绵阳市高中2017级(2019.10.31)第一次诊断性考试数学理科试题(PDF版,含答案答题卡)

绵阳市高中2017级第一次诊断性考试
理科数学参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
ACDBB DBCAC AD
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．e 14．4
π 15． 16．12m =−或m ≥0 三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．解：（1）22()(cos sin )2sin f x x x x =−−
212sin cos 2sin x x x =−−
cos 2sin 2x x =−
)4x π+
， ……………………………………………4分 ∴ T =22
ππ=， 即()f x 的最小正周期为π. ……………………………………………………5分 ∵ cos y x =的单调递减区间为[2k π，2k ππ+]，k ∈Z ，
∴ 由2k π≤2x +4π≤2k ππ+，k ∈Z ，解得8
k ππ−≤x ≤38k ππ+，k ∈Z ， ∴ ()f x 的单调递减区间为[8k π
π−，38
k ππ+]，k ∈Z ． ……………………7分
（2）由已知0()=1f x −，可得0)14x π+
=−， ………………………10分
即0cos(2)4x π
+=， 再由0()2x ππ∈−−
，，可得0732()444x πππ+∈−−，， ∴ 05244
x π
π+=−， 解得 03=4
x π−．………………………………………………………………12分
18．解：（1）∵ a n +2+a n =2a n +1，n ∈N *，即a n +2-a n +1=a n +1-a n ，
∴ 数列{}n a 是等差数列.
由1411+37a a a d ，===，解得112a d ，==，
∴1=+(1)21n a a n d n −=−. ………………………………………………………4分 当1n =时，12b =，
当n ≥2时，1122(22)n n n n n b S S +−=−=−−−
1222222=n n n n n +−=⨯−=.
∴ 数列{}n b 的通项公式为2n n b =．……………………………………………8分
（2）由（1）得，212n n c n −=+，………………………………………………9分 3521(21)(22)(23)(2)n n T n −=++++++
++ 3521(2222)(123)n n −=+++++++++ 2(14)(1)142
n n n −+=+− 2122232
n n n +−+=+． ……………………………………………………12分 19．解：（1）在△ABC 中，A +B +C =π，即B =π-(A +C )，
∴ sin B =sin(A +C )，
由题意得 cos B =sin B +1． …………………………………………………3分 两边平方可得2cos 2B =sin 2B +2sin B +1，
根据sin 2B +cos 2B=1，
可整理为3sin 2B+2sin B -1=0， 解得3
1sin =B 或sin B =-1（舍去）．……………………………………………5分 ∴ 3
1sin =B ． ……………………………………………………………………6分 （2）由2C A π−=
，且A B C π++=， 可得22
A B π
=−，C 为钝角， ∴ sin 2cos A B =，
又b =
由正弦定理得sin
sin a b c A C
===
∴a A =，c C =． 又C 为钝角，由（1
）得cos B =
． ………………………………………9分 ∴ △ABC 的面积为111sin 223S ac B A C ==⨯⨯⨯
99sin
sin()sin cos 222
A A A A π=+= 99
9sin 2cos 444A B ==== 综上所述，△ABC 的面积为
2． …………………………………………12分 20．解：（1）由题意得ln 244()1ln 2ln 2
x f x x x +−==−++， ………………………2分 由x ≥1，知ln x ≥0，于是ln x +2≥2，
∴ 10ln 2x <+≤12，即420ln 2
x −≤−<+， ∴-1≤41ln 2x −
+<1， ∴()f x 的值域为[-1，1)． ……………………………………………………5分
(2)=+)()(21x f x f 2ln 412ln 4121+−++−x x 2
1=， 所以2
32ln 42ln 421=+++x x ． 又1211x x >>，，
∴2121ln ln ln x x x x +=42ln 2ln 21−+++=x x ………………………………8分
4)2
ln 42ln 4()]2(ln )2[(ln 322121−+++⋅+++=x x x x 21124(ln 2)4(ln 2)2[8]43ln 2ln 2
=x x x x ++++−++
