趣味数学1

趣味数学1
第一节：
一、小学数学学科的特点及小学学生的思维特点：
（1）小学数学学科的特点：高度的抽象性、严密的逻辑性、应用的广泛性
（2）小学生思维的基本特点是：从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象的逻辑思维为主要形式。

二、自然数的定义：自然数是一类等价的有限集合的标记。

注：（1）自然数表示有限集合中的元素的个数
（2）零是空集的标记，它表示集合中没有元素。

（3）1是组成自然数的基本单位。

三、基数与序数
四、＋，－，×，÷的来历：最早使用现代的“＋”和“－”的是15世纪后20年的德国人，在德累斯顿图书馆的手工卷中可见这两个符号；1631年，英国的奥特雷德在其著作《数学之匙》中第一次使用“×”表示两个数相乘；除法符号所使用的除号“÷”被称为雷恩记号。

五、完全数的概念及性质？
1、定义：如果一个数等于它的不包括自身的全部因数之和，这个数就叫做完全数。

2、性质：
（1）它们都是三角形数。

例如： 6=1+2+3
28=1+2+3+4+5+6+7
（2）每个都是调和数。

它们的全部因数的倒数之和都是2，因此每个完全数都是调和数。

例如： 1/1+1/2+1/3+1/6=2
1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2
（3）可以表示成连续奇立方数之和。

除6以外的完全数，还可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。

例如：28=1^3+3^3 （4）都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，而且它们的数量为连续质数。

例如：6=2^1+2^2
28=2^2+2^3+2^4
（5）完全数都是以6或8结尾。

如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。

（6）各位数字辗转式相加直到变成个位数则一定是1除6 以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。

例如：28：2+8=10，1+0=1
496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1 （7）除6以外的完全数，它们被3除余1、被9除余1、被27除余1。

28/3 商9，余1 ； 28/9 商3，余1； 28/27 商1，余1
六、课后复习题
（1）在下面的九个数字中间填上几个加号，使计算的结果得99.（相邻的数字可以组成两位数） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 99
1 +
2 -
3 +
4 +
5 -
6 +
7 + 89=99（答案不唯一）
（2）把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字填到方框内（每个数字只能用一次），使下面3个等式都成立。

（1）+（7） = （8）（9）－（6）= （3）（2）（0）÷（4）=（5）（3）根据自己的理解，解释为什么不能用0做除数。

答:由a÷0 = ?推出0？= a但是0？=0，所以？不存在。

0÷0 = ? 推出0*？= 0，所以？存在若干个，综上所述，所以0不能做除数。

（4）当水结成冰时体积增加1/11，当冰化成水时，体积要减少几分之几？
1－1÷（1 +1/11 ）=1/12
第二节：
一、魔术数、自生数的概念及应用数。

1、魔术数：将自然数N接在每个自然数的右面末尾（例如将3写在25的后面为253）得到的新数，若它能被N整除，那么称N为魔术数。

问：小于130的自然数中有多少个魔术数？9个
先考虑一位数的情况：
1是魔术数，因为1加在任何自然数的后面，当然能被1整除。

2是魔术数，因为2加在任何自然数的后面，当然能被2整除。

5是魔术数，因为5加在任何自然数的后面，当然能被5整除。

其实这个结果很明了。

将一位的魔术数a加在某个自然数n的后面，等于10n＋a，根据魔术数的定义，10n＋a能被a整除。

因为在10n＋a中，a能被a整除，所以10n也应能被a整除，又因为n任意的，可以与a互质，所以a必能整除10，即一位的魔术数必是10的约数。

同理，k位魔术数一定是10k的约数。

由此可知：两位魔术数有10,20,25,50三位魔术数有100,125,200,250,500. 这样，我们可知小于130的魔术数有9个。

2、自生数：如果一个n位自然数，它的各个数位上的数字的n次方之和等于这个自然数，我们称这个自然数为n位自生数。

153＝1＋2＋3＋4＋…＋16＋17 153＝1！＋2！＋3！＋4！＋5！
把153各个数位的数字的三次方相加，和仍然是153. 对于一位数，由于每个一位数的一次方都等于它本身，所以一位数都是自生数。

两位数中，一个自生数都没有。

对于三位数，153 370、371、407；四位自生数3个：1634、8208、947；五位数中，只有3个自生数：54748,92727,93084.六位数中，只有1个自生数：548834；七位数中，只有4个自生数：1741725,4210818,9800817,9926315. 自生数只有有限多个。

