江苏省徐州市2021年中考数学试题真题(Word版,含答案与解析)

江苏省徐州市2021年中考数学试卷
一、单选题
1.（2018·衢州）-3的相反数是（ ）
A. 3
B. -3
C. 13
D. −13
【答案】 A
【考点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：-3的相反数是-（-3）=3.
故答案为：A
【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。

2.（2021·徐州）下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B.
C. D.
【答案】 D
【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B.是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D. 是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意
故答案为：D
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐一判断即可. 3.（2021·徐州）下列计算正确的是（ ）
A. (a 3)3=a 9
B. a 3·a 4=a 12
C. a 2+a 3=a 5
D. a 6÷a 2=a 3
【答案】 A
【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，幂的乘方
【解析】【解答】A. (a 3)3=a 9 ，符合题意；
B. a 3·a 4=a 7≠a 12 ，不符合题意；
C. a 2+a 3≠a 5 ，不符合题意；
D. a6÷a2=a4≠a3，不符合题意
故答案为：A
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法及除法、合并同类项分别进行计算，然后判断即可.
4.（2021·徐州）甲、乙两个不透明的袋子中各有三种颜色的糖果若干，这些糖果除颜色外无其他差别.具体情况如下表所示.
若小明从甲、乙两个袋子中各随机摸出一颗糖果，则他从甲袋比从乙袋（）
A. 摸出红色糖果的概率大
B. 摸出红色糖果的概率小
C. 摸出黄色糖果的概率大
D. 摸出黄色糖果的概率小
【答案】C
【考点】概率公式
【解析】【解答】解：P（甲袋摸出红色糖果）=2
5
，
P（甲袋摸出黄色糖果）=2
5
，
P（乙袋摸出红色糖果）=4
10=2
5
，
P（乙袋摸出黄色糖果）=2
10=1
5
，
∴P（甲袋摸出红色糖果）=P（乙袋摸出红色糖果），故A，B错误；
P（甲袋摸出黄色糖果）>P（乙袋摸出黄色糖果），故D错误，C正确.
故答案为：C.
【分析】利用概率公式分别求出甲袋摸出红色糖果，甲袋摸出黄色糖果，乙袋摸出红色糖果，乙袋摸出黄色糖果的概率，然后比较即可.
5.（2021·徐州）第七次全国人民普查的部分结果如图所示.
根据该统计图，下列判断错误的是（）
A. 徐州0－14岁人口比重高于全国
B. 徐州15－59岁人口比重低于江苏
C. 徐州60岁以上人口比重高于全国
D. 徐州60岁以上人口比重高于江苏
【答案】 D
【考点】条形统计图
【解析】【解答】解：根据题目中的条形统计图可知：
徐州0－14岁人口比重高于全国，A选项不符合题意；
徐州15－59岁人口比重低于江苏，B选项不符合题意；
徐州60岁以上人口比重高于全国，C选项不符合题意；
徐州60岁以上人口比重低于江苏，D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据条形统计图中的数据对四个选项逐一判断即可.
6.（2021·徐州）下列无理数，与3最接近的是（）
A. √6
B. √7
C. √10
D. √11
【答案】C
【考点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵32=9，( √6)2=6，( √7)2=7，( √10)2=10，( √11)2=11，
∴与3最接近的是√10，
故答案为：C.
【分析】用逼近法估算无理数的大小，即可求解.
7.（2021·徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）
A. y=(x−2)2+1
B. y=(x+2)2+1
C. y=(x+2)2−1
D. y=(x−2)2−1
【答案】B
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y=x2的顶点坐标为（0，0）
∴将二次函数y=x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为y=(x+2)2+1，
故答案为：B
【分析】先求出y=x2的顶点坐标为（0，0），再求出平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，1），利用平移的性质利用顶点式写出平移后抛物线解析式即可.
8.（2021·徐州）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（）
A. 27倍
B. 14倍
C. 9倍
D. 3倍
【答案】C
【考点】正方形的性质，圆的面积
【解析】【解答】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，
∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，
∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，
∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积= 1
(2x)2=2x2，
2
∴9πx2÷2x2= 9
π≈14，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，
2
故答案为：C.
【分析】由圆和正方形的对称性可知：OA=OD，OB=OC，可设OB=x，则OA=3x，BC=2x，分别求出圆、正方形的面积，即可求出结论.
