山西省临汾市2020届高三数学下学期考前适应性训练考试试题一文含解析

山西省临汾市2020届高三数学下学期考前适应性训练考试试题（一）
文（含解析）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z 满足(1)z i i +=,则复数z =( ) A. 1i + B. 1i -
C.
1122
i + D.
1122
i - 【答案】C 【解析】 试题分析：(1)111(1)(1)22
i i i z i i i i -=
==+++-. 考点：复数的除法运算.
2.已知集合{}
15A x x =≤≤，{
}
2
230B x x x =--≥，则A B =（ ）
A. []1,3
B. []3,5
C. {}1,2,3
D. {}3,4,5
【答案】B 【解析】 【分析】
先化简集合B,再利用运算法则求交集. 【详解】{}
15[1,5]A x x =≤≤=,
{}
(][)2230,13,B x x x =--≥=-∞-⋃+∞,
所以[3,5]A B =,
故选:B.
【点睛】本题考查集合的运算,属于简单题.
3.已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的渐近线方程为12y x =±，则C 的离心率为
（ ）
A.
1
2
B.
2
【答案】D 【解析】 【分析】
根据双曲线的渐近线方程得到
1
2
b a =,进而可以求出离心率. 【详解】因为双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的渐近线方程为12y x =±,
所以
1
2
b a =,
所以离心率2
c e a ===
, 故选:D.
【点睛】本题考查双曲线离心率的求法,考查双曲线的渐近线,属于基础题. 4.已知等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则公比q =（ ） A.
1
2
或-2 B. 1
2
-
或2 C. 1
2
-
或-2 D.
1
2
或2 【答案】D 【解析】 【分析】
根据等比数列的通项公式化简题设等式,求出q . 【详解】在等比数列{}n a 中,5115a a -=,426a a -=,
所以4411132
11115(1)15
6(1)6
a q a a q a q a q a q q ⎧⎧-=-=⇒⎨⎨-=-=⎩⎩, 两式相除得
4221515
(1)22
q q q q q -+=⇒=-, 化简得2
2520q q -+=,解得2q 或1
2
q =
, 故选:D.
【点睛】本题考查等比数列,考查计算能力,难度不大.
5.一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，绿灯时间为30秒，绿灯时方可通过，则小王驾车到达该路口等待时间不超过10秒的概率为（ ）
A. 1
6
B.
5
6
C.
1
3
D.
2
3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可知该题为几何概型,分别求出总时间长度及满足条件的时间长度,然后根据几何概型的概率公式即可求解.
【详解】本题是一个几何概型,小王驾车到达该路口的总时间长度为60秒,
到达该路口等待时间不超过10秒的时间长度为40秒,
因此小王驾车到达该路口等待时间不超过10秒的概率为402 603
,
故选:D.
【点睛】本题主要考查了与长度有关的几何概型的求解,属于基础题.
6.用单位立方块搭一个几何体，使其正视图和侧视图如图所示，则该几何体体积的最大值为（）
A. 11
B. 9
C. 15
D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】
结合几何体的正视图和侧视图,分析该几何体的各层最多可以有几个单位立方块即可.
【详解】结合几何体的正视图和侧视图知,
该几何体的底层最多可以有9个单位立方块,
第二层只能有1个单位立方块,
第三层也只能有1个单位立方块,
所以该几何体体积的最大值为9+1+1=11.
故选:A.
【点睛】本题考查了几何体的结构特征与应用问题,考查了三视图,需要学生具备一定的空间想象能力与思维能力,难度不大.
7.函数()[]2cos e
,,x
f x x x ππ=∈-，的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
先确定函数()f x 为偶函数,排除B,D 选项,再取特值即可判断最终结论. 【详解】因为f (﹣x )=(﹣x )2e
cos(﹣x )
=x 2e
cos x
=f (x ),
所以函数f (x )为偶函数,排除B ､D 选项, 因为f (π)=π2e cosπ=π2e ﹣1>0,所以排除A 选项, 故选:C.
