2021届云南、广西、贵州、四川四省名校高三上学期第二次大联考数学试题解析

绝密★启用前
2021届云南、广西、贵州、四川四省名校高三上
学期第二次大联考数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．集合{}
02020M x R x =∈<≤，{}
2,N x x k k Z ==∈，则M N ⋂所含元素个数为（） A ．2020 B ．2021
C ．3
D ．1010
答案：D
根据集合交集定义运算即可.
解：由于02020x <≤中有1010个偶数，{}
2,N x x k k Z ==∈为偶数集， 所以M N ⋂所含元素个数为1010 故选：D
2．复数z 满足()()25z i i ++=（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（） A ．2- B ．2i -
C ．2
D ．2i
答案：A
利用复数的除法运算化简z a bi =+的形式，由此求得z 的虚部. 解：
()()25z i i ++=
2255(2)
222,22i z i i i i i i i
-∴=
-=-=--=-+-，故z 的虚部为2-， 故选：A.
3．在平行四边形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，且2AE EC =，则EB （）
A ．
132
3
AB AD - B ．1233AB AD -
+ C ．21
33
AB AD + D ．
21
33
AB AD - 答案：A
根据三角形法则和平行四边形法则即可求解． 解：2212
()3333
EB AB AE AB AC AB AB AD AB AD =-=-=-+=-. 故选：A.
4．德国汉堡大学的学生提出一个猜想：对于每个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1；如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1，如图是验证此猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为5，则输出的n 的值是（）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
答案：B
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算m 的值并输出相应变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 解：模拟程序的运行，可得
1n =，5m =， 2n =
不满足条件1m =，不满足m 是偶数，35116m =⨯+=，3n = 不满足条件1m =，满足m 是偶数，1628m =÷=，4n = 不满足条件1m =，满足m 是偶数，824m =÷=，5n = 不满足条件1m =，满足m 是偶数，422m =÷=，6n = 不满足条件1m =，满足m 是偶数，221m =÷=，7n =
此时，满足条件1m =，退出循环，输出n 的值为7． 故选：B
5．如图是古希腊著名的天才几何学家希波克拉底（公元前470年~公元前410年）用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB 为直径构造半圆O ，C 为弧AB 的中点，
D 为线段AC 的中点，再以AC 为直径构造半圆D ，则由曲线AEC 和曲线AFC 所围
成的图形为月牙形，在图形ABCE 内任取一点，则该点在月牙形内的概率为（）
A ．
1
12+π
B ．
23+π
C ．
22+π
D ．
11+π
答案：D
用半圆D 的面积减曲线AFC 与弦AC 围城的弓形面积即可求出月牙形的面积，利用几何概型求解即可.
解：记月牙形的面积为1S ，曲线AFC 与弦AC 围城的弓形面积为2S ， 设2OA =，则22AC =则22111
1
(2)222222242
AOC AOC
S S S S πππ⎛⎫
=
-=⨯-⨯-==⨯⨯= ⎪⎝⎭
12. 所以图形ABCE 的面积为211
2222
S S ππ=⨯+=+, 所以121221S P S ππ
===++ 故选：D
关键点点睛：利用圆中弓形的面积求法，可求出月牙图形的面积，利用几何概型中的面积比即可求解，属于中档题.
6．“5k >”是“曲线C ：22
137+=--x y k k
（k ∈R ）是焦点在x 轴上的椭圆”的（）
A ．充要条件
B ．既不充分也不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．充分不必要条件
答案：C
根据方程表示焦点在x 轴上的椭圆求出k 的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的
定义进行判定即可．
解：因为22
137+=--x y k k
（k ∈R ）是焦点在x 轴上的椭圆，
所以373070k k k k ->-⎧⎪
->⎨⎪->⎩
,解得：57k <<，
由57k <<可得5k >成立，反之5k >不能推出57k <<成立.
