2022-2023学年辽宁大连甘井子区育文中学数学九年级第一学期期末经典模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．△ABC 中，∠C=Rt ∠，AC=3，BC=4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点E 、D ，则AE 的长为( )
A ．
95
B ．
125
C ．
185
D ．
365
2．关于x 的一元二次方程2
(1)210k x x +-+=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．0k ≥
B ．0k ≤
C ．0k <且1k ≠-
D ．0k ≤且1k ≠-
3．点()1,3M 在反比例函数k
y x
=
的图像上，则k 的值为（ ） A ．1-
B ．3
C ．3-
D ．
13
4．已知x ＝5是分式方程1a x -＝52x
的解，则a 的值为（ ） A ．﹣2
B ．﹣4
C ．2
D ．4
5．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a ，则阴影部分的面积为（ ）
A ．2a 2
B ．3a 2
C ．4a 2
D ．5a 2
6．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7．如图，在线段AB 上有一点C,在AB 的同侧作等腰△ACD 和等腰△ECB,且AC=AD,EC=EB,∠DAC=∠CEB,直线BD 与线段AE,线段CE 分别交于点F,G .对于下列结论：①△DCG ∽△BEG ；②△ACE ∽△DCB ；③GF·GB=GC·GE ；④若∠DAC=∠CEB=90°
,则2AD 2=DF·DG .其中正确的是（ ）
A ．①②③④
B ．①②③
C ．①③④
D ．①②
8．矩形的长为4，宽为3，它绕矩形长所在直线旋转一周形成几何体的全面积是（ ） A ．24π
B ．33π
C ．56π
D ．42π
9．如图，已知边长为2的正三角形ABC 顶点A 的坐标为（0,6），BC 的中点D 在y 轴上，且在A 的下方，点E 是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE 的最小值为
A ．3
B ．
C ．4
D ．
10．在平面直角坐标系中，对于二次函数()2
21y x =-+，下列说法中错误的是（ ） A ．y 的最小值为1
B ．图象顶点坐标为()21，，对称轴为直线2x =
C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而减小
D ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而减小，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而增大 二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的点，且∠ACB ＝40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为______．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 正半轴上，且OC ＝O B ．点P 为线段AB （不含端点）上一动点，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°得线段OQ ，连接CQ ，则线段CQ 的最小值为___________．
13．如图，在正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点D 和点F 的坐标分别为()7,3，()1,1--，则两个正方形的位似中心的坐标是___________.
14．一个圆锥的母线长为10，高为6，则这个圆锥的侧面积是_______．
15．如图，在△ABC 中，∠CAB ＝65°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB ′C ′的位置，使得CC ′∥AB ，则∠B ′AB 等于_____．
16．关于x 的分式方程
721
511
x m x x -+=--有增根，则m 的值为__________． 17．若1x =为一元二次方程210x mx ++=的一个根，则m =__________．
18．如图，AB 是圆O 的弦，AB ＝2，点C 是圆O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°，若点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，则MN 的最大值是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A 、B 、C 三种型号，乙品牌有D 、E 两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠． （1）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；
（2）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么A 型器材被选中的概率是多少．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中有点A(1，5)，B(2，2)，将线段AB 绕P 点逆时针旋转90°得到线段CD ，A 和C 对应，B 和D 对应.
(1)若P 为AB 中点，画出线段CD ，保留作图痕迹；
(2)若D(6，2)，则P 点的坐标为 ，C 点坐标为 .
(3)若C 为直线1
3
y x 上的动点，则P 点横、纵坐标之间的关系为 .
