[数学]应力强度干涉理论
知识点应力状态理论和强度理论
知识点9：应力状态理论和强度理论一、应力状态理论（一）应力状态的概念１．一般情况下，受力构件内各点的应力是不同的，且同一点的不同方位截面上应力也不相同。
过构件内某一点不同方位上总的应力情况，称为该点的应力状态。
２．研究一点的应力状态，通常是围绕该点截取一个微小的正六面体（即单元体）来考虑。
单元体各面上的应力假设是均匀分布的，并且每对互相平行截面上的应力，其大小和性质完全相同，三对平面上的应力代表通过该点互相垂直的三个截面上的应力。
当单元体三个互相垂直截面上的应力已知时，可通过截面法确定该点任一截面上的应力。
截取单元体时，应尽可能使其三个互相垂直截面的应力为已知。
３．单元体上切应力等于零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。
过受力构件内任一点，一定可以找到一个由三个相互垂直主平面组成的单元体，称为主单元体。
它的三个主应力通常用σ１，σ２和σ３来表示，它们按代数值大小顺序排列，即σ１＞σ２＞σ３。
４．一点的应力状态常用该点的三个主应力来表示，根据三个主应力的情况可分为三类：只有一个主应力不等于零时，称为单向应力状态；有两个主应力不等于零时，称为二向应力状态（或平面应力状态）；三个主应力都不等于零时，称为三向应力状态。
其中二向和三向应力状态称为复杂应力状态，单向应力状态称为简单应力状态。
5．研究一点的应力状态是对构件进行强度计算的基础。
（二）平面应力状态的分析１．分析一点的平面应力状态有解析法和图解法两种方法，应用两种方法时都必须已知过该点任意一对相互垂直截面上的应力值，从而求得任一斜截面上的应力。
２．应力圆和单元体相互对应，应力圆上的一个点对应于单元体的一个面，应力圆上点的走向和单元体上截面转向一致。
应力圆一点的坐标为单元体相应截面上的应力值；单元体两截面夹角为α，应力圆上两对应点中心角为２α；应力圆与σ轴两个交点的坐标为单元体的两个主应力值；应力圆的半径为单元体的最大切应力值。
３．在平面应力状态中，过一点的所有截面中，必有一对主平面，也必有一对与主平面夹角为４５︒的最大（最小）切应力截面。
材料力学应力状态和强度理论
x 122.5MPa x 64.6MPa
σy 0
τ y 64.6
(122.5 , 64.6)
D1
B2
o
C
B1
(0 , - 64.6)
由 x ， x 定出 D1 点 由 y ， y 定出 D2 点 以 D1D2 为直径作应力圆。
D2
A1，A2 两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力
1 oA1 150MPa
1 x 136.5MPa
σ x 136.5MPa σy 0
τx0 τy0
2 3 0
D2 (0,0)
D1(136.5,0)
x 136.5MPa
b
σ1
σ x 136.5MPa τ x 0
σy 0
τy0
1 所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C 。
解析法求 a 点的主平面和主应力
解： x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
20
300
100 40
x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
x
2
y
x
2
y
cos
2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos
2
300
100
(20) 2
100
(20) 2
cos( 600)
m
F
A
F
m
A
F
F
A
A 点 横截面 m—m 上的应力为： F
A
n
m
F
A
F
m
n
F
A
2
机械可靠性设计(应力强度干涉模型)
6.4 疲劳强度可靠性设计
静态应力干涉模型对应于应力的单次变化，
疲劳强度考虑载荷的反复作用以及强度分
布随时间的变化。这样的可靠性模型通常
叫应力—强度—时间模型。
6.4.1 S-N曲线及R-S-N疲劳曲线
(1)S-N曲线 为测试某零件的平均寿命，将许多式样在不同应力水 平的循环载荷作用下进行试验至失效。其结果可画在 双对数坐标板上，以应力为纵坐标，以相应的循环 次数N为横坐标，如图示，所得的疲劳曲线为S-N曲线
