高中物理竞赛 曲线运动

前面三讲我们主要研究的是直线运动，对于曲线运动的研究从今天开始。

只要是速度矢量和加速度矢量方向不在一个直线上，就必然出现曲线运动。

引入了曲线运动之后，我们之前的运动学知识也可以变得更加完备了。

一．抛体运动
1. 平抛运动
a) 思考：水平的扔出一个小石子，那么空气对于它的阻力就很小，可以忽略。

如果同
时有两组平行光源分别从上面和水平方向照射，那么这个石子的两个影子会分别做什么样子的运动？他们运动的时间有什么关系？ b) 条件：加速度为g ，（或者说除了重力之外不受其他力的干扰）；并且有一定的水平
初速度0v
c) 方程：水平方向是匀速直线运动，竖直方向是自由落体（一个初速度为零的加速度
为g 的匀加速直线运动）速度满足关系：
x y
v v v gt =⎧⎪⎨
=-⎪⎩ 位移满足关系： 0212
x v t y gt =⎧⎪⎨=⎪⎩ d) 思考：如果用角度θϕ,本别表示最终状态时候的位移方向，速度方向和初速度方向的夹角，则有2tan tan θϕ=，如何证明？
2. 斜抛运动
a) 条件：和平抛类似，只不过初速度方向不是水平而是和水平方向成θ角。

b) 方程：速度满足00cos sin x y v v v v gt θθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩位移满足020cos 1sin 2x v t y v t gt θθ=⎧⎪
⎨=-⎪⎩ c) 思考：斜抛能到达的最高高度和最远距离是神马？
知识模块
本讲导学
高中物理竞赛专题
曲线运动
射高：
22
sin
2
m
v
y
g
θ
=；射程
2
00
2sin sin2
cos
m
v v
x v
g g
θθ
θ
==可见当45
θ=o时候有极
值
思考：为神马沿某方向位移达到极值，说明这个方向速度为零？
3.轨迹方程：
一个物体运动的轨迹所满足的方程就是我们的轨迹方程。

一般的在二维空间中，轨迹方程就是x和y所满足的方程。

【例1】(1)已知一个物体的运动方程为22
11
;
22
x v t at y at
=+=，求物体的轨道方程。

(2)已知一个物体的轨道方程为
2
22
2
20;
yv
x xy y
a
-+-=y方向的运动方程为：y vt
=，求x方向的运动方程。

【例2】从底角为θ的斜面顶端，以初速度
v水平抛出一小球，不计空气阻力．若斜面足够长，如图所示，则小球抛出后离开斜面的最大距离h是多少？
例题精讲
【例3】 从高H 处的一点O 先后平抛两个小球1和2，球1直接恰好越过竖直挡板A 落到
水平地面上的B 点；球2则与地面碰撞一次后，也恰好越过竖直挡板，而后也落在B 点，如图所示．设球2与地面碰撞遵循类似的反射定律，且反弹速度大小与碰撞前相同，求竖直挡板的高度
h ．
【例4】 地面上有一个水枪，要射过前方3米远处一高4米的墙，其发射速度至少多少？
【例5】 一仓库高20m 、宽40m ，在仓库前某处A 点抛一石块过屋顶，试问A 距仓库前多
远时，所需初速度0v 最小？为多少？（210m/s g ）
圆周运动
1. 圆周运动的描述：
a) 类比位置，我们给出角度；类比速度，我们给出角速度；类比加速度，我们给出角
加速度。

而圆周运动本身还具有一个之前我们学习的直线运动没有的性质，那就是周期和频率。

这些都对我们研究圆周运动的本质十分有用。

b) 定义： i. 角度：给定一个起始位置后，圆周运动的物体的任意一个位置和圆心的连线，
和初始的位置线之间的角度我们可以看做是角度θ ii. 角速度定义为：单位时间内转过的角度，换句话讲，就是角度随时间的变化率：
t
θ
ω∆=
∆类似速度的定义，这里的时间也是很小很小但是大于零的时间。