所以5k >”是“曲线C ：22
137+=--x y k k
（k ∈R ）是焦点在x 轴上的椭圆”的必要
不充分条件． 故选：C ．
7．已知实数x ，y 满足40220250x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则ln ln y x -的取值范围为（）
A ．[]0,1
B ．40,ln 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．3ln ,ln 34⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．[]0,ln3
答案：D
由约束条件作出可行域，求出可行域内动点与原点连线的斜率的范围，即可求得lny lnx -的取值范围．
解：解：由约束条件40
220250x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
作出可行域如图，
联立22040
x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得(2,2)A ，
联立250
40
x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩，解得()1,3B ．
令y
z lny lnx ln
x =-=，而y x
的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率， 1OA k =，3OB k =，
∴y
z ln x
=的范围为[0，3]ln ．
故选：D ．
(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． 8．已知函数()sin 2020cos 202036⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
ππx f x x 的最大值为M ，函数()f x 分别在x m =和x n =处取得最值（m n ≠），则-M m n 的最小值为（）
A ．
2020π
B ．
1010
π C ．
505
π D ．
31010
π
答案：B
将函数解析式整理，得到()2sin 20203πf x x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，求出M 和最小正周期，根据三
角函数的性质，求出min m n -，进而可得出结果. 解
：
因
为
()sin 2020cos 202036⎛⎫⎛
⎫=++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭ππx f x x sin 2020sin 20202sin 20203263ππππx x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
所以()max 2M f x ==，且函数()f x 的最小正周期为220201010
T ππ
==， 又函数()f x 分别在x m =和x n =处取得最值（m n ≠），
所以min 22020
T π
m n -=
=， 因此-M m n 的最小值为220201010
ππ
⨯=. 故选：B. 关键点点睛：
求解本题的关键在于利用正弦型函数的性质，确定min 2
T
m n -=（其中T 为函数的最小正周期），即可求解.
9．已知抛物线C ：2
2y px =（0p >）的焦点为F ，过点F 且斜率为2的直线为l ，
()4,0M -，若抛物线C 上存在一点N ，使M 、N 关于直线l 对称，则抛物线C 的方
程为（） A ．2
2y x = B ．2
4y x =
C ．2
6y x =
D ．2
8y x =
答案：B
由抛物线的方程可得焦点的坐标，设N 的坐标，由M 、N 关于直线l 对称，可得N 的坐标与p 的关系，再由||||MF NF =可得p 的值，进而可得抛物线的方程. 解：,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，:222p l y x x p ⎛
⎫=-=- ⎪⎝⎭，
设()00,N x y ，则2002y px =，即2
00,2y N y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
因为,M N 关于直线l 对称，(4,0)M -，所以,M N 中点在l 上，
20
042222
y y p p
-=⨯-，1l MN k k ⋅=-，02
01242y y p --=--
从而01625
p
y --=
00||4||,422
p p
MF NF x x =
+==+= 从而2
1628,5p p --⎛⎫= ⎪⎝⎭
解得132p =（舍），22p = 故选：B
10．在三棱锥A BCD -中，5AB CD ==
，2AD BC ==，1AC =，且二面角
B A
C
D --等于
3
π
，则三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（） A ．
3π B ．
4
π C ．
2
π D ．π
答案：A
依题意可得AC BC ⊥，AC AD ⊥，分别过点A 、B 作AE BC ∥、BE AC 交于
点E ，可知3
DAH π
∠=
，进而求得D ABC V -，设内切球半径为r ，根据的等体积法求得
r ，进而得解.
解：依题意得：
222AC BC AB +=，222AC AD CD +=，
则AC BC ⊥，AC AD ⊥，
分别过点A 、B 作AE BC ∥、
BE AC 交于点E ，则AC AE ⊥，作DH AE ⊥交AE
于点H ，则DH ⊥平面ACBE
DAH ∴∠即为二面角B AC D --所成平面角，则3
DAH π
∠=
1
12
AH AD ∴=
=，3DH =1
113
1233
32D ABC ABC
V S
DH -∴=⋅=⨯⨯⨯= 连接HB
,,BE AC BC AE AC AE ⊥ ∴四边形ACBE 是矩形
90AEB ∴∠=︒
在Rt HEB 中，1,1HE EB AC ===
HB ∴=
DH ⊥平面ACBE
90DHB ∴∠=︒
在Rt HDB 中，DH =HB
BD ∴=
过点D 作DF BC ⊥交BC 于点F ，
2DF ∴=
设内切球的半径为r ，则
()1
3
D ABC ABC
ACD
ABD
BCD
V r S
S
S
S
-=+++
即()3ABC
ACD
ABD