f( ) g(d )
f( )
g(d )
A1
f(1)
g ( 1 )
A2
-d
1
d
可按下面方法计算零件破坏的概率和可靠度的一般表 达式。 A、概率密度函数联合积分法
应力1落入宽度为d1的小区间内的概率等于该 小区间所决定的单位面积A1即：
d d P ( 1 ) ( 1 ) f ( 1 ) d A1 2 2
d
可靠度是强度d 大于应力 的概率，令d - =y，则 R=P(y >0)=P[(d -)>0]。
f( )、g(d )为正态分布，y的概率密度函数h(y)呈正态 分布 y d 1 1 y y 2 h( y ) exp[ ( ) ] 2 2 2 2 Sy S y 2 S S S
d min (1 Zd Cd ) d nR max (1 Z C )
Zd、Z —强度、应力的标准正态偏量；
结论：
Cd、C —强度、应力的变差系数；
当强度和应力的标准差不变时，提高平均安全系数就
会提高可靠度。
当强度和应力的标准差不变时，缩小它们的离散性，
应力强度干涉理论
轴的台阶处直角形过度，过小的内圆角半径，尖锐的棱边等造成应 力集中，这些应力集中处，有可能成为零件破坏的起源地 对零件的工作条件估计错误，如对工作中可能的过载估计不足，造 成设计的零件的承载能力不够 设计者仅根据材料的常规性能指标做出决定，而这些指标根本不能 反映材料对所发生的那种类型的失效的抗力
Rt PS s P( S s 0)
19
应力－强度干涉模型
f s f S
f s
f S
O
图10-1 应力-强度干涉模型 图3-3 应力－强度干涉模型
s，S
20
可靠度的一般表达式
根据以上干涉模型计算在干涉区内强度大于应 力的概率——可靠度。如图3-4所示，当应力为时， 强度大于应力的概率为 PS s0 f S dS
28
用矩法确定应力和强度的分布参数
若 D X 很小，则有 E y f 。 对上式两边取方差，取线性近似解
D y D f X D f D X f
S s或S s S——零件（部件）的强度； 0 s——零件（部件）的应力。
18
应力－强度干涉模型
实际工程中的应力和强度都是呈分布状态的随机变量， 把应力和强度的分布在同一座标系中表示（如图3-3所示） 当强度的均值大于应力的均值时，在图中阴影部分表示 的应力和强度 “干涉区”内就可能发生强度小于应力— —即失效的情况 这种根据应力和强度干涉情况，计算干涉区内强度小于 应力的概率（失效概率）的模型，称为应力——强度干 涉模型。 在应力——强度干涉模型理论中，根据可靠度的定义， 强度大于应力的概率可表示为
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设计与几何形状及尺寸 工作环境
环境介质与零件失效 环境温度与零件失效
材料性能与生产情况 使用维护情况
2
基本随机变量
应力、强度定义：
在机械产品中，广义的应力是引起失效的负荷，强度是 抵抗失效的能力。由于影响应力和强度的因素具有随机 性，所以应力和强度具有分散特性。 要确定应力和强度的随机特性，首先应了解影响应力和 强度随机性的因素。
10
载荷
+ 应 力0 辐 _ 时间 (a) + 应 力 辐 0 _ (b) 应 力 辐 0 _ 时间 +
a
+
max a
min
时间 (c)
m
应 力0 辐 _ (d) 时间
图3-1 交变应力的类型
11
设计与几何形状及尺寸
由于制造（加工、装配）误差是随机变量，所以零、构件的 尺寸也是随机变量 设计方案的合理性和设计考虑因素不周到是零件失效的重要 原因之一。例如：
如毛坯生产中产生的缺陷和残余应力、热处理过程中材 质的均匀性难保一致、机械加工对表面质量的影响等， 装配、搬运、储存和堆放等，质量控制、检验的差异等， 以上因素构成了影响应力和强度的随机因素。
零件的失效原因还与材料的内在质量以及机械制造 工艺质量有关。ຫໍສະໝຸດ 冶金质量 机械制造工艺缺陷
16
使用维护情况
5
载荷
载荷类型
扭转载荷——作用在垂直于零件轴线平面内的力偶，它 使零件发生扭转变形。 在扭转载荷作用下，横截面上的切应力的分布规律是： 从表面最大到横截面中心处为零（这里讲的“中心 点”，是指扭转中心轴线与横截面的交点）。 剪切载荷——使零件内相邻两截面发生相对错动的作用 力。 表3-1（d）表示螺栓在连接接合面处受剪切，并与被 连接孔壁互压。螺杆还受弯曲，但在各接合面贴紧的 情况下可以不考虑。 在剪切载荷作用下，力大小沿平行于最小切应力的横 截面上均匀的。
