新高二数学联赛班暑假第9讲一试真题分析解答题篇

从2010年开始，一试解答题固定为3题，其中第一题16分，剩余两题20分，共56分． 解答题三道题目的类型相对固定，主要是三个方面：函数、数列、解析几何；但可能会结合的 知识较多，例如：方程、三角函数、复数、整除、导数等.
函数问题的考察非常多样化和综合化，主要涉及的其它知识有：整式恒等变形、三角函数、导数等，值得一提的是，2014年综合了复数的知识，需要构造函数，这意味着从改革之后没有出现过的复数问题再次登上了一试的大舞台.
【例1】 （2011全国高中数学联赛）设函数()()lg 1f x x =+，实数()a b a b <，
满足 ()12b f a f b +⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
，()106214lg 2f a b ++=，求a b ，
的值．
【例2】 （2012全国高中数学联赛）已知函数131
()sin cos2,,022
f x a x x a a a a =-+-+∈≠R
⑴若对任意x ∈R ，都有()0f x ≤，求a 的取值范围；
⑵若2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．
一试解答题分析
知识点睛
经典精讲
9.1函数问题
第
【例3】 （2010全国高中数学联赛）已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，
当01x ≤≤时，()1f x '≤，试求a 的最大值．
【例4】 （2013全国高中数学联赛）求所有的正实数对(),a b ，使得函数()2f x ax b =+满足：
对任意实数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ++≥．
【例5】 （2014全国高中数学联赛）确定所有的复数α，
使得对任意复数1z ，()212121z z z z z <≠，，，均有()()2
2
1122z z z z αααα++≠++．
数列问题可能和函数结合，故函数题中可能涉及到的知识点同样会出现在数列中，特别的，数列还可能涉及两类主要的问题：存在性问题和构造．不过，在2014年的数列题中出现了“正割函数”与“反正切函数”，建议各位同学可以多了解一些可能并不会涉及的简单的知识，保证可以看懂就能够把解题进行下去．
知识点睛
9.2数列问题
【例6】 （2011全国高中数学联赛）已知数列{}n a 满足：
123a t =-（t ∈R 且1t ≠±）．()()()1
*
1
2321121
n n n n n
n t a t t a n a t ++-+--=
∈+-N
⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 若0t >，试比较1n a +与n a 的大小．
【例7】 （2010全国高中数学联赛）证明：方程32520x x +-=恰有一个实数根r ，且存在唯一的
严格递增正整数数列{}n a ，使得 3122
5
a a a r r r =+++．
经典精讲
【例8】 （2014全国高中数学联赛）数列{}n a 满足1π
6
a =
，()()
*1arctan sec n n a a n +=∈N ． 求正整数m ，使得121sin sin sin 100
m a a a ⋅=
……．
解析几何问题通常相对繁琐，在一试中属于消耗时间的题目，并且也容易算错． 需要掌握的其它知识：三角恒等变形、代数式化简等． 最好知道的额外知识：参数方程．
知识点睛
9.3解析几何
【例9】 （2014全国高中数学联赛）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，
满足条件：过P 可作抛物线24y x
的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直．
设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为Q ，R ． ⑴证明R 是一个定点；⑵求
PQ
QR
的最小值．
经典精讲
【例10】 （2013全国高中数学联赛）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22
221x y a b
+=
（0a b >>），1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，
P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．
若平面中两个点Q R 、满足11QA PA ⊥，22QA PA ⊥，11RF PF ⊥，22RF PF ⊥， 试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明．
【例11】（2012全国高中数学联赛）如图，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且6
==．
OB OD
⑴求证：||||
⋅为定值；
OA OC
⑵当点A在半圆22
-+=（24
x y
(2)4
≤≤）上运动时，求点C的轨迹．
x
【演练1】（2009全国高中数学联赛）求函数y 的最大和最小值．
【演练2】（2008全国高中数学联赛）已知函数()|sin |f x x =的图像与直线y kx = (0)k >有且仅有
三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2
cos 1sin sin34+=
+ααααα
．
实战演练
【演练3】（2007全国高中数学联赛）设函数f x （）对所有的实数x 都满足2πf x f x +=（）（）， 求证：存在4个函数i f x （）
（i =1，2，3，4）满足： ⑴对1234i =，，，，i f x （）是偶函数，且对任意的实数x ，有πi i f x f x +=（）（）； ⑵对任意的实数x ，有1234cos sin sin2f x f x f x x f x x f x x =+++（）（）（）（）（）．
【演练4】（2013全国高中数学联赛）给定正数数列{}n x 满足12n n S S -≥，2,3,n =， 这里1n n S x x =++．证明：存在常数0C >，使得2n n x C ⋅≥，1,2,3,
n =．
【演练5】（2009全国高中数学联赛）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根 α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，， ⑴求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；
⑵若1p =，14
q =，求{}n a 的前n 项和．
【演练6】（2010全国高中数学联赛）已知抛物线26y x =上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中 12x x ≠且124x x +=．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．
【演练7】（2010全国高中数学联赛）作斜率为13
的直线l 与椭圆22:1364x y C +=交于A B ，两点
（如图所示），且(P 在直线l 的左上方．
⑴证明：PAB
△的内切圆的圆心在一条定直线上；
⑵若60
APB
∠=︒，求PAB
△的面积．。