【点睛】本题考查函数图象的识别,难度不大.对于判断函数图象的试题,排除法是十分常用的方法,一般通过函数的奇偶性､单调性和特殊值即可判断. 8.若0m n >>，2
m n a e +=，()12
m n
b e e =
+，mn
c e =，则（ ）
A. b a c >>
B. a c b >>
C. c b a >>
D. b c a >>
【答案】A 【解析】 【分析】
由基本不等式得出m +n 2m n
mn +>
>,再根据函数y =e x 的单调性即可比较大小. 【详解】当m >n >0时,m +n 2
m n
mn +>>
因为y =e x
是定义在R 上的单调增函数, 所以2
m n mn
e
e
+>,即a >c ;
又e m
+e n
>2m n e e ⋅=2m n e +=22
m n e +,
所以
12
(e m +e n
)2m n e +>,即b >a ; 所以b >a >c . 故选:A.
【点睛】本题考查了根据基本不等式和函数的单调性比较大小的问题,需要学生综合运用性质答题.
9.如图所示的程序框图，它的算法思路源于我国古代的数学专著（九章算术），执行该框图，若输入的174a =，36b =，则输出的结果为（ ）
A. 2
B. 6
C. 8
D. 12
【答案】B 【解析】 【分析】
模拟程序框图运行,即可得出结论.
【详解】模拟程序框图运行,输入a =174,b =36, 满足a >b ,则a =174﹣36=138, 满足a >b ,则a =138﹣36=102, 满足a >b ,则a =102﹣36=66, 满足a >b ,则a =66﹣36=30, 不满足a >b ,则b =36﹣30=6, 满足a >b ,则a =30﹣6=24,
满足a >b ,则a =24﹣6=18, 满足a >b ,
则a =18﹣6=12, 满足a >b ,则a =12﹣6=6,
此时a =b =6,则退出循环,输出a =6, 故选:B.
【点睛】本题考查了算法和程序框图,主要是对循环结构的理解和运用,以及赋值语句的运用问题,属于基础题.
10.已知函数()sin cos f x a x a x ωω=+
的最大值为()f x 的定义域为[]0,1时，
()f x
的值域为⎡-⎣，则正整数ω的最小值为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】A 【解析】 【分析】
依题意,可求得a =±2,据此分情况讨论,利用正弦函数的单调性､周期性及最值,即可求得正整数ω的最小值.
【详解】∵f (x )=a sinωx +a cosω
x =sin(ωx 4
π
+
),其最大值为
, ∴a =±2,
①当a =2时,f (x
x 4
π+
), 又当f (x )的定义域为[0,1]时,f (x )的值域为[﹣
],ω>0, 此时ω×044
2
π
π
π
+=
<
,
∴ω×1342
π
π+≥
, ∴ω54
π
≥
≈3.925, ∴正整数ω的最小值为4;
②当a =﹣2时,f (x )=﹣
sin(ωx 4
π+), 同理可得ω54
π
≥
≈3.925,即正整数ω的最小值为4; 综上所述,正整数ω的最小值为4,
【点睛】本题考查三角函数的最值,考查逻辑推理与运算能力,需要学生掌握三角函数的图象与性质,答题时注意对a 的正､负情况的讨论,属于易错题.
11.已知直三棱柱111ABC A B C -中，11AC BC AA ===，E 为1AB 上任意一点，
1BC CE ⊥，则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为（ ）
A. B. 3π
C.
D. 2π
【答案】B 【解析】 【分析】
由已知可得直三棱柱的底面为等腰直角三角形,把直三棱柱补形为正方体,求出三棱柱外接球的半径,再由球的表面积公式得答案.
【详解】∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱,∴CC 1⊥AC , ∵E 为AB 1上任意一点,BC 1⊥CE , ∴BC 1⊥AC , ∵1
11CC BC C =,
∴AC ⊥平面BB 1C 1C , ∵1AC BC ==,
则直三棱柱的底面为等腰直角三角形, 把直三棱柱补形为正方体,
则三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1外接球的半径
R 2
=
=
,
∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1外接球的表面积为2
43ππ⨯=. 故选:B.
【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法,需要学生具备一定的空间想象能力与思维能力.
12.已知F 是抛物线2
:4C y x =的焦点，P 是C 上一点，()1,0M -，则
PF
PM
的取值范围为
A. 2⎤
⎥⎣⎦
B. 2⎤
⎥⎣⎦
C. ⎡⎣
D. ⎡⎣
【答案】A 【解析】 【分析】
设P (x ,y ),利用坐标得出
PF PM
的表达式,再利用换元法转化为二次函数求解.
【详解】设P (x ,y ),则y 2=4x , ∵定点M (﹣1,0),F (1,0),
∴PF
PM
=
=
设t 1
1
x =
+,x ≥0,则0<t ≤1,
∴
PF PM
=
t ≤1,
设g (t )=﹣4t 2+4t +1,0<t ≤1, 则其最大值为2,最小值为1,
,最大值为1, ∴
PF PM
的取值范围为
,1] 故选:A.
