第3章数值分析---最佳平方逼近

它可表示为
Tn ( x) cos( n arccos x),
x 1.
（2.10）
若令 x cos ， 则 Tn ( x) cos n , 0 .
7
3.3.1
最佳平方逼近及其计算
对 f ( x) C[a, b] 及 C[a, b] 中的一个子集
span{0 ( x), 1 ( x), , n ( x)}
0
(1 x 2 )dx 0.426d1 0.934d 0 0.0026.
0
1
最大误差 ( x)

max
0 x 1
* 1 x 2 S1 ( x) 0.066.
14
3.3.2
用正交函数族作最佳平方逼近
设 f ( x) C[a, b], span{0 ( x), 1 ( x), , n ( x)},
就是在区间 [ , ] 上的正交函数族.
5
勒让德多项式 P59-61
P ,P 利用上述递推公式就可推出 0 ( x) 1 1 ( x) x,
2 P ( x ) ( 3 x 1) / 2, 2
3 P ( x ) ( 5 x 3 x) / 2, 3
4 P 30 x 2 3) / 8, 4 ( x) (35 x
det G(0 , 1 ,, n ) 0 ( P56)
* 于是方程组（3.3）有唯一解 ak ak
(k 0,1, , n),
* * S * ( x) a0 0 ( x ) an n ( x).
10
若取 k ( x) x k , ( x) 1, f ( x) C[0, 1], 则要在 H n
1/ 2 1/ 3 1 /( n 2)
1 /( n 1) 1 /( n 2) （3.6） 1 /( 2n 1)
称为希尔伯特(Hilbert)矩阵.
T T 记 a (a0 , a1 ,, an ) , d (d 0 , d1 ,, d n ) , 则
若 P( x) span{0 , 1 ,, n }(由0 , 1 ,, n生成的函数空间
则称相应的 P* ( x)为最佳逼近函数.
通常将范数 取为

或 2.
1
若取 ，即
f ( x) P * ( x)

min f ( x) P( x)
PH n PH n a x b
有正规方程组(法方程组)
b b
( ( x), ( x))a
j 0 k j
n
j
( f ( x), k ( x)), k 0,1,.., n
( ( x) ( x)dx)a ( ( x) ( x)dx)a ... ( b ( x) ( x)dx)a b f ( x) ( x)dx 0 0 0 1 0 n 0 a 1 a n a a 0 b b b b ( 0 ( x) 1 ( x)dx)a0 ( 1 ( x) 1 ( x)dx)a1 ... ( n ( x) 1 ( x)dx)an f ( x) 1 ( x)dx a a a a ( b ( x) ( x)dx)a ( b ( x) n ( x)dx)a ... ( b ( x) ( x)dx)a b f ( x) ( x)dx n 0 0 1 n n n a 1 a n a a 0
b b a a
k 0时, ( 0 ( x) 0 ( x) dx)a0 ( 1 ( x) 0 ( x) dx)a1 ... ( n ( x) 0 ( x) dx)an
a

b
a
f ( x) 0 ( x) dx
(3.3)式是关于 a0 , a1 ,, an 的线性方程组,称为法方程. 由于 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 线性无关，故
Ha d
* 的解 ak ak (k 0,1, , n) 即为所求.
（3.7）
12
2 例 6 设 f ( x) 1 x , 求 [0, 1]上的一次最佳平方
逼近多项式. 解 利用（3.7），得
1 0
d0
1
பைடு நூலகம்
1 1 x dx ln( 1 2
2
2 2) 1.147, 2
11
n 若用 H表示 Gn G (1, x, , x )
( , ) 0 0 H ( 0 , 1) ( , ) 0 n
1 ... ( n , 0) 1/ 2 ... ( n , 1) ( n , n ) 1 /( n 1)
n
而
j 0
j k. 0, ( j , k ) ( x) j ( x) k ( x)dx a j k. 故法方程（3.3 ）的系数矩阵 Ak 0,
b
( j ( x), j ( x)) 0
（ 2.2 ） Gn G(0 ( x), 1 ( x), , n ( x))
上给出 f ( xi )(i 0,1,, m) ，要求 P* 使
f P * 2 min f P
P 2
min
P
2 [ f ( x ) P ( x )] i i （1.20） i 0
m
则称 P* ( x) 为 f ( x)的最小二乘拟合.
3
定义5
若 f ( x), g ( x) C[a, b], ( x )为 [ a, b]
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用 {1, x,, x n } 做基,求最佳平方逼近多项式,当n很大时, 系数矩阵(3.6)是高度病态,因此直接求解法解方程是相当困难 的,通常采用正交多项式做基. 用正交函数组去平方逼近函数f(x). 设 ( x) 0 ( x)a0 1 ( x)a1 ... n ( x)an , ( x) 1,
若存在 S * ( x) a00 ( x) ... an n ( x) ，使
f ( x) S ( x)
* 2 2
min f ( x) S ( x)
S ( x )
2 2
（3.1）
min
通常 ( x) 1.
函数.
S ( x )

