1、3绝对值不等式的解法

1 3 B.{x|－2＜x＜2} 3 1 C.{x|x＞2或 x＜－2且 x≠－3} 3 D.{x|1＜x＜2}
√
1
2
3
4
5
解析
答案
3.不等式|x＋1|＋|x＋2|＜5的所有实数解的集合是 A.(－3,2) C.(－4,1) √ 解析 B.(－1,3)
3 7 D. (－2，2)
|x＋1|＋|x＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离之和，根
答案
解不等式|2x+1|-|x-2|>0 总结: |f(x)|>|g(x)|
x<-3,或x>1/3
[f(x)]2>[g(x)]2 [f(x)-g(x)][f(x)+g(x)]> 0
①
-1
②
3
③பைடு நூலகம்
例2 解不等式|x +1| + |3－x| >2 + x. 解：原不等式变形为| X +1| + |X －3| > 2 + X. 若| X +1| = 0,X =-1;若| X －3| = 0,X=3. 零点-1,3把数轴分成了三部分,如上图所示.
|x－2|≤4，
②
由①得x－2≤－2或x－2≥2， ∴x≤0或x≥4， 由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6. ∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}．
解答
反思与感悟
|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法
(1)当c＞0时，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，
|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.
有更一般的结论：
0<x<2
类型1
|f(x)|<g(x) |f(x)|>g(x)
-g(x)<f(x)<g(x) f(x)>g(x) 或f(x)<-g(x)
1、3、2双绝对值不等式的解法
x a x b c和 x a x b c
例：
方法1：分类讨论 方法3：几何意义
方法2：函数图像的观点
⇔
x＜－1或x＞3，
－5＜x＜7
⇔ －5＜x＜－1或3＜x＜7.
∴不等式||x－1|－4|＜2的解集为{x|－5＜x＜－1或3＜x＜7}．
解答
类型三
含绝对值不等式的恒成立问题
例3 已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x＋a|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≤6的解集；
解答
(2)若关于x的不等式f(x)＞a恒成立，求实数a的取值范围． 解 ∵f(x) ＝ |2x ＋ 1| ＋ |2x ＋ a|≥|(2x ＋ 1) － (2x ＋ a)| ＝ |a － 1| ， ∴f(x)min＝|a－1|. 要使f(x)＞a恒成立，只需|a－1|＞a成立即可． 由|a－1|＞a，得a－1＞a或a－1＜－a，
类型二 |x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
例2 解关于x的不等式：|3x－2|＋|x－1|＞3.
解答
反思与感悟
|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间
(零点分段)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，
解答
反思与感悟
不等式解集为R或为空集时，都可以转化为不等式恒成立问题． f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a，f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a.
跟踪训练3 取值范围．
已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.根据以下情形分别求出m的
(1)若不等式有解；
解答
(2)若不等式的解集为R； 解 方法一 若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|
解答
当堂训练
1.不等式|x＋1|＞3的解集是 A.{x|x＜－4或x＞2} √ C.{x|x＜－4或x≥2} B.{x|－4＜x＜2} D.{x|－4≤x＜2}
解析 |x＋1|＞3，则x＋1＞3或x＋1＜－3，
因此x＜－4或x＞2.
1
2
3
4
5
解析
答案
|2x－1|－2 2.不等式 ＞0 的解集为 |x＋3| 3 1 A.{x|x＞2或 x＜－2}
1 x 2
① 1 ② 2 ③
x 1 4 2x 3 x x 0
又∵ 1＜x ≤2，∴此时原不等式的解集为φ (3)当x＞2时,原不等式化为 x 1 2x 4 3 x x 4 1 综上所述，原不等式的解集为 x | x 或x 4.
的关键是“零点分段”法．
题型探究
类型一
|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c＞0)型的不等式的解法
例1 解下列不等式： (1)|5x－2|≥8；
6 解 |5x－2|≥8⇔5x－2≥8 或 5x－2≤－8⇔x≥2 或 x≤－5， 6 ∴原不等式的解集为{x|x≥2 或 x≤－5}．
解答
(2)2≤|x－2|≤4. 解 原不等式等价于 |x－2|≥2， ①
①|x|＜a⇔ (－a＜x＜a(a＞0)， ∅ (a≤0). R (a＜0)，
②|x|＞a⇔
x∈R且x≠0 (a＝0)，
x＞a或x＜－a (a＞0).
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c ，
②|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c .
(2)当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|＜c的解集为∅.
(3)当c＜0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为∅.
跟踪训练1 解下列不等式： (1)3≤|x－2|＜4； 解 方法一 原不等式等价于 |x－2|≥3， ①
|x－2|＜4.
②
由①，得x－2≤－3或x－2≥3，∴x≤－1或x≥5，
1
2
3
4
5
解析
答案
5.解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥8.
1
2
3
4
5
解答
规律与方法
1.解不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c (1)当c≥0时，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，解之即可；|ax＋b|≥c⇔ax＋ b≥c或ax＋b≤－c，解之即可. (2) 当 c ＜ 0 时，由绝对值的定义知|ax ＋ b|≤c 的解集为 ∅ ， |ax ＋ b|≥c 的解 集为R.
(1)当x 1 时, x 1 0, x 3 0,
原不等式变形为 ( x 1) ( x 3) 2 x,即x 0.
此时, 得{x | x 1 }
{x | x 0} {x | x 1 }.
-1 ② 3 三、例题讲解 ① ③ 例2 解不等式|x +1| + |3－x| >2 + x. {x |x 1 }; 解： (1)当x 1时, 原不等式的解为
(2)当 1 x 3时, x 1 0, x 3 0,
原不等式变形为( x 1) ( x 3) 2 x,即x 2.
此时, 得{x | 1 x 3} {x | x 2} {x | 1 x 2};
(3)当x 3时, x 1 0, x 3 0, 原不等式变形为( x 1) ( x 3) 2 x,即x 4.
但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．
知识点二
|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
思考
如何去掉|x－a|＋|x－b|的绝对值符号？ 答案 采用零点分段法． 即令|x－a|＋|x－b|＝0，得x1＝a，x2＝b，(不妨设a＜b)
－2x＋a＋b(x≤a)， |x－a|＋|x－b|＝ b－a(a＜x≤b)， 2x－a－b(x＞b).
段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、
负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．
(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确
求出函数的零点并画出函数图象 ( 有时需要考查函数的增减性 ) 是解题关 特别提醒：解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，去绝对值符号 键．
1 ∴a＜2，
1 ∴a 的取值范围是(－∞，2)．
解答
引申探究 若f(x)＝|2x＋1|－|2x＋a|且f(x)＜a恒成立，求a的取值范围． 解 ∵f(x)＝|2x＋1|－|2x＋a|≤|(2x＋1)－(2x＋a)|＝|a－1|， ∴f(x)max＝|a－1|. ∵f(x)＜a恒成立， ∴|a－1|＜a， ∴－a＜a－1＜a， 1 1 ∴a＞2，∴a 的取值范围是(2，＋∞)．
1、3绝对值不等式的解法
知识点一
|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c型不等式的解法
思考1
|x|≥2说明实数x有什么特征？
答案 x在数轴上对应的点x到原点的距离大于等于2.
∴x≥2或x≤－2.
思考2
若|2x－3|≤5，求x的取值范围． 答案 {x|－1≤x≤4}．
答案
梳理
(1)含绝对值不等式|x|＜a与|x|＞a的解法
－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的取值范围为(－∞，－1)． 方法二 若不等式的解集为R，则m∈(－∞，－1)．
解答
(3)若不等式的解集为∅. 解 方法一 若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大 若不等式的解集为∅，则m∈[1，＋∞)．
值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞)． 方法二
① 1 ② 2 ③