二、填空题
9.（2021·徐州）我市2020年常住人口约9080000人，该人口数用科学记数法可表示为________人.
【答案】9.08×106
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：9080000=9.08×106，
故答案为：9.08×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此解答即可.
10.49的平方根是________．
【答案】±7
【考点】平方根
【解析】【解答】解：49的平方根是±7．
故答案为：±7．
【分析】根据平方根的定义解答．
11.（2021·徐州）因式分解：x2－36= ________.
【答案】（x＋6）（x－6）
【考点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：x2－36=（x＋6）（x－6）；
故答案为：（x＋6）（x－6）.
【分析】利用平方差公式分解即可.
12.（2021·崆峒模拟）为使√x−1有意义，则x的取值范围是________.
【答案】x≥1
【考点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据二次根式的被开方数为非负数，可知x-1≥0，解得x≥1.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
13.（2021·徐州）若x1,x2是方程x2+3x=0的两个根，则x1+x2=________. 【答案】-3
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1,x2是方程x2+3x=0的两个根，
∴x1+x2=−b
a =−3
1
=−3，
故答案是：-3.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可知x1+x2=−b
a
，据此求解即可.
14.（2021·徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC=58°，则∠BAC= ________°.
【答案】32
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】∵∠ADC=58°，
∴∠ABC=∠ADC=58°，
又∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°−58°=32°.
故答案为：32.
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ABC=∠ADC=58°，由AB是直径，可得∠ACB= 90°，利用三角形内角和即可求出∠BAC的度数.
15.（2021·徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长l为8cm，扇形的圆心角θ=90°，则圆锥的底面圆半径r为________ cm.
【答案】2
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵母线长l为8cm，扇形的圆心角θ=90°
∴圆锥的底面圆周长=θπl
180=90×8π
180
=4πcm
∴圆锥的底面圆半径r=4π
2π
=2cm
故答案为：2.
【分析】根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长即可求解.
16.（2021·徐州）如图，在ΔABC中，点D,E分别在边BA,BC上，且AD
DB =CE
EB
=3
2
，ΔDBE与四边
形ADEC的面积的比为________.
【答案】4
21
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD
DB =CE
EB
=3
2
，
∴BD
AD =BE
EC
=2
3
∴BD
AB =BE
BC
=2
5
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴S△BDE
S△ABC =(BD
BA
)2=(2
5
)2=4
25
∴ΔDBE与四边形ADEC的面积的比= 4
21
.
故答案是：4
21
.
【分析】证明△BDE∽△BAC，可得S△BDE
S△ABC =(BD
BA
)2，据此即可求出结论.
17.（2021·徐州）如图，点A,D分别在函数y=−3
x ,y=6
x
的图象上，点B,C在x轴上.若四边形ABCD
为正方形，点D在第一象限，则D的坐标是________.
【答案】（2，3）
【考点】点的坐标，正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴设D点坐标为（m，6
m ），则A点坐标为（−m
2
，6
m
），
∴m-（−m
2）= 6
m
，解得：m=±2（负值舍去），
经检验，m=2是方程的解，∴D点坐标为（2，3），故答案是：（2，3）.
【分析】设D点坐标为（m，6
m ），由正方形的性质，可得A点坐标为（−m
2
，6
m
），根据正方形
的边长相等，可得m-（−m
2）= 6
m
，求出m值即可.
18.（2021·徐州）如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点E,F分别在线段AB,AD上.若BE= FD=2cm，矩形AEGF的周长为20cm，则图中阴影部分的面积为________ cm.
【答案】24
【考点】矩形的性质
【解析】【解答】∵矩形 AEGF 的周长为 20cm ，
∴ AE +AF =10 ，
设 AE =x ，则 AF =10−x ， AB =x +2 ， AD =12−x ，
S 阴影=S ABCD −S AEGF =AB ×AD −AE ×AF
=(x +2)(12−x)−x(10−x)
=12x +24−x 2−2x −10x +x 2
=24 ，
故答案为24.
【分析】由矩形的性质及周长，可求出AE +AF =10 ， 设 AE =x ，则 AF =10−x ， AB =x +2 ， AD =12−x ，由S 阴影=S 矩形ABCD −S 矩形AEGF ， 利用矩形的面积公式代入计算即得结论.