材料力学四个强度理论
之五兆芳芳创作
四大强度准则理论：1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起资料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，资料就要产生脆性断裂.于是危险点处于庞杂应力状态的构件产生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb.σb/s=[σ]所以按第一强度理论成立的强度条件为：σ1≤[σ].2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，资料就要产生脆性断裂破坏.εu=σb/E；ε1=σb/E.由狭义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E所以σ1-u(σ2+σ3)=σb.按第二强度理论成立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ].3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，资料就要产生屈服破坏.τmax=τ0.依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2.所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs.按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ].4、形状改动比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改动比能是引起资料屈服破坏
的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改动比能达到单向应力状态下的极限值，资料就要产生屈服破坏.产生塑性破坏的条件为：所以按第四强度理论的强度条件为：sqrt(σ1^2+σ2^2+σ3^2-σ1σ2-σ2σ3-σ3σ1)<[σ]。
机械故障的理论模型
劣化模型是在分析正常状态、故障状 态及其几个中间劣化状态的基础上所建 立的劣化过程的数学模型。
S=f(x1,x2,…) 影响应力状 态的因素；
δ=f(y1,y2,…) 影响强度的 因素；
应力与强度的三种关系： 1.绝对可靠，R(t)=1 2.有一定可靠度，0<R(t)<1 3.绝对不可靠，R(t)=0
⑶.按应力-强度模型分析机械的可靠性
可靠度：应力和强度相互干涉时,强度比应 力大的概率，即
对结构内部敏感的机件性能参数称为结构敏感 量；如材料内部的杂质，裂纹，晶格缺陷等。
故障和劣化的根源正是机件和材料最薄弱的地 方，与结构的敏感参量密切相关。
⑵按最弱环模型分析系统的可靠性
①串联系统的可靠度总是小于系统中最不可 靠单元的可靠度；
②从经济观点着想，要尽可能使系统中各个 单元可靠度相等；
③在串联系统中，组成系统的单元越多，则 系统的可靠度越低。因此，从可靠度观点 出发，希望系统由较少单元组成。
机械故障模型
1.应力-强度模型
⑴.应力和强度概念--广义性：
应力——凡是引起机件或整机故障的各种因 素都称为应力。 强度——凡是抵抗机件或整机发生故障的因 素一概称为强度。
⑵.应力-强度干涉理论
由于载荷状况、材料性质、加工质量等 不确定性，因此应力-强度具有随机变量性 质。其概率分布有三种可能情况，即：
③对于N>107次出现大片分布滑移，无硬化现象，也无微裂 纹出现。零件寿命无限性。
⑵损伤累积理论
估算机件在变幅应力作用下疲劳寿命的方法， 建立在“损伤”概念上。当机件承受高于疲劳极限 应力时，每一循环都使机件产生一定损伤，这种损 伤是能累积的。当损伤积累到临界值将发生破坏， 即疲劳损伤累积理论。
第九章：复杂应力状态及强度理论
杆在周向截面上没有应力。又由切应力互等定理可知， 杆在径向截面上 B 点处应该有与相等的切应力。于是 此单元体各侧面上的应力如图.