2

1/2
4
梳理
|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的 几何意义 求解，体现数形结合思想，理解绝对值
的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．
(2)以绝对值的“ 零点 ”为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分
此时, 得{x | x 3} {x | x 4} {x | x 4}; 将(1) 、 (2) 、 (3)的结果取并集 , 2 4
则原不等式的解集为 {x | x 2, 或x 4}.
三、例题讲解 例3 解不等式| x －1 | + | 2x－4 |＞3 + x 解:(1)当x≤1时原不等式化为: 1－x + 4 －2x ＞3 + x (2)当1＜x ≤2时,原不等式化为:
结论：形如| f(x)|<a, |f(x)|>a 不等式的解法:
(a>0)
f ( x) a a f ( x) a
f ( x) a f ( x) a或f(x) a
结论：形如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中
“a”用代数式替换，如何解？
例:解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.
因此|x＋1|＋|x＋2|＜5解集是(－4,1).
1
2
3
4
5
解析
答案
4.已知x为实数，且|x－5|＋|x－3|＜m有解，则m的取值范围是 A.m＞1 B.m≥1 C.m＞2 √ D.m≥2
解析 ∵|x－5|＋|x－3|≥|(x－5)－(x－3)|＝2， ∴m＞2.
例1 解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.
解答
2.解|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型的不等式的核心步骤是“零点 分段”，即 (1)令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根； (2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间； (3) 由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求 出它们的解集； (4)这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集.
由②，得－4＜x－2＜4，∴－2＜x＜6.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}．
方法二
3≤|x－ 2| ＜4⇔3≤x－2 ＜4 或－4 ＜x－2≤－3⇔5≤x＜ 6 或
－2＜x≤－1.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}．
解答
(2)||x－1|－4|＜2. 解 ||x－1|－4|＜2⇔－2＜|x－1|－4＜2⇔2＜|x－1|＜6 ⇔ |x－1|＞2， |x－1|＜6 ⇔ x－1＜－2或x－1＞2， －6＜x－1＜6