21．（6分）如图，一次函数y 1＝k 1x +b （k 1、b 为常数，k 1≠0）的图象与反比例函数y 2＝2
k x
（k 2≠0）的图象交于点A （m ，1）与点B （﹣1，﹣4）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象说明，当x 为何值时，k 1x +b ﹣
2
k x
＜0； （3）若动点P 是第一象限内双曲线上的点（不与点A 重合），连接OP ，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，连接OC ，若△POC 的面积为3，求点P 的坐标．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
23y ax ax a =--（0a <）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y kx b =+与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD=4AC （1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k ，b 用含a 的式子表示）； （2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为
5
4
，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．
23．（8分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本．
24．（8分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，O 点在 BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D ，连接 BD 、CD ，过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P ．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）求证：△PBD ∽△DCA ．
25．（10分）如图，在矩形ABCD 的边AB 上取一点E ，连接CE 并延长和DA 的延长线交于点G ，过点E 作CG 的垂线与CD 的延长线交于点H ，与DG 交于点F ，连接GH ．
（1）当tan 2BEC ∠=且4BC =时，求CH 的长； （2）求证：DF FG HF EF ⋅=⋅； （3）连接DE ，求证：CDE CGH ∠=∠．
26．（10分）市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 甲 10 9 8 8 10 9 乙
10
10
8
10
7
9
（1）根据表格中的数据，分别计算出甲、乙两人的平均成绩； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】在Rt △ABC 中，由勾股定理可直接求得AB 的长；过C 作CM ⊥AB ，交AB 于点M ，由垂径定理可得M 为AE 的中点，在Rt △ACM 中，根据勾股定理得AM 的长，从而得到AE 的长． 【详解】解：在Rt △ABC 中， ∵AC=3，BC=4， ∴AB=2234+=1．
过C 作CM ⊥AB ，交AB 于点M ，如图所示，
由垂径定理可得M 为AE 的中点， ∵S △ABC =
12AC •BC=1
2
AB •CM ，且AC=3，BC=4，AB=1， ∴CM=
125
， 在Rt △ACM 中，根据勾股定理得：AC 2=AM 2+CM 2，即9=AM 2+（
125
）2
， 解得：AM=95， ∴AE=2AM=18
5
．
故选：C ． 【点睛】
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 2、D
【解析】分析：根据一元二次方程()2
00++=≠ax bx c a 根的判别式2
40,b ac ∆=-≥
进行计算即可.
详解：根据一元二次方程一元二次方程()2
1210k x x +-+=有两个实数根，()2
44410,b ac k ∆=-=-+≥
解得：0k ≤，
根据二次项系数10,k +≠ 可得： 1.k ≠- 故选D.
点睛：考查一元二次方程()2
00++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-，
当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根. 当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根. 当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根. 3、B
【解析】把点M 代入反比例函数k
y x
=
中，即可解得K 的值. 【详解】解：∵点()1,3M 在反比例函数k
y x
=的图像上， ∴31
k
=
，解得k=3. 【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式，正确代入求解是解题的关键. 4、C
【分析】现将x =5代入分式方程,再根据解分式方程的步骤解出a 即可． 【详解】∵x ＝5是分式方程
1a x -＝52x
的解， ∴
51a -＝525⨯， ∴4a ＝12
， 解得a ＝1． 故选：C ． 【点睛】
本题考查解分式方程,关键在于代入x 的值,熟记分式方程的解法． 5、A
【分析】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质．图案中间的阴影部分是正方形，面积是2a ，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为a 的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半 【详解】解：2
2
2114222
a a a +⨯⨯=． 故选A ． 6、D
【分析】设内切圆的半径为r ，根据公式：1
2
rC S 三角形三角形，列出方程即可求出该三角形内切圆的半径．
【详解】解：设内切圆的半径为r
1
126 2
r
解得：r=1 故选D．【点睛】
此题考查的是根据三角形的周长和面积，求内切圆的半径，掌握公式：1
2
rC S
三角形三角形
是解决此题的关键．
7、A
【解析】利用三角形的内角和定理及两组角分别相等证明①正确；根据两组边成比例夹角相等判断②正确；利用③的相似三角形证得∠AEC=∠DBC,又对顶角相等，证得③正确；根据△ACE∽△DCB证得F、E、B、C四点共圆，由此推出△DCF∽△DGC，列比例线段即可证得④正确.