BCD
r S
S
S
S
+++=
1111
121222222222r ⎛⎫
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭
r ∴=
243
S r π
π∴==
故选：A
本题涉及空间中线面间的位置关系及球的表面积求法，关键在于等体积法的运用. 11．已知0.75a =，52log 2=b ，21
log 32
=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（） A ．a c b << B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．c b a <<
答案：A
根据对数的运算法则及性质比较,b c 与a 的大小，利用作商法比较,b c 的大小. 解：由30.754
a ==
, 因为3
444(5)1254256=<=，故3
454<，
所以34
55
log 5log 4a b =<=，
因为3
444(2)89=<=
，故3
42<
所以3
4
22
log 2log a c =<=
因为58165>，故8
5165>， 因为5832<，故8
532<，
所以85
55558
225
222log 24log 2log 16log 5
11log 3log 3log 3log 22
b c ===>=， 所以b c >， 故a c b <<， 故选：A
关键点点睛：根据对数的运算性质将a 写成对数3
45log 5，3
42log 2，利用函数的单调性
比较真数大小即可，利用作商及放缩的方法可得,b c 的大小，属于较难题目. 12．已知()f x 是R 上可导的图象不间断的偶函数，导函数为()f x '，且当0x >时，满足()()20'+>f x xf x ，则不等式()()121x
e
f x f x -->-的解集为（）
A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
C ．(),0-∞
D ．()0,∞+
答案：B
构造函数2
()()x g x e f x =，根据()()20'+>f x xf x ，结合题意可知函数()g x 是偶函
数，且在()0,∞+上是增函数，由此根据结论，构造出x 的不等式即可． 解：由题意：不等式()()121x
e
f x f x -->-可化为：21(1)()x f x f x e -->，
两边同乘以2
(1)x e -得：2
2
(1)(1)()x x e f x e f x -->， 令2
()()x h x e f x =，易知该函数为偶函数， 因为[]2()()2()x
h x e f x xf x ''=+，()()20'+>f x xf x ，所以()0,(0)h x x '>>
所以()h x 在()0,∞+上是单调增函数，又因为()h x 为偶函数， 故2
2
(1)x x ->，解得：12
x <． 故选：B ．
关键点睛：本题的解题关键是构造新函数，然后运用函数单调性求解不等式，通常情况构造新函数的形式如：()
()x f x F x e
=， ()()F x xf x =或者()
()f x F x x
=
等，需要结合条件或者问题出发进行构造，本题构造函数2
()()x h x e f x =是解答本题的关键. 二、填空题 13．已
知1
1(1a dx -=
+⎰，则4
12a x x π⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦的展开式中的常数项为______________. 答案：24.
根据定积分运算求出a 的值，再利用二项式定理求展开式中的常数项. 解：由定积分的运算性质和定积分的几何意义得：
(
1
11
1
1
1
1=1=2=22
a dx dx π
----=+++
⎰⎰⎰
⎰
，
44
π11=22a x x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的通项公式为： 444214
41C (2)
(1)2C r
r
r
r r r r r T x x x ---+⎛⎫=⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭
，令420r -=，解得2r ，
得常数项为()2
422
21412C =24T -+=-⋅.
故答案为：24.
本题主要考查定积分与微积分基本定理和二项式定理，属于中等题.
14．已知数列{}n a 的首项为12a =，前n 项和为n S ，且12n n a S +=+，n *∈N ，则数列{}n a 的前n 项和n S =______. 答案：122n +- 化简已知得
12
22
n n S S ++=+，得到数列{2}n S +是一个以1+2=4S 为首项，以2为公比的
等比数列，即得解. 解：由题得12n n a S +=+，
所以1112,22,22(2)n n n n n n n S S S S S S S +++-=+∴=+∴+=+，
所以
12
22
n n S S ++=+，
所以数列{2}n S +是一个以1+2=4S 为首项，以2为公比的等比数列，
所以111
2422,22n n n n n S S -+++=⨯=∴=-.
故答案为：122n +-
方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）猜想法；（2）公式法；（3）构造法；（4）累加法；（5）累乘法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 15．已知函数()1
cos cos 2
=-+f x x x 有以下四个结论，其中正确的有______.（填写所有你认为正确的序号） ①()f x 的周期为π；
②()f x 的图象关于直线x π=对称； ③()f x 的最大值为
32
； ④()f x 在[]
,2ππ-上与直线1y =有三个交点. 答案：②③④
①计算(0),()f f π,发现(0)()f f π≠，推出()f x 的周期不为π，故①错误； ②先写出(),()f x f x ππ-+，发现()()f x f x ππ-=+，所以对称轴为x π=,故②正确；
③令cos t x =，则112,1122,11
2,12
2t t y t t t ⎧-<≤⎪⎪=-+=⎨
⎪-≤≤⎪⎩进而可得()f x 的最大值为32,故③正确；
④先写出分段函数()f x 的解析式，作出图象，再观察1y =与()f x 有3个交点,故④正确.