三、解答题
19.（2021·徐州）计算：
（1）|−2|−20210+√83−(12)−1
（2）(1+2a+1
a 2)÷a+1a
【答案】 （1）解：原式= 2−1+2−2
=1
（2）解：原式=
a 2+2a+1a 2⋅a a+1 =
(a+1)2a 2⋅a a+1 = a+1a
【考点】实数的运算，分式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数幂的性质、立方根进行计算即可； （2）将括号内通分并利用同分母分式加法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可.
20.（2021·徐州）
（1）解方程： x 2−4x −5=0
（2）解不等式组： {2x −1≤3x +2>3x +8
【答案】 （1）解：∵ x 2−4x −5=0
∴ (x +1)(x −5)=0
∴ x 1=−1 ， x 2=5
（2）解：∵{2x−1≤3
x+2>3x+8
∴{2x≤4
2x<−6
∴{x≤2
x<−3
∴x<−3
【考点】因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集即可.
21.（2021·徐州）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE= EC，OE=ED，连接BC，CD.求证：
（1）ΔAOE≅ΔCDE；
（2）四边形OBCD是菱形.
【答案】（1）证明：在△AOE和△CDE中，
∵{AE=CE
∠AEO=∠CED
OE=DE
，
∴△AOE≅△CDE(SAS)
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴AO=BO，
∵△AOE≅△CDE，
∴∠OAC=∠DCA，AO=CD，
∴BO∥CD，BO=CD，
∴四边形OBCD是平行四边形.
∵BO=DO，
∴四边形OBCD是菱形
【考点】菱形的判定，三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据SAS可证△AOE≌△CDE；
（2）先证明四边形OBCD是平行四边形，由BO=DO，利用邻边相等的平行四边形是菱形即证结论.
22.（2021·徐州）如图，将一张长方形纸片ABCD沿E折叠，使C,A两点重合.点D落在点G处.已知AB=4，BC=8.
（1）求证：ΔAEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD//BC
∴∠FEC=∠AFE
因为折叠，则∠FEC=∠AEF
∴∠AEF=∠AFE
∴ΔAEF是等腰三角形
（2）解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=8,CD=AB=4，∠D=90°
设FD=x，则AF=AD−x=8−x
因为折叠，则FG=x，AG=CD=4，∠G=∠D=90°
在Rt△AGF中
FG2=AF2−AG2
即x2=(8−x)2−42
解得：x=3
∴FD=3
【考点】等腰三角形的判定，勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由AD∥BC可得∠FEC=∠AFE，由折叠可得∠FEC=∠AEF，从而得出∠AEF=∠AFE，利用等腰三角形的判定即证结论；
（2）由矩形的性质可得AD=BC=8,CD=AB=4，∠D=90°，设FD=x，可得AF= AD−x=8−x，由折叠可得FG=x，AG=CD=4，∠G=∠D=90°，在Rt△AGF中，由FG2=AF2−AG2可得关于x的方程，求解即可.
23.（2021·徐州）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件.问：该商品打折前每件多少元？
【答案】解：该商品打折卖出x件
400 x ⋅8
10
=400
x+2
解得x=8
经检验：x=8是原方程的解，且符合题意
∴商品打折前每件400
8=
50元
答：该商品打折前每件50元.
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设商品打折卖出x件，根据折后的单价不变，列出方程，求解并检验即可.
24.（2021·徐州）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，A1,B1,B2,⋯,D3,D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内.用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率.
【答案】解：画树状图得：
所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号槽内的概率为3
8【考点】列表法与树状图法
【解析】【分析】利用树状图列举出圆球下落过程中共有8种等可能路径，其中落入③号槽内的有3种，然后利用概率公式计算即可.
25.（2021·徐州）某市近年参加初中学业水平考试的人数（以下简称“中考人数”）的情况如图所示.
根据图中信息，解决下列问题：
（1）这11年间，该市中考人数的中位数是________万人；
（2）与上年相比，该市中考人数增加最多的年份是________年；
（3）下列选项中，与该市2022年中考人数最有可能接近的是（）
A.12.8万人；
B.14.0万人；
C.15.3万人
（4）2019年上半年，该市七、八、九三个年级的学生总数约为（）
A.23.1万人；
B.28.1万人；
C.34.4万人
（5）该市2019年上半年七、八、九三个年级的数学教师共有4000人，若保持数学教师与学生的人数之比不变，根据（3）（4）的结论，该市2020年上半年七、八、九三个年级的数学教师较上年同期增加多少人（结果取整数）？
【答案】（1）7.6
（2）2020
（3）C
（4）C
（5）解：由题意得：2020年上半年学生人数约为11.6+13.7+15.3=40.6，
∴4000×40.6
−4000=721（人）
34.4
答：该市2020年上半年七、八、九三个年级的数学教师较上年同期增加721人.
