二次函数知识点总结和典型例题讲解

二次函数知识点总结及典型例题讲解
一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念
一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于a
b
x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法 五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：
当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，
（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1
x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

如果没有交点，则不能这样表示。

三、二次函数的性质
1、二次函数的性质
2、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：
a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上
a <0时，抛物线开口向下
b 与对称轴有关：对称轴为x=a
b 2-
c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ） 3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。

当∆>0时，图像与x 轴有两个交点； 当∆=0时，图像与x 轴有一个交点； 当∆<0时，图像与x 轴没有交点。

补充：
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2） 则AB 间的距离，即线段AB 的长度为
()()221221y y x x -+-
2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
左加右减、上加下减 四、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a
b
x 2-
=时，a
b a
c y 442-=最值。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a
b
2-
是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b
2-时，a
b a
c y 442-=最值；
若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，
如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=22
2最大，当1x x =时，
c bx ax y ++=121最小；
如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，
c bx ax y ++=222最小。

典型例题
1. 已知函数()()()()
2
2
113513x x y x x ⎧--⎪
=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D
2. 如图为抛物线2y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，
则下列关系中正确的是
A ．a ＋b =－1
B ． a －b =－1
C ． b <2a
D ． ac <0
【答案】B
3. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a
y x
=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（
）.
【答案】D
4. 如图，已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y 随x 的增大而增大时，x 的
取值范围是 ．
【答案】1
2
x >
5. 在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式
（ ）．
A ．2(1)2y x =-++
B ．2(1)4y x =--+
C ．2(1)2y x =--+
D ．2(1)4y x =-++ 【答案】B
6. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图像如图，其对称轴1-=x ，给出下列结果①ac b 42>②0>abc ③02=+b a ④0>++c b a ⑤0<+-c b
a ，则正确的结论是（ ）
A ①②③④
B ②④⑤
C ②③④
D ①④⑤ 【答案】 D
7．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：
从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）
①抛物线与x 轴的一个交点为（3,0）； ②函数2y ax bx c =++的最大值为6；
c
+
③抛物线的对称轴是1
2
x =
； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大． 【答案】①③④
8. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（－2，4），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，连结OA ． (1)求△OAB 的面积；
(2)若抛物线22y x x c =--+经过点A ． ①求c 的值；
②将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB 的内部（不包括△OA B 的边界），求m 的取值范围（直接写出答案即可）．
解：(1) ∵点A 的坐标是（－2，4），AB ⊥y 轴，
∴AB =2，OB ＝4，∴1
12442
2
OAB S AB OB ∆=⨯⨯=⨯⨯= (2)①把点A 的坐标（－2，4）代入22y x x c =--+，
得2(2)2(2)4c ---⨯-+=，∴c＝4 ②∵2224(1)4y x x x =--+=-++，
∴抛物线顶点D 的坐标是(－1，5)，AB 的中点E 的坐标是（－1，4），OA 的中点F 的坐标是（－1，2）， ∴m 的取值范围为l<m <3．
9．已知二次函数y =-14 x 2+ 3
2
x 的图像如图．
（1）求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴、y 轴的交点分别为
A 、
B 、
C 三点，若∠ACB =90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M ，以AB 为直径，D 为圆心作⊙D ，试判断直线CM 与⊙D 的
位置关系，并说明理由．
解：（1）二次函数y=-1
4
x2+
3
2
x的对称轴为x=3，∴D（3，0）．
（2）设抛物线向上平移h个单位（h＞0），则平移后的抛物线解析式为y=-1
4
x2+
3
2
x+h．
∵∠ACB=90°，∴OC2=OA·OB．
设点A、B的横坐标分别为x1、x2，则h2=- x1·x2．
∵x1、x2是一元二次方程-1
4
x2+
3
2
x+h=0的两个根，
∴x1·x2=-4h，∴h2=4h，∴h=4，∴抛物线的解析式为y=-1
4
x2+
3
2
x+4．
（3）CM与⊙D相切，理由如下：
连结CD、CM，过点C作CN⊥DM于点D，如下图所示：
∵AB是⊙D的直径，∠ACB=90°，
∴点C在⊙D上．
根据平移后的抛物线的解析式y=-1
4
x2+
3
2
x+4可得：OD=3，OC=4，DM=
25
4
，CD=5．
∴CN=3，MN=9
4
，∴CM=
15
4
．∵CM=
15
4
，CD=5，DM=
25
4
，
∴△CDM是直角三角形且∠DCM=90°，∴CM与⊙D相切．
10. 如图10，在平面直角坐标系xOy 中，AB 在x 轴上，AB ＝10，以AB 为直径的⊙O′与y 轴正半轴交于
点C ，连接BC ，AC .CD 是⊙O′的切线，AD ⊥CD 于点D ，tan ∠CAD ＝2
1
，抛物线c bx ax y ++=2过A ，B ，C
三点.
（1）求证：∠CAD ＝∠CAB ； （2）①求抛物线的解析式；
②判定抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形.若存在，直接写出点P 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由
.
（1）证明：连接O ′C .
∵CD 是⊙O ′的切线，∴O ′C ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴O′C ∥AD ，∴∠O′CA ＝∠CAD ．
∵O′C ＝O′A ，∴∠O′CA ＝∠CAB ， ∴∠CAD ＝∠CAB ．
（2）①∵AB 是⊙O′的直径，∴∠ACB ＝90°
∵OC ⊥AB ，∴∠CAB ＝∠OCB ，∴△CAO ∽△BCO ，∴
OC
OB
OA OC =
即OB OA OC ⋅=2．∵tan ∠CAO ＝tan ∠CAD ＝2
1
，∴OA ＝2OC
又∵AB ＝10， ∴)210(22OC OC OC -⨯=， ∵OC ＞0 ∴OC ＝4，OA ＝8，OB ＝2．∴A （－8，0），B （2，0），C （0，4）． ∵抛物线c bx ax y ++=2过A ，B ，C 三点.∴c ＝4
由题意得⎩⎨⎧=+-=++048640424b a b a ，解之得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-=-=23
4
1b a ， ∴42
341
2+--=x x y ．
○
2设直线DC 交x 轴于点F ，易证△AOC ≌△ADC ，∴AD ＝AO ＝8. ∵O ′C ∥AD ，∴△FO′C ∽△FAD ，∴AD
C
O AF F O ''=
∴8(BF ＋5)＝5(BF ＋10)，∴3
10
=
BF ，∴)0,,316(　F ．
设直线DC 的解析式为m kx y +=，则⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=03164m k m ，即⎪⎩⎪⎨⎧
=-=443m k
∴443+-=x y ．由4
25
)3(414234122++-=+--=x x x y 得 顶点E 的坐标为)425,3(-E ．将)425,3(-E 代入直线DC 的解析式44
3
+-=x y 中， 右边==
+-⨯-=4
25
4)3(4
3
左边.∴抛物线的顶点E 在直线CD 上． 11. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD = 90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （-1，0），B ( -1，2)，D ( 3，0)，连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ，若抛物线y =ax 2+bx +c 经过点D 、M 、N ． （1）求抛物线的解析式
（2）抛物线上是否存在点P ．使得PA = PC ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在．请说明理由。