二、梅森质数的概念：形如2n－1（n为质数）的数称为梅森质数。

当梅森数是质数时就称为梅森质数，当梅森数是合数时就称为梅森合数。

第一个梅森质数3，第二个梅森质数7，第三个梅森质数31，第四个梅森质数127。

三、哥德巴赫猜想式子的表达：任何大于5的奇数都是三个质数之和
四、课后复习题作业
1.一辆摩托车和一辆卡车同时从甲乙两地相向而行，两车在途中距乙地20千米处第一次相遇，然后两车继续开行。

卡车到达甲地，摩托车到达乙地后都立即返回，两车又在途中距甲地15千米处第二次相遇，求甲乙之间的距离。

2.下面的算式中的不同汉字各代表0-9中的哪些数字?
好啊好
＋真是好
真是好啊
3.请你把87和91写成三个质数之和的形式，把38和48写成两个质数之和的形式。

4.验证两组数
（138729，514965，626844）
（226848，338727，714963）
是金蝉脱壳数组。

地三节
一、数的整除特征：
如果具有某个条件的数，能被自然数b整除，反过来，能被b整除的数，都具备这个条件，那么这个条件就叫做能被b整除的数的特征。

即一个数能被b整除的特征就是能被b整除的
充要条件。

（1）能被2或5整除的数的特征是：这个数的末一位数能被2或5整除。

（2）能被4或25整除的数的特征是：这个数的末两位数能被4或25整除。

（3）能被8或125整除的数的特征是：这个数的末三位数能被8或125整除。

（4）能被9或3整除的数的特征是：这个数的各数位上的数的和
能被9或3整除。

（5）能被7或11或13整除的数的特征是：这个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差（或反过来）能被7或11或13整除。

（6）能被11整除的数的特征是：这个数的奇数上的数与偶位上的数的和之差（或反过来）能被11整除。

二、课后复习题
1. 判断4376能不能被8整除。

2. 判断846能不能被9整除。

3. 判断1005928能不能被7、11、13整除。

4. 判断6174839能不能被11整除。

三、作业
1.从0,3,5,7四个数字选出三个，排成同时被2、3、5整除的三位数。

2.已知七位数92？？427是99的倍数，这个七位数是多少？
3.某个七位数1993能够同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除，这个七位数是多少？
4.一个数乘13后，乘积的最后三位数是123，那么这个整数中最小的是多少？
第四节
一、孪生质数的定义（找规定范围内的孪生质数）
定义：如果两个相邻的奇数都是质数，我们就称这两个质数是孪生质数。

100以内的孪生质数有8对：3,5；5,7；11,13；17,19；29,31；41,43；59,61；71,73.
注：（1）孪生质数的距离是相聚最近两个质数。

（2）.孪生质数分布也不均匀，随着数字的增大越来越稀少。

（3）孪生质数有多少对？是有限多对还是无限多对？它们有什么分布规律？至今尚未解决。

20世纪初，德国数学家兰道推测孪生质数有无数多对，可是一直证明不出来。

（4）除第一对孪生质数外，每对孪生质数的和都能被12整除。

（5）孪生质数公差为2
三个质数构成公差为2等差数列3,5,7.（唯一一组，为什么？）
三个质数构成公差为4等差数列3,7,11。

更多质数构成的等差数列：5,11,17,23,29。

…
二、质数的判别：
（1）查表法:古希腊数学家埃拉托塞尼的筛法（100以内的质数表）（2）试除法:判断自然数a是否是质数，可以用2,3,5，…，去试除的方法
三、孪生勾股数与孪生弦股数的概念
四、课后复习题巩固练习
（1）三个质数的和是92，这三个质数的积是多少？
（2）有一些同学分一箱子书，若平均每人若干本，还剩下14本；若每人9本，最后一人只能得6本。

共有多少个同学？多少本书？
（3）有一些四位数，它的四个数字相乘的积是质数。

你能写出这样的四位数吗？你写出的这些数中有哪些是质数？
（4）把199199分解质因数。

（5）求1343的最小的质因数。

第五节
一、整数应用的解题思路
有一些同学分一箱子书，若平均每人若干本，还剩下14本；若每人9本，最后一人只能得6本。

共有多少个同学？多少本书？
分析：若每人9本，最后一人只能得6本，如果加上3本，应该能够分的；而在第一次加上3本，应该能够分的，14+3=17,17是质数，只能分成1和17，所以只能是17个同学。

