2021-2022学年天津市五校联考高二下学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年天津市五校联考高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．下列求导运算正确的是（ ） A ．()sin cos x x '=- B ．1ln x x '
⎛⎫= ⎪⎝⎭
C ．()133x x x -'= D
．
'
=
【答案】D
【分析】利用常见函数的导数，对选项进行逐一求导即可. 【详解】选项A. ()sin cos x x '=,故选项A 不正确. 选项B. 211
x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭
,故选项B 不正确. 选项C. ()3ln 33x x '=⋅,故选项C 不正确. 选项
D.
12x '⎛⎫'
==
⎪⎝⎭故选项D 正确. 故选：D
2．已知正项等比数列{}n a 首项为1，且5344,,2a a a 成等差数列，则{}n a 前6项和为（ ） A ．31 B ．
3132
C ．
6332
D ．63
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式及等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】∵5344,,2a a a 成等差数列， ∴354242a a a =+，
∴243
111242a q a q a q =+，即2210q q +-=，解得1
2
q =
或 1q =- ， 又∵0n a >，∴12
q =
， ∴()6616
1111263113212a q S q ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥
⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===--， 故选：C.
3．某中学从4名男生和2名女生中推荐3人参加社会公益活动，若选出的3人中既有男
生又有女生，则不同的选法共有 A ．10种 B ．16种 C ．20种 D ．32种
【答案】B
【详解】分析：根据题意，选用排除法，分3步，①计算从6人中，任取3人参加社会公益活动选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．
详解：分3步来计算，
①从6人中，任取3人参加社会公益活动，分析可得，这是组合问题，共3
620C =种情
况；
②选出的3人都为男生时，有3
44C = 种情况，
③根据排除法，可得符合题意的选法共20416-=种； 故选B ．
点睛：本题考查计数原理的运用，注意对于本类题型，可以使用排除法，即当从正面来解所包含的情况比较多时，则采取从反面来解，用所有的结果减去不合题意的结果 4．如图是()y f x =的导函数()'f x 的图象，则下列说法正确的个数是（ ）
①()f x 在区间[2,1]--上是增函数； ②1x =-是()f x 的极小值点；
③()f x 在区间[1,2]-上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④1x =是()f x 的极大值点. A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】C
【分析】由导函数()'f x 的图象，可判断()f x 在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案．
【详解】解：由导函数()'f x 的图象可知，当21x -<<-时()0f x '<， 当12x -<<时()0f x '>，当24x <<时()0f x '<，当45x <<时()0f x '>，
所以()f x 在区间[]2,1--上单调递减，故①错误；
在区间[]1,2-上单调递增，在区间[]2,4上单调递减，[]4,5上单调递增， 在1x =-和4x =处取得极小值，2x =处取得极大值，故②③正确，④错误； 故选：C ．
5．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
若,x y 线性相关，线性回归方程为0.6y x a =+，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ）A ．7.2万盒 B ．7.6万盒
C ．7.8万盒
D ．8.6万盒
【答案】C
【分析】求出x,y 的平均值，利用样本中心点求得ˆa
，然后将6x =代入回归直线方程，即得答案.
【详解】由题意，根据表格中的数据可知：1234555668
3,655
x y ++++++++=
===，
即样本中心为(3,6)，代入回归直线0.6ˆˆy x a =+，解得ˆ 4.2a =，即0.6.2ˆ4y x =+, 令6x =，解得0.6647.8ˆ.2y
=⨯+=万盒， 故选:C.
6．某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15.邻居记得浇水的概率为0.9.则该人回来植物没有枯萎的概率为（ ） A ．0.785 B ．0.845 C ．0.765 D ．0.215
【答案】A
【分析】根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解．
【详解】解：记A 为事件“植物没有枯萎”，W 为事件“邻居记得给植物浇水”， 则根据题意，知()0.9P W =，()0.1P W =，(|)10.80.2P A W =-=，(|)10.150.85P A W =-=， 因此()(|)()(|)()0.850.90.20.10.785P A P A W P W P A W P W =+=⨯+⨯=． 故选：A ． 7．已知()
2022
22022012202213x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则
202212
22022333
a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1
【答案】B
【分析】设()()2022
13f x x =-，利用赋值法可得出
()20221222022103333a a a f f ⎛⎫
++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭
，即可得解.
【详解】设()()2022
13f x x =-，则()001a f ==，
202212
02
2022103333a a a a f ⎛⎫
+
+++
== ⎪⎝⎭
，故()202212220221013333a a a f f ⎛⎫
+++
=-=- ⎪⎝⎭
. 故选：B.