解：①1311
(0)|cos0|cos0,()|cos |cos ,2222
f f πππ=-
+==-+= (0)()f f π≠，所以()f x 的周期不为π，故①错误；
②111
()cos()cos()cos cos cos cos ,222
f x x x x x x x πππ-=--
+-=---=+- ()()111
()cos cos cos cos cos cos ,222
f x x x x x x x πππ+=+-
++=---=+-，
所以()()f x f x ππ-=+，所以对称轴为x π=故②正确；
③令cos t x =，则112,1122
,112,12
2t
t y t t t ⎧-<≤⎪⎪=-+=⎨
⎪-≤≤⎪⎩ 所以()max 13
222f t =-
=， 所以()f x 的最大值为3
2
，故③正确；
④()1π2cos ,2,2,2441cos cos 217,2,2,244x x k k k Z f x x x x k k k Z
πππππππ⎧⎡⎫-∈-++∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭
=-+=⎨⎡⎤⎪∈++∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩
作出()f x 的图象，
当0x =时，13()(0)222
f x f ==-
=， 所以1y =与()f x 在[]
,2ππ-有3个交点.故④正确. 故答案为：②③④.
关键点睛：正确运用余弦函数的性质解决余弦型函数相关性质是解答本题的关键. 16．定义域为()(),00,-∞⋃+∞的函数()f x 满足()()f x f x =-，当0x >时，
()x e f x x
=，若()()2
240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范
围是______.
答案：2
(4,)24
e e -
根据()()f x f x =-，可知()f x 是偶函数，作出()f x 的图象，设()f x t =，转化为二次函数问题，然后可求解m 的范围．
解：由题意()()f x f x =-，可知()f x 是偶函数，
当0x >时，()x
e f
x x
=，
则2
(1)
()x e x f x x
-'=， 当1x >时，则()0f x '>，当01x <<时，则()0f x '<， 当1x =时，()min f x e =， 作出()f x 的图象，
设()f x t =，
因为2
()2()40f x mf x m -+=有8个不同的实数解，
所以由图可得关于t 的方程2240t mt m -+=有2个不同的实数解，且都大于e
所以有224160240m m m e e me m ⎧∆=->⎪
>⎨⎪-+>⎩
解得2
24
e e m e <<-，
即m 的范围是2(4,)24
e
e -．
故答案为：2
(4,)24
e e -．
关键点睛：解答本题的关键是准确地画出函数的图象，将原问题转化为一元二次方程根
的分布问题. 三、解答题 17．在
ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
()()()()sin sin sin -+=-+b c A B b a A B .
（1）求角A 的大小； （2）若BC 边上的中线6AD =，求b c +的最大值.
答案：（1）3
A π
=
；（2）42
（1）由题意利用正弦定理、余弦定理求得cos A 的值，可得角A 的大小．
（2）延长AD 到E ，使26ED AD ==，连接EB ，EC ，可得出CDE BDA ≅，在三角形ACE 中，利用余弦定理列出关系式，并利用基本不等式变形求出bc 的最大值，利用完全平方公式化简2
2
2
()2b c b c bc +=++，确定出b c +的范围，即可求出最大值． 解：解：（1）在ABC 中，()sin()()(sin sin )b c A B b a A B -+=-+， 即：()sin ()(sin sin )b c C b a A B -=-+， 再利用正弦定理可得()()()c b c b a a b -=-+， 整理可得222b c a bc +-=，
故2221cos 222
b c a bc A bc bc +-===，
因为(0,)A π∈，可得3
A π
=
．
（2）延长AD 到E ，使26ED AD ==，连接EB ，EC ，可得出CDE BDA ≅， 在三角形ACE 中，23
ACE π
∠=
，226AE AD ==，EC AB c ==，=CA b ， 由余弦定理，得2222cos AE AC AB AC AB ACE =+-⋅∠ 22AC AB AC AB =++⋅
2223b c bc bc bc bc =+++=，即2324bc AE =，
2222()224832b c b c bc AE bc ∴+=++=++=，
∴解得42b c +，则b c +的最大值为42．当且仅当22b c ==时等号成立．
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角
化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
18．某学校高三理科实验班共计40名学生，在备考复习教学中进行了8次规范性的考试，将每个学生8次考试的数学平均分、物理平均分制成茎叶图如下.数学满分150分，达到或超过120分认为是良好的；物理满分120分，成绩达到或超过96分认为是良好的.已知数学良好的学生中，恰好有4人物理不良好.
