山东省日照市2015届高三12月校际联合检测数学(理)试题及答案

日照市2015届高三12月校际联合检测数学（理）试题2014.12本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共5页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则()U C A B ⋂等于 A.{}23，B.{}145，，C.{}45，D.{}15，2.命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是 A.对任意x R ∈，都有21x <B.不存在x R ∈，使得21x <C.存在0x R ∈，使得201x ≥D.存在0x R ∈，使得201x <3.设,,αβγ为平面，,m n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是 A.,,n m n αβαβ⊥⋂=⊥ B.,,m αγαγβγ⋂=⊥⊥ C.,,m αββγα⊥⊥⊥D.,,n n m αβα⊥⊥⊥4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3xf x m =+（m 为常数），则()3log 5f -的值为A.4B.4-C.6D.6-5.设()g x 的图象是将函数()cos2f x x =向左平移3π个单位得到的，则6g π⎛⎫⎪⎝⎭等于 A.1B.12-C.0D.1-6.等差数列{}n a 中的14025,a a 是函数()3214613f x x x x =-+-的极值点，则22013log a 等于 A.2B.3C.4D.57.函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为8.某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于 A.30 B.12 C.24 D.49.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()()[]20,1f x f x x =+∈，当时，()2f x x =，若方程()()00ax a f x a +-=>恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 A.1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.[]0,2C.()1,2D.[)1,+∞10.已知实数x y 、满足约束条件22,24,4 1.x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩若()(),,3,1a x y b ==-，设z 表示向量a 在向量b 方向上射影的数量，则z 的取值范围是 A.3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.[]1,6-C.⎡⎢⎣D.⎡⎢⎣第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.向量a b 、满足1,a a b a b =-=与的夹角为60°，则b =___________.12.在ABC ∆中，602A AB ∠==∆o，，且ABC 的面积为2，则BC 的长为___________. 13.由直线1,22x x ==，曲线1y x=及x 轴所围成的图形的面积是___________. 14.设二次函数()2f x ax bx c =++（,,a b c 为常数）的导函数为()f x '，对任意x R ∈，不等式()()f x f x '≥恒成立，则222b a c+的最大值为__________________.15.以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -.例如，当()()()()31212,sin x x x x x A x B ϕϕϕϕ==∈∈时，，.现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“(),,b R a D f a b ∀∈∃∈=”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()()()(),f x A g x B f x g x B ∈∈+∉，则 ④若函数()()()2ln 22,1xf x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）已知函数()2sin 2f x x x a =-.（I ）求函数()f x 的单调递减区间； （II ）设0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值是2-，求()f x 的最大值.17.（本小题满分12分）已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最小值1和最大值4，设()()g x f x x=. （I ）求a b 、的值；（II ）若不等式()220x xf k -⋅≥在区间[]1,1-上有解，求实数k 的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF=1. （I ）求证：BC ⊥平面ACFE ； （II ）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为()90θθ≤o，试求cos θ的取值范围.19.（本小题满分12分）已知数列{}n d 满足n d n =，等比数列{}n a 为递增数列，且()2*51021,25,n n n a a a a a n N ++=+=∈.（I ）求n a ；（II ）令()11nn n c a =--，不等式()*20141100,k c k k N ≥≤≤∈的解集为M ，求所有()k k d a k M +∈的和.20.（本小题满分13分）某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点A 与圆弧上的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧．．边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿弧BC 的弧形小路，在路的一侧．．边缘种植绿化带.（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（I ）设BAC θ∠=（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数()s θ； （II ）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大.21.（本小题满分14分）已知二次函数()()221r x ax a x b =--+（,a b 为常数，,0,a R a b R ∈≠∈）的一个零点是12a-.