工程力学实验-理论力学实验

1 1 , fn T 2
mgr 2 J 0l
因此有： Jc
式中：Jc为圆盘对质心的转动惯量；m为圆盘质量； l为 摆线长；r为悬线到转轴的距离；T为圆盘的摆动周期。 按下式计算圆盘的转动惯量理论值： 注意事项 1. 不规则物体的轴心应与圆盘中心重合。 2. 摆的初始角应小于或等于5°。 3. 两个摆的线长应一致。 4. 实际测试时，不应有较大幅度的平动。
实验报告 实验报告内容应包括：实验目的、实验原理、实验装置 与仪器框图、实验方法和实验数据处理与结果分析等。
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两端简支梁
f1 = 26.250 ; f2 = 108.75 ; f3 = 241.25
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两端固支梁
f1 = 31.250, f2 = 111.25, f3 = 223.75
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一般的周期振动可以借助傅里叶级数表示成一系 列简谐振动的叠加，该过程称为谐波分析。设周期振 动 x(t) 的周期是T，则有 x x(t nT ) n 1, 2， 3…
式中 表示施加冲量的瞬时。
如果在t=0的瞬时施加冲量S，则相应的冲击力F=S(t) 当S=1,即施加单位冲量时，冲击力 F (t ) ，因此 有的书中把 函数又称为单位脉冲函数。
函数的积分表达式，即
1 ( x) 2



