点与圆的位置关系精选题37道

点与圆的位置关系精选题37道
一．选择题（共11小题）
1．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）
A．B．2C．D．
2．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）
A．+1B．+C．2+1D．2﹣
3．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）
A．3B．4C．6D．8
4．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（）
A．3B．C．D．4
5．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）
A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F
6．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）
A．2B．C．D．3
7．已知直线y＝﹣x+7a+1与直线y＝2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（）
A．B．C．D．
8．已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断
9．已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定10．如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连接CE，BE，则CE2+BE2的最大值是（）
A．4B．5C．6D．4+
11．如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（）
A．（0，）B．（1，）C．（2，2）D．（2，4）
二．填空题（共16小题）
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是．
14．如图，圆O的半径为3，点A在圆O上运动，ABCD为矩形，AC与BD交于点M，MO ＝5，则AB2+AD2的最小值为．
15．点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O 的半径是．
16．已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，CD⊥CP交AP 于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP，OP，则△AOP面积的最大值为．
18．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是半径为1的⊙A上的一个动点，点E为CD的中点，连接BE，则线段BE长度的最小值为．
21．如图，直角△ABC的直角顶点C，另一顶点A及斜边AB的中点D都在⊙O上，已知：AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径为．
22．我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2+AC2＝2（AD2+BD2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2+EP2的最小值是．
23．如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是．
24．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为．
25．已知圆O的直径为6，点M到圆心O的距离为4，则点M与⊙O的位置关系是．26．在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，以A为圆心，2为半径作⊙A，交对角线AC于
点E，点F为⊙A上一动点，连接CF，点G为CF中点，连接BG，取BG中点H，连接AH，则AH的最大值为．
27．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，以顶点D为圆心作半径为r的圆．若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．
三．解答题（共10小题）
28．如图，已知直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2），
（1）写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标：（，）；
（2）判断点D（5，﹣2）与圆M的位置关系．
29．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为；
（3）若DM＝2，判断点D与⊙M的位置关系．
30．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形边长为1）（1）请写出该圆弧所在圆的圆心P的坐标；⊙P的半径为（结果保留根号）；
（2）判断点M（﹣1，1）与⊙P的位置关系．
31．阅读下列材料：
平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为|P1P2|＝，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为＝r，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程．
例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题．
（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：；
（2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系．
32．如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点．
（1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为；．
（2）根据（1）中的条件填空：
①圆D的半径＝（结果保留根号）；
②点（7，0）在圆D（填“上”、“内”或“外”）；
③∠ADC的度数为．
33．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E．
（1）求DE的长；
（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
34．已知AB为⊙O的直径，点C位于AB上方的半圆上，点E在AB上且AE＝AC，过点C作CD⊥AB于点D．
（1）如图所示，当点D与点O重合时，求tan∠DCE．
（2）在（1）的条件下，延长CE交于⊙O点F，若OE＝6，求△BEF与△ACE的面积
之比．
（3）以DE为边在⊙O内构造正方形DEPM，点M在直线CD上，连接AM并延长交⊙O于点N，试猜想PN与PE的数量关系，并说明理由．
35．如图，⊙O与x轴的负半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，M（﹣4，3）在⊙O 上．
（1）求⊙O的半径长及△AMB的面积；
（2）已知N（0，t），且以O、M、N为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出t的取值范围．
36．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC 于点D，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE．
（1）求证：PD＝CE；
（2）求证：点P、D、C、E在同一个圆上．
37．如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C，以点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为；点（6，﹣2）在⊙D （填“上”、“内”、“外”）；∠ADC的度数为．
点与圆的位置关系精选题37道
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）
A．B．2C．D．
