥体的俯视图的是 7．若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ） 的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； 其中，所有正确结论的序号是A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③8. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=u u u u r u u u u r的实数λ的值有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个A1D 1A 1C 1B DC BOPNM Q非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9．点(,)P x y 在不等式组2,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为_______.10．运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S11．若4234512345(1)x mx a x a x a x a x a x -=++++，其中26a =-，则实数m 的值为；12345a a a a a ++++的值为 .12．如图，已知O e 的弦AB 交半径OC 于点D ，若3AD =2BD =，且D 为OC 的中点，则CD 的长为 .13．已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+= (,)t n ∈∈**N N ，记数列{}n a 的前n 项和的最大值为()f t ，则()f t = .14. 已知函数sin ()xf x x=（1）判断下列三个命题的真假：①()f x 是偶函数；②()1f x < ；③当32x π= 时，()f x 取得极小值.其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号）（2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为___________. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）已知函数2()cos cos f x x x x ωωω= (0)ω>的最小正周期为π. （Ⅰ）求2()3f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间及其图象的对称轴方程. 16.（本小题共13分）某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的. (Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(Ⅱ) 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望. 17.(本小题共14分)如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点．(Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求证：//OE 平面PDC ；(Ⅲ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．18. (本小题共14分）已知函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R .（I ）当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程（e 2.718...=）； （II ）求函数()f x 的单调区间. 19．(本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过原点O .ADOCP BE（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ，试判断直线'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论. 20. (本小题共13分）对于数列12n A a a a L ：，，，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“0-1数列”.定义变换T ，T 将“0-1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A :1,0,1，则():0,1,1,0,0,1.T A 设0A 是“0-1数列”，令1(),k k A T A -=(Ⅰ) 若数列2A ：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列10,A A ；(Ⅱ) 若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；(Ⅲ)若0A 为0，1，记数列k A 中连续两项都是0的数对个数为k l ，1,2,3,k =⋅⋅⋅.求k l 关于k 的表达式.海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理）答案及评分参考 2011．5选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9. 6 10. 11 11.32， 11612.13. 222, (4(1), (4t tt t t ⎧+⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为偶数)为奇数) 14. ①② , 9三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分） 解：（Ⅰ）1()(1cos 2)22f x x x =++ωω (2)分1sin(2)26x =++πω, …………………………3分 因为()f x 最小正周期为π,所以22ππω=，解得1ω=, …………………………4分所以1()sin(2)62πf x x =++, ………………………… 5分 所以21()32πf =-. …………………………6分 （Ⅱ）分别由222,()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，3222,()262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得,()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，2,().63k x k k Z ππππ+≤≤+∈………………8分 所以,函数()f x 的单调增区间为[,],()36k k k Z ππππ-+∈；()f x 的单调减区间为2[,],().63k k k Z ππππ++∈………………………10分 由2,(62ππx k πk Z +=+∈）得,()26k πx πk Z =+∈. 所以，()f x 图象的对称轴方程为()26k πx πk Z =+∈. …………………………13分16.（共13分）解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A , …………………………1分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13， ……………………………3分则4265()1()1381P A P A ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭ .……………………………6分 (Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,3,4, …………………………7分由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13，且每个人下电梯互不影响， 所以，1(4,)3X B :. ……………………………9分………………………………11分14()433E X =⨯=. ………………………………13分 17.