《经济数学》课件 《经济数学》第一章

a1n a2n ，
an1 an2
ann
a11 a21
an1
则 DT a12 a22
an2 。
a1n a2n
ann
性质1
行列式与其转置行列式的值相等，即 D DT 。
性质2
互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。
推论1
如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此
行列式的值等于0。
推论2
4．特殊行列式
（1）对角行列式
定义4
r1 0
0 形如 Dn
r2
0 0
的行列式称为 n 阶对角行
00
rn
列式，其中 ri (i 1，2 ， ，n) 不全为0。
由行列式按行展开的方法容易证明：
r1 0
0 Dn
r2
0 0
r1r2 rn
00
rn
即对角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积。
（2）上三角和下三角行列式
一般记为 Omn 或 O。
（4）在 阶方阵中，主对角线左下方的元素全为0的方阵称为 上三角矩阵，如
1 3 5 7
0
2
4
3
0 0 3 6
0
0 0 5
主对角线右上方的元素全为0的方阵称为下三角矩阵，如
3 0 0 0
2
1
0
0
3 4 5 0
1
2
3
4
（5）如果一个方阵主对角线上的元素不全为0，主对角线以外的元素 全为0，则这个方阵称为对角矩阵，即
2 0
4 8
3 17
4 8 0
（3）写出线性方程组的唯一解。
x1
D1 D
2 ，x2
D2 D
1，x3
D3 D
0
（4）检验。
在应用克莱姆法则求解含有 n 个方程、 个未知数的线性方程组 时，需要计算 n+1 个 阶行列式，计算量很大。所以，在一般情况下 我们不采用克莱姆法则求解高阶线性方程组。
1.1.4 运用克莱姆法则讨论齐次线性 方程组的解
第1 章 行列式和矩阵
本章内容
1 行列式 2 矩阵 3 应用实例
1.1 行列式
1
行列式的概念
2
行列式的性质
4
运用克莱姆法则讨论
3
齐次线性方程组的解
克莱姆法则
1.1.1 行列式的概念
1．二阶行列式
例1 设二元一次线性方程组为
a 11
x1
a21x1
a12 x2 a22 x2
b1 ， b2 ，
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 ， a2n xn b2 ， ，
amn x n bn
a11 a12
它的系数按照原来的次序可排成系数表
a21
a22
b1
am1
am2
它的常数项也可排成一个数表
b2
。
bm
a1n
a2n
。
amn
定义1
由 m n个数aij (i 1，2，3， ，m；j 1，2，3， ，n) 排成的m行n列数表
a11 0
0
a22
0
0
0
0
(aii不全为0，i 1，2 ，3，
，n)
ann
（6）如果两个矩阵的行数相等，列数也相等，则称它们是同型矩阵。
（7）如果矩阵 A (aij ) 和矩阵 B (bij )为同型矩阵，并且对应元素相
等，即 aij bij (i 1，2 ， ，m ；j 1，2 ， ，n) ，那么称矩阵A和矩阵B相
12 3
例2 计算 D 0 1 2 。
0 1 4
解 利用行列式的性质把它化为上三角行列式，再求值。
1 2 3 12 3
D 0
1
r2 r3
2 01
2 11 (2) 2
0 1 4 0 0 2
1.1.3 克莱姆法则
定理1（克莱姆法则）
如果线性方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
x1 x2 x3 1
例3
解线性方程组
x1
2x2
x3
0
3x1 x2 2x3 7
解 （1）计算系数行列式
1 1 1 r1r2 1 1 1
1 1 1
D 1 2 1 3r1r3 0 1 2 4r2 r3 0 1 2 9 0
3 12
0 4 1
0 0 9
根据定理1可知，此线性方程组有唯一解。
a11 a12
a1n
a11 a12
a1n
kai1 kai2
kain k ai1 ai2
ain
an1 an2
ann
an1 an2
ann
推论3 行列式某一行（列）中所有元素的公因子可以提到
行列式符号的外面。
推论4 行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此
行列式的值为0。
性质5
若行列式某一行（列）的所有元素都是两数之和，
a11 a12
a21
a22
am1
am2
a 1n
a2n
amn
称为m行n列矩阵，简称m n矩阵，通常用大写字母 A，B ，C ， 表 示。上述矩阵可以记为A或 Amn ，有时也记为 A (aij )mn 或 A (aij )。
矩阵中的 个数称为矩阵的元素，简称为元素，aij 称为矩阵的第 i 行 j 列元素。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称 为复矩阵。
即
n
D a11A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j
j 1
其中，数aij称为第i行第j列的元素；Mij为从D中划去第i行第j列 （即划去aij所在的行和列）所有元素后，剩余元素按原来顺序构成 的 n 1 阶行列式，称为aij的余子式；Aij (1)i j Mij 称为aij的代数余 子式。
形如
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
齐次线性方程组。
a1n xn 0 ， a2n xn 0，
的线性方程组称为
ann xn 0
显然，所有未知数取值皆为0是它的一个解，这个解称为零解。 此外，若未知数不全为0的取值也是它的解，则称这样的解为非零解。
图1-1
在例1中，若记 D a11 a12 ，则称D为二元线性方程组
a21 a22
的系数行列式，把系数行列式第j列元素用方程组右端的常数项 代替后得到二阶行列式 Dj ( j 1，2) ，即有
D1
b1 b2
a12 a22
，D2
a11 a21
b1 b2
当 D 0 时，例1方程组的唯一解可表示为
a31 a32 a33
性质6
将行列式某一行（列）的各个元素都乘以同一常数k 后，再加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值 不变。
今后用记号kri (kci )表示将第 行（列）乘 ；用 ri rj (ci cj ) 表示将第 i 行（列）与第 j 行（列）交换；用 kri rj (kci cj )表示将 第 i行（列）各元素的 k 倍加到第 j 行（列）的对应元素上。