8．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中机会均等），则在男生甲被选中的条件下，男生乙和女生丙至少一个人被选中的概率是（ ）
A ．3
5
B ．59
C ．12
D ．34
【答案】A
【分析】根据条件概率公式可求出结果.
【详解】记“男生甲被选中”为事件A ，“男生乙和女生丙至少一个人被选中“为事件B ，
则2637C 153()C 357P A ==
=，2264
37
C C 1569()C 3535P AB --===， 所以
()(|)()P AB P B A P A =9
3537
=3
5=. 所以在男生甲被选中的条件下，男生乙和女生丙至少一个人被选中的概率是3
5.
故选：A.
9．已知函数()e ln (0)x f x a x a =≠，若2(0,1),()ln x f x x x a ∀∈<+恒成立，则a 的取值
范围是（ ） A ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭
B ．1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,1e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】A
【分析】由已知条件，等价变形不等式，构造函数ln ()x
g x x
=，利用其单调性在01a <≤时建立恒成立的不等式，再分析 1a >的情况作答. 【详解】依题意，0a >，
2
2
ln ln ln(e ()ln e ln )
ln e e x x
x x
x x a a f x x x a a x x x a x a a +<+⇔<+⇔<=
， 令ln ()x g x x
=，求导得：21ln ()x
g x x -'=，(0,e)x ∈时，()0g x '>，即()g x 在(0,e)上单调
递增，
当(0,1)x ∈时，1e e x <<，2()ln ()(e )x f x x x a g x g a <+⇔<，
若01a <≤，有0e e x a <<，于是得(0,1)x ∀∈，e e x
x
a x x a <⇔>
， 令e (),01x
x
h x x =
<<，求导得
1e ()0x x h x -'=>，则()h x 在(0,1)上单调递增， (0,1)x ∀∈，1
()(1)e h x h <=
，因此，11e
a ≤≤， 当1a >时，(0,1)x ∀∈，2()e ln 0ln x f x a x x x a =<<+，符合题意，则1a >， 所以a 的取值范围是1,e ∞⎡⎫
+⎪⎢⎣⎭
.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
二、填空题
10．()5
31x -的展开式中2x 的系数为______． 【答案】90-
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的次数等于2，求出r ，从而可求出2x 的系数
【详解】()5
31x -的展开式的通项公式为555155C (3)
(1)C (1)3r
r
r r
r r r r T x x ---+=-=-，
令52r ，得3r =，
所以()5
31x -的展开式中2x 的系数3353
5C (1)390--=-，
故答案为：90-
11．我校高二年级1600人参加了期中数学考试，若数学成绩()2
~105,X N σ，统计结果
显示数学考试成绩在80分以上的人数为总人数的80%，则此次期中考试中数学成绩在
80分到130分之间的学生有_________人.
【答案】960
【分析】由已知可得()800.8P X >=，由正态密度曲线的对称性求出()80130P X <<，
乘以1600可得结果.
【详解】因为()2
~105,X N σ，由已知()800.8P X >=，则
()()801302800.50.6P X P X <<=>-=⎡⎤⎣⎦，
因此，此次期中考试中数学成绩在80分到130分之间的学生人数为16000.6960⨯=. 故答案为：960.
12．若等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，满足2131
n n S n T n -=+，则4
4a b =_______.
【答案】
13
22
【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列前n 项和公式计算可得；
【详解】解：依题意可得()()171717744447177
227113
27237122
2a a S a a b b b a
a b b T b ⨯-====⨯++=+++=；
故答案为：
1322
13．将5名大学生分配到4个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有__________种（用数字作答）． 【答案】240
【分析】先将5名大学生分成4组，再将4组分派到4个乡镇，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，先将5名大学生分成4组，共有2
5C 10=种不同的分法，
再将4组分派到4个乡镇当村干部，有4
4A 24=种分派方式，
结合分步计数原理，共有1024240⨯=不同的分配方案. 故答案为：240.
14．已知函数()()2
21e 3x f x x ax a =---在()0,∞+上为增函数，则a 的取值范围是
______．
【答案】(
,-∞
【分析】函数在某个区间上为增函数的等价形式为：()0f x '≥在区间上恒成立，再利用参变分离的方法构造新函数，运用导数求其极值与最值即可.