(共14分)（Ⅰ）证明：设F 为DC 的中点，连接BF ，则DF AB = ∵AB AD ⊥，AB AD =，//AB DC ， ∴四边形ABFD 为正方形，PE∵O 为BD 的中点， ∴O 为,AF BD 的交点， ∴PO BD ⊥， ………………………………..2分 在三角形PAO中，2224PO AO PA +==，∴PO AO ⊥，……………………………4分∵AO BD O =I ，∴PO ⊥平面ABCD ； ……………………………5分(Ⅱ)方法1：连接PF ，∵O 为AF 的中点，E 为PA 中点， ∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ， ∴//OE 平面PDC . (9)分方法2：由(Ⅰ)知PO ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥，所以过O 分别做,AD AB 的平行线，以它们做,x y 轴，以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得：则11(,,222OE =--u u u r，(1,1,PF =u u u r，(1,1,PD =-u u u r，(1,3,PC =u u u r.∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ， ∴//OE 平面PDC ； …………………………………9分(Ⅲ) 设平面PDC 的法向量为111(,,)n x y z =r，直线CB 与平面PDC 所成角θ，则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u u r r，即111111300x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，解得1110y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，则平面PDC的一个法向量为n =r ，又(2,2,0)CB =--u u u r则sin cos ,θn CB =<>==u u ur r ∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为………………………………………14分 18. (共14分）解：（I ）当0a =时，()ln f x x x x =-，'()ln f x x =-， ………………………2分所以()0f e =，'()1f e =-， ………………………4分所以曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程为y x e =-+.………………………5分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞21'()()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x=-+--+=-， (6)分①当0a ≤时，210ax -<，在(0,1)上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x <所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上递减； ……………………………………………8分 ②当102a <<时，在(0,1)和1(,)2a +∞上'()0f x >，在1(1,)2a 上'()0f x < 所以()f x 在(0,1)和1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a上递减；………………………10分③当12a =时，在(0,)+∞上'()0f x ≥且仅有'(1)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； ……………………………………………12分 ④当12a >时，在1(0,)2a 和(1,)+∞上'()0f x >，在1(,1)2a 上'()0f x < 所以()f x 在1(0,)2a 和(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a上递减……………………………14分 19．(共13分） 解：（I）由题意可得OP OM ⊥， ……………………………2分所以OP OM ⋅=u u u r u u u u r，即(,)(,4)0x y x -= ………………………………4分即240x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为24x y = ……………5分（II ）设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ，则11'(,)A x y -. 由244y kx x y=-⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx -+=， ………………………………6分则216640k ∆=->，即||2k >. ………………………………7分12124,16x x k x x +==. …………………………………9分 直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+212221222212212222121222112()1()4()41444 y 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x -∴=-++-∴=-++--∴=-+-∴=+……………………………………12分即2144x x y x -=+ 所以，直线'A B 恒过定点(0,4). ……………………………………13分20. (共13分） 解：(Ⅰ)由变换T的定义可得1:0,1,1,0,0,1A …………………………………2分0:1,0,1A …………………………………4分(Ⅱ) 数列0A 中连续两项相等的数对至少有10对 …………………………………5分证明：对于任意一个“0-1数列”0A ，0A 中每一个1在2A 中对应连续四项1,0,0,1，在0A 中每一个0在2A 中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”0A 中的每一个项在2A 中都会对应一个连续相等的数对， 所以2A 中至少有10对连续相等的数对. …………………………………………………………8分 (Ⅲ) 设k A 中有k b 个01数对，1k A +中的00数对只能由k A 中的01数对得到，所以1k k l b +=，1k A +中的01数对有两个产生途径：①由k A 中的1得到； ②由k A 中00得到，由变换T 的定义及0:0,1A 可得k A 中0和1的个数总相等，且共有12k +个， 所以12k k k b l +=+， 所以22k k k l l +=+，由0:0,1A 可得1:1,0,0,1A ，2:0,1,1,0,1,0,0,1A 所以121,1l l ==， 当3k ≥时，若k 为偶数，222k k k l l --=+上述各式相加可得122421(14)11222(21)143k k kk l ---=++++==--L ，经检验，2k =时，也满足1(21)3k k l =- 若k 为奇数，222k k k l l --=+上述各式相加可得12322(14)112221(21)143k k kk l ---=++++=+=+-L ，经检验，1k =时，也满足1(21)3k k l =+ 所以1(21),31(21),3kk k k l k ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数…………………………………………………………………………………..13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.希望以上资料对你有所帮助，附励志名3条：1、积金遗于子孙，子孙未必能守；积书于子孙，子孙未必能读。