cos Βιβλιοθήκη Baidu xd
函数可以由等振幅的所有频率的正 上式表明： 弦波（用余弦函数表示）来合成；换言之， 函数能 分解为包含所有频率的等振幅的正弦波。
圆盘扭转振动时最大动能：Ek max
r max 1 圆盘扭转振动时最大势 能：E p max mgl (1 cos max ) mg 2 l
2 mgr 2 n J 0l
1 1 2 2 2 J 0max J 0n max 2 2 2 2
mgr 2T 2 4 2l
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an An a b ， tgn , n 1， 2,3，… bn
如果函数f(t)的周期T无限增大，则f(t)成为非周期函 数。傅氏积分和傅氏变换是研究非周期函数的有力手段。 与周期函数不同，非周期函数的频谱是连续曲线。 由数学知，若非周期函数f(t)满足条件：(1) 在任一 有限区间满足狄氏条件；(2) 在区间 （-，+) 上绝对 可积，则在f(t)的连续点处有 1 jt jt f (t ) [ f ( t ) e dt ] e d (4) 2 上式称函数 f (t ) 的傅氏积分公式。如令
数据采集 及分析
a 实验装置及仪器框图
实验装置及仪 器框图如图4-12a 所示。通过变换支 承块可改变梁的支 承结构，移动支架 的位置可改变梁的 长短，因此该装置 不仅可作为简支、 固支系统，还可作 为一端自由的悬臂 系统。
b
l b 梁模型
图 4-12 实验装置
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实验目的 用瞬态激振法确定梁的各阶固有频率。 实验原理 试件是一组矩形截面梁，从理论上说，它应有 无限个固有频率。梁的震动是无穷多个主振型的叠 加。如果给梁一个大小合适的瞬态力，相当于用所 有频率的正弦信号同时激励。使用锤击进行瞬态激 励时，要求相应时间 T 2 / 这里的 是感兴趣 的频率上限。 梁因敲击产生的振动信号由速度传感器获取并 将其转换为与速度信号成正比的电信号，该信号 通过测振仪放大后输出给数据采集分析仪。
冲击载荷:再将沙袋拎起至某一高度（如5cm）后自由释放， 沙袋对台秤造成一定的冲击，仔细观察台秤指针的变化 ； 振动载荷:打开偏心振动装置上的电源开关，然后轻轻置于 台秤的托盘上。仔细观察台秤指针的运动。
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4-3-1 测定梁的各阶固有频率
支承块 试件 传感器
力锤
支架 基座
测 振 仪
电荷 放 大 器
根据 傅里叶级数理论，任何一个周期函数如果 满足狄里赫利条件，则可以展成傅氏级数，即
a0 x(t ) (an cosn1t bn sin n1t ) 2 n1
(2)
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a0 x(t ) (an cosn1t bn sin n1t ) 2 n1
式中
a0 x(t )= An sin(n1t n ) 2 n1
2 n 2 n
式(2)也可写
(3)
可见，一个周期振动可视为频率顺次为基频 1 及整数 倍的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。这些分量 依据n=1，2，3，…分别称为基频分量、二倍频分量、三 倍频分量等等。因此，傅氏展开也称为谐波分析。
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4-1-5 用“三线摆”法验证均质圆盘转动惯量理论公式 实验目的 1. 了解并掌握用“三线摆”方法测取物体转动惯量的方 法。 2. 分析“三线摆”摆长对测量的误差。 “三线摆”是测取转动惯量的一种常用 方法。给摆一个微小偏转，然后自然释放， 摆就会产生扭振。同样的摆线长，不同的转 动惯量，摆动的周期是不相同的；而同样的 转动惯量，不同的摆长，摆动的周期也不相 同。因此，“三线摆”的摆动周期不仅与物 体的转动惯量有关，而且与摆线的长度也有 关。根据摆的线长和摆动周期，可以推算出 o 三线摆在线性振动范围内圆盘转动惯量计算 公式为 mgr 2T 2 Jc 4 三线摆示意图 4 2l
实验一、理论力学实验、振动基础实验
4-1-1单自由度弹簧质量系统的刚度和固有频率测定 4-1-3 用实验方法求不规则物体重心 4-1-4 比较渐加、突加、冲击和振动四种不同类型载荷 4-1-5 用“三线摆”法验证均质圆盘转动惯量理论公式 4-3-1 测定梁的各阶固有频率
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周期运动的最简单形式 是简谐振动。即用时间t的正 弦或余弦函数表示的运动规 律。其一般表达式为
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梁的横向振动微分方程
图中的直梁在xy平面内作横向振动。假定梁的各截面 的中心惯性主轴在同一平面Oxy内，外载荷也作用在该平 面，并且略去剪切变形的影响及截面绕中性轴转动惯量的 影响，因此梁的主要变形是弯曲变形，这即是通常称为欧 拉-伯努利梁的模型。
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•
在梁上x处取长为dx的微元段。在任意瞬时t，此微元 段的横向位移用y(x, t)表示；单位长度梁上分布的外力用 p (x, t)表示；单位长度梁上分布的外力矩用m (x, t)表示。 ，横截面积为A，材料弹性模量为E，截 记梁的密度为 面对中性轴的惯性矩为J。由牛顿第二定律写出微段沿y向 的运动微分方程
x A sin(nt )
（） 1
实验4-1-1中单自由度质 量弹簧系统振动和实验4-1-5中 三线摆在微小偏转后自然释放 都可以看成是简谐振动。 理论力学多功能实验台
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4-1-1单自由度弹簧质量系统的刚度和固有频率测定
