北师大版八年级下册数学 6.4多边形的外角和(含解析)

多边形的外角和
一、选择题
1、
以下叙述正确的有( )
①对顶角相等；②同位角相等；③两直角相等；④邻补角相等；⑤多边形的外角和都相等；⑥三角形的中线把原三角形分成面积相等的两个三角形
A .2个
B .3个
C .4个
D .5个
2、如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于( )
A .90°
B .180°
C .210°
D .270°
3、在一个多边形的内角中，锐角不能多于( )
A .2个
B .3个
C .4个
D .6个
4、多边形剪去一个角后，多边形的外角和将( )
A .减少180º
B .不变
C .增大180º
D .以上都有可能
5、正五边形的外角和为( )
A .180°
B .540°
C .360°
D .72°
6、当多边形的边数n（n＞3）每减少1时，它的内角和与外角和（）A．都不变
B．内角和增加180度，外角和不变
C．内角和减少180度，外角和减少180度
D．内角和减少180度，外角和不变
7、某多边形限定最多有四个钝角，则这个多边形的边数最多是（）A．5B．6C．7D．8
8、十二边形的外角和是（）
A．180°B．360°C．1800°D．2160°9、若多边形的边数由3增加到n时，其外角和的度数（）
A．增加B．减少
C．不变D．变为（n-2）180°
二、填空题
10、根据下列各图所表示的已知角的度数，求出其中∠α的度数：
(1) ∠α=__________°；
(2) ∠α=__________°；
(3) ∠α=__________°．
11、如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A=130°，
则∠1+∠2+∠3+∠4=__________．
12、四边形的外角和为m，五边形的外角和为n，则m__________n（填“＜或=或＞”号）。

13、如图，六边形ABCDEF中，AB∥DC，∠1、∠2、∠3、∠4分别是∠BAF、
∠AFE、∠FED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3+∠4= __________ ．
14、六边形的外角和等于__________.
15、如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影
部分的面积之和为__________个平方单位．
16、如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且
∠1=∠2=∠3=∠4=70°，则∠AED的度数是__________．
17、正m边形，正n边形及正p边形各一个内角，其和为360°，则的值为__________．
三、解答题
18、如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数。

19、如图，已知∠ABE=138°，∠BCF=98°，∠CDG=69°．求∠DAB．
20、请你来推算：
（1）一只蚂蚁绕一个矩形的水池边缘爬行，爬完一圈后，它的身体转过的角度之和是多少？
（2）如果它绕一个不规则的四边形的边缘爬行呢？（如图2），为什么？
（3）如果它绕五边形的水池边缘爬行呢？你是怎么推算出来的？如果绕n边形呢？
21、清晨，小强沿着一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步．
（1）小强每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪些角在图上标出它们．
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
（3）在图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？
（4）如果广场是六边形、八边形的形状，那么还有类似的结论吗？
多边形的外角和的答案和解析
一、选择题
1、答案：
C
试题分析：
根据三角形的面积，对顶角、邻补角的定义，直角的定义，同位角，多边形的外角和的性质等知识点逐一分析即可。

解：①如图，
AB、CD都是直线，∠AOB=∠COD=180°
∵∠1=∠AOD-∠3=180°-∠3，∠2=∠AOB-∠3=180°-∠3，
∴1=∠2，∴①对顶角相等；
∴①正确；
②如果两直线不平行，那么同位角不相等，所以②同位角相等不正确；
③∵两直角都是90°，∴两角相等，∴③正确；
④∵两条直线相交，同角的补角一定相等，∴④邻补角相等错误；
⑤∵多边形的外角和=360°，都相等，∴⑤正确；
⑥根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等，∴⑥正确；
所以正确的有4个。

故选：C．
2、答案：
B
试题分析：
根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B+∠C=180°，从而得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解。

解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠4+∠5=180°，
根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°-180°=180°.
3、答案：
B
试题分析：
外角和是360°，在外角中最多有3个钝角，若超过3个，外角的和就大于360°．多边形的内角与相邻的外角互补，因而在一个多边形的内角中，锐角不能多于3个。

解：∵一个多边形外角中最多有3个钝角，
∴一个多边形的内角中，锐角不能多于3个。

故选：B．
4、答案：
B
试题分析：
多边形的内角和与边数相关，随着边数的不同而不同，而外角和是固定的360°，从而可得到答案。

解：根据多边形的外角和为360°，可得：多边形剪去一个角后，多边形的外角和还是360°，
故选：B．
5、答案：
C
试题分析：
根据多边形的外角和定理解答即可。