【详解】函数()()2
21e 3x f x x ax a =---在()0,∞+上为增函数，
()()2120x f x x e ax '∴=+-≥恒成立，
∴()()212,0,x x e a x x
+≤∈
+∞ 令()()()21,0,x x e g x x x
+=∈+∞ ()()()2
211x x x e g x x -+'∴=
， ()()10,,0,2x g x g x ⎛⎫
'∴∈< ⎪⎝⎭单调递减；
()()1,,0,2x g x g x ⎛⎫
'∈+∞> ⎪⎝⎭
单调递增；
可得12x =
时，函数()g x 取得极小值，即：12g ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
2a ∴≤a ≤
∴a 的取值范围是：(
,-∞.
故答案为：(
,-∞.
15．已知函数()()32
ln 1,0
33,0
x x f x x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩，若函数()y f x ax =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】3,34a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
【分析】根据导函数研究函数()32
33f x x x x =++的单调性，从而画出
()()32
ln 1,033,0
x x f x x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩的图象， 函数()y f x ax =-恰有三个零点，可转化为函数()y f x =与y ax =有三个交点，
数形结合求出y ax =与()32
33f x x x x =++，0x ≤相切的直线斜率，从而求出a 的取值
范围.
【详解】当0x ≤时，()32
33f x x x x =++，
()()2
2363310f x x x x '=++=+≥，在0x ≤上恒成立，且在1x =-时，等号成立，
所以()32
33f x x x x =++在0x ≤上单调递增，且()00f =，
当0x >时，()()ln 1f x x =-+单调递减，且()ln 010-+=，
函数()y f x ax =-恰有三个零点，可转化为函数()y f x =与y ax =有三个交点，
画出()()32
ln 1,0
33,0x x f x x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩
的图象，所图所示：
设直线y ax =与()32
33f x x x x =++，0x ≤相切时切点为()32,33A m m m m ++，
则()()2
31f m m a '=+=，
又根据斜率公式可得：3223333m m m
a m m m
++==++，
所以()2
23133m m m +=++，解得：0m =或32
-，
当0m =时，3a =，
当32m =-时，2
33
3124
a ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，
所以要想函数()y f x =与y ax =有三个交点， 直线斜率要介于两切线斜率之间，故3,34a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
故答案为：3,34a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
三、解答题
16．已知函数321
()3f x x ax bx =++，且()()14,10f f '-=-'=.
(1)求a 和b 的值； (2)求函数()f x 的极值. 【答案】(1)1,3a b ==- (2)极大值9，极小值5
3
-
【分析】(1)由条件，结合导数运算列方程可求a 和b 的值；(2)根据函数的极值与导数的关系利用导数求极值即可.
【详解】(1)因为32
1()3
f x x ax bx =++，所以2()2f x x ax b '=++，
由()()14
,10f f ⎧'-=-⎪⎨'=⎪⎩
，得124120a b a b -+=-⎧⎨
++=⎩ 解得1,3a b ==-.
(2)由（1）得()321
3,3
f x x x x x =+-∈R ，
2()23(1)(3)f x x x x x '=+-=-+.
由()0f x >′
得1x >或3x <-；由()0f x <′得31x -<<. 由()0f x '=得=1x 或3x =-；
∴()f x 的单调递增区间为(,3),(1,)∞∞--+，单调递减区间为()3,1- ∴()f x 在3x =-处取得极大值9，在1x =处取得极小值53
-
17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，21*)2(n n a a n N =+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若1
3n n b -=，令n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
【答案】（1）21n a n =-（2）(1)31n
n T n =-+
【分析】（1）利用等差数列的前n 项和公式与通项公式，即可解出1a d 、,则可写出其通项公式.
（2）利用错位相减，化简解可得出答案. 【详解】（1）由题意知：424S S =，221n n a a =+
即：11114(41)2(21)44(2)22(21)2((1))1d d a a a n d a n d --⎧
+
=+⎪⎨⎪+-=+-+⎩化简得112a d =⎧⎨=⎩. 所以数列{}n a 的通项公式1(1)221n a n n =+-=-.
（2）因为1
(21)3n n n n c a b n -==-
所以0121133353(21)3 n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯①
12333133353(21)3 n n T n ⨯=⨯+⨯+⨯+
+-⨯①： ② 0121213232323(21)3n n n T n --=⨯+⨯+⨯+
+⨯--⨯①-②:
112
1
3(13)
212(333)(21)312(21)313
n n n
n n T n n ----=+++
+--⨯=+⨯--⨯-
化简得：(1)31n
n T n =-+.
