信号与系统 典型公式
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(八) 直流信号 (二)对称性
( t )e
j t
dt 1
F [1] 2 ( )
若f (t ) F ( )则F (t ) 2f ( )即F F (t ) 2 f ( )
(四)尺度变换特性
1 F [ f (at )] F( ) a a
若
t2
t1
f1 ( t ) f 2 ( t )dt 0 (p326式(6-53))
则称f1(t)与f2(t)在区间（t1,t2）上(相互)正交。 对复值函数f1(t)，f2(t)(p329)
f1 ( t ), f 2 ( t )正交 f1 ( t ) f *2 ( t )dt 0
更一般的三角函数形式傅里叶级数（FS）
f (t ) a 0 [a n cos( n 1 t ) b n sin( n 1 t )]
n 1
f (t) c0 cn cos( n1t n ) d 0 d n sin( n1t n )
n 1 n 1
f(t)的直流分量=其任意周期的直流分量
f(t)=fD(t)+fA(t)，
f(t)的功率=fD(t)的功率+fA(t)功率 三、偶分量与奇分量分解
f(t)=fe(t)+fo(t)
f(t)的功率=fe(t)功率+fo(t)功率 且
f (t ) f ( t ) f（t） e 2
f (t ) f ( t ) f（t） o 2
时域卷积定理 若
F[ f1 (t )] F1 ( )
F[ f2 (t )] F2 ()
则
F[ f1 (t )* f2 (t )] F1 () F2 ()
频域卷积定理
若
F[ f1 (t )] F1 ( )
F[ f2 (t )] F2 ()
则
1 F[ f1 (t ) f2 (t )] F1 ( )* F2 ( ) 2
(八)积分特性
若
F [ f ( t )] F ( )
t f ( )d F ( ) F (0) ( ) F j
t f ( )d F ( ) 当F (0) 0时，F j
则
(九) 卷积定理
1）特征根全为单根(实或复根)时，齐次解为
rh (t ) A1e
1t
A2e
2t
Ane
n t
Ai ei t
i 1
n
2）特征根有重根，假设α1是特征方程的k重根， 那么，在齐次解中相应于α1的部分将有k项
( A1 t k 1 A2 t k 2 Ak 1 t Ak )e1t
注： (t ) 0， (t )(t t 0 )(t 0 0) 0 0
f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
若f(t)也是冲激函数，则乘积无意义,如 (t ) (t ), (t t0 ) (t t0 ) 无意义
4 δ(t)的性质
-
f 2 ( t ) f1 ( t ) f 2 ( )f1 (t- )d
-
f1 (t ) [ f2 (t ) f3 (t )] [ f1 (t ) f2 (t )] f3 (t )]
t df1 (t ) t df2 (t ) f1 (t ) f2 (t ) * f2 ( )d f1 ( )d * dt dt
当特解与齐次解重复时，若a为k重根，则特解为Btkeat
3 h(t)与g(t)的关系p58 由LTI系统的微分性： ( t )
d d u( t ) h( t ) g( t ) dt dt
t t
由LTI系统的积分性： (t ) ( )d g(t ) h( )d u
t2 t1
一、三角函数形式的傅里叶级数（FS） 设f(t)为一周期信号，周期为T1,则
2 f (t) a0 [ancos( n1t ) bnsin( n1t )] 1 T1 n 1
1 t0 T1 a0 f(t)dt ——直流分量 T1 t0 2 t0 T1 an f(t)cos n1t dt t0 T1 n 1,2, 2 t0 T1 bn f(t)sin n1t dt t0 T1
欧拉公式:
e cos( t ) j sin( t ) j t e cos( t ) j sin( t )
e j t e j t sin( t ) 2j e j t e j t cos( t ) 2
sin( t ) Sa ( t ) t
0 u (t ) 1 t0 t0
1
j t
复指数→正弦
正弦→复指数
u(t)
O
t
， t 0 (t ) 0， t 0 （） t dt 1
(t )
(1)
o
t
df (t ) du(t ) d (t ) u(t ), (t ), (t ) dt dt dt
其中，e(t)——激励，r(t)——响应，n——系统阶次
四、无奇异激励的微分方程的时域解法(2.2)
1、齐次解 rh(t)的求法
齐次解形式由齐次方程的特征根确定。
d nr ( t ) d n1r (t ) dr (t ) 齐次方程 C0 n C1 n1 Cn1 Cnr ( t ) 0 dt dt dt 特征方程为 C0 n C1 n 1 Cn1 Cn 0
f (t ) (t ) f (t )
f (t ) (t t0 ) f (t t0 )