解：因为任意多边形的外角和为360°，所以正五边形的外角和为360°，
故选：C．
6、答案：
D
试题分析：根据多边形的外角和和内角和定理得到答案即可．
试题解析：当多边形的边数n（n＞3）每减少1时，内角和减少180°，外角和不变，
7、答案：
C
试题分析：因为多边形的外角和为360°，所以多边形最多有三个锐角，限定最多有四
个钝角，故这个多边形的边数最多是7．
∵某多边形限定最多有四个钝角，多边形最多有三个锐角，
∴这个多边形的边数最多是4+3=7．故选C．
8、答案：
B
试题分析：根据任何多边形的外角和是360°即可求解．
十二边形的外角和是360°．
故选B．
9、答案：
C
试题分析：根据多边形的外角和定理即可解决．
试题解析：任何多边形的外角和都是360°．故选C．
二、填空题
10、答案：
1.70
2.48
3.50
试题分析：
（1）根据三角形外角的性质即可求解；
（2）根据四边形内角和进行求解即可；
（3）利用邻补角的性质先把110°角的补角求出来，再根据四边形的外角和求∠α的值。

解：（1）∠α=110°-40°=70°；
（2）因为∠α+150°+90°+72°=360°，所以∠α=360°-150°-90°-72°=48°；
（3）图中110°角的邻补角为180°-110°=70°，
所以∠α=360°-120°-120°-70°=50°.
故答案为：（1）70°；（2）48°；（3）50°.
11、答案：
310°
试题分析：
先求出与∠A相邻的外角的度数，然后根据外角和定理即可求解。

解：∵∠A=130°，
∴与∠A相邻的外角是：180-130=50°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-50°=310°．
故答案是：310°.
12、答案：
=
试题分析：
根据多边形的外角和为360°，即可解答。

解：∵多边形的外角和为360°，
∴四边形的外角和为360°，五边形的外角和为360°，
∴m=n．
故答案为：=．
13、答案：
试题分析：根据多边形的外角和减去∠B和∠C的外角的和即可确定四个外角的和．试题解析：∵AB∥DC，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B与∠C的外角和为180°，
∵六边形ABCDEF的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
故答案为：180°．
14、答案：
360°
试题分析：
根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案。

解：六边形的外角和等于360°．故答案为：360°．
15、答案：
试题分析：由于凸多边形的外角和为360°，所以这些阴影部分的面积正好是以1为半径的圆的面积．
由题意，得S=S A1+S A2+…+S An==π．
故答案为：π．
16、答案：
试题分析：根据多边形的外角和定理即可求得与∠AED相邻的外角，从而求解．
试题解析：根据多边形外角和定理得到：
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠5=360-4×70=80°，
∴∠AED=180-∠5=180-80=100°．
17、答案：
试题分析：根据多边形外角和定理和多边形内角与外角的关系：正m边形一个外角+正n边形一个外角+正p边形一个外角=3组邻补角的和-（正m边形一个内角+正n边形一个内角+正p边形一个内角），可得++=180°×3-360°，将看作一个整体求解即可．
试题解析：根据题意可得++=180°×3-360°，
360°×（）=180°，
=．
故答案为：．
三、解答题
18、答案：
360°
试题分析：
首先利用三角形的外角的性质，然后根据多边形的外角和定理即可求解。

解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，
又∵∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
19、答案：
试题分析：首先根据邻补角定义可得∠ABC，∠BCD，∠CDA的度数，然后根据多边
形内角和求出∠DAB的度数．
由邻补角的定义得：
∠ABC=180°-∠ABE=180°-138°=42°，
∠BCD=∠180°-∠BCF=180°-98°=82°，
∠CDA=180°-∠CDG=180°-69°=111°，
由四边形的内角和为360°得：
∠DAB=360°-∠A BC-∠BCD-∠CDA，
=360°-42°-82°-111°，
=125°，
∴∠DAB=125°．
20、答案：
试题分析：蚂蚁身体转过的角度之和就是多边形的外角和，因而是360度．多边形的
外角和与多边形的边数无关，因而水池是矩形，不规则的四边形、五边形，n边形都
有相同的结论．
试题解析：（1）∵各角是矩形的外角，
∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°．
故蚂蚁的身体转过的角度之和是360°；
（2）∵各角是不规则的四边形的外角，
∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°．
故蚂蚁的身体转过的角度之和是360°；
（3）∵各角是五边形的外角，
∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°；
∵各角是n边形的外角，
∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°．
故蚂蚁的身体转过的角度之和都是360°．
21、答案：
试题分析：身体转过的角度之和就是多边形的外角和，因而是360度．多边形的外角
和与多边形的边数无关，因而广场是六边形、八边形，不管是几边形都有相同的结论．（1）∠1，∠2，∠3，∠4，∠5；
（2）∵各角是五边形的外角，
∴身体转过的角度之和是360°；
（3）∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
因为各角是五边形的外角；（4）多边形外角和为360度．。