【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠P AB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故选：B．
【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．
2．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）
A．+1B．+C．2+1D．2﹣
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD 与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM 最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝2+1，
∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；
故选：B．
【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．
3．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）
A．3B．4C．6D．8
【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．【解答】解：∵P A⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故选：C．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
4．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（）
A．3B．C．D．4
【分析】连接BP，如图，先解方程x2﹣4＝0得A（﹣4，0），B（4，0），再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ＝BP，利用点与圆的位置关系，BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，然后计算出BP′即可得到线段OQ的最大值．【解答】解：连接BP，如图，
当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），
∵Q是线段P A的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，
∵BC＝＝5，
∴BP′＝5+2＝7，
∴线段OQ的最大值是．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．
5．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）
A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F
【分析】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF，OG，OH然后和OA比较大小．最后得到哪些树需要移除．
【解答】解：∵OA＝＝，
∴OE＝2＜OA，所以点E在⊙O内，
OF＝2＜OA，所以点F在⊙O内，
OG＝1＜OA，所以点G在⊙O内，
OH＝＝2＞OA，所以点H在⊙O外，
故选：A．
【点评】此题是点与圆的位置关系，主要考查了网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，计算距离是解本题的关键．点到圆心的距离小于半径，点在圆内，点到圆心的距离大于半径，点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆内．
6．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）
A．2B．C．D．3
【分析】根据抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，可得A、B两点坐标，D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理可求BC的长为5，E是线段AD的中点，再根据三角形中位线，BD最小，OE就最小．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，
∴A、B两点坐标为（﹣3，0）、（3，0），
∵D是以点C（0，4）为圆心，
根据勾股定理，得
BC＝5，
∵E是线段AD的中点，O是AB中点，
∴OE是三角形ABD的中位线，
∴OE＝BD，
即点B、D、C共线时，BD最小，OE就最小．
如图，连接BC交圆于点D′，
∴BD′＝BC﹣CD′＝5﹣1＝4，
∴OE′＝2．
所以线段OE的最小值为2．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、抛物线与x轴的交点、三角形中位线定理，解决本题的关键是点B、D、C共线问题．
7．已知直线y＝﹣x+7a+1与直线y＝2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（）
A．B．C．D．
【分析】先解方程组得P点坐标为（3a﹣1，4a+2），则可确定点P为直线y＝x+上一动点，设直线y＝x+与坐标轴的交点为A、B，如图，则A（﹣，0），B（0，），利用勾股定理计算出AB＝，过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M 于Q，此时线段PQ的值最小，证Rt△MBP∽Rt△ABO，利用相似比计算出MP＝，则PQ＝，即线段PQ的最小值为．
【解答】解：解方程组得，
∴P点坐标为（3a﹣1，4a+2），
设x＝3a﹣1，y＝4a+2，
∴y＝x+，
即点P为直线y＝x+上一动点，
设直线y＝x+与坐标轴的交点为A、B，如图，则A（﹣，0），B（0，），∴AB＝＝，
过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M于Q，此时线段PQ的值最小，
∵∠MBP＝∠ABO，
∴Rt△MBP∽Rt△ABO，
∴MP：OA＝BM：AB，即MP：＝：，
∴MP＝，
∴PQ＝﹣1＝，
即线段PQ的最小值为．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了一次函数的性质和相似三角形的判定与性质．
8．已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断
【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，
②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆
心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．
9．已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定
【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【解答】解：∵OP＝3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
10．如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连接CE，BE，则CE2+BE2的最大值是（）
A．4B．5C．6D．4+
【分析】连接AC，DE，如图，利用圆周角定理可判定点D在AC上，易得A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），AC＝，D（，），设E（m，n），利用两点间的距离公式得到则EB2+EC2＝2（m2+n2）+2，由于m2+n2表示E点到原点的距离的平方，则当OE 为直径时，E点到原点的距离最大，由于OD为平分∠AOC，则m＝n，利用点E在圆上得到（m﹣）2+（n﹣）2＝（）2，则可计算出m＝n＝1，从而得到EB2+EC2的最大值．
【解答】解：连接AC，DE，如图，
∵∠AOC＝90°，
∴AC为⊙D的直径，
∴点D在AC上，
∵AO＝BO＝CO＝1，
∴A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），AC＝，D（，），
设E（m，n），
∵EB2+EC2＝（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2
