高中数学 2023-2024学年福建省莆田高二(上)期末数学试卷

2023-2024学年福建省莆田一中高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
A ．[2，3]
B ．（-∞，-2]∪[2，+∞）
C ．（3，4]
D ．[3，4]
1．（5分）已知全集U =R ，集合A ={x |-2<x <3}，B ={x |2x −4≤2}，则B ∩（∁U A ）=（
）√A ．
52
B ．-
52
C ．0
D ．2
2．（5分）已知复数z =
a 2−i
+1（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则实数a =（ ）
A ．0
B ．3
C ．0或3
D ．0或3或-3
3．（5分）已知函数f （x ）=V Y
W Y X e x ，x <14−mx ,x ≥1，若f （m ）=1，则实数m 的值是（ ）
√√√√A ．若l ∥m ,m ∥α，则l ∥αB ．若α⊥β，n ⊥α，m ∥n ,则m ∥βC ．若α⊥β，l ⊥α，m ∥β，则l ∥m
D ．若l ⊥α，l ∥n ,n ⊥β，则α∥β
4．（5分）若l ,m ,n 是三条不相同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．a <b ？；a =a +
a 2B ．a <
b ？；a =a +2a C ．a ≥b ？；a =a +
a 2
D ．a ≥b ？；a =a +2a
5．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长、b 为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（ ）
A ．128或-128
B ．128
C ．64或-64
D ．64
6．
（5分）在等比数列{a n }中，已知a 1a 3=4，a 9=256，则a 8=（ ）
A ．511
B ．611
C ．12
D ．
23
7．（5分）2020年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的12名医护人员支援湖北省黄冈市，现将这12人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医院，则甲、乙不在同一组的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．（5分）函数f （x ）=
5(x 2
−cosx )e x
+e
−x
的大致图象是（ ）
A ．（4π-
3）：（8π+3）B ．（4π-33）：（8π+33）C ．（2π-2
3）：（10π+23）
D ．（2π-3
3）：（10π+33）
9．（5分）直线l ：x -y +2=0将圆O ：x 2+y 2=4分成的两部分的面积之比为（ ）√√√√√√√√√A ．a 1009=1B ．a 1010≥1C ．S 2016>2016D ．S 2019≥2019
10．（5分）设无穷等差数列{a n }的各项都为正数，且其前n 项和为S n ，若S 2017=2017，则下列判断错误的是（ ）
A ．函数g （x ）是奇函数
B ．函数g （x ）在区间[-2π，0]上单调递增
C ．函数g （x ）图象关于（3π，0）对称
D ．函数g （x ）图象关于直线x =-3π对称
11．（5分）函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω>0，|φ|<π
2
）的图象如图所示，先将函数f （x ）图
象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移7π2
个单位长度，得
到函数g （x ）的图象，则下列结论正确的是（ ）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
A ．[-1，2]
B ．（-∞，-1]∪[2，+∞）
C ．[-1，0]∪[1，2]
D ．[-2，-1]∪[1，2]
12．（5分）定义在[0，+∞）上的函数f （
x ）满足：f （x ）+f '（x ）=
x e
x
，f (12
)=
12e
．其中f '（x ）表示f （x ）的导函数，若
存在正数a ,使得f (x 2−x 4
)≥1a +a
8e
成立，则实数x 的取值范围是（ ）
√√
13．（5分）已知向量a =（-2，1），b =（4，3），c =（-1，λ），若（a +b ）∥c ，则λ=
．
→→→→→→
14．（5分）二项式(1x
−
3x 2
)6的展开式中的常数项是 ．（用数字作答）
15．（5分）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =120°且AB =AC =3，BB 1=4，则此三棱柱外接球的表面积为
．
16．（5分）已知椭圆C ：
x 2a
2
+
y 2b
2
=1（a >b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，且椭圆C 与双曲线C '：
2x 2
a
2
−y 2
=1共焦点，若椭圆C
与双曲线C '的一个交点M 满足|MF 1|•|MF 2|=2，则△MF 1F 2的面积是
．
17．（12分）在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos (B +C )cosC
=
a 2
b +c
．
（1）求角A 的大小；
（2）若a =43，b =42，求△ABC 的面积．
√√18．（12分）现有一种水上闯关游戏，共设有3个关口，如果在规定的时间内闯过了这3个关口，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏．假定小张、小王、小李闯过任何一个关口的概率分别为23，12，1
2，且各关口能否顺利闯过相互独立．
（1）求小张、小王、小李分别闯关成功的概率；
（2）记小张、小王、小李三人中闯关成功的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．
19．（12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PA ∥CE ，AB =CE =1
2
PA ，PA ⊥平面ABCD ．
（1）证明：PE ⊥平面DBE ；
（2）求二面角B -PD -E 的正弦值的大小．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
20．（12分）已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点P （2，0）的直线l 交抛物线C 于A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）两点．（1）当x 1+x 2=8时，求直线l 的方程；
（2）若过点P （2，0）且垂直于直线l 的直线l '与抛物线C 交于M ，N 两点，记△ABF 与△MNF 的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的最小值．
21．（12分）已知函数g （x ）=e x -ax 2-ax ,h （x ）=e x -2x -lnx .其中e 为自然对数的底数．（1）若f （x ）=h （x ）-g （x ）．①讨论f （x ）的单调性；
②若函数f （x ）有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．
（2）已知a >0，函数g （x ）恰有两个不同的极值点x 1，x 2，证明：x 1+x 2<ln (4a 2
)．
22．（10分）以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点A （-1，
-2）且斜率为1的直线l 1与曲线C ：V W X x =3+4cosα，
y =4+4sinα（α是参数）交于P ，Q 两点，与直线l 2：ρcosθ+2ρsinθ+4=0交于点N ．
（1）求曲线C 的普通方程与直线l 2的直角坐标方程；
（2）若PQ 的中点为M ，比较|PQ |与|MN |的大小关系，并说明理由．
23．已知函数f （x ）=3|x -2|-3．（1）求不等式1
3[f (x )+3]>|x +1|的解集；
（2）若关于x 的不等式f （x ）≥mx +m 恒成立，求实数m 的取值范围．。