（1）求数学成绩的众数、中位数；
（2）请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.5%的把握认为学生物理良好与数学良好有关？ 数学良好 数学不良好 合计 物理良好
物理不良好 合计
（3）在物理不良好的学生中按照数学是否良好分层抽取5位同学，再从这5位同学中抽取两位进行数学基础是否对物理学习有影响的深度访谈，求被抽到的两位同学恰好有一位数学良好的概率. 附：参考公式及数据：
()
()()()()
2
2n ad bc K a c b d a b c d -=
++++，n a b c d =+++. P （2
0K k ≥） 0.15
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
答案：（1）数学成绩的众数是126，中位数是127；（2）列联表见解析，有99.5%的把握认为学生物理良好与数学良好有关；（3）被抽到的两位同学恰好有一位数学良好的概率是
3
5
． （1）由茎叶图中数据求出数学成绩的众数和中位数； （2）根据题意填写列联表，计算2K ，对着附表得出结论；
（3）利用分层抽样法求出抽取的5位同学中数学良好和数学不良好的人数，再计算所求的概率值．
解：（1）由茎叶图知，数学成绩的众数是126，中位数是1
(126128)1272
⨯+=；
（2）根据题意填写列联表如下，
根据列联表中数据，计算22
40(26644)784
8.7117.879
3010301090
K ⨯⨯-⨯=
=≈>⋅⨯⨯⨯， 所以有99.5%的把握认为学生物理良好与数学良好有关；
（3）在物理不良好的学生中按照数学是否良好分层抽取5位同学， 其中数学良好抽取4
5210
⨯
=人，数学不良好抽取3人， 再从这5位同学中抽取两人，被抽到的两人恰好有1人数学良好的概率是
11232535
C C P C ⋅==．
方法点睛：求概率常用的方法有：先定性（确定概率是古典概型的概率、几何概型的概率、独立事件的概率、互斥事件的概率、条件概率和独立重复试验的概率中的哪一种），再定量（利用对应的公式求解）.
19．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，===AB BD DA ，
2BC CD ==.
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；
（2）若直线CD 与平面PBC 3
PCD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）
78
. （1）连接AC ，易知AC BD ⊥，由PA ⊥平面ABCD ，推出PA BD ⊥，再根据线面垂直、面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，设(0)PA a a =>，用a 表示平面PBC 的法向
m →
，由3
|cos ,|4
CD m →
→
<>=
，求得a 的值，再求出平面PCD 的法向量n →，然后计算出cos ,m n <>的值即可. 解：（1）证明：连接AC ，
23,2,AB BD DA BC CD =====
ABD ∴为等边三角形，BCD △为等腰三角形，
∴AC BD ⊥，
∴PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA BD ⊥，
又AC PA A ⋂=，,AC PA ⊂平面PAC ，
BD ∴⊥平面PAC ,BD ⊂平面PBD ，
∴平面PAC ⊥平面PBD .
（2）以A 为原点，,AD AP 为y z 、轴，在平面ABCD 内，作Ax ⊥面PAD ，建立如图所示的空间直角坐标系，设(0)PA a a =>,AC BD ⊥,根据勾股定理可求得：
6
BDC π
∠=
,则CD AD ⊥,则(0,0,),3,0),(2,23,0),(0,23,0)P a B C D
()()()
2,0,0,1,3,0,2,23,.CD BC PC a =-=-=-
设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，则·0,·0m BC m PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩即30230
x x az ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩
令1y =，则43
(3,1,
)m ∴= 直线CD 与平面PBC 所成角的正弦值为
34
, 2
233
cos ,·43231CD m CD m CD m
a ⋅-∴=
=
=
⎛⎫
⨯++ ⎪
⎝⎭
解得2a =或-2（舍负）
()(
2,23,2,3,1,23PC m =-=同理可得，平面PCD 的法向量(0,1,3)n =，
7
cos ,||||8
31122m n m n m n ⋅∴<>=
==⋅++⨯，
故平面PCD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值
7
8
方法点睛：求二面角最常用的方法是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.