直流分量：
1 f D (t ) ba
b
a
f ( t )dt
(2) 交流分量：fA(t)=f(来自)-fD(t) (3)信号能量： E | f ( t ) |2 dt
b a
t
u( t )d f ( t ), ( t )d u( t ),
t
f
( 1)
t
( t )d ( t )
t
(t ) f( )d
3 δ(t)的运算：p75-76 (2)相乘 若f(t)是普通函数，在t=0(t=t0)处连续
f (t ) (t ) f (0) (t ),
2 2 c0 d0 a0 , cn d n an bn
bn an tan n - , tan n an bn
二、指数函数形式的傅里叶级数
f (t )
n
Fn e
jn 1 t
1 t0 T1 Fn f ( t )e jn1t dt , n , 2, 1,0,1, 2, T1 t0 F0 c0 d 0 a0 , 1 jn Fn | Fn | e (an jbn ) 2 1 n 1,2, jn F n | F n | e (an jbn ) 2 1 1 1 2 2 | Fn || F n | c n d n an bn 2 2 2
T1 / 2
1 a0 T1
2 奇函数f(t)=-f(-t)
f (t) a0 [ancos( n1t ) bnsin( n1t )]
n 1
1 T1 / 2 a0 -T1/2 f(t)dt 0 T1 2 T1 / 2 an -T1 / 2 f(t)cos n1 t dt 0 T1 2 T1 / 2 4 T1 / 2 bn -T1 / 2 f(t)sin n1 t dt T1 0 f(t)sin n1 t dt T1
F[cos0t ] [ ( 0 ) ( 0 )] F[sin0t ] j [ ( 0 ) ( 0 )]
二、一般周期信号的傅里叶变换
F ( ) 2
n
F
n
[ ( n1 )]
三、周期信号的Fn与其单脉冲傅里叶变换的关系
(五)时移特性
若 则
F f ( t ) F ( )
F f ( t t 0 ) F ( )e
j t0
带有尺度变换的时移特性
1 F f (at t0 ) F ( )e a a
j t0 a
(六)频移特性
若
则
F f ( t ) F ( )
1 LTI系统的零输入响应与冲激响应的关系
rzs (t)=e( t ) h( t )
2 串、并联系统的冲激响应 （p65）
1 并联系统
h( t )
h 1 (t )
r1 (t)
e(t )
r(t)
h 2 (t ) r (t) 2
h( t ) h1 ( t ) h 2 ( t )
从周期序列中截取一个周期，得到单脉冲信号
f0(t)
-T1 / 2
T1 / 2
1 1 Fn F0 ( ) F0 (n1 ) T1 T1 n
1
1 （2）冲激取样 Fs ( ) Ts
n
F[( n )]
s
对于一个LTI系统，其微分方程式一般形如
dn d n 1 d C0 n r(t) C1 n 1 r(t) Cn 1 r(t) Cnr(t) dt dt dt m m 1 d d d E0 m e(t) E1 m 1 e(t) Em 1 e(t) E me(t) dt dt dt
4 傅里叶变换对 FT: F ( ) F[f(t)] f(t)e-j t dt (一般为复值函数) IFT:
1 f (t ) F F ( ) 2
1
F( )e j t d
（其中f(t)也可以为复值函数）
(七) 冲激信号
F [ ( t )]
与几种典型自由项对应的特解形式 自由项 特解形式 E（常数） B
tp eat tpeatcos(wt) tpeatsin(wt) Bptp+…+B1t+B0
Beat
(Bptp+…+B1t+B0)eatcos(ωt) +(Dptp+…+D1t+D0)eatsin(ωt)
cos(wt) ，sin(wt) B1cos(ωt)+D1sin(ωt)
(1)抽样性：若f(t)是普通函数，在t=0(t=t0)处连续
(2)偶函数性： ( t ) ( t )
f (t ) (t )dt f (0), f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
f ( t ) f 1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( )f 2 (t - )d
F [ f ( t )e
j0 t
] F ( 0 )
(七) 微分特性
若 则
F [ f ( t )] F ( )
df (t ) F j F ( ) dt n d f (t ) n F ( j ) F ( ) n dt
时域微分
三、傅里叶系数与函数对称性的关系 1 偶函数f(t)=f(-t)
f (t) a0 [ancos( n1t ) bnsin( n1t )]
n 1
2 T1 / 2 -T1/2 f(t)dt T1 0 f(t)dt 2 T1 / 2 4 T1 / 2 an -T1 / 2 f(t)cos n1 t dt T1 0 f(t)cos n1 t dt T1 2 T1 / 2 bn -T1 / 2 f(t)sin n1 t dt 0 T1