函数()ln g x x =，设函数()()()f x r x g x =-.（I ）求b 的值，当0a >时，求函数()f x 的单调增区间； （II ）当0a <时，求函数()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；（III ）记函数()y f x =图象为曲线C ，设点()()1122,,A x y B x y ，是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N.判断曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由.2014年高三校际联合检测理科数学参考答案 2014.12一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.解析：答案B,{}{}1,2,3,2,3,4A B ==,∴{}2,3A B = ,又∵{}1,2,3,4,5U = ,∴(){}1,4,5U AB =ð.2.解析：答案D ．因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R 都有21x ≥”的否定是：存在0x ∈R ，使得120<x ．故应选D ．3.解析:答案D,对于选项D ：因为,n m αα⊥⊥，所以//m n ，又因为,n β⊥所以β⊥m . 4．解析：答案B,由()f x 是定义在R 上的奇函数得(0)101f m m =+=⇒=-，3log 533(log 5)(log 5)(31)f f -=-=--4=-,选B.5. 解析：答案D ，由()cos2f x x =向左平移3π个单位得到的是()cos2()3g x x π=+，则()cos2()cos 1663g ππππ=+==-.故选D. 6.解析：答案A ，2()86f x x x '=-+.因为1a ，4025a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点,所以1a ，4025a 是方程2860x x -+=的两实数根,则140258a a +=.而{}n a 为等差数列,所以14025201382a a a +==, 即20134a =,从而22013log 2a =,选A.7.解析：答案A. 首先由()f x 为奇函数，得图象关于原点对称，排除C 、D ，又当0πx <<时，()0f x >知，选A.8.解析：答案C.由图可得几何体的直观图如右图，3×4×3×4×9.解析：答案A ，由()()2f x f x =+可得函数()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，又()f x 为偶函数，则当[]1,0x ∈-时，()2f x x =-，由()0(0)ax a f x a +-=>得()f x ax a =+，作出()y f x =和y ax a =+的图象，要使方程()0(0)ax a f x a +-=>恰有三个不相等的实数根，则由图象可得直线y ax a =+的斜率必须满足AC AB k a k <<，由题意可得A （﹣1，0），B （1，2），C （3，2），，1AB k =．故选A ．10. 解析：答案C,画出约束条件22,24,41x y x y x y +≥+≤-≥-⎧⎪⎨⎪⎩．的可行域，由可行域知：()(,)=2,0a x y =时，向量在方向上的射影的数量最大，此时6a b ⋅=，所以向量在；当1,32a ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，向量a 在b 方向上的射影的数量最小，此时32a b ⋅=-，所以向量a 在b 方向上的射影的数量为.所以z的取值范围是[.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．解：答案12，由-a 得：22324a a b b -⋅+=, 2312cos 604b b ︒-+=, b =12.12．解：答案BC ，由11sin 60222S AB AC AC =⨯⋅=⨯=,所以1AC =,所以2222cos 603BC ABAC AB AC =+-⋅=,所以BC =.13．解：答案2ln2，由定积分的几何意义，得围成的面积2ln 24ln 21ln 2ln |ln 1221221==-==⎰x dx x . 14．解：答案2，由题意得'()2f x ax b =+，由'()()f x f x ≥得：2(2)0ax b a x c b +-+-≥在R 上恒成立，等价于a ＞0且0∆≤，可解得22444()b ac a a c a ≤-=-，则：22222224(1)44()1c b ac a a c a c a c a--≤=+++，令1c t a =-，（t ＞0）,24422222t y t t t t==≤=++++ 故222b ac +最大值为2. 15．解析 ：答案①③④；（1）对于命题①“()f x A∈”即函数()f x 值域为R ，“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”表示的是函数可以在R 中任意取值，故有：设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”∴命题①是真命题；（2）对于命题②若函数()f x B ∈，即存在一个正数M ，使得函数()f x 的值域包含于区间[,]MM -．∴-M ≤()f x ≤M ．例如：函数()f x 满足-2＜()f x ＜5，则有-5≤()f x ≤5，此时，()f x 无最大值，无最小值．∴命题②“函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值．”是假命题；（3）对于命题③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x ∈A ，()g x ∈B ，则()f x 值域为R ，()f x ∈（-∞，+∞），并且存在一个正数M ，使得-M ≤g （x ）≤M ．∴()f x +()g x ∈R ．则()f x +()g x ∉B ．∴命题③是真命题．（4）对于命题④∵函数()l n (2)f x a x =+2)x +→+∞，∴ln(2)a x +→+∞，则()f x →+∞．与题意不符；→-2)x +→-∞，∴ln(2)a x +→+∞，则()f x →+∞．与题意不符．∴a =0．≤＜()f x ≤当x =0时，()f x =0；−12)x ＜0．故答案为①③④．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．解析：（Ⅰ）()sin2cos2)f x x x a =+sin 2x x a =+2sin(2)3x a π=-+，令3222232+≤-≤+k x k πππππ，得511,1212+≤≤+∈k x k k Z ππππ，()∴f x 的单调递减区间 511[,]()1212++∈k k k Z ππππ. ……6分（Ⅱ）20,22333x x ππππ≤≤∴-≤-≤，sin(2)13x π≤-≤,min ()f x a ∴=； max ()=f x 2a +，令 2,2a a =-得，所以max ()=f x 2……………12分17．