【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查了换元法与二次函数的性质,属于中档题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量()11,1e =，()20,1e =，若12a e e λ=+与()
1223b e e =--共线.则实数
λ=_________.
【答案】32
- 【解析】
根据平面向量的坐标运算与共线定理,列方程求出λ的值. 【详解】向量()11,1e =,()20,1e =, 则12a e e λ=+=(1,1+λ),
()
1223b e e =--=(﹣2,1),
因为//a b , 所以1+2(1+λ)=0,
解得λ32=
-
, 故答案为:3
2
-.
【点睛】本题考查了平面向量的共线定理和坐标运算问题,属于基础题.
14.已知实数,x y 满足以下约束条件220
{240330
x y x y x y +-≥-+≥--≤，则22
z x y =+的最小值是__________．
【答案】
45
【解析】
如图所示可行域,由()()
22
2
2
00z x y x y =+=-+- .结合图像,z 可看作原点到直线220x y +-=的距离d 的平方, 根据点到直线的距离可得22
00225
21d +-=
=
+故22245
z x y d =+==
.本题答案填45.
点睛：本题为线性规划问题.掌握常见的几种目标函数的最值的求法:①()0z ax by b =+≠利用截距的几何意义;②()0ay b
z ac cx d
+=
≠+利用斜率的几何意义;③()()22z x a y b =-+-利用距离的几何意义.往往是根据题中给出的不等式,求出(),x y 的可行域,利用(),x y 的条件约束,做出图形.数形结合求得目标函数的最值. 15.
已知sin cos cos sin αβαβ+=+=，则()cos αβ+=_________.
【答案】0 【解析】 【分析】
根据等式,利用平方法进行平方相加,结合两角和差公式进行求解即可.
【详解】∵sinα+cosβ=cosα+sinβ=∴sin 2
α+cos 2
β+2sinαcosβ=2, cos 2α+sin 2β+2cosαsinβ=2,
两式相加得2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=4, 即2sin(α+β)=2,得si n(α+β)=1, 所以cos(α+β)=0, 故答案为:0
【点睛】本题主要考查三角函数值的计算,结合平方关系,利用两角和差公式进行转化是解决本题的关键,难度不大.
16.已知数列{}n a 中，11a =，且前n 项和n S 满足()120n n nS n S +-+=，则10a =_________. 【答案】10 【解析】 【分析】
由nS n +1﹣(n +2)S n =0⇒12n n S n S n ++=,再利用累乘法求得S n ()12
n n +=,则由a 10=S 10﹣S 9即可求得答案.
【详解】∵a 1=1,nS n +1﹣(n +2)S n =0, ∴
12
n n S n S n
++=,
∴S n 1n n S S -=
•
1
22
1••
n n S S S S --•S 111n n +=-•2n n -•143
2n n --•3
1•1()12
n n +=, ∴a 10=S 10﹣S 91011109
22
⨯⨯=
-=10, 故答案为:10.
【点睛】本题考查数列递推式,考查“累乘法”的应用,属于中档题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.已知,,A B C 为ABC 的三个内角，其所对的边分别为,,a b c ,且2
2cos cos 02
A
A
+=. (1)求角A 的值；
(2)若4a b c =+=，求ABC 的面积． 【答案】（1）
23
A π=；（2）ABC S ∆=【解析】
试题分析：(1)因为，cosA=2
212
A cos - 所以，2cos2
2A
＋cos A ＝0.可化为，2cosA+1=0 ∴cosA=12-，2
3
A π=；
(2)根据余弦定理得，2
2
2
2
2()a b c bccosA b c bc =+-=+-
又因为b+c=4
，所以12=16－bc ，
bc=4，11S bcsinA 4222
=
=⨯⨯= 考点：本题主要考查三角函数的和差倍半公式，余弦定理的应用，三角形面积的计算． 点评：中档题，近些年，涉及三角函数、三角形的题目常常出现在高考题中，往往需要综合应用三角公式化简函数，以进一步解题．应用正弦定理、余弦定理求边长、角等，有时运用函数方程思想，问题的解决较为方便．
18.如图，四棱锥P ABCD -中，PAD △为等边三角形，//AB CD ，AD CD ⊥，且
24CP CA AB CD ====.