实验目的 1．测定单自由度系统的等效刚度k。 2．计算弹簧质量振动系统的固有频率fn。 实验原理 由弹簧质量组成的振动系统，在弹簧的线性变形范 围内，系统的变形和所受到的外力的大小成线性关系。 据此，施加不同的力，得到不同的变形，由此计算系统 的刚度和固有频率fn。式中：m为系统的质量。(m应该 取塑料模型及托盘的总质量0.138Kg) F k 1 k fn 2 m
实验原理 渐加载荷、突加载荷、冲击载荷和振动载荷是常见的 四种载荷。将不同类型的载荷作用在同一台秤上，可以方 便地观察到各自的作用力与时间的关系曲线，进行相互比 较，可清楚地了解不同类型的载荷对承载体的作用力是不 同的。
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渐加载荷:将重物缓慢、渐渐地倒入台秤上的托盘中 ；
突加载荷:当重物刚好接触托盘时突然释放，实现突加载荷特 征，仔细观察台秤指针的变化 ；(最大晃动量应该等于显示值)
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（2）称重法 使用连杆、水平仪、积木和台称，利用已学力学知 识，用称重法求出连杆的重量，并确定其重心位置。
xc l
重量：W FN1 FN 2
FN1 W FN2
根据：M1 FN 2l W xc 0 FN 2l 重心位置：xc W
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4-1-4 比较渐加、突加、冲击和振动四种不同类型载荷
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梁的横向振动
单自由度弹簧质量系统只有一个固有频率，而梁具有 连续分布的质量和弹性，因此，称之为弹性系统。并符合 理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性、服从胡克定 律。 由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限个坐标， 因此弹性体具有无限多个坐标，因此弹性体是具有无限 多自由度的系统。 它的振动规律要用时间和空间坐标的函数来描述， 其运动方程是偏微分方程，但是在物理本质上以及振动 的基本概念、分析方法上与有限多个自由度是相似的。
1
T
(2)
2 T
称为基频；系数 a0 , an , bn 由下式确定：
2 an x(t ) cos n1tdt T0
T
2 a0 x(t )dt T0
2 bn x(t )sin n1tdt T0
T
常数项 成 式中
a0 2
表示周期振动 x(t ) 在一个周期T中的平均值。
1 D J th m( ) 2 2
2
/ kg.m 2
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4-1-3 用实验方法求不规则物体重心
实验原理 物体的重心位置是固定不变的。利用柔软细绳的受力特点及两 力平衡原理，可以用悬挂的方法确定其重心的位置。利用平面 一般力系的平衡条件，测取杆件的重心位置和物体的重量。 实验方法 （1）垂吊法 将型钢片状试件，用细绳将其垂吊在上 顶板前端的螺钉上，以此可确定此状态下 的一条重力作用线；另换一位置垂吊，又 可确定另一条重力作用线。通过两种垂吊 状态下的重力作用线，便可确定此物体的 重心位置。
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参数设置 开启各仪器的电源开关，计算机进入W2K平 台，点击“uTekSs数据采集处理与分析系统”(参见附 4.X)，进入“信号与系统分析”，点击“工程”→“新 建工程“，进入“设置”菜单或屏幕右端“采集参数” 设置测量参数，具体参数选择为： 采样频率：5120Hz；电压范围：程控放大自检最佳放大 倍数；通道数：2；触发参数：触发方式（正触发）， 触发电平（20%），触发延迟（-40），触发通道 （1）；采集控制：采集方式（监视采集），监视类型 （频谱），有无效控制（有）；采样方式：内部，基 准通道号（1）；数字滤波：低通，滤波频率：下限 （0），上限（5000）；
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数据采集：先点击工具栏中的 “示波” 进入示波界面， 试敲力锤，检验力度是否合适，合适后进入“采集”， 并根据提示进行测试；测试毕，点击工具栏中的“系统 分析”→“幅值和相位”，查看测得的幅值和相位图形， 通过点击工具栏中的“→”，“←”，或键盘“→”， “←”，移动光标找出与固有频率理论计算值接近的峰 值，即梁的实际固有频率并填入记录表格。
定义表明 (t ) 只在 t 近旁及其短暂的时 间内起作用，其数值为无限大。但它对积分是有限数1。 由上式的积分式可见，如果时间t以(s)记， 函数的单 位是1/s。 用 函数表示作用在极短时间内冲击力是很方便的。
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设此冲量的大小为S，则相应的冲击力 F S (t )
G( )



f (t )e jt dt
1 f (t ) 2

(5)
jt G ( ) e d
则式（4）可写成
(6)
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G( )



f (t )e jt dt
(5)
1 f (t ) 2


jt G ( ) e d
(6)
以上两式表明，f (t ) 与 G ( ) 可以通过积分互相表达，式 （5）叫做 f (t ) 的傅氏变换。
G ( ) 在振动力学中， 又称非周期函数 f (t )的频谱函 f (t ) G() 数。频谱函数的值一般是复数。它的 称非周期函 数 的频谱或幅值频谱。与周期函数的频谱不同，非 周期函数的频谱是 频率 的连续曲线，故称连续频 f (t ) G ( ) 谱。 通常对一个非周期函数 求傅里叶变换 ， f (t ) 即表示对 作频谱分析。
实验4-3-1测试梁的各阶固有频率实验中梁的振动 可以看成是周期振动，其中使用锤击实现瞬态激励可以 看成是非周期振动。
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用 函数表示冲击力
对作用时间短、变化急剧的力常用它的冲量进行描述。
函数的定义是
0 t (t ) t


（1）
0
(t )dt 1