＝2（m2+n2）+2，
而m2+n2表示E点到原点的距离，
∴当OE为直径时，E点到原点的距离最大，
∵OD为平分∠AOC，
∴m＝n，
∵DE＝AC＝，
∴（m﹣）2+（n﹣）2＝（）2，
即m2+n2＝m+n
∴m＝n＝1，
∴此时EB2+EC2＝2（m2+n2）+2＝2×（1+1）+2＝6，
即CE2+BE2的最大值是6．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了圆周角定理、勾股定理和坐标与图形性质．
11．如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（）
A．（0，）B．（1，）C．（2，2）D．（2，4）
【分析】根据垂径定理得到OA＝OB，然后根据三角形中位线定理得到OD∥BC，OD＝
BC，即当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，根据圆周角定理得到CA⊥x轴，进而求得△OAD是等腰直角三角形，即可得到AD＝OA＝2，得到D的坐标为（2，2）．【解答】解：∵OM⊥AB，
∴OA＝OB，
∵AD＝CD，
∴OD∥BC，OD＝BC，
∴当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，如图，
∵BC为直径，
∴∠CAB＝90°，
∴CA⊥x轴，
∵OB＝OA＝OM，
∴∠ABC＝45°，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴AD＝OA＝2，
∴D的坐标为（2，2），
故选：C．
【点评】本题考查了点和圆的位置关系，垂径定理、圆周角定理以及三角形中位线定理，明确当BC为直径时，线段OD取得最大值是解题的关键．
二．填空题（共16小题）
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为2﹣2．
【分析】连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF，证明∠CEB＝90°，说明E点始终在⊙F上，再由在整个变化过程中，AE≤AF﹣EF，当A、E、F三点共线时，AE最小值，求出此时的值便可．
【解答】解：连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF，
∵BC＝4，
∴CF＝2，
∵∠ACB＝90°，AC＝10，
∴AF＝，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝∠CEB＝90°，
∴E点在⊙F上，
∵在D的运动过程中，AE≥AF﹣EF，且A、E、F三点共线时等号成立，
∴当A、E、F三点共线时，AE取最小值为AF﹣EF＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题主要考查了圆的基本性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的三边关系，关键是确定AE取最小值的位置．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动
点，点M是CD的中点，则BM的最大值是．
【分析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．
【解答】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5，
∵AN＝NC，
∴BN＝AC＝，
∵AN＝NC，DM＝MC，
∴MN＝AD＝1，
∴BM≤BN+NM，
∴BM≤1+，
∴BM≤，
∴BM的最大值为．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
14．如图，圆O的半径为3，点A在圆O上运动，ABCD为矩形，AC与BD交于点M，MO ＝5，则AB2+AD2的最小值为16．
【分析】如图，连接OA．首先判断出BD最小时，AB2+AD2的值最小，求出AM的最小值即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OA．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AM＝MC＝BM＝MD，∠BAD＝90°，
∴AB2+AD2＝BD2，
∴BD的值最小时，AB2+AD2的值最小，
∵AM≥OM﹣OA，OM＝5，OA＝3，
∴AM≥2，
∴AM的最小值为2，
∴BD的最小值为4，
∴AB2+AD2的最小值为16，
故答案为16．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
15．点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O 的半径是 6.5cm或2.5cm．
【分析】点P应分在位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点P在圆内时，直径＝最小距离+最大距离；②当点P在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离．
【解答】解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离P A＝9cm，
∴直径AB＝4+9＝13（cm），
∴半径r＝6.5cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离P A＝9cm，
∴直径AB＝9﹣4＝5（cm），
∴半径r＝2.5cm．
综上所述，圆O的半径为6.5cm或2.5cm．
故答案为：6.5cm或2.5cm．
【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
16．已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，CD⊥CP交AP 于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为3﹣3．
【分析】以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，依据∠ADC＝135°，
可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，依据△ACQ中，AQ＝4，
【解答】解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，连接AC，BC，BQ．
∵⊙O的直径为AB，C为的中点，
∴∠APC＝45°，
又∵CD⊥CP，
∴∠DCP＝90°，
∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°，
∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，
又∵AB＝6，C为的中点，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝3，
∴△ACQ中，AQ＝3，
∴BQ＝＝3，
∵BD≥BQ﹣DQ，
∴BD的最小值为3﹣3．
故答案为3﹣3．
【点评】本题考查了轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算，正确寻找点D的运动轨迹是解决问题的关键．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半
径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP，OP，则△AOP面积的最大值为．
【分析】当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直于切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得．
【解答】解：当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，
∵过P的直线是⊙D的切线，
∴DP垂直于切线，
延长PD交AC于M，则DM⊥AC，
∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∴OA＝，
∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD，
∴△ADM∽△ACD，
∴＝，
∵AD＝4，CD＝3，AC＝5，
∴DM＝，