20．已知椭圆C ：22221y x a b +=（0a b >>
）的短轴长为
2
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点()2,2D ，若不过坐标原点O 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于点M 、N ，且满足+=OM ON λOD ，求MON △面积最大时直线l 的方程.
答案：22
(1)1;(2)2126
y x y x +==-±.
（1
）根据题意可得2222b c e a c a b ⎧=⎪
⎪==⎨⎪=-⎪⎩
，解得222
,,a b c ，进而可得椭圆C 的方程．
（2）设直线l 的方程为1122,(0),(,),(,)y kx m m M x y N x y =+≠，联立直线l 与椭圆的方程，消掉y 得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得1212,x x x x +，由OM ON λOD →
→
→
+=，
推出12122x x y y λ+=+=，解得k ，分析点O 到直线l 的距离d ，由弦长公式得MN ，推出1
||2
OMN S MN d =
⋅△，利用基本不等式研究max S 时应满足的条件即可求得m 值,进而得直线方程.
解：（1
）根据题意可得22222b c e a c a b ⎧=⎪
⎪==⎨⎪=-⎪⎩
，解得222=12=,6=,6a b c ，所以椭圆C 的方程：22
1126
y x +=. （2）设直线l 的方程为1122,(0),(,),(,)y kx m m M x y N x y =+≠，联立得：
2
2
,1126
y kx m y x =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩得()222(2)2120k x kmx m +++-=*，
()()()2
2222=2km 4212122240k m k m ∆-+-=-+>
所以：2121222
212
,22km m x x x x k k
-+=-=++， ()12122
422m
y y k x x m k +=
++=+, 因为OM ON λOD →
→
→
+=，所以1122(,)(,)(2,2)x y x y λλ+=， 所以121222
242,=2,22km m
x x y y k k
λλ+-
=+==++即2=4km m -, 解得=2k -，代入0∆>，解得：66m -<<且，0m ≠， 所以直线l 的方程为：2y x m =-+,
所以21212212
,36
m m x x x x -+==
，
点O 到直线l 的距离
d =||MN =
所以11
||||22
OMN S MN d m =
⋅=△
11||||22m m ==
22
3662
m m +-=≤
当且仅当22=36m m -时，即m =±max S =
所以直线方程为：2y x =-±.
思路点睛：求解圆锥曲线中的三角形面积最值问题时，一般需要根据题中条件，利用三角形面积公式，表示出三角形的面积，再结合函数的性质或基本不等式，即可求出面积的最值.（有时需要利用导数的方法求解最值） 21．设函数()sin x x f x e
=
，()22x
g x e ax =-. （1）求函数()f x 在0,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上的值域；
（2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()()'≥g x f x 恒成立（()f x '是()f x 的导函数），求实数a 的取值范围.
答案：（1）[0，4]2
π-；
（2）(-∞，2].
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的值域即可；
（2）问题转化为
2sin cos 20x
x
x x e ax e
-+-在[0，)+∞上恒成立，设2sin cos ()2x
x
x x h x e ax e
-=
+-，[0x ∈，)+∞，根据函数的单调性确定a 的范围即可． 解：（1）sin ()x x f x e =，则cos sin ()x x x f x e '
-=，
令()0f x '>，解得：4
x π
<，令()0f x '<，解得：4
x π
>
，
故()f x 在[0，
)4
π
递增，在(4
π，]3
π
递减，
故max
4()()42
f x f e π
π
-==，min ()(0)f x f =或()3f π，
而3(0)0()3f f π
π
-=<=，
故函数()f x 在[0,]3x π
∈上的值域是[0
4]π
-；
（2）2()2x
g x e
ax =-，cos sin ()x
x x
f x e
'-=
， 当[0x ∈，)+∞时，不等式()()g x f x '恒成立，
即2cos sin 2x
x
x x
e
ax
e --恒成立，
即2sin cos 20x
x
x x e ax e
-+-在[0，)+∞上恒成立， 设2sin cos ()2x
x
x x h x e ax e -=+-，[0x ∈，)+∞， 则22cos ()22x x
x
h x e a e
'=+-， 设()(
)x h x ϕ'
=，则34)4()x x
e x x e π
ϕ-+'=
， 当[0x ∈，)+∞
时，344x e >，
)224
x π
+，()0x ϕ'∴>，
()x ϕ∴即()h x '在[0，)+∞上单调递增，则()(0)42h x h a ''=-，
若2a ，则()(0)420h x h a ''=-， 故()h x 在[0，)+∞上单调递增，
故()(0)0h x h =恒成立，符合题意，
若2a >，则(0)420h a '=-<，必存在正实数0x ， 满足当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减， 此时，()(0)0h x h <=，符合题意， 综上：a 的取值范围是(-∞，2]．
方法点睛：在求解函数的单调性时，需用导数的符号来判断，对于导函数是不常见的函数时，要结合其单调性和函数值来判断其符号.