【考点】用样本估计总体，折线统计图，中位数
【解析】【解答】解：（1）∵11个数据从大到小排列：13.7，11.6，10.3，9.1，8.6，7.6，7.4，6.8，6.6，6.2，6.1，
∴中位数为：7.6，
故答案是：7.6；
（2）∵6.6-6.1=0.5，7.4-6.6=0.8，9.1-7.4=1.7，11.6-9.1=2.5，13.7-11.6=2.1，
∴该市中考人数增加最多的年份是2020年，
故答案是：2020；
（3）∵2021年与2020年中考人数相差2.1万，
∴2022年与2021年中考人数相差约2.1万，
∴2022年中考人数为15.3万人最合适，
故答案为：C ；
（4）∵2019年七年级同学在2021年中考，八年级同学在2020年中考，
∴2019年上半年，七八九年级总人数为：9.1+11.6+13.7=34.4（万）
故答案为：C ；
【分析】（1）将这11个数据从大到小排列，最中间位置的数据即为中位数；
（2）分别求出下年比上年所多的人数，然后比较即可；
（3）由于2021年与2020年中考人数相差2.1万，可得2022年与2021年中考人数相差约2.1万，据此判断即可；
（4）由于2019年七年级同学在2021年中考，八年级同学在2020年中考，将2019、2010、2021这三年的中考人数相加即可.
（5）先求出2020年上半年学生人数约为11.6+13.7+15.3=40.6， 由于保持数学教师与学生的人数之比不变，可求出2020年数学老师人数，再减去4000即得结论.
26.（2021·徐州）如图，点 A,B 在函数 y =14x 2 的图象上.已知 A,B 的横坐标分别为－2、4，直线 AB 与 y 轴交于点 C ，连接 OA,OB .
（1）求直线 AB 的函数表达式；
（2）求 ΔAOB 的面积；
（3）若函数 y =14x 2 的图象上存在点 P ，使得 ΔPAB 的面积等于 ΔAOB 的面积的一半，则这样的点 P 共有________个.
【答案】 （1）解：∵A ，B 是抛物线 y =14x 2 上的两点，
∴当 x =−2 时， y =14×(−2)2=1 ；当 x =4 时， y =14×42=4
∴点A 的坐标为（-2，1），点B 的坐标为（4，4）
设直线AB 的解析式为 y =kx +b ，
把A ，B 点坐标代入得 {−2k +b =14k +b =4
解得， {k =12b =2
所以，直线AB的解析式为：y=1
2
x+2
（2）解：对于直线AB：y=1
2
x+2
当x=0时，y=2
∴OC=2
∴SΔAOB=SΔAOC+SΔBOC= 1
2×2×2+1
2
×2×4=6
（3）4
【考点】待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数
y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（3）设点P的坐标为（x，1
4
x2）
∵ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半，
∴ΔPAB的面积等于1
2
×6=3，
①当点P在直线AB的下方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，
∵S四边形ADEB=S四边形ADFP+S四边形PFEB+SΔPAB
∴1
2×(1+4)×(2+4)=1
2
(x+2)(1+1
4
x2)+1
2
(1
4
x2+4)(4−x)+3
整理，得，x2−2x−4=0
解得，x1=1+√5，x2=1−√5
∴在直线AB的下方有两个点P，使得ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半；
②当点P在直线AB的上方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，
∵S四边形PADF=S四边形ADEB+S四边形BEFP+SΔPAB
∴1
2(1+1
4
x2)(x+2)=1
2
×(1+4)×(2+4)+1
2
(4+1
4
x2)(x−4)+3
整理，得，x2−2x−12=0
解得，x1=1+√13，x2=1−√13
∴在直线AB的上方有两个点P，使得ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半；
综上，函数y=1
4
x2的图象上存在点P，使得ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半，则这样的点P共有4个，
故答案为：4.
【分析】（1）利用抛物线解析式求出A、B坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式即可；
（2）由直线AB解析式可求出点C坐标，即得OC，根据SΔAOB=SΔAOC+SΔBOC，利用三角形面积公式求解即可；
（3）分两种情况：①当点P在直线AB的下方时，②当点P在直线AB的上方时，根据割补法分别建立方程，求解即可.