17×9-3=150
（一）整数应用题的一般步骤
1.理解题意
2.分析
3.列式计算
4.检验作答
（二）整数应用题的一般的解题思路
1.综合法
综合一般是指在思维过程中把对象的各个部分联合成一个整体。

采用综合法的解题思路，是从已知条件出发，根据数量关系，先选择两个已知数量，提出可以解答的问题；然后把所求出的数量作为新的已知条件，与其他的已知条件搭配，再提出可以解答的问题；这样逐步推导，直到求出应用题所要求的解为止。

2.分析法
分析一般是指在思维过程中把整体分解为几个组成部分。

采用分析法的解题思路，是从应用题的问题入手，根据数量关系，找出解决这个问题所需要的两个条件；然后把其中的一个（或两个）未知的条件作为要解的问题，再找出解答这一个（或两个）问题所需要的条件；这样逐步逆推直到所找的数量在应用题中都是已知的为止。

例1.自行车装配车间要装配690辆自行车，已经装了8天，每天装配45辆，由于改进了技术，剩下的任务6天就完成了，这6天平均每天装配多少辆？
实际问题中，在思考问题时，经常使用的是分析综合法。

即用分析法时，也要注意应用题的已知条件，要考虑哪些已知数量搭配在一起可以解决所求的问题，因此分析中也有综合，分析离开了综合就失去了依据；用综合法思考时，要随时考虑为了最终的问题需要哪些已知条件，因此综合中也有分析，综合离开了分析就失去了目标。

练习1.希望小学五年级有学生92人，在一次农业劳动中，男生的一半和8名女生去摘扁豆，又派12名女生去摘黄瓜，剩下的学生平整土地。

已知平整土地的男生和女生人数相等。

这个班男生和女生各多少人？
（三）整数应用题的特殊的解题思路
1.转化法（题目中给出两个相关联的量，用一个未知量去代替另一个未知量）
例1.东光供销社从城里买了4500千克化肥，用了一辆汽车和一辆大车装运，汽车装的重量是大车的3倍还多100千克，求两车各装运多少千克？
练2.用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。

小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量。

两种水泵每小时各抽水多少立方米？
2.假设法（题目中要求两个或两个以上的未知数量，可以先假设它们相等，按已知条件
推算得的与已知数量不符，最后进行调整，即可找到正确答案）
例3.三只船共运木板9400块，甲船比乙船多运300块，丙船比乙船少运200块，三船各运多少块？
练习3.买来4分邮票和8分邮票共100张，总值6元8角。

买来4分邮票和8分邮票各多少张？
3.比较法（比较已知条件，研究对应数量差的变化情况，找到解题路径）
例4.一个植树小组植树，如果每人栽5棵，还剩下14棵；如果每人栽7棵，就缺少4棵。

这个植树小组有多少人？一共有多少棵树？
练习4.买5个凳子和3把椅子共付出85元，买2个凳子和3把椅子共付出61元。

凳子和椅子的单价各是多少元？
4.还原法（有些应用题是说明一个未知数量，经过一系列的变化后的结果已给出，求这个未知数量。

）
例5.粮库内存有大米若干包，第一次运出库存的一半多20包，第二次运出剩下的一半多40包，第三次运出140包，粮库里还存50包。

求粮库里原有大米多少包？
5.文氏图法（可以用集合求交集的方法找到问题的答案）
例6.一个班有45个小学生，都借了课外书，统计借课外书的情况是：全班借语文课外书的共有39人，借数学课外书的共有32人。

语文数学两种课外书都借的有多少人?
从图中可以看出，A的基数与B的基数相加的和（71），等于C 的基数加E的基数加D的基数再加E的基数。

C、、D、E的基数和为45，因此可以求出E的基数是71-45=26。

(三)、总结
综合法、分析法是解决整数应用题的基本的解题思路，而转化法、
假设法、比较法、还原法、文氏图法等是解决整数应用题的特殊的解题思路，解答时要具体问题具体分析，即使同一道应用题，可能有多重解题思路。