22．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程是sin x y α
α⎧=⎪⎨=⎪⎩
（α为参数），
曲线2C 的参数方程是122122t x t
t y t ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系.
（1）求曲线1C ，2C 的交点的极坐标；
（2）求以曲线1C ，2C 的交点为顶点的四边形的各边的极坐标方程.
答案：（1
）5711,,,6666ππππ⎫⎫⎫⎫⎪⎪⎪⎪
⎭⎭⎭⎭；（2
）
cos cos sin sin ρθρθρθρθ=
=== （1）直接利用参数方程、极坐标方程和普通方程之间转换求出结果； （2）把直角坐标方程转换为极坐标方程． 解：（1）曲线1C
的参数方程是sin x y αα
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩（α为参数），转换为普通方程为
2
213
x y +=． 曲线2C 的参数方程是122122t x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数），转换为普通方程为22
1x y -=，
22
2213
1x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩
，解得：
6
22x
y ⎧
=±⎪⎪⎨
⎪=±⎪⎩
，交点坐标为
62626262,,,,,,,,2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
转换为极坐标方程为57112,
,2,,2,,2,6666ππππ⎛
⎫⎛
⎫⎛
⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
（2）四边形的四条边的方程为6622,,,.x x y y =
=-==- 转换为极坐标方程为6622cos ,cos ,sin sin .ρθρθρθρθ=
=-==-, 23．已知函数()211f x x x =--+.
（1）在答题卡所给出的网格坐标系中作出函数()f x 的图象（不要求写作法），并直接写出函数()f x 的最小值；
（2）已知函数()2=+--g x x a x a ，若存在1x ，2x R ∈使()()125+=f x g x ，求实数a 的取值范围.
答案：（1）图象见解析；函数()f x 的最小值为-2；（2）32a ≤-
或3
2
a ≥. （1）直接分段去绝对值，描点作图，再看图得到最小值即可；
（2）先看图得到()f x 的值域，再分类讨论研究函数()g x 的值域，根据值域特征，结合题意列不等式，解不等式即得结果. 解：（1）依题意作函数()f x 的图象如下：
函数()f x 的最小值为-2；
（2）由（1）可知，()f x 的值域为[)2-+∞，
，故()5f x +的值域为[)3+∞，， 函数()2=+--g x x a x a 中，
若0a =，则()(]2,0g x x a x a x =+--=-∈-∞，不符合题意；
若0a >，则()3,23,3,a x x a
g x x a x a x a a x a x a x a ->⎧⎪
=+--=--≤≤⎨⎪-<-⎩
，函数()g x 在(),a -∞-和
[],a a -上递增，在(),a +∞上递减，且在x a =-和x a =处时连续的，故x a =处取得
最大值，()2g a a =，故()g x 的值域为(],2a -∞，若存在1x ，2x R ∈使
()()125+=f x g x ，则23a ≥，故32
a ≥
； 若0a <，则()3,23,3,a x x a g x x a x a a x a x a x a x a ->-⎧⎪
=+--=-≤≤-⎨⎪-<⎩
，函数()g x 在(),a -∞上递
增，在[],a a -和(),a -+∞上递减，且在x a =和x a =-处时连续的，故x a =处取得最大值，()2g a a =-，故()g x 的值域为(],2a -∞-，若存在1x ，2x R ∈使
()()125+=f x g x ，则23a -≥，故3
2
a ≤-；
综上，实数a 的取值范围32a ≤-或3
2
a ≥.
方法点睛：
绝对值函数()f x ax b cx d =-±-，研究值域的常用方法：
（1）零点讨论法：根据零点进行分段讨论，去绝对值变成分段函数，依次求解各段值域，取并集即得函数值域，或者利用分段函数单调性求值域，或者利用分段函数画图，结合图象得到值域；
（2）绝对值三角不等式：当系数a c =时，可以直接利用绝对值三角不等式
x y x y x y -≤±≤+来求解值域.。