( t )e
j t
dt 1
F [1] 2 ( )
若f (t ) F ( )则F (t ) 2f ( )即F F (t ) 2 f ( )
(四)尺度变换特性
1 F [ f (at )] F( ) a a
若
t2
t1
f1 ( t ) f 2 ( t )dt 0 (p326式(6-53))
则称f1(t)与f2(t)在区间（t1,t2）上(相互)正交。 对复值函数f1(t)，f2(t)(p329)
f1 ( t ), f 2 ( t )正交 f1 ( t ) f *2 ( t )dt 0
更一般的三角函数形式傅里叶级数（FS）
f (t ) a 0 [a n cos( n 1 t ) b n sin( n 1 t )]
n 1
f (t) c0 cn cos( n1t n ) d 0 d n sin( n1t n )
n 1 n 1
f(t)的直流分量=其任意周期的直流分量
f(t)=fD(t)+fA(t)，
f(t)的功率=fD(t)的功率+fA(t)功率 三、偶分量与奇分量分解
f(t)=fe(t)+fo(t)
f(t)的功率=fe(t)功率+fo(t)功率 且
f (t ) f ( t ) f（t） e 2
f (t ) f ( t ) f（t） o 2
时域卷积定理 若
F[ f1 (t )] F1 ( )
F[ f2 (t )] F2 ()
则
F[ f1 (t )* f2 (t )] F1 () F2 ()
频域卷积定理
若
F[ f1 (t )] F1 ( )
F[ f2 (t )] F2 ()
则
1 F[ f1 (t ) f2 (t )] F1 ( )* F2 ( ) 2
(八)积分特性
若
F [ f ( t )] F ( )
t f ( )d F ( ) F (0) ( ) F j
t f ( )d F ( ) 当F (0) 0时，F j
则
(九) 卷积定理
1）特征根全为单根(实或复根)时，齐次解为
rh (t ) A1e
1t
A2e
2t
Ane
n t
Ai ei t
i 1
n
2）特征根有重根，假设α1是特征方程的k重根， 那么，在齐次解中相应于α1的部分将有k项
( A1 t k 1 A2 t k 2 Ak 1 t Ak )e1t
注： (t ) 0， (t )(t t 0 )(t 0 0) 0 0
f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
若f(t)也是冲激函数，则乘积无意义,如 (t ) (t ), (t t0 ) (t t0 ) 无意义
4 δ(t)的性质
-
f 2 ( t ) f1 ( t ) f 2 ( )f1 (t- )d
-
f1 (t ) [ f2 (t ) f3 (t )] [ f1 (t ) f2 (t )] f3 (t )]
t df1 (t ) t df2 (t ) f1 (t ) f2 (t ) * f2 ( )d f1 ( )d * dt dt
当特解与齐次解重复时，若a为k重根，则特解为Btkeat
3 h(t)与g(t)的关系p58 由LTI系统的微分性： ( t )
d d u( t ) h( t ) g( t ) dt dt
t t
由LTI系统的积分性： (t ) ( )d g(t ) h( )d u
t2 t1
一、三角函数形式的傅里叶级数（FS） 设f(t)为一周期信号，周期为T1,则
2 f (t) a0 [ancos( n1t ) bnsin( n1t )] 1 T1 n 1
1 t0 T1 a0 f(t)dt ——直流分量 T1 t0 2 t0 T1 an f(t)cos n1t dt t0 T1 n 1,2, 2 t0 T1 bn f(t)sin n1t dt t0 T1
欧拉公式:
e cos( t ) j sin( t ) j t e cos( t ) j sin( t )
e j t e j t sin( t ) 2j e j t e j t cos( t ) 2
sin( t ) Sa ( t ) t
0 u (t ) 1 t0 t0
1
j t
复指数→正弦
正弦→复指数
u(t)
O
t
， t 0 (t ) 0， t 0 （） t dt 1
(t )
(1)
o
t
df (t ) du(t ) d (t ) u(t ), (t ), (t ) dt dt dt
其中，e(t)——激励，r(t)——响应，n——系统阶次
四、无奇异激励的微分方程的时域解法(2.2)
1、齐次解 rh(t)的求法
齐次解形式由齐次方程的特征根确定。
d nr ( t ) d n1r (t ) dr (t ) 齐次方程 C0 n C1 n1 Cn1 Cnr ( t ) 0 dt dt dt 特征方程为 C0 n C1 n 1 Cn1 Cn 0
f (t ) (t ) f (t )
f (t ) (t t0 ) f (t t0 )
直流分量：
1 f D (t ) ba
b
a
f ( t )dt