注意角速度是矢量。

1. 角速度和线速度的关系：v r ω=或者v r
ω=。

2. 值得注意的是角速度也有相对运动一说。

从矢量角度理解就更容易一些 3. 对于同一个刚体，或者固连在一起的一组物体，选取任意相对平动的参考
系，看到的角速度都相同。

也可以理解为：选取任意点做参考“圆心”，也
方法提示
就是“瞬心”看到的角速度都相同。

思考：为什么都是同一个角速度？
iii. 角加速度定义为：角速度的变化率t ω
β∆=
∆。

角加速度也是矢量。

iv. 转一圈的时间定义为周期：22r
T v
ππω==
v.
频率定义为单位时间内转的圈数：122v
f T r
ωππ===
c) 向心加速度：
我们先研究一下我们学习过的匀速圆周运动，研究里面的速度变化情况：
由于我们现在学习的速度是一个矢量，所以匀速地转动的物体速度矢量是在不断的改变着方向的。

因此一定存在v ∆，也就一定存在加速度a 。

如图所示：假设经过了非常小的时间t ∆
速度大小保持不变，但是方向有所改变，为了研究速度变化量的大小，我们把原来的速度平移一下。

由于时间很短，所以路程可以看成是一段“线段”，它和半径围成了一个非常小的角度的“等腰直角三角形”。

容易看出，相似，因此：
l v r v
v t v
r v
∆∆=∆∆=
因此得到：2
2v v a r t r
ω∆=
==∆ 从图中可以看出，只要时间足够短则这个加速度的方向必然垂直与速度矢量，也就是指向圆心，所以这个加速度也被叫做“向心加速度”
2. 拓展到一般得曲线运动：
任意的速度矢量方向和加速度矢量方向不在同一直线上的运动都必然是曲线运动。

描述曲线运动我们一般有两种方法：
a) 选取正交坐标系：xoy 坐标系，则有：();()x y a x t a y t ==&
&&&（打点表示求对时间的变化率，打两个点表示求变化率的变化率；需要对数学很纯熟才能这种方法做）
b) 选取一般的自然坐标系。

也就是一个随着物体运动的坐标系，只不过他的两个轴分
别表示的是平行于速度方向（切向）和垂直于速度方向（法向）。

i. 切向的加速度：
V
a t τ∆=
∆ 改变速度的大小 ii.
法向的加速度：
2
n V a r =
改变速度的方向
c)曲率半径：就是曲线上任意一点处，能画出的和曲线在此处相切的圆（是唯一的，
为啥？）的半径：
2
n V a
ρ=
另一种理解是：当运动方向改变时候，改变单位角度所对应走过的路程：
s
ρ
θ
∆
=
∆
思考：这两种表示是一样的，为神马？
【例6】如图所示是迈克尔逊用转动八面镜法测光速的实验示意图，图中S为发光点，T是望远镜，平面镜O与凹面镜B构成了反射系统，八面镜距反射系统的距离为AB L
=（L可长达几十千米），且远大于OB以及S和T到八面镜的距离，现使八面镜转
动起来，并缓慢增大其转速，当转动频率达到
f并可认为是匀速转动时，恰能在望远镜中第一次看见发光点S，由此迈克尔逊测出光速c，根据题中所测量的物理
量得到光速c的近似表达式是．(SA，OB很小)
【例7】距河岸（看成直线）500m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速1r/min
n=转动．当光束与岸边成60︒角时，光束沿岸边移动的速率为（）
A．52.3m/s B．69.8m/s
C．3
3.1410m/s
⨯D．3
4.1810m/s
⨯
【例8】如图所示，竖直放置的内壁光滑圆筒，高为h，以初速度
v沿内壁水平放出一小球，筒底半径为R．
⑴多长时间小球能到筒底？
⑵从上往下滑小球经过多长时间转过一圆？
例题精讲
⑶ 如果h 足够大．（螺距定义为相邻两圈间的竖直距离）相邻的两圈，螺距差为多少？
【例9】 如图所示，一个轮子在水平地面上滚动，轮心速度为v ，半径为R ．计算角度为 处的轮边沿点的速度．
【例10】 如图所示两个一样的轮子，内外径分别为r 、R ，用绳子绕在轮子的内圈上，只是
绕法不同，已知绳端速度大小为V ，水平向右，问两个轮子如何运动？地面不光滑．
【例11】 如图所示，一个圆台上底半径为1r ，下底半径为2r ，其母线AB 长为l ，放置在水
平地面上，推动它之后，它自身以角速度ω旋转，整体绕O 点作匀速圆周运动．若接触部分不打滑，求旋转半径OA 及旋转一周所需的时间．
【例12】 求抛物线2
y x =-上任意一点的曲率半径（用x 表示）。