第一节：应力状态概念
三、主平面、主应力、应力状态的分类
主单元体：在一般情况下，表示一点处应力状态的应力单元体在其各个表面上同时 存在有正应力和切应力。但是可以证明：在该点处以不同方式截取的各个单元体中， 必有一个特殊的单元体，在这个单元体的侧面上只有正应力而没有切应力。这样的 单元体称为该点处的主应力单元体或主单元体。
sin 2 cos 2
当 450 时， max
当 00 时， max
低碳钢试件扭转破坏是被剪断的，且其抗剪能力低于其抗拉能力。 铸铁试件扭转破坏是被拉断的，且其抗拉能力低于其抗剪能力。
第二节：二向应力状态分析
例 9-3 图示单元体，x =100MPa，x = – 20MPa， y =30MPa。试求：1） =40º的斜截面上的 和 ；2）确定 A 点处的max、max 和它们所在的
由单向应力状态胡克定律可知：主应力 1、 2和 3 单独作用时，分别对 应的纵向线应变为1/E、2/E和 3/E；令横向变形系数 ，则主应力 2 将引起 1 方向相应的线应变为 – 2 /E；其它同理。故 1 由1 的纵向线 应变与 2、3 分别引起的 1 方向相应的横向线应变三项叠加而成。
主应力表示的 广义胡克定律
第三节：三向应力状态分析
第三节：三向应力状态分析
复杂应力状态下一点处的最大应力 1、一点处的最大正应力
设一点处的主应力单元体如图 a 所示，研究证明，当主应力按 1 2 3
排列时，则有
max 1
min 3
第三节：三向应力状态分析
2、一点处的最大切应力
应力状态及强度理论
应力张量是一个二阶对称张量， 包含六个独立的分量，可以用 来描述物体的应力状态。
主应力和应力张量可以通过计 算得到，它们是描述物体应力 状态的重要参数。
02
强度理论
第一强度理论
总结词
最大拉应力准则
详细描述
该理论认为材料达到破坏是由于最大拉应力达到极限值，不考虑剪切应力和压 力的影响。
第二强度理论
05
实际应用
航空航天领域
飞机结构强度分析
利用应力状态及强度理论，对飞 机各部件的受力状态进行详细分 析，确保飞机在各种工况下的结 构安全。
航天器材料选择
根据材料的应力-应变关系，选择 适合航天器发射和运行阶段的材 料，确保航天器的可靠性和寿命。
航空材料疲劳寿命
评估
通过应力状态及强度理论，评估 航空材料的疲劳寿命，预防因疲 劳引起的结构失效。
03
材料失效分析
弹性失效
总结词
材料在弹性阶段发生的失效。
详细描述
当材料受到的应力超过其弹性极限时 ，会发生弹性失效。这种失效通常表 现为突然断裂或大幅度变形，且材料 不具有恢复原状的能力。
塑性失效
总结词
材料在塑性阶段发生的失效。
详细描述
当材料受到的应力超过其屈服点后，会发生塑性失效。这种 失效表现为材料发生较大的塑性变形，无法保持其原始形状 和尺寸。
土木工程领域
桥梁承载能力分析
通过对桥梁的应力分布和承载能力的分析，确保桥梁在设计寿命 内的安全性和稳定性。
建筑结构抗震设计
利用强度理论，对建筑结构进行抗震设计，提高建筑物的抗震能 力，减少地震灾害的影响。
岩土工程稳定性分析
通过对岩土工程的应力状态和强度理论的分析，评估岩土工程的 稳定性和安全性。
力学四个强度理论？
力学中常用的四个强度理论是：
1. 最大剪应力理论（Tresca理论）：最大剪应力理论假设材料在破坏前，会发生剪应力最大的区域，因此材料的破坏准则基于剪应力达到一定的临界值。
2. 极限强度理论（Rankine理论）：极限强度理论认为材料在破坏前，承受的应力应该小于材料的屈服强度，因此材料的破坏准则基于主应力或主应力之和。
3. 椭圆形变能理论（Von Mises理论）：椭圆形变能理论基于金属塑性变形过程中的等效应变能，认为材料在破坏前，应变能密度达到一定的临界值。
4. 梁库伦应力理论（Mohr-Coulomb理论）：梁库伦应力理论主要适用于岩石和土壤等非金属材料的破坏，该理论基于材料的摩擦角和抗压强度，判断材料的破坏状态。
这些强度理论都是基于材料的力学性质和破坏机制而提出的，用于进行材料的强度设计和破坏分析。
在具体应用中，选择合适的强度理论取决于材料的特性、实际应力状态和设计要求。
材料力学应力状态分析和强度理论
材料力学应力状态分析和强度理论材料力学是一门研究物质内部各个部分之间的相互作用关系的科学。
在材料力学中，应力状态分析和强度理论是非常重要的概念和方法，用来描述和分析材料的力学行为和变形性能。
材料的应力状态是指在外力作用下，物体内部各个部分所受到的力的分布情况。
应力有三个分量：法向应力、剪应力和旋转应力。
法向应力是垂直于物体表面的作用力，剪应力是平行于物体表面的作用力，旋转应力则是物体受到扭转力产生的应力分量。
应力状态的描述可以用应力矢量来表示。