(2) 交流分量：fA(t)=f(来自)-fD(t) (3)信号能量： E | f ( t ) |2 dt
b a
t
u( t )d f ( t ), ( t )d u( t ),
t
f
( 1)
t
( t )d ( t )
t
(t ) f( )d
3 δ(t)的运算：p75-76 (2)相乘 若f(t)是普通函数，在t=0(t=t0)处连续
f (t ) (t ) f (0) (t ),
2 2 c0 d0 a0 , cn d n an bn
bn an tan n - , tan n an bn
二、指数函数形式的傅里叶级数
f (t )
n
Fn e
jn 1 t
1 t0 T1 Fn f ( t )e jn1t dt , n , 2, 1,0,1, 2, T1 t0 F0 c0 d 0 a0 , 1 jn Fn | Fn | e (an jbn ) 2 1 n 1,2, jn F n | F n | e (an jbn ) 2 1 1 1 2 2 | Fn || F n | c n d n an bn 2 2 2
T1 / 2
1 a0 T1
2 奇函数f(t)=-f(-t)
f (t) a0 [ancos( n1t ) bnsin( n1t )]
n 1
1 T1 / 2 a0 -T1/2 f(t)dt 0 T1 2 T1 / 2 an -T1 / 2 f(t)cos n1 t dt 0 T1 2 T1 / 2 4 T1 / 2 bn -T1 / 2 f(t)sin n1 t dt T1 0 f(t)sin n1 t dt T1
F[cos0t ] [ ( 0 ) ( 0 )] F[sin0t ] j [ ( 0 ) ( 0 )]
二、一般周期信号的傅里叶变换
F ( ) 2
n
F
n
[ ( n1 )]
三、周期信号的Fn与其单脉冲傅里叶变换的关系
(五)时移特性
若 则
F f ( t ) F ( )
F f ( t t 0 ) F ( )e
j t0
带有尺度变换的时移特性
1 F f (at t0 ) F ( )e a a
j t0 a
(六)频移特性
若
则
F f ( t ) F ( )
1 LTI系统的零输入响应与冲激响应的关系
rzs (t)=e( t ) h( t )
2 串、并联系统的冲激响应 （p65）
1 并联系统
h( t )
h 1 (t )
r1 (t)
e(t )
r(t)
h 2 (t ) r (t) 2
h( t ) h1 ( t ) h 2 ( t )
从周期序列中截取一个周期，得到单脉冲信号
f0(t)
-T1 / 2
T1 / 2
1 1 Fn F0 ( ) F0 (n1 ) T1 T1 n
1
1 （2）冲激取样 Fs ( ) Ts
n
F[( n )]
s
对于一个LTI系统，其微分方程式一般形如
dn d n 1 d C0 n r(t) C1 n 1 r(t) Cn 1 r(t) Cnr(t) dt dt dt m m 1 d d d E0 m e(t) E1 m 1 e(t) Em 1 e(t) E me(t) dt dt dt
4 傅里叶变换对 FT: F ( ) F[f(t)] f(t)e-j t dt (一般为复值函数) IFT:
1 f (t ) F F ( ) 2
1
F( )e j t d
（其中f(t)也可以为复值函数）
(七) 冲激信号
F [ ( t )]
与几种典型自由项对应的特解形式 自由项 特解形式 E（常数） B
tp eat tpeatcos(wt) tpeatsin(wt) Bptp+…+B1t+B0
Beat
(Bptp+…+B1t+B0)eatcos(ωt) +(Dptp+…+D1t+D0)eatsin(ωt)
cos(wt) ，sin(wt) B1cos(ωt)+D1sin(ωt)
(1)抽样性：若f(t)是普通函数，在t=0(t=t0)处连续
(2)偶函数性： ( t ) ( t )
f (t ) (t )dt f (0), f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
f ( t ) f 1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( )f 2 (t - )d
F [ f ( t )e
j0 t
] F ( 0 )
(七) 微分特性
若 则
F [ f ( t )] F ( )
df (t ) F j F ( ) dt n d f (t ) n F ( j ) F ( ) n dt
时域微分
三、傅里叶系数与函数对称性的关系 1 偶函数f(t)=f(-t)
f (t) a0 [ancos( n1t ) bnsin( n1t )]
n 1
2 T1 / 2 -T1/2 f(t)dt T1 0 f(t)dt 2 T1 / 2 4 T1 / 2 an -T1 / 2 f(t)cos n1 t dt T1 0 f(t)cos n1 t dt T1 2 T1 / 2 bn -T1 / 2 f(t)sin n1 t dt 0 T1