三、课后复习题
1.某农场要播种小麦108公顷，原计划用两部播种机，每部每天播种6公顷。

实际播种时，又增加一部播种机，这样可以比原计划提前几天完成？
（写出分析法的解题思路）
2.东光发电厂运来一批煤，每天烧4500千克，可以烧28天；如果每天节约300千克，这些煤可以烧多少天？（用两种方法解答）
3.一艘轮船发生漏水事故，立即安装两部抽水机向外排水，当时已漏进水600桶，一部抽水机每分钟抽水20桶，另一部每分钟抽水16桶，50分钟把水抽完，每分钟漏进水多少桶？（用两种方法解答）
4.兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门口时，发现忘记带课本，立即沿着原路回家去取，在离校门口180米处和妹妹相遇。

他们家离校多远？
5.今有鸡兔同笼，共有35个头，94只脚。

问鸡与兔各有多少只？
6.有50名同学去划船，大船每条可以坐6人，租金10元；小船每条可以坐4人，租金8元.请你设计一个最佳的租船方案。

第六节
一、常见的亲和数、自守数、卡普列加数
1、假设有甲、乙两个自然数，如果甲数除去自身以外的所有约数之和等于乙数，而乙数除去自身以外的所有约数之和等于甲数，那么甲、乙两数就称为一对亲和数。

在10万以内共有13对亲和数：220,284 1184,1210 2620,2924 5020,5564 6232,6368 10744,10856
12285,14595 17296,18416 63020,76084 66928,66992 67095,71145 69615,87633 79750,88730
2、如果某个数的平方的末尾几位数等于这个数，那么就称这个数为自守数。

一位自守数5和6；两位自守数25和76；三位自守数625和376；四位自守数0625和9376；五位自守数90625和09376。

3、对n位自然数A，将A2切成两半，右边n位为一个数，左边其余各为另一个数，如果
这两个数之和恰好等于A，则称A和A2为一对卡普列加数，其中A为卡普列加底数，A2为卡
普列加平方数。

二、课后复习题
1. 有一个正方形花池，周围用边长25cm的方砖铺了一条宽1.5米的小路，共用1776块。

花池的面积是多少平方米？(??A)
A. 111?
B. 289
C. 400??
D. 10404
2. 某商品定价为进价的1.5倍，售价为定价的8折，每件商品获利24元，该商品定价为？( )
A. 180
B. 160
C. 144??
D. 120
3. 某省有线网络收入为45.38亿元，该省有线电视用户数为1885.88万户，该省有线电视
用户平均每月的有线网络费用约为多少元？( )
A. 20
B. 36
C. 180
D. 240
4. 甲乙两人计划从A地步行去B地，乙早上7：00出发，匀速步行前往，甲因事耽搁，9：
00才出发。

为了追上乙，甲决定跑步前进，跑步的速度是已步行速度的2.5倍，但每跑半小
时都需要休息半小时，那么甲什么时候才能追上乙？
A.10:20
B.12:00
C.14:30
D.16:10
5. 小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度比骑车慢50%。

如果他骑车从A城去B城，
再步行返回A城共需要2小时。

问小王跑步从A城去B城需要多少分钟？
A. 45
B. 48
C. 56
D. 60
6. 某旅游部门规划一条从甲景点到乙景点的旅游线路，经测试，旅游船从甲到乙顺水匀速
行驶需3小时；从乙返回甲逆水匀速行驶需4小时。

假设水流速度恒定，甲乙之间的距离为
y公里，旅游船在静水中运算匀速行驶y公里需要x小时，则x满足的方程为：
A.1/3-1/X=1/X-1/4
B.1/3-1/X=1/X+1/4
C.1/(X+3)=1/4-1/X
D.1/(4-X)=1/X+1/3
7.等差、等比数列问题
（1）1，2，8，（），1024
（2）2，4，12，48，（? ）
A．96 B．120 C．240 D．480
（3）1，1，2，6，（? ）
A．21 B．22 C．23 D．24??
（4）10，9，17，50，（）
（5）6，15，35，77，（? ）
A．106 B．117 C．136 D．163
（6）2，8，24，64，（? ）
A．160 B．512 C．124 D．164??
第七节
一、四色问题费马大定理
二、课后复习题
频率最高题型之集合问题
1. 利用集合原理公式法：适用于条件与问题都可直接代入公式的题目。

(1)两个集合：
︱A∪B︱=︱A︱+︱B︱-︱A∩B︱
(2)三个集合：
︱A∪B∪C︱=︱A︱+︱B︱+︱C︱-︱A∩B︱-︱B∩C︱-︱C∩A ︱+︱A∩B∩C︱
2. 文氏图示意法：用图形来表示集合关系，变抽象文字为形象图示。