【详解】①正确；在等腰△ACD和等腰△ECB中AC=AD,EC=EB,∠DAC=∠CEB,
∴∠ACD=∠ADC=∠BCE=∠BEC,
∴∠DCG=180︒-∠ACD-∠BCE=∠BEC,
∵∠DGC=∠BGE,
∴△DCG∽△BEG;
②正确；∵∠ACD+∠DCG=∠BCE+∠DCG,
∴∠ACE=∠DCB,
∵AC DC EC BC
=,
∴△ACE∽△DCB；
③正确；∵△ACE∽△DCB，∴∠AEC=∠DBC,
∵∠FGE=∠CGB,
∴△FGE∽△CGB,
∴GF·GB=GC·GE；
④正确；如图，连接CF,
由②可得△ACE∽△DCB，∴∠AEC=∠DBC,
∴F、E、B、C四点共圆，
∴∠CFB=∠CEB=90︒，
∵∠ACD=∠ECB=45︒，
∴∠DCE=90︒，
∴△DCF∽△DGC
∴DF DC DC DG
,
∴2
DC DF DG,
∵2
DC AD,
∴2AD2=DF·DG.
故选：A.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，③的证明可通过②的相似推出所需要的条件继而得到证明；
④是本题的难点，需要重新画图，并根据条件判定DF、DG所在的三角形相似，由此可判断连接CF，由此证明F、E、
B、C四点共圆，得到∠CFB=∠CEB=90 是解本题关键.
8、D
【分析】旋转后的几何体是圆柱体，先确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的表面积公式计算即可求解．
【详解】解：π×3×2×4＋π×32×2
＝24π＋18π
＝42π（cm2）；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键．
9、B
【分析】首先分析得到当点E旋转至y轴正方向上时DE最小，然后分别求得AD、OE′的长，最后求得DE′的长．【详解】如图，当点E旋转至y轴正方向上时DE最小．
∵△ABC 是等边三角形，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ．
∵AB=BC=2，∴AD=AB•sin ∠3．
∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，∴OE=OE′=2
∵点A 的坐标为（0，1），∴OA=1． ∴D E OA AD OE 43'=--'=-
故选B ．
10、C
【分析】根据()2
21y x =-+，可知该函数的顶点坐标为（2,1），对称轴为x=2，最小值为1，当x<2时，y 随x 的增大而减小，当x≥2时，y 随x 的增大而增大，进行判断选择即可.
【详解】由题意可知，该函数当x<2时，y 随x 的增大而减小，当x≥2时，y 随x 的增大而增大，故C 错误，所以答案选C.
【点睛】
本题考查的是一元二次函数顶点式的图像性质，能够根据顶点式得出其图像的特征是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、3
【解析】根据圆周角定理可求出∠AOB 的度数，设扇形半径为x ，从而列出关于x 的方程，求出答案.
【详解】由题意可知：∠AOB ＝2∠ACB ＝2×40°＝80°，
设扇形半径为x ，
故阴影部分的面积为πx 2×80360＝29×πx 2＝2π， 故解得：x 1＝3，x 2＝－3（不合题意，舍去），
故答案为3.
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理以及扇形的面积求解，解本题的要点在于根据题意列出关于x 的方程，从而得到答案.
12、455
【分析】在OA 上取'C 使'OC OC =，得'OPC OQC ≅，则CQ=C'P ，根据点到直线的距离垂线段最短可知当'PC ⊥AB 时，CP 最小，由相似求出C'P 的最小值即可.
【详解】解：如图，在OA 上取'C 使'OC OC =，
∵90AOC POQ ∠=∠=︒，
∴'POC QOC ∠=∠，
在△'POC 和△QOC 中，
''OP OQ POC QOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△'POC ≌△QOC （SAS ），
∴'PC QC =
∴当'PC 最小时，QC 最小，
过'C 点作''C P ⊥AB ，
∵直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，
∴A 坐标为：（0，8）；B 点（-4，0），
∵'4OC OC OB ===，
∴22228445AB OA OB =+=+=，''4AC OA OC =-=.
∵'''
OB C P sin BAO AB AC ∠==， ''4
45C P =， ∴4''55C P =
∴线段CQ
. 【点睛】 本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点及三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．
13、()1,0或73,22--⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E 和C 是对应顶点，
G 和A 是对应顶点；另一种是A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点.