应力状态分析的目的是确定材料内部各个部分的应力分布情况，进而推导出物体的变形和破坏行为。
常用的应力状态分析方法有平面应力问题、平面应变问题和三维应力问题。
平面应力问题是指在一个平面上的应变为零，而垂直于该平面的应力不为零；平面应变问题是指在一个平面上的变形为零，而垂直于该平面的应力不为零；三维应力问题则是指在空间中3个方向的应力都不为零。
强度理论是指根据材料的内部应力状态来评估其抗拉强度、抗压强度和抗剪强度等，以判断材料是否能够承受外力而不发生破坏。
常见的强度理论有最大正应力理论、最大剪应力理论和最大扭转应力理论。
最大正应力理论是指在材料的任何一个点，其法向应力都不能超过材料的抗拉强度；最大剪应力理论则是指剪应力不能超过材料的抗剪强度；最大扭转应力理论则是指旋转应力不能超过材料的极限扭转强度。
实际应用中，强度理论通常与材料的断裂理论结合起来，以评估材料的破坏行为。
材料断裂的主要原因是应力超过了材料的强度极限，从而导致材料的破坏。
为了提高材料的强度和抗拉性能，可以通过选择合适的材料、改变材料的结构和制造工艺等方法来实现。
综上所述，材料力学应力状态分析和强度理论是描述和分析材料力学行为和变形性能的重要理论和方法。
通过深入研究应力状态、应力分析和强度理论，可以为材料的设计和制造提供指导和支持，从而提高材料的强度和抗拉性能。
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+
+
应
应
力0
力
辐
辐
_
_0
时间
(a)
力 辐
max a
应 力0 m辐
_0
min
_
时间
(c)
(d)
图3-1 交变应力的类型
时间
时间 10
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影响应力的主要因素有所承受的外载荷、结构的几何形 状和尺寸，材料的物理特性等
影响强度的因素
影响强度的主要因素有材料的机械性能、工艺方法和使 用环境等
2
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基本随机变量 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。
载荷
变化可以是周期性的，也可以是无规则的。
8
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载荷 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。
载荷的性质
交变应力的形式 对称循环应力——等值交变的拉伸、压缩和剪切应力 （图3-1(a)）。 脉动循环应力——单向应力，其应力值从零变化到最 大，r=0，如图3-1(b)所示。 非对称循环应力——应力值由最小到最大变化，最小 应力既可能是正值（图3-2(c)），也可能负值。 随机循环应力——实际运转的机器，由于服役条件可 能发生变化
对零件的工作条件估计错误，如对工作中可能的过载估计不足，造 成设计的零件的承载能力不够
应力状态及强度理论
/
2
低碳钢
低碳钢 : σ s 240MPa; τs 200MPa
灰口铸铁 : σ Lb 98 ~ 280MPa σ yb 640 ~ 960MPa; τb 198 ~ 300MPa
铸铁
30° 40
图示单元体中应力单位为MPa
20
①求斜截面上旳应力
30
解 : x 30 y 40
60°
y
二、应力圆旳画法
y
Ox
C O
B(y ,yx)
x
xy
建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好百分比尺）
在坐标系内画出点A( x，xy) 和B(y，yx)
x
A(x ,xy)
AB与 轴旳交点C便是圆心。
以C为圆心，以AC为半径画
圆——应力圆；
y
n 三、单元体与应力圆旳相应关系
x
xy
面上旳应力( ， ) 应力圆上一点( ， )
y
y
主单元体：
x
六个面上剪应力均为零旳单元体。
z
z
2
主平面：
剪应力为零旳截面。 x
主应力：
主平面上旳正应力。
1
主应力排序规则：按代数值大小排序：
3
σ1 σ2 σ3
三向应力状态： 三个主应力都不为零旳应力状态。（即三对平行平面上旳应
力均不为零）
二向应力状态： 一种主应力为零旳应力状态。（即仅一对平行平面上旳应力为零）
y
一、应力圆
x
y
xy
Ox
x
y
y
xy
σα
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α
τ xy sin2α
第四章 应力——强度分布干涉理论和机械零件的可靠度计算
（4-2）
同时，强度值S超过应力值s1概率等于阴影面积A2，表示 为
P S s1 f (S )dS A2