≥
220(8433
+−=， ……………………………………………11分 当且仅当21124(ln 2)4(ln 2)ln 2ln 2x x x x ++=++，即x 1=x 2时取“=”， 故20312min ()e x x =，
∵ ()f x 在(1，+∞)上是增函数，
∴ 13
7)(min 21=x x f ． ………………… ………………………………………12分 21．解：（1）由题意得e ()e 2(2)x x f x ax x a x '=−=−，令e ()x
h x x
=， 则2e (1)()x x h x x
−'=． ……………………………………………………………2分 ∴ 当0<x <1时，得()h x '<0，此时()h x 单调递减，且x →0，()h x →+∞，
当x >1时，得()h x '>0，此时()h x 单调递增，且x →+∞，()h x →+∞， ∴ ()h x min =h (1)=e ．
①当2a ≤e ，即a ≤e 2
时，()f x '≥0，于是()f x 在(0，+∞)上是增函数， 从而()f x 在(0，+∞)上无极值．
②当2a >e ，即a >e 2
时，存在0<x 1<1<x 2，使得1()f x '=2()f x '=0， 且当x ∈(0，x 1)时，()f x '>0，()f x 在(0，x 1)上是单调递增；
当x ∈(x 1，x 2)时，()f x '<0，()f x 在(x 1，x 2)上是单调递减；
当x ∈(x 2，+∞)时，()f x '<0，()f x 在(x 2，+∞)上是单调递增，
故x 2是()f x 在(0，+∞)上的极小值． 综上，e 2
a >． …………………………………………………………………6分 （2）要证f (x )>ax (ln x -x )即等价于证明e x >ax ln x ．
①当0<x ≤1时，得e x >1，ax ln x ≤0，
显然成立； ………………………………………………………………………7分 ②当x >1时，则x ln x >0，
结合已知0<a ≤2e 2，可得0<ax ln x ≤2
e 2
x ln x ．
于是问题转化为证明e x >2
e 2x ln x ， 即证明2
2e ln 0x x x
−−>． …………………………………………………………8分 令2
2e ()ln 1x g x x x x
−=−>，， 则22
2e (1)()x x x g x x −−−'=， 令2()2e (1)x h x x x −=−−，
则2()2e 1x h x x −'=−，
易得()h x '在(0)+∞，上单调递增. ∵2(1)=10(2)=30e
h h ''−<>，， ∴存在0(12)x ∈，
使得0()=0h x '，即0202e 1x x −=. ∴()h x 在区间(1，0x )上单调递减，
在区间(0x ，+∞)上单调递增， ………………………………………10分 又(1)=10(2)=0h h −<，，
∴当(12)x ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减，
当(2)x ∈+∞，时，()0g x '>，()g x 单调递增，
∴()g x ≥(2)g =1-ln2>0，
故g (x )>0，问题得证． ……………………………………………………12分
22．解：（1）由题意得2222(cos )(sin )4x y αααα+=+=，
∴ 曲线C 的普通方程为224x y +=． …………………………………………2分 ∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=，
∴ 代入可得曲线C 的极坐标方程为2ρ=． ………………………………5分
（2）把=
3πθ代入ρcos(6πθ−)=3中， 可得ρcos(36ππ
−)=3，
解得ρ=，
即B 点的极径B ρ=，
由（1）易得A ρ=2，
∴ |AB |=|A ρ-B ρ|=-2． ………………………………………………10分
23．解：（1）当m =2时，f (x )=︱x -2︱+︱x+1︱-5．
当x ≤-1时，()(2)(1)50f x x x =−−−+−≥，
解得x ≤-2； ……………………………………………………………………1分 当-1<x <2时，()(2)15f x x x =−−++−≥0，
无解． ……………………………………………………………………………3分 当x ≥2时，()215f x x x =−++−≥0，
解得x ≥3； ……………………………………………………………………4分
综上，原不等式的解集为(2][3)−∞−+∞，
，． ………………………………5分 （2）∵()|||1|5f x x m x =−++−≥|()(1)|5x m x −−+−
|1|5m =+−≥-2，
∴ |1|m +≥3， …………………………………………………………………8分 ∴ m +1≥3或m +1≤-3，
即m ≥2或m ≤-4，
∴ 实数m 的取值范围是(−∞，-4][2)+∞，
． ……………………………10分。