【详解】∵正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点D 和点F 的坐标分别为()7,3，()1,1--
∴(1,0),(0,1),(4,3),(4,0),(7,0)E G A B C --
（1）当点E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点，位似中心就是EC 与AG 的交点.
设AG 所在的直线的解析式为y kx b =+
431k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得11k b =⎧⎨=-⎩
∴AG 所在的直线的解析式为1y x =-
当0y =时，1x =，所以EC 与AG 的交点为()1,0
（2）A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点.，则位似中心就是AE 与CG 的交点
设AE 所在的直线的解析式为y kx b =+
430k b k b +=⎧⎨-+=⎩ 解得3535k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴AE 所在的直线的解析式为3355
y x =+ 设CG 所在的直线的解析式为y kx b =+
701k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得171
k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴AG 所在的直线的解析式为117
y x =-
联立3355117y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得7232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴AE 与CG 的交点为73(,)22
-- 综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是()1,0或73,22-
-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 故答案为()1,0或73,22-
-⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】 本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键.
14、80π
【分析】首先根据勾股定理求得圆锥的底面半径，从而得到底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．
=8，
圆锥的底面周长是：2×8π=16π， 则12
×16π×10=80π． 故答案为：80π.
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
15、50°
【解析】由平行线的性质可求得∠C /CA 的度数，然后由旋转的性质得到AC=AC /，然后依据三角形的性质可知∠AC /C 的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC /的度数，从而得到∠BAB /的度数.
解：∵CC /
∥AB，
∴∠C /CA=∠CAB=65°，
∵由旋转的性质可知：AC=AC /,
∴∠ACC /=∠AC /C=65°.
∴∠CAC /=180°-65°-65°=50°.
∴∠BAB /=50°.
16、1．
【解析】去分母得：7x+5(x-1)=2m-1，
因为分式方程有增根，所以x-1=0，所以x=1，
把x=1代入7x+5(x-1)=2m-1，得：7=2m-1，
解得：m=1，
故答案为1.
17、-2
【分析】把x =1代入已知方程可得关于m 的方程，解方程即可求得答案.
【详解】解：∵1x =为一元二次方程210x mx ++=的一个根，
∴110m ++=，
解得：m =－2.
故答案为：－2.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义，属于应知应会题型，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题关键. 18、1
【解析】连接OA 、OB ，如图，根据圆周角定理得到∠AOB ＝2∠ACB ＝90°，则OA AB ＝1，再根据三角形中位线性质得到MN ＝12
AC ，然后利用AC 为直径时，AC 的值最大可确定MN 的最大值． 【详解】解：连接OA 、OB ，如图，
∴∠AOB ＝2∠ACB ＝2×45°＝90°，
∴△OAB 为等腰直角三角形，
∴OA ＝2AB ＝2
×＝1， ∵点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，
∴MN ＝12
AC ， 当AC 为直径时，AC 的值最大，
∴MN 的最大值为1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形中位线性质．
三、解答题(共66分)
19、（1）答案见解析；（2）13 【分析】（1）画出树状图即可；
（2）根据树状图可以直观的得到共有6种情况，选中A 的情况有2种，进而得到概率．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）所有的情况有6种，
A 型器材被选中情况有2种中，
概率是2163
=．
【点睛】
本题考查概率公式，即如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n
． 20、（1）见解析；（2）（4,4），（3,1）；（3）24y x =-.
【分析】（1）根据题意作线段CD 即可；
（2）根据题意画出图形即可解决问题；
（3）因为点C 的运动轨迹是直线13
y x =，所以点P 的运动轨迹也是直线，找到当C 坐标为（0,0）时，P'的坐标，利用待定系数法即可求出关系式.
【详解】（1）如图所示，线段CD 即为所求，
（2）如图所示，P点坐标为（4,4），C点坐标为（3,1），
故答案为：（4,4），（3,1）.