（提示：神马运动能有类似
的轨迹呢？）
1． 如图所示，直杆AB 以匀速v 搁在半径为r 的固定圆环上作平动，试求图示位置时，
大显身手
杆与环的交点M的速度和加速度．
2．如图所示，在离水平地面高5m的平台上水平抛出两个小球1和2．两球的初速度分别为v1和v2(v1>v2)，球1抛出后刚好能越过位于A点的竖直墙面A的顶端，然
后落地与地面作弹性碰撞，反弹后又刚好越过位于B处的墙面B，然后落到地面上
C点处，C点到平台的水平距离为9m。

球2抛出后先与地面作弹性碰撞，反弹后
也刚好越过墙面A，然后与地面作第二次弹性碰撞，再次反弹后又刚好越过墙面B，
然后也落到地面上C点处．试求：
(1)v1和v2；
(2)墙A和B离开平台的水平距离；
(3)两墙面的高度．
3．如图所示，一人作射靶游戏，为使每次枪弹都击中在靶面的同一条水平线上，则每次射击的瞄准点必须在靶面同一圆周上，试加以证明。

已知水平线离地面高度为h，
枪与靶相距为d，子弹发射速率为V0。

小故事：关于Up那部电影，你看过么？
如果仔细考虑一下电影故事里的飞屋的话，你是不是也会想，真的可以用那么多气球，制作出一个飞屋吗？或者说，我们能不能也造一个这样的飞屋呢？
让我们不妨来仔细地看一看。

在我们的现实生活中，节日、生日等庆典常见的“氢气球”（其实应该是“氦气球”，因为最初人们用氢气充满气球，但其实后来大家发现氢气很危险、容易爆炸，所以现在常用的其实是充满氦气的气球，只不过因为习惯大家依然使用“氢气球”这个名字）。

通过一些科学知
识粗略地计算一下，就可以知道，一只大约30厘米大小的氦气球可以承担大约15克的重量。

15克有多少？也就只有两三根铅笔的重量。

那么需要大约5000只这样的气球才能将一个正常的成年人飞起来，想要用这些气球带起一栋房屋？这是不是天方夜谭了呢？
其实倒也不是。

电影里，卡尔的房子和我们通常见到的房子不同，是一栋木屋，我们都知道木头比砖瓦要轻地多，因此也更容易飞起来。

若是从电影里的画面来估算一下房子的重量，大概需要十几万只的气球就可以将这个屋子飞起来了。

其实，并不只有我们才较真，出品《飞屋环游记》的电影公司在制作这部电影之前可是做了认真的计算的。

他们的计算结果和我们的很接近，也是十几万只气球，但是为了更好的视觉效果，电影里最终只放了两万多只气球。

基于这部动画片的影响，2011年3月初，美国《国家地理杂志》的工作人员真的造出了一栋用氦气球提供升力，可以在天空飞翔的房子。

他们花了两个星期的时间，特别制作了一个大约5米高、20平方米大小的木房子，然后使用了300只超大号气球（每一只有2.4米那么高），最终成功地使房子载着房客一起飞行了一个多小时，甚至飞到了大约3000米的高空。

虽然这栋房子可能还不如一辆普通的小汽车重，但这已经足够打破了世界上一次使用最多氦气球飞行的纪录了。

跟着小木屋飞上天空的，是不是还有我们兴奋的欢呼呢？
11。