（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求点A 到平面PBC 的距离. 【答案】（1）见解析；（2）421
7
【解析】 【分析】
(1)推导出CD ⊥PD ,CD ⊥AD ,从而CD ⊥平面PAD ,由此能证明平面PAD ⊥平面ABCD ;
(2)取AD 中点M ,AB 中点N ,连接PM ,BM ,CN .则PM ⊥平面ABCD ,PM ⊥BM ,设点A 到平面PBC 的距离为d ,由V P ﹣ABC =V A ﹣PBC ,即可求出点A 到平面PBC 的距离. 【详解】(1)因为AD CD ⊥,2CD =,4CA =, 所以22212AD AC CD =-=,即23AD =因为PAD △为等边三角形, 所以23PD AD ==因为4PC =,2CD =,
所以222CD PD PC +=,即CD PD ⊥, 又因为PD AD D ⋂=,CD AD ⊥, 所以CD ⊥平面PAD , 又因为CD ⊂平面ABCD , 所以平面PAD ⊥平面ABCD ;
(2)取AD 中点M ,AB 中点N ,连接PM ,BM ,CN , 所以PM AD ⊥,
又由(1)知平面PAD ⊥平面ABCD ,且平面PAD 平面ABCD AD =,
所以PM ⊥平面ABCD ,所以PM BM ⊥,
又在PMB △中,223,31619PM BM AM AB ==+=+=,
所以2291927PB PM BM =
+=+=,
在PBC ∆中,4PC =,4BC =,27PB =故37PBC S ∆=在ABC ∆中,4AC =,4BC =,4AB =,则43ABC S ∆=设点A 到平面PBC 的距离为d , 由P ABC A PBC V V --=,可得11
4333733
d ⨯=⋅⋅所以217d =
即点A 到平面PBC 的距离为421
7
. 【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线､线面､面面间的位置关系等基础知识,需要学生有一定的空间思维与运算求解能力,属于中档题. 19.某控制器中有一个易损部件，现统计了30个该部件的使用寿命，结果如下（单位：小时）； 710 721 603 615 760 742 841 591 590 721 718 750 760 713 709 681 736 654 722 732 722 715 726 699 755 751 709 733 705 700 （1）估计该部件的使用寿命达到一个月及以上的概率（一个月按30天计算）；
（2）为了保证该控制器能稳定工作，将若干个同样的部件按下图连接在一起组成集成块，每一个部件是否能正常工作互不影响.对比2n =和3n =时，哪个能保证集成块使用寿命达到一个月及以上的概率超过0.8？
【答案】（1）1
2
；（2）3n = 【解析】 【分析】
(1)一个月30×24=720(小时),样本中满足使用寿命在720小时及以上的部件数为15个,由此能求出所求概率的估计值;
(2)要保证集成块使用寿命达到一个月及以上,即要保证集成块中至少有一个部件的使用寿命达到一个月及以上,利用列举法能求出n =3时满足要求. 【详解】(1)一天24小时,一个月3024720⨯=(小时), 样本中满足使用寿命在720小时及以上的部件数为15个, 所以该部件的使用寿命达到一个月及以上的概率的估计值为151
302
=; (2)要保证集成块使用寿命达到一个月及以上,
即要保证集成块中至少有一个部件的使用寿命达到一个月及以上,
记A 表示一个部件的使用寿命达到一个月及以上,a 表示一个部件的使用寿命不能达到一个月及以上.
当2n =时,所有可能结果有4种:AA ,Aa ,aA ,aa , 满足要求的结果有3种,所以13
0.750.84P =
=<; 当3n =时,所有可能结果有8种:AAA ,AAa ,AaA ,Aaa ,aAA ,aAa ,aaA ,aaa , 满足要求的结果有7种,所以27
088
P =>.; 综上所述,3n =时满足要求.
【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型､列举法等基础知识,难度不大.