（3）如图所示，
∵点C的运动轨迹是直线
1
3
y x ，
∴点P的运动轨迹也是直线，
当C 点坐标为（3,1）时，P 点坐标为（4,4），
当C 点坐标为（0,0）时，P'的坐标为（3,2），
设直线PP'的解析式为y kx b =+，则有4432k b k b +=⎧⎨+=⎩
，解得24k b =⎧⎨=-⎩， ∴P 点横、纵坐标之间的关系为24y x =-，
故答案为：24y x =-．
【点睛】
本题考查网格作图和一次函数的解析式，熟练掌握旋转变换的特征是解题的关键.
21、（1）y 1＝x ﹣3；24y x =；（2）x ＜﹣1或0＜x ＜4；（3）点P 的坐标为45,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
或（1，4）或（2，2） 【分析】（1）把B 点坐标代入反比例函数解析式可求得k 2的值，把点A （m ，1）代入求得的反比例函数的解析式求得m ，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）直接由A 、B 的坐标根据图象可求得答案；
（3）设点P 的坐标为4(,)(0)m m m
>，则C （m ，m ﹣3），由△POC 的面积为3，得到△POC 的面积14|(3)|32m m m
=⨯--=，求得m 的值，即可求得P 点的坐标． 【详解】解：（1）将B （﹣1，﹣4）代入22k y x =
得：k 2＝4 ∴反比例函数的解析式为24y x
=， 将点A （m ，1）代入y 2得41m
=，解得m ＝4， ∴A （4，1）
将A （4，1）、B （﹣1，﹣4）代入一次函数y 1＝k 1x +b 得11
414k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ 解得k 1＝1，b ＝﹣3
∴一次函数的解析式为y 1＝x ﹣3；
（2）由图象可知：x ＜﹣1或0＜x ＜4时，k 1x +b ﹣
2k x ＜0； （3）如图：设点P 的坐标为4(,)(0)m m m
>，则C （m ，m ﹣3）
∴4|(3)|PC m m
=--，点O 到直线PC 的距离为m ∴△POC 的面积＝14|(3)|32m m m =
⨯--=， 解得：m ＝5或﹣2或1或2，
又∵m ＞0
∴m ＝5或1或2，
∴点P 的坐标为45,5⎛
⎫ ⎪⎝⎭
或（1，4）或（2，2）．
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
22、（1）A （－1，0），y ax a =+；（2）25a =-；（3）P 的坐标为（1，77
-）或（1，－4）． 【分析】（1）在223y ax ax a =--中，令y=0，得到11x =-，23x =，得到A （－1，0），B （3，0），由直线l 经过
点A ，得到b k =，故y kx k =+，令223ax ax a kx k --=+，即2(2)30ax a k x a k -+--=，由于CD ＝4AC ，故点D 的横坐标为4，即有314k a
--=-⨯，得到k a =，从而得出直线l 的函数表达式； （2）过点E 作EF ∥y 轴，交直线l 于点F ，设E （x ，223ax ax a --），则F （x ，ax a +），
EF ＝223()ax ax a ax a ---+=234ax ax a --，
S △ACE ＝S △AFE －S △CFE ＝
21(34)2ax ax a --＝21325()228
a x a --， 故△ACE 的面积的最大值为258
a -，而△ACE 的面积的最大值为54， 所以25584a -= ，解得25a =-； （3）令223ax ax a ax a --=+，即2340ax ax a --=，解得11x =-，24x =，得到D （4，5a ），因为抛物线的对
称轴为1x =，设P （1，m ），然后分两种情况讨论：①若AD 是矩形的一条边，②若AD 是矩形的一条对角线．
【详解】解：（1）∵223y ax ax a =--=(1)(3)a x x +-，令y=0，得到11x =-，23x =，
∴A （－1，0），B （3，0），
∵直线l 经过点A ，
∴0k b =-+，b k =，
∴y kx k =+，
令223ax ax a kx k --=+，即2(2)30ax a k x a k -+--=，
∵CD ＝4AC ，
∴点D 的横坐标为4， ∴314k a
--=-⨯， ∴k a =，
∴直线l 的函数表达式为y ax a =+；
（2）过点E 作EF ∥y 轴，交直线l 于点F ，设E （x ，223ax ax a --），则F （x ，ax a +），
EF ＝223()ax ax a ax a ---+=234ax ax a --， S △ACE ＝S △AFE －S △CFE ＝
2211(34)(1)(34)22
ax ax a x ax ax a x --+--- ＝21(34)2ax ax a --＝21325()228
a x a --， ∴△ACE 的面积的最大值为258
a -， ∵△ACE 的面积的最大值为54
， ∴25584a -= ，解得25a =-； （3）令223ax ax a ax a --=+，即2340ax ax a --=，解得11x =-，24x =，