（3）设抛物线与x 轴的另—个交点为E ．点Q 是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q 在什么位置时
有QE QC -最大？并求出最大值。

（1）解：由题意可得M （0，2），N （-3，2）
∴ 2293093c a b c a b c =⎧⎪
=-+⎨⎪=++⎩， 解得：19132a b c ⎧
=-⎪⎪
⎪=-
⎨⎪=⎪⎪⎩
∴y =211
2
93
x x --+
（2）∵PA = PC ，∴P 在AC 的垂直平分线上，依题意，AC 的垂直平分线经过B （-1，2），（1，0），
这条直线为y =－x +1．
2111
293y x y x x =-+⎧⎪⎨=--+⎪⎩
解得：1132x y ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩
2232x y ⎧=-⎪⎨
=-+⎪
⎩∴P 1
（32+--， P 2
（32--+．
（3）D 为E 关于对称轴x=1．5对称，CD 所在的直线y =－x +3．
∴y Q =4．5，
∴Q（-1．5，4．5）．
QE QC -最大值为
/秒．
（3）
（）,
．
当29=
t 时，有最大值为4121， 此时)2
3
9,211(P ． 12．如图，抛物线y =2
1
x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；
⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．
（1）∵点A （-1，0）在抛物线y =2
1x 2 + bx -2上，∴2
1× (-1 )2 + b × (-1) –2 = 0，解得b =2
3-
∴抛物线的解析式为y =2
1x 2-2
3x -2. y =2
1x 2-2
3x -2 =2
1 ( x
2 -3x - 4 ) =2
1(x -2
3)2-8
25, ∴顶点D 的坐标为 (2
3, -825
). （2）当x = 0时y = -2, ∴C （0，-2），OC = 2．
当y = 0时， 21
x 2-2
3x -2 = 0， ∴x 1 = -1, x 2 = 4, ∴B (4,0)
∴OA = 1, OB = 4, AB = 5. ∵AB 2 = 25, AC 2 = OA 2 + OC 2 = 5, BC 2 = OC 2 + OB 2 = 20, ∴AC 2 +BC 2 = AB 2. ∴△ABC 是直角三角形.
（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′（0，2），OC ′=2，连接C ′D 交x 轴于点M ，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD 的值最小．
设直线C ′D 的解析式为y = kx + n , 则⎪⎩⎪
⎨⎧-=+=8252
32
n k n ，解得n = 2, 1241-=k .
∴21241+-
=x y .∴当y = 0时， 021241=+-x ，4124=
x . ∴41
24
=m 13. （2011浙江金华， 10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n 个边长为1的正方形并排组成矩形OABC ，相邻两边OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上，设抛物线y =ax 2+bx +c (a <0)过矩形顶点B 、C . （1）当n ＝1时，如果a =－1，试求b 的值；
（2）当n ＝2时，如图2，在矩形OABC 上方作一边长为1的正方形EFMN ，使EF 在线段CB 上，如果M ，N
两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，
①试求出当n=3时a的值；
②直接写出a关于n的关系式.
3
CD BC
==
∵222
OD CD OC
+=，
∴222
(3)1
t t+=，∴
10
t==,
∴C）, 又B0），
∴把B 、C坐标代入抛物线解析式，得
010
1
.
1010
a
a
⎧=+
⎪
=+
，
解得:a=；
②a=.。