解：（Ⅰ）a b x a x g -++-=1)1()(2，因为0>a ，所以)(x g 在区间]3,2[上是增函数，故⎩⎨⎧==4)3(1)2(g g ，解得⎩⎨⎧==01b a ． …………………………6分（Ⅱ）由已知可得21)(-+=x x x f ，所以02)2(≥⋅-x x k f ,可化为x x x k 22212⋅≥-+， 化为k x x ≥⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+2122112，令x t 21=，则122+-≤t t k ，因]1,1[-∈x ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t ，记=)(t h 122+-t t ，因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t ，故1)(max =t h ， 所以k 的取值范围是]1,(-∞ . …………………………12分 18．解：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中， ∵AB ∥CD ,1,AD DC CB ===60ABC ︒∠=,∴2AB =,∴2222cos603AC AB BC AB BC ︒=+-⋅⋅=,∴222AB AC BC =+,∴BC AC ⊥,∴平面ACFE ⊥平面ABCD ,平面ACFE 平面ABCD AC =,BC ⊂平面ABCD ,∴BC ⊥平面ACFE . …………5分（Ⅱ）由（I ）可建立分别以直线,,CA CB CF 为轴轴轴，z y x ,的如图所示空间直角坐标系， 令)30(≤≤=λλFM ，则)0,0,3(),0,0,0(A C ，()()1,0,,0,1,0λM B ,∴ ()()1,1,,0,1,3-=-=λ. 设()z y x n ,,1=为平面MAB 的一个法向量，由⎩⎨⎧=⋅=⋅0011n n ，得⎩⎨⎧=+-=+-003z y x y x λ,取1=x ，则()λ-=3,3,11n ，…………7分 ∵ ()0,0,12=n 是平面FCB 的一个法向量, ∴1212||cos ||||n n n n θ⋅===⋅.…………9分∵ 0λ≤≤∴ 当0λ=时，θcos ， 当λ=θcos 有最大值12,∴ 1cos 2θ⎤∈⎥⎣⎦.…………………12分 19.解：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，所以42911()a q a q =，解得1a q = …2分 又因为212()5n n n a a a +++=，所以22()5n n n a a q a q += 则22(1)5q q +=，22520q q -+=，解得12q =（舍）或2q = …………4分 所以1222n n n a -=⨯= …………6分 （Ⅱ）则1(1)1(2)n n n n c a =--=--, n d n =当n 为偶数，122014n n c =-≥，即22013n≤-，不成立 当n 为奇数，1+22014n n c =≥，即22013n ≥，因为10112=10242=2048，，所以21,549n m m =+≤≤ …………9分 则{}k d 组成首项为11，公差为2的等差数列;{}()k a k M ∈组成首项为112，公比为4的等比数列则所有()k k d a k M +∈的和为114510110145(11+99)2(14)2204825377247521433--++=+=-…………12分 20.解析： （Ⅰ）如图，连接BC ，设圆心为O ，连接CO ，在直角三角形ABC 中，AB=100，ÐBAC =q ，所以100cos AC θ=.由于22BOC BAC θ∠=∠=，所以弧BC 的长为502100θθ⨯=． ……………………6分所以()200cos 100,s θθθ=+(0,)2πθ∈. （Ⅱ）()100(2sin 1),s θθ'=-+()0,s θ'=则6πθ= ……………………8分列表如下：所以，当6θ=时，()s θ取极大值，即为最大值.答：当6πθ=时，绿化带总长度最大. ……………………13分21.解析：（Ⅰ）由12a-是函数2()(21)r x ax a x b =--+的零点可求得0b =. 1()2(12)f x ax a x '=+--22(12)1ax a x x+--=(21)(1)ax x x +-=，因为0a >，0x >，所以210ax +>，解()0f x '>，得1x >，所以()f x 的单调增区间为(1,)+∞ ……………………4分（Ⅱ）当0a <时，由()0f x '=，得112x a=-，21x =， ①当112a ->，即102a -<<时，()f x 在(0,1)上是减函数， 所以()f x 在1[,1]2上的最小值为(1)1f a =-.②当11122a ≤-≤，即112a -≤≤-时， ()f x 在11[,]22a -上是减函数，在1[,1]2a-上是增函数，所以()f x 的最小值为11()1ln(2)24f a a a-=-+-. ③当1122a -<，即1a <-时，()f x 在1[,1]2上是增函数， 所以()f x 的最小值为113()ln 2224f a =-+.综上，函数()f x 在1[,1]2上的最小值max13ln 2,12411[f(x)]1ln(2),1a 4211,02a a a aa a ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+--≤≤-⎨⎪⎪--<<⎪⎩，……………………8分（Ⅲ）设00(,)M x y ，则点N 的横坐标为1202x x x +=， 直线AB 的斜率21121y y k x x -=-22121221121[()(12)()ln ln ]a x x a x x x x x x =-+--+--211212ln ln ()(12)]x x a x x a x x -=++-+-，曲线C 在点N 处的切线斜率20001()2(12)k f x ax a x '==+--12122()(12)a x x a x x =++--+，假设曲线C 在点N 处的切线平行于直线AB ，则12k k =，即211212ln ln 2x x x x x x -=--+， 所以22211211212(1)2(x x )ln 1x x x x x x x x --==++ ，不妨设12x x <，211x t x =>，则2(1)ln 1t t t -=+，令2(1)()ln (1)1t g t t t t -=->+，22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++， 所以()g t 在(1,)+∞上是增函数，又(1)0g =，所以()0g t >，即2(1)ln 1t t t-=+不成立， 所以曲线C 在点N 处的切线不平行于直线AB . ……………………14分。