b
a
( x)[ f ( x) S ( x)]2 dx.
3.1.0
最佳逼近
函数逼近主要讨论给定 f C[a, b]，求它的最佳逼近 多项式的问题. 若 P* ( x) H n(次数不超过n次多项式),使误差
f ( x) P* ( x) min f ( x) P( x)
PH n
则称 P* ( x) 是 f ( x)在 [a, b]上的最佳逼近多项式.
中求 n次最佳平方逼近多项式
1
此时
( j ( x), k ( x))

1
0
x k j dx
1 , k j 1
* * * n S * ( x) a0 a1 x an x ,
( f ( x), k ( x))

0
f ( x) x k dx d k .
2 2
min f ( x) P( x)
PH n
2 2
（1.19）
min
PH n

b
a
[ f ( x) P( x)]2 dx,
则称 P* ( x) 是 f ( x)在 [a, b]上的最佳平方逼近多项式.
若 f ( x) 是 [a, b]上的一个列表函数，在
a x0 x1 xm b

（1.18）
min max f ( x) P( x) ,
则称 P* ( x) 是 f ( x)在 [a, b]上的最优一致逼近多项式. 求 P* ( x)就是求 [a, b]上使最大误差 max f ( x) P( x)
a x b
最小的多项式.
2
若取 ，即 2
f ( x) P * ( x)
则称 S * ( x) 是 f ( x) 在子集 C[a, b]中的最佳平方逼近
8
由（3.1）可知该问题等价于求多元函数
I (a0 , a1 , , an ) ( x)[ a j j ( x) f ( x)]2 dx （3.2） a
b j 0 n
的最小值.
I (a0 , a1 ,, an ) 是关于 a0 , a1 , , an 的多元函数，
上的权函数且满足
( f ( x), g ( x))

b
a
( x) f ( x) g ( x)dx 0. （2.1）
则称 f
( x) 与 g ( x) 在 [ a, b] 上带权 ( x ) 正交.
4
若函数族 0 ( x), 1 ( x), , n ( x), 满足关系
( j , k )
1
2 ） 2 1 Ha1 d 2 3 /（ 2 3.7 2 0.609, d1 x 1 x dx (1 x ) 0 3 3 0
得方程组
1 / 2 a0 1.147 1 1 / 2 1 / 3 a 0.609, 1
即
n b I 2 ( x)[ a j j ( x) f ( x)] k ( x)dx a ak j 0
(k 0,1,, n),
9
于是有
(
j 0 b
n
k
( x), j ( x)) a j ( f ( x), k ( x)) (k 0,1, , n). （3.3）
若 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 是满足条件(2.2)的正交函数族， 则
( i ( (x x)) ), x( ))f 0 , i ( j j( ( ( x ), a ( x ), x )) (k 0,1, , n). （3.3） k j j k
5 3 P ( x ) ( 63 x 70 x 15 x) / 8, 5
6 4 2 P ( x ) ( 231 x 315 x 105 x 5) / 16, 6

6
切比雪夫多项式 P61-64
当权函数 ( x)
1 1 x2
，区间为 [1, 1]时，由序
列 {1, x,, x n ,} 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫 (Chebyshev)多项式.
( b ( x) ( x)dx)a 0 ... 0 b f ( x) ( x)dx 0 0 0 a a 0 b b 0 ( 1 ( x) 1 ( x)dx)a1 ... 0 f ( x) 1 ( x)dx a a b 0 0 ... ( ( x) ( x)dx)a b f ( x) ( x)dx n n n a n a
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解之
a0 0.934, a1 0.426,
故
* S1 ( x) 0.934 0.426 x.
平方误差
( x)
1 0
2 2
* ( f ( x), f ( x)) ( S1 ( x), f ( x))
2 1
(1 x )dx (0.934 0.426 x) 1 x 2 dx

b
a
j k. 0, ( x) j ( x)k ( x)dx j k. Ak 0,
（2.2） 则称{ k ( x)} 是 [a, b] 上带权 ( x)的正交函数族. 若 Ak 1，则称之为标准正交函数族. 三角函数族
1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x,
2 利用多元函数求极值的必要条件 * f ( x) S ( x) min f ( x) S ( x) 2 2 2 S ( x )
（3.1）
I 0 min ak
S ( x )

b
a
(k 0,1,, n), 2 ( x)[ f ( x) S ( x)] dx.