20.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>上任一点P 到()2,0A -，)
2,0B
的距离之和为
4.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知点()2,0S ，设直线l 不经过S 点,l 与C 交于M ，N 两点，若直线SM 的斜率与直线SN 的斜率之和为1
2
，判断直线l 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）22
142
x y +=；
（2）定点()2,4-，证明见解析 【解析】 【分析】
(1)根据椭圆的定义可得
,c =
a =2,则
b 2=a 2﹣
c 2
=2,即可求得椭圆方程;
(2)设直线l 的方程,代入椭圆方程,根据韦达定理及直线的斜率公式化简可得m =﹣2k ﹣4,再根据直线的点斜式方程,即可判断直线l 恒过定点(2,﹣4). 【详解】(1)由椭圆定义知
,c =2a =,
所以2222b a c =-=,
所以椭圆C 的标准方程为22
142
x y +=;
(2)直线l 恒过定点(2,﹣4),理由如下:
若直线l 斜率不存在,则0SM SN k k +=,不合题意. 故可设直线l 方程:()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+,
联立方程组22142y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,代入消元并整理得:()222
214240k x kmx m +++-=,
则122421km x x k +=-+,2122
24
21-=+m x x k . 121222
SM SN y y
k k x x +=
+--,将直线方程代入, 整理得:
()()()()()()
122112221
222kx m x kx m x x x +-++-=--,
即
()()()121212122241
242
kx x m k x x m x x x x -+-=-++, 韦达定理代入上式化简得:
()
()
2
221
2
2k m k m -+=
+, 因为l 不过S 点,所以20k m +≠, 所以240k m ++=,即24m k =--,
所以直线l 方程为24y kx k =--,即()42y k x +=-, 所以直线l 过定点()2,4-.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆相关的定点问题,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.
21.已知函数()2
2x
x a f x e ax e
=+-.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）3
32,0,e e ⎛
⎤⎡⎤-∞- ⎣⎦⎥⎝⎦
【解析】 【分析】
(1)先求出导函数()f x '
,再对a 分情况讨论即可得到f (x )的单调性;
(2)若f (x )≥0恒成立,则f (x )的最小值大于等于0,结合第(1)问函数f (x )的单调性,即可确定最值,求出a 的取值范围.
【详解】(1)函数()f x 的导函数为()()()12x
x x f x e a e a e
'=
-+, 当0a =时,函数()f x 在(),-∞+∞单调递增;
当0a >时,函数()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增; 当0a <时,函数()f x 在,ln 2⎛⎫
⎛⎫-∞-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递减,在ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
a 上单调递增.
(2)当0a =时,()20x
f x e =>满足题意;
由(1)可知:
当0a >时,()f x 的最小值为()()ln 2ln 3ln 0f a a a a a a a =+-=-≥, 解得30a e <≤;
当0a <时,()f x 的最小值为ln 2ln 3ln 0222a a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-
=----=-+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭, 解得3
2
a e ≤-
; 综上所述,a 的取值范围为3
32,0,e e ⎛⎤⎡⎤-∞-
⎣⎦⎥⎝
⎦
.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值,属于中档题.
22.在直角坐标系xOy 中，直线l
的
参数方程为32t x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
，（t 为参数）
.以坐标原点O 为极
点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
4cos 30ρρθ-+=.
（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程；
（2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.
【答案】（10y -+=，2
2
430x y x +-+=；（2）1,122⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
(1)直接利用转换关系式,转化参数方程与极坐标方程即可;
(2)先求出圆C 的圆心到直线l 的距离,进而可得出曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.
【详解】(1)直线l 的参数方程为32t x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
,(t 为参数),
消去参数t 可得l 0y -+=; 曲线C 的极坐标方程为2
4cos 30ρρθ-+=, 可得C 的直角坐标方程为2
2
430x y x +-+=.
(2)C 的标准方程为()2
221x y -+=,圆心为()2,0C ,半径为1,
所以,圆心C 到l 的距离为23033
532
d -+=
=
, 所以,点P 到l 的距离的取值范围是53531,122⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,考查点到直线的距离公式的应用,难度不大.
23.已知函数()()
2log 15f x x x a =-+-- （1）当2a =时，求函数()f x 的最小值；
（2）当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）(),4-∞ 【解析】
【详解】（1）当2a =时，函数的定义域满足：|150x x a -+--，即152x x a -+->=．
设()15g x x x =-+-，则()26,5
15{4,1562,1
x x g x x x x x x -≥=-+-=<<-≤，
()()()2min min 42,log 421g x a f x =>==-=．
（2）因为函数的定义域为
，所以不等式
恒成立，
只要即可； 又
（当且仅当
时取等号），所以
，即的取值范围是
．
考点：1．函数的定义域；2．绝对值不等式；3．恒成立问题．
【方法点睛】处理绝对值不等式问题，主要从去掉绝对值符号入手，往往讨论变量的范围去掉绝对值符号，变成分段函数求解问题；证明问题还往往涉及的
应用．。