27.（2021·徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC=13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板.前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F,E为DF与AB的交点.已知AD=100cm，前排光伏板的坡角∠DAC=28°.
参考数据：√2√3√6≈2.45
（1）求AE的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA=32°.后排光伏板的前端H在AB 上.此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？【答案】（1）解：在Rt△ADF中，cos∠DAF=AF
AD
∴AF=ADcos∠DAF
= 100×cos28°
= 100×0.88
=88cm
在Rt△AEF中，cos∠EAF=AF
AE
∴AE=AF
cos∠EAF =88
cos13°
=88
0.97
≈91cm
（2）解：设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，
则∠AMN=∠MAC+∠MGA
∴∠AMN=13°+32°=45°
在Rt△ADF中，DF=AD·sin∠DAF=100×sin28°=100×0.47=47cm 在Rt△DFG中，DF
FG
=tan∠DGF=tan32°=0.62
∴FG=DF
0.62
≈75.8cm
∴AG=AF+FG=88+75.8= 163.8cm
∵AN⊥GD
∴∠ANG=90°
∴AN=AG×sin32°=163.8×0.53≈86.8cm
在Rt△ANM中，sin45°=AN
AM=86.8 AM
∴AM=√2
2
≈123.1cm
∴EM=AM−AE=123.1−91=32.1cm≈32cm ∴EH的最小值为32cm。

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△ADF中，由cos∠DAF=AF
AD 求出AF，在Rt△AEF中，由cos∠EAF=AF
AE
求
出AE即可；
（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，由三角形外角的性质可得∠AMN=∠MAC+∠MGA=45°，利用解直角三角形分别求出DF、FG，由AG=AF+FG求出AG，由AN=
AG×sin32°求出AN，在Rt△ANM中，由sin45°=AN
AM=86.8
AM
求出AM，利用EM=AM-AE求出EM即得
结论.
28.（2021·徐州）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与A,D重合），连接PB,PC.将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF.连接EF,EA,FD.
（1）求证：
① ΔPDF的面积S=1
2
PD2；
② EA=FD；
（2）如图2，EA.FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围. 【答案】（1）证明：过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，
∵∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，∴∠FPG=∠CPD，
又∵∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，
∴△PFG≌△CPD（AAS），
∴FG=PD，
∴ΔPDF的面积S=1
2PD⋅FG=1
2
PD2；
②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，
∵∠EPH+∠PEH=90°，∠EPH +∠BPA=90°，∴∠PEH =∠BPA，
又∵∠PHE=∠BAP=90°，PB=PE，
∴△PEH≌△BPA（AAS），
∴EH=PA，
由①得：FG=PD，
∴EH+FG=PA+PD=AD=CD，
由①得：△PFG≌△CPD，
∴PG=CD，
∴PD+GD= CD= EH+FG，
∴FG+ GD= EH+FG，
∴GD=EH，
同理：FG=AH，
又∵∠AHE=∠FGD，
∴△AHE≌△FGD，
∴EA=FD
（2）解：过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，
由（1）得：△AHE≌△FGD，
∴∠HAE=∠GFD，
∵∠GFD+∠GDF=90°，
∴∠HAE+∠GDF=90°，
∵∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，
∴∠MAD+∠MDA=90°，
∴∠AMD=90°，
∵点N是EF的中点，
∴MN= 1
EF，
2
∵EH=DG=AP，AH=FG=PD，
∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，
当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，
此时EF最大值= √42+82=4√5，
当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，
此时EF最小值= HG=8，
∴MN的取值范围是：4≤MN＜2√5
【考点】三角形全等的判定，矩形的性质，正方形的性质，旋转的性质，直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）① 过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，证明△PFG≌△CPD（AAS），可得
FG=PD，从而得出ΔPDF的面积S=1
2PD⋅FG=1
2
PD2；②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点
H，先证明△PEH≌△BPA（AAS），再证明△AHE≌△FGD，根据全等三角形对应边相等即得结论；（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点，先求出∠AMD=90°，由点N是EF的中点，可得MN=1
2
EF，当点P与点D重合时，此时EF最大值；当点P与AD的中点重合时，此时EF最小值，分别求出EF最大值与最小值，即可求出MN的范围；。