s1
（4-3）
A1、A2表示两个独立事件各自发生的概率。 如果这两个 事件同时发生，则可应用概率乘法定理来计算应力值为s1 时的不失效概率，即可靠度，得:
dR A1 A2 f s1 ds f (S )dS ]ds
R t N( s NT 1)
1
1
显然，模拟的次数越多，则所得可靠度的精度越 高。
§4-2 应力一强度分布干涉理论
载荷统计和 概率分布 几何尺寸分布和 其它随机因素 应力计算 机械强度可靠性设计过程框图 强度计算
材料机械性能统 计和概率分布
应力统计和 概率分布
干涉模型
强度统计和 概率分布
机械强度可靠性设计
机械零件的可靠性设计是以应力-强度分布干涉理 论为基础的，该理论是以应力-强度分布干涉模型 为基础的，从该模型可清楚地揭示机械零件产生故 障而有一定故障率的原因和机械强度可靠性设计的 本质。 在机械设计中，零件的强度S和工作应力s均为随机 变量、呈分布状态。强度与应力具有相同的量纲， 因此可以将它们的概率密度函数曲线 f (S )和 f (s) 表示 在同一个坐标系中（图1)。 通常要求零件的强度高于其工作应力，但由于零件 的强度值与应力值的离散性，使应力-强度两概率 密度函数曲线在一定的条件下可能相交，这个相交 的区域（如图中的阴影线部分），就是产品可能出 现故障的区域，称为干涉区。
S s S (1 ) s(1 ) S s
故安全系数:
s S s n S s 1 S 1
机械可靠性设计应力强度干涉模型
(3)韦布尔分布时的MTBF
MTBF R(t )dt
0 0
1 tf (t )dt ( 1) b
6.3 机械强度可靠性设计
6.3.1 机械可靠性设计原理—应力强度分 布干涉理论
1、应力—强度干涉模型
机械可靠性设计就是要搞清楚载荷应力及零 件强度的分布规律，合理的建立应力与强度之 间的数学模型，严格控制失效概率，以满足设 计要求。 下图给出了强度可靠性设计过程
B、也可按 >d 概率计算(略)
R P( d ) g (d )[ f ( )d ]dd
6.3.2 应力、强度均为正态分布时的可靠度计算
1 2 exp[ ( ) ] 2 S S 2 1 1 d d g (d ) exp[ ( )] 2 Sd S 2 f ( ) 1
1)方案论证阶段
2)审批阶段 3)设计研制阶段 4)生产及实验阶段 5)使用阶段 可靠性设计的重要内容：
可靠性预测
可靠性分配
可靠性的数值标准(指标)
可靠度(Reliability)
失效率或故障率(Failure Rate)
平均寿命(Mean Life)
有效寿命(Useful Life)
y
d
R P( y 0) h( y )dy
0
0
1 1 y y 2 exp[ ( ) ]dy 2 Sy S y 2
例：某零件强度d =180MPa，Sd =22.5MPa；工作应力 =130MPa，S =13MPa，且强度和应力均服从正态 分布。试计算零件的失效率与可靠度。若控制标准差， 使其降到Sd =14MPa，失效率与可靠度为多少？ 解：
应力——强度分布干涉理论
应当注意，两个分布曲线的重叠面积不能用来作为失概 率的定量表示，因为即使两个分布曲线完全重叠时，失效概 率也仅为50％，即仍有50％的可靠度。
可靠度的一般表达式
在机械零件的危险剖面上，当材料的强度值S大于应力值s
时，不会发生失效；反之，将发生失效。由图5-3可知，
应即力值s1存在于区间s1
ds 2
R t
f (n)[ f ( N )dN ]dn
n
式中，n为工作循环次数；N为失效循环次数
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通常要求零件的强度高于其工作应力，但由于零件 的强度值与应力值的离散性，使应力-强度两概率 密度函数曲线在一定的条件下可能相交，这个相交 的区域（如图中的阴影线部分），就是产品可能出 现故障的区域，称为干涉区。
从干涉模型可知，由于干涉的存在，任一设计都存在故 障或失效的概率。
机械零件的可靠度主要取决于应力-强度分布曲线干涉的 程度。如果应力与强度的概率分布曲线已知，就可以根据其 干涉模型计算该零件的可靠度。
由应力分布和强度分布的干涉理论可知，可靠度是“强度 大于应力的整个概率”，表示为：
Rt
=P(S>s)=P(S-s>0)=P
S s
1
如能满足上式，则可保证零件不会失效，否则将出现失
效。图5-1表示出这两种情况。当t=0时，两个分布之间有
一定的安全裕度，因而不会产生失效。但随着时间的推移，
由于材料和环境等因素，强度会逐渐衰减恶化（沿着衰减
dR A1A2
f
s1 ds
s1
f (S)dS
因为零件的可靠度为强度值S于所有可能的应力值s整个概
率，所以
R t
dR
f (s)[ f (S )dS ]ds