（1）某服装厂生产出来的一批衬衫中大号和小号各占一半。

其中25%是白色，75%是蓝色的。

如果这批衬衫总共有100件，其中大号白色衬衫有10件，问小号蓝色衬衫有多少件?( )
A.15
B.25
C.35
D.40
（2）某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。

A. 22
B. 18
C. 28
D. 26
（3）某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都及格的有22人，那么两次考试都没有及格的人数是( )。

A. 10
B. 4
C. 6
D. 8
（4）对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有( )。

A.22人
B.28人
C.30人
D.36人
（5）外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有( )。

A.4人
B.5人
C.6人
D.7人
第八节
一、数学家的墓碑的趣闻
1.阿基米德的墓碑
古希腊数学家阿基米德（公元前287-前212年）是举世公认的最
伟大的数学家，它的贡献大大超越了他所处的时代，人们把他与牛顿、高斯评列为历史上的三个最伟大的数学家。

阿基米德证明了关于球的著名定理：
如果在圆柱内有一个直径与圆柱等高的内切球，则圆柱的表面积与体积分别等于球的表面积与体积的二分之三。

这个定理是阿基米德一生中最引以自豪的，并表示在他死后，把这个“球内切于圆柱”的图形刻在他的墓碑上。

2.丢番图的墓志铭
丢番图（246-330）是古希腊著名的数学家。

它的《算术》一书是一部有高度创造性的伟大著作，全书共13卷，现仅存6卷，被称为代数学的开山之作，因此他被称为“代数学的鼻祖”。

特别是在第二卷的命题8中写下的批语，难倒了几个世纪的数学家。

关于他的生平，后人一无所知，有意思的是他墓碑上有一段谜一般的碑文。

过路的人！?
这儿埋葬着丢番图。

?
请计算下列数目，?
便可知他一生经过了多少个寒暑。

?
他一生的六分之一是幸福的童年，?
十二分之一是无忧无虑的少年。

?
再过去七分之一的生命旅程，?
他建立了幸福的家庭。

?
五年后儿子出生，?
不料儿子竟先于父亲四年而终，?
晚年丧子老人真可怜，?
悲痛之中度过了风烛残年。

?
请你算一算，丢番图活到多少岁，?
0才和死神见面？
4.雅格布。

伯努利的墓碑
从17世纪中期到18世纪后期的100多年间，在瑞士产生过一个
数学家族，前后出现八个数学家，这就是伯努利家族。

雅格布。

伯努利是这个家族第一个数学家。

雅格布在数学上有着许多成就，但他最欣赏的是对数螺线的美妙性质。

1705年8月16日去世后，按照他的遗愿，他的家人在他的墓碑上刻上了他最心爱的对数螺线。

5.高斯的墓碑
高斯（1777-1855）是著名的德国数学家，是历史上最伟大的数学家之一。

他临终前留下遗言：“我死后什么东西都不想要，只希望在我的墓前做一个正十七边形”。

1855年2月23日高斯去世，人们在德国哥廷根大学的广场上，用白色大理石砌成一座纪念碑，纪念碑上是高斯的青铜雕像，底座就是一个正十七边形。

6.陈景润的墓碑
陈景润（1933-1996）是我国数学界的一个传奇人物，他不善言辞，不能胜任中学教师工作，可他在数学研究方面，特别是对哥德巴赫猜想的研究一直处于世界领先地位。

二、课后复习题频率最高题型之时钟问题
时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具,生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。

关于时钟的问题有：
（一）.求时间差：
（二）.求慢(快)表在几小时后显示什么时间：
其实这种类型题是较为简单的，关键把握一点，就是不准确的时钟与标准时间的比例关系，也就是常说的一小时慢(快)多少，然后再推广到几个小时后，而这种比例是不变的。

（三）.某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型：这类题型其本质就是追及问题。

我们知道在追击问题中，关键是要知道路程差，速度差。

而在时针与分针重合问题中，路程差就是时针分针之间有多少个小格，速度差就是一小时差55格(前面已经分析过)。

所以本着这两点，这类问题可以迎刃而解。

1.从上午五点十五分到下午两点四十五分之间，共有多少时间?
A.8小时
B.8小时30分
C.9小时30分
D.9小时50分
2.有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是( )
A.11点整
B.11点5分
C.1l点10分
D.11点15分
3.一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。