18．某课外活动小组共10位同学，利用假期参加义工活动，其中有3位同学参加一次义工活动，有3人参加两次义工活动，剩下4位同学参加三次义工活动，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列． 【答案】(1)1
3
(2)答案见解析
【分析】（1）利用已知条件转化求解事件A 发生的概率即可；
（2）根据题意知随机变量x 的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列即可.
【详解】(1)由题意得，()112
343
2
10C C C 1C 3
P A +==． 所以事件A 发生的概率为1
3
．
(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2．
()222334210C C C 40C 15P X ++===，()11113334210C C C C 71C 15P X +===，()1134
2
10C C 42C 15
P X ===． 所以随机变量X 的分布列为
19．已知数列{an }的前n 项和为Sn ，若()246n n S a n n N *
=+-∈.
(1)求证：数列12n a ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭是等比数列，并求出数列{an }的通项公式；
(2)令12n n n n b a a +=⋅，设数列{bn }的前n 项和为n T ，若42
125
n T >，求n 的最小值.
【答案】(1)证明见解析，122
n
n a =+
(2)3
【分析】（1）利用n a 与n S 之间的关系化简变形即可证明；
（2）由（1）得数列{bn }的通项公式，再运用裂项的方法求其前n 项和，然后解不等式即可.
【详解】(1)证明：由：246
n n S a n =+-① 1n =时，112416a a =+-得152
a =. 2n ≥时：11247
n n S a n --=+-⋅② ①-②1:2441n n n a a a -=-+即1122
n n a a -=-. ()111111222002222n n n a a n a a -⎛⎫∴-=-≥-=≠∴-≠ ⎪⎝
⎭，，， ∴数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为2公比为2的等比数列. 112222
n n n n a a ∴-=∴=+，. (2)由（1）得1112211111122222222n n n n n n n n n b a a +++===-⋅⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭， 所以22311111111211111111522222222222222n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭， 若411214218,21213115125125
2222n n n n T n +++=->∴∴∴≥++，，， ∴n 的最小值为3.
20．已知函数()ln 2f x x x =--.
(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
(2)函数()f x 在区间(),1k k +()k N ∈上有零点，求k 的值；
(3)记函数21()2()2
g x x bx f x =---，设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32
b ≥，且12()()g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)1y =-
(2)0或3
(3)152ln 28
k ≤
-
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程；
（2）求出()f x 的导数，判断()f x 的单调性，利用零点存在性定理判断即可；
（3）求函数的导函数，令()0g x '=，依题意方程2(1)10x b x -++=有两不相等的正实根1x 、2x ，利用韦达定理，结合b 的取值方程，即可求出1x 的取值范围，则
212112111()()2ln ()2g x g x x x x -=--，构造函数2211()2ln ()2F x x x x =--，10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解．
【详解】(1)解：因为()ln 2f x x x =--，所以1()1f x x
'=-，∴切线斜率为()10f '=， 又()11f =-，切点为()1,1-，所以切线方程为1y =-；
(2)解：1()x f x x
-'=，()0,x ∈+∞， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；
当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，
所以()f x 的极小值为()110f =-<，2222(e )e ln e 2e 0f ----=--=>，
()f x ∴在区间(0,1)上存在一个零点1x ，此时0k =；
又()33ln321ln30f =--=-<，()44ln 4222ln 22(1ln 2)0f =--=-=->，
()f x ∴在区间(3,4)上存在一个零点2x ，此时3k =．
综上，k 的值为0或3；
(3)解：函数2211()2()ln (1)22
g x x bx f x x x b x =---=+-+，()0,x ∈+∞， 所以21(1)1()(1)x b x g x x b x x -++'=+-+=， 由()0g x '=得2(1)10x b x -++=，依题意方程2(1)10x b x -++=有两不相等的正实根1x 、2x ，
121x x b ∴+=+，121=x x ，∴21
1x x =， 又32
b ≥，111512x b x +=+≥，12110x x x <<=，解得1102x <， 222112*********
111()()ln ()(1)()2ln ()22x g x g x x x b x x x x x x ∴-=+--+-=--， 构造函数221
1()2ln ()2F x x x x =--，10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以22
33
21(1)()0x F x x x x x --'=--=<， ()F x ∴在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
上单调递减；
所以当
1
2
x=时，115
()()2ln2
28
min
F x F
==-，
所以
15
2ln2
8
k≤-．。