∴D （4，5a ），
∵223y ax ax a =--，
∴抛物线的对称轴为1x =，设P （1，m ），
①若AD 是矩形的一条边，则Q （－4，21a ），m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P （1，26a ），
∵四边形ADPQ 为矩形，
∴∠ADP ＝90°，
∴222AD PD AP +=，
∴2222225(5)(14)(265)(11)(26)a a a a ++-+-=--+，即217a = ， ∵0a <， ∴77
a =-， ∴P 1（1，2677
-）；
②若AD 是矩形的一条对角线，则线段AD 的中点坐标为（
32
，52a ），Q （2，3a -），m ＝5(3)8a a a --=，则P （1，8a ），
∵四边形APDQ 为矩形，∴∠APD ＝90°，
∴222AP PD AD +=， ∴222222(11)(8)(14)(85)5(5)a a a a --++-+-=+，即214a =
， ∵0a <，∴12
a =-，∴P 2（1，－4）．
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，
267
7
）或（1，－4）．
考点：二次函数综合题．
23、（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
24、（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证；
（2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P=∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
【详解】证明：（1）∵圆心O在BC上，
∴BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°
， 连接OD ，
∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAC=2∠DAC ，
∵∠DOC=2∠DAC ，
∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD ⊥BC ，
∵PD ∥BC ，
∴OD ⊥PD ，
∵OD 为圆O 的半径，
∴PD 是圆O 的切线；
（2）∵PD ∥BC ，
∴∠P=∠ABC ，
∵∠ABC=∠ADC ，
∴∠P=∠ADC ，
∵∠PBD+∠ABD=180°
，∠ACD+∠ABD=180°， ∴∠PBD=∠ACD ，
∴△PBD ∽△DCA ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握判定性质是解题关键
25、（1）15=CH （2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据已知条件先求出CE 的长，再证明∠=∠BEC ECH ，在Rt △CHE 中解三角形可求得EH 的长，最后利用勾股定理求CH 的长；
（2）证明∽∆∆GFE HFD ，进而得出结果；
（3）由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，进而sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH
，再结合∠=∠ECD DCE ，可得出∽∆∆CDE CGH ，进一步得出结果.
【详解】（1）解：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，
∴90∠=︒=∠=∠BCD CEH B .
而90BEC BCE ∠+∠=︒，90∠+∠=︒BCE ECH ，
∴∠=∠BEC ECH ，
又∵4BC =，tan 2BEC ∠=，∴2BE =， 易得224223=-=CE . ∴tan 2∠=
=EH ECH CE ，∴43=EH . ∴()()22224323215CH EH CE =+=+=.
（2）证明：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，
∴∠=∠CEH HDG ，
而∠=∠GFE DFH ，
∴∽∆∆GFE HFD ，∴=DF FH EF FG
， ∴⋅=⋅DF FG EF FH ；
（3）证明：由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，
∴sin sin ∠=∠EGF FHD ，即
=CD CE CG CH
， 而∠=∠ECD DCE ，
∴∽∆∆CDE CGH ，
∴CDE CGH ∠=∠．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，关键是掌握基本的概念与性质.
26、（1）9,9（2）（3）甲
【详解】（1）＝（10＋9＋8＋8＋10＋9）÷
6＝9
＝（10＋10＋8＋10＋7＋9）÷6＝9
（2）
（3）∵，
∴推荐甲参加省比赛更合适
【点睛】
方差的基本知识是判断乘积等一些频率图形分布规律的常考点。