如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。

则此时
的标准时间是( )。

A.9点15分 B 9点30分 c.9点35分 D 9点45分解析：这是2个不准确的时钟问题，也是这种问题的一个延伸。

我们可以看到，在一个小时内，快钟与慢钟有4分钟的差距，而4分钟里面，1分钟时快走造成的，3分钟时慢走造成的。

所以当它们(快慢钟)的差距有60分钟时，那么一样，1/4的时间=15分钟时快走造成的，3/4的时间(45分钟)时慢走造成的。

所以标准时间为9点45分，答案为D。

4.中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点，时针与分针重合多少次?
一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。

1小时时间，分针走60个小格，时针只走了5个小格，所以每小时分针比时针多走55个小格。

解析：就此题而言，可以看作是跑道同向相遇问题：时针: v1=5格/小时分针：v2=60格/小时n*60=(v2-v1)*12 即：重合一次，多走60个格，假设重合了n次，所以多走了n*60;再有，一小时多走(60-5)个格，总共走了12小时，所以多走了(60-5)*12个格。

解出：n=11
5.从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合?
解析：6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间
隔为30个小格。

如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/55=6/11小时=360/11分钟。

6.一个指在九点钟的时钟，多少分钟后时针与分针第一次重合?
解析：9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。

如果要分针与时针重合，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/55小时=540/11分钟。

第九节
一、平年与闰年的判断方法：公元年数能被4整除的是闰年；但公元年数是整百的，必须能被400整除的才是闰年。

第十节
一、了解数学照妖镜的来历
在数学里面，也确实有一面照妖镜，那就是66666……67，这个数字是漫无止境的，前面你可以随便添加多少个6，不过最后一位数一定得是7。

假定有一个数字妖精隐藏了原形，它是一个多位数，但我们不知道它是谁。

为了便于说明，我们不妨假定它是一个四位数。

好了，我们把它记作。

现在，用来乘以6667，我们不用知道这个数和6667相乘的积，只需要知道它的四位尾巴就行了，
例如乘积的尾巴是5632，在得知此数后，只要把它乘以3，再截取后4位，即可以知道，原数必然是6896。

现在，魔术师来揭开谜底：
6896×6667= 4597（5632）
在原数尾巴之间，存在着良好的“一一对应”哩。

但你要记住一点：有几位，那666……7也用几位，然后按照上面的方法去做，保证让这个妖精现出原形来。

二、课后复习题
【例1】1526、4769、2154、5397、( C.1469 )
【解析】原数列每一项都为4位数，这种题型是不能通过做差等
多级数列操作的，可以将数列每一项都从十位和百位中间分开，这样原数列就变为(15、26)、(47、69)、(21、54)、(53、97)、( 、)，这是典型的多重数列特点，将数列两辆分组之后做差，得到次生数列11、22、33、44，所以选项分隔之后两位减去前两位应为55，选项只能选C。

【例2】582、554、526、498、470、(A.442)
【解析】这是三位数的数列，可以将数列中各项从十位分隔开，原数列可分隔为(58、02)、(55、04)、(52、06)、(49、08)、(46、10)，这个数列的奇数项和偶数项各成数列，为58、55、52、49、46、(43)和04、06、08、10、(12)，所以选项为430+12=442，答案为A。

【例3】4635、3728、3225、2621、2219、(D.1413 )
【解析】这是四位数的数列，可以将数列中各项从十位和百位中间分隔开，原数列可分隔为(46、35)、(37、28)、(32、25)、(26、21)、(22、19)，两两分组之后做差，形成新数列为11、9、7、5、3 ，所以选项分隔之后做差应该为1，答案为D。

【例4】12120、12060、12040、12030、(A.12024)
【解析】这是五位数的数列，可以将数列中各项从百位和千位中间分隔开，原数列可分隔为(12、120)、(12、060)、(12、040)、(12、030)、
( 、)，两两分组之后做商，形成新数列为0.1、0.2、0.3、0.4、(0.5) ，所以选项分隔之后做商应该为0.5，答案为A。

【例5】-64.01，32.03，-16.05，8.07，-4.09，( ) C. 2.11。

【解析】此数列为小数数列，小数点前为数列-64、32、-16、8、-4、(2)，是公比为-1/2的等比是列，小数点后为1、3、5、7、9、( 11)，所以答案为2.11，选C。

第十一节
一、掌握数字谜解题方法及规律
二、练习
1.讨价还价。

（商数）
2.你盼着我，我盼着你。

（相等）。