∴PM＝PD+DM＝1+＝，
∴△AOP的最大面积＝OA•PM＝××＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大．
18．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，
点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为+．
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD 与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM 最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝2+1，
∴OM＝CD＝+，即OM的最大值为+；
故答案为．
【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是2．
【分析】首先证明点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB与⊙O交于点P，此时PB最小，利用勾股定理求出OB即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，
∵∠P AC＝∠PCB
∴∠CAP+∠ACP＝90°，
∴∠APC＝90°，
∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，
在Rt△CBO中，∵∠OCB＝90°，BC＝4，OC＝3，
∴OB＝＝5，
∴PB＝OB﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故答案为2．
【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是半径为1的⊙A上的一个动点，点E为CD的中点，连接BE，则线段BE长度的最小值为2．
【分析】取AC的中点N，连接AD、EN、BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，EN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．
【解答】解：如图，取AC的中点N，连接AD、EN、BN．
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝＝5，
∵AN＝NC，
∴BN＝AC＝，
∵AN＝NC，DE＝EC，
∴EN＝AD＝，
∴BN﹣EN≤BE≤BN+EN，
∴﹣≤BE≤+，
∴2≤BE≤3，
∴BE的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
21．如图，直角△ABC的直角顶点C，另一顶点A及斜边AB的中点D都在⊙O上，已知：
AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径为．
【分析】如图连接CD、OD、OC，延长DO交AC于E，设半径为R，先证明DE⊥AC，DE＝CB，在Rt△OCE中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图连接CD、OD、OC，延长DO交AC于E，设半径为R．
在RT△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵BD＝AD＝5，
∴CD＝AD＝5，
∵DC＝DA，
＝，
∴DO⊥AC，EC＝AE＝3，
∴ED∥BC，∵BD＝AD，
∴EC＝EA，
∴DE＝BC＝4，
在RT△COE中，∵∠OEC＝90°，
∴CO2＝OE2+CE2，
∴R2＝（4﹣R）2+32，
∴R＝．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线的性质，垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2+AC2＝2（AD2+BD2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2+EP2的最小值是68．
【分析】设点O为AB的中点，H为CE的中点，连接HO交半圆于点P，此时PH取最小值，根据矩形的性质得到CD＝AB，EO＝AD，求得OP＝CE＝AB＝10过H作HG⊥AB于G，根据矩形的性质得到HG＝12，OG＝5，于是得到结论．
【解答】解：设点O为AB的中点，H为CE的中点，
连接HO交半圆于点P，此时PH取最小值，
∵AB＝20，四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB，BC＝AD，
∴OP＝CE＝AB＝10，
∴CP2+EP2＝2（PH2+CH2）．
过H作HG⊥AB于G，
∴HG＝12，OG＝5，
∴OH＝13，
∴PH＝3，
∴CP2+EP2的最小值＝2（9+25）＝68，
故答案为：68．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出PE的最小值是解题的关键．
23．如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是+1．
【分析】取OB中点E得DE是△OBC的中位线，知DE＝OC＝1，即点D是在以E为圆心，1为半径的圆上，从而知求AD的最大值就是求点A与⊙E上的点的距离的最大值，据此求解可得．
【解答】解：如图1，连接OC，Q取OB的中点E，连接DE．
则OE＝EB＝OB＝1．
在△OBC中，DE是△OBC的中位线，
∴DE＝OC＝1，
∴EO＝ED＝EB，
即点D是在以E为圆心，1为半径的圆上，
∴求AD的最大值就是求点A与⊙E上的点的距离的最大值，
如图2，当D在线段AE延长线上时，AD取最大值，
∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，OE＝EB＝1，
∴AE＝，D'E＝1，
∴AD取最大值为AD'＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是判断出点D的运动轨迹是以E 为圆心，1为半径的圆．
24．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为（2+，2+
）．
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，根据三角形的中位线定理可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据平行线分线段成比例定理求得C的坐标，进而即可求得M的坐标．
【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD＝OA＝4，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM 最大，
∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°，
∴BD＝4，
∴CD＝4+2，
作CE⊥x轴于E，
∵CE∥OB，
∴，即，
∴CE＝DE＝4+，
∴OE＝DE﹣OD＝，
∴C（，4+），
∵M是AC的中点，
∴M（2+，2+），
故答案为：（2+，2+）．
【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．
25．已知圆O的直径为6，点M到圆心O的距离为4，则点M与⊙O的位置关系是在圆
外．
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；若设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵⊙O的直径为6，
∴⊙O的半径为3，
∵点M到圆心O的距离为4，
∴4＞3，
∴点M在⊙O外．
故答案为：在圆外．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与半径进行比较，进而得出结论．
26．在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，以A为圆心，2为半径作⊙A，交对角线AC于点E，点F为⊙A上一动点，连接CF，点G为CF中点，连接BG，取BG中点H，连接
AH，则AH的最大值为+．
【分析】如图，连接BE，AF，EG，取BE的中点J，连接HJ，AJ．想办法求出JH，AJ 即可．
【解答】解：如图，连接BE，AF，EG，取BE的中点J，连接HJ，AJ．。