由克莱姆法则显然有：
定理2
当齐次线性方程组的系数行列式 D 0 时，它一
定有唯一的零解。
定理3
齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的
系数行列式 D=0 。
x2 x3 2x4 0 ，
例4
确定齐次线性方程组
x1 x1
2x3 2x2
x4 x4
0，
0 ，有无非零解？
2x1 x2 x3 0
n 阶行列式某一行各元素与另一行对应元素的代数余
子式乘积之和为0，即
n
aij Akj ai1Ak1 ai2 Ak2 ain Akn 0 (i k )
j 1
性质3 性质4
如果行列式中有一行（列）的元素全为0，则此行列 式的值为0。
行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k，等于用数k
乘以此行列式，即
a11 a12
0 Dn
a22
00
a1n a2n a11a22a33 ann
ann
a11 0 Dn a21 a22
an1 an2
0 0
a11a22a33 ann
ann
1.1.2 行列式的性质
将行列式D的行、列互换后，所得到的行列式称为D的转置
a11 a12 行列式，记作 DT，即若 D a21 a22
则这个行列式等于两个行列式的和，而且这两个行列式
除了这一行（列）以外，其余的元素与原来行列式的对
应元素相同，即
a11
a12
a13
a11 a12 a13
a11 a12 a13
a21 a21 a22 a22 a23 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23
a31
a32
a33
a31 a32 a33
（2）计算Dj
1 1 1
1 1 1
D1 0
2
1 7r1 r3 0
2
1 (1)11 1 2 8
1 18
5
7 12
0 8 5
11 1
11 1
D2 1 0 1 7r1 r3
10
1 (1)12 1
1 1 9
4 5
37 2
4 0 5
1 1 1
1 1 1
D3 1 2 0 7r1r3
1 2 0 (1)13 1 1
下面介绍几种特殊矩阵： （1）当 m = n 时，矩阵A称为 n 阶方阵。
（2）当m = 1 时，矩阵A称为行矩阵，此时 A (a11 ，a
1
时，矩阵A称为列矩阵，此时
A
a21
。
am1
（3）当 aij 0 (i 1，2， ，m；j 1，2， ，n) 时，称矩阵A为零矩阵，
两边各加一条竖线的算式
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
称为二阶行列式，用D表示。其中，aij (i ，j 1，2) 称为二 阶行列式的元素，简称元；上式的右端 a11a22 a12a21 0 称为 二阶行列式的展开式。
在行列式中，从左上角元素到右下角元素的直线称为主对角 线，从右上角元素到左下角元素的直线称为次对角线。二阶行列 式的展开式可用对角线法则来记忆，即等于主对角线上两个元素 的乘积减去次对角线上两个元素的乘积，如图1-1所示。
a11 (a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31 ) a13 (a21a32 a22a31 )
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
（1-1）
三阶行列式的值也遵循对角线法则，如图1-2所示。需要注意 的是，对角线法则仅适用于二、三阶行列式的计算。
a13 a23
(1)32 a32
a11 a21
a13 a23
(1)33 a33
a11 a21
a12 a22
3．n 阶行列式
定义3 将 n2个数排列成n行n列，并在左右两边各加一竖线的算式
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
称为n阶行列式，它表示一个由确定的运算关系所得到的代数式，
x1
D1 D
，x2
D2 D
2．三阶行列式
定义2 与二阶行列式类似，可以定义三阶行列式为
a11 a12 a13
D a21 a22 a23
a31 a32 a33
(1)11 a11
a22 a32
a23 a33
(1)12 a12
a21 a31
a23 a33
(1)13 a13
a21 a31
a22 a32
定义5
主对角线以下的元素都为0的行列式称为上三角行列式，即
a11 a12
a1n
0 Dn
a22
a2n
00
ann
主对角线以上的元素都为0的行列式称为下三角行列式，即
a11 0
0
Dn a21 a22
0
an1 an2
ann
由行列式按行展开的方法容易证明，上（下）三角行列式 的值等于主对角线上元素的乘积，即
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
的系数行列式不等于0，即 a11 a12
D a21 a22
an1 an2
a1n a2n 0
ann
那么，它有唯一解，且其解为
x1
D1 D
，x2
D2 D
，x3
D3 D
，
，xn
Dn D
其中，Dj ( j 1，2 ， ，n) 是把系数行列式 D 中第j列的元素用方程 组右端的常数列代替后得的 n 阶行列式。
其中，xj ( j 1，2) 为未知量，aij (i ，j 1，2) 为未知量系数， bi (i 1，2) 为常数项。
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12 a21
，x2
a11b2 a11a22
a21b1 a12 a21
定义1 将由4个数排列成2行2列（横排为行，竖排为列）并左右
我们也称式（1-1）右端为三阶 行列式按第一行展开的展开式。事
实上，三阶行列式还可以按第二行
和第三行展开，即
图1-2
D (1)21 a21
a12 a32
a13 a33
(1)22 a22
a11 a31
a13 a33
(1)23 a23
a11 a31
a12 a32
D (1)31 a31
a12 a22
解 由于
0 112 0 112
10 D
2
1 1 0 r3 r2 r4 r1
2
1 0
所以，此线性方
120 1 2222
程组有非零解。
2 110 2222
1.2 矩阵
1
矩阵的概念
2
矩阵的运算
3
逆矩阵
4
矩阵的初等变换
1.2.1 矩阵的概念
引例
线性方程组
a11x1 a12 x2
a21
x1
a22
x2