第4章_控制系统的频率特性_4.2极坐标图
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2 2
1 − T 2ω 2
(1− T ω ) + (2ζTω)
2 2 2
− 2ζTω
2
幅频特性
A(ω ) =
1
(1 − T
2
ω
2 2
) + (2ζ Tω )
2
相频特性
2ζ Tω 1 − arctg 1 − T 2ω 2 , ω ≤ T ϕ (ω ) = − 180 o − arctg 2ζ Tω , ω > 1 T 1 − T 2ω 2
（4）1一阶惯性环节 ）
ω
0
ϕ ( ω ) A( ω ) U ( ω ) V ( ω )
Ts + 1 1 G ( jω ) = 频率特性 jTω + 1 1 实频特性 U( ω ) = ( Tω )2 + 1
虚频特性 幅频特性 A( ω ) =
- Tω V( ω ) = ( Tω )2 + 1
1 ( Tω )2 + 1
1
虚频特性 V ( ω ) = − 幅频特性
ω
积分环节的极坐标图 积分环节的极坐标图为 负虚轴。频率ω从0→∞时，特 性曲线由虚轴的-∞趋向原点。 G(j0)=-∞∠-90° G(j+∞)=0∠-90°
A( ω ) =
1
ω
相频特性 ϕ ( ω ) = −90 o
采用MATLAB绘制积分环节的极坐标图：
（1）比例环节 ）
传递函数
G( s) = K 频率特性 G ( jω ) = K
实频特性 U ( ω ) = K 虚频特性
V (ω ) = 0
幅频特性 A( ω ) = K 相频特性 0° ϕ(ω ) = − 180°
比例环节的极坐标图 所有元部件和系统都 包含这种环节，如减速器、 放大器、液压放大器等。
1 1 (U − )2 + V 2 = ( )2 2 2
一阶惯性环节频率特性 的极坐标图是一个圆，对称于 实轴。证明如下： K U(ω ) = 1 + T 2ω 2 − KTω V (ω ) = 1 + T 2ω 2
V (ω ) = −Tω U(ω )
ω=
1 T
一阶惯性环节的极坐标图
K ∴U = = 2 2 1+T ω
[
]
化简后为
1 − T 2 ω 2 − 2ζ
2
=0
当
dA(ω ) = 0 时， 即将ω=ωr代入上式， dω ω =ωr
可以解得二阶振荡环节的幅频特性出现极值时的频率值ωr。 因为 所以
1 − T ω r − 2ζ
2 2
2
=0
1 − 2ζ 2 ωr = = ω n 1 − 2ζ 2 T
2
此时要求 1 − 2ζ
4.2.1 典型环节的 典型环节的Nyquist图 图
如果系统如右图所示 , 则系统开环 R (s ) － 传递函数G(s)H(s)的一般表达式为 G(s) H(s)
典型系统结构图
c (s )
b0 s m + b1s m −1 + L + bm −1s + bm G( s) H ( s) = n s + a1s n −1 + L + an −1s + an
将其分子、分母分解因式 ，则常见有以下七种典型环节： ① 比例环节K ② 积分环节 1 s ③ 微分环节 s ④ 一阶惯性环节 1 (Ts + 1) , 式中 T > 0 ⑤ 一阶微分环节 τs + 1 , 式中 τ > 0 2 0 ⑥ 二阶振荡环节 1 /( s 2 / ω n + 2ξs / ω n + 1) , 式中 ω n > 0 ， < ξ < 1 2 ⑦ 二阶微分环节 s 2 ω n + 2ξs ω n + 1 , 式中 ω n > 0 , 0 < ξ < 1
0.7
1 − 2ζ 2 ωr = = ω n 1 − 2ζ 2 T
M r = A(ω ) ω =ω =
r
1 2ζ 1 − ζ
2
0 ≤ ζ ≤
1 ≈ 0.707 2
二阶振荡环节的幅频特性 A(ω ) = M (ω ) =
A(ω )或M (ω )
1
(1 − T
2
ω
2 2
) + (2ζ Tω )
G=tf([0,1],[1,0]); nyquist(G); axis([-2,2,-2,2]);
（3）微分环节 ）微分环节
传递函数 G ( s ) = S 频率特性 G ( jω ) = jω 实频特性 虚频特性 幅频特性
U(ω ) = 0
V (ω ) = ω
A( ω ) = ω
相频特性 ϕ ( ω ) = 90 o
2
=
(2ζ )
2 2
+ 2ζ 1 − 2ζ
(
1
)
=
+ 1 − 2ζ
2
=
1 2ζ 1 − ζ
2
因为 0 ≤ ζ ≤ 所以 M r ≥ 1
1 ≈ 0.707 2
又因为A(0)=1，A(+∞)=0， 所以Mr是极大值。
定义：将使得二阶振荡环节的幅频特性出现极大值Mr时的 频率值ωr称为谐振频率，并将此极大值Mr称为谐振峰值。 谐振（`resonance）也称为共振。
Re[G(jω)] 0 ω=∞ 1 ω=0
↖ ←
↙
（5）二阶振荡环节 ）
1 传递函数 G (s ) = 2 2 T s + 2 ζ Ts + 1
频率特性 G ( jω ) = 实频特性 U (ω) = 虚频特性 V (ω) =
(1 − T
2
2
ω 2 ) + j 2ζ T ω
2
1
(1− T ω ) + (2ζTω)
0o
−90o
1
0
1
0
0
0
1 / T − 45 o 1 / 2 1 / 2 −1 / 2
∞
相频特性 ϕ ( ω ) = − tg −1Tω
G(j0)=1∠0° G(j1/T)=0.707∠-45° G(j+∞)=0∠-90°
ω=
1 T
一阶惯性环节的极坐标图 一阶惯性环节的实频特性与虚频特性满足下列 圆的方程，圆心在（0.5，0），半径为0.5：
2
M r = M (ω r )
M 0 = M (0) 0.707M 0 = 0.707M (0)
0
ωr
ωb
ω
定义： 定义：控制系统的频域指标 出现谐振峰值， （1）谐振峰值 r：是闭环系统幅频特性的最大值 max。出现谐振峰值， ）谐振峰值M 是闭环系统幅频特性的最大值M 表明阻尼比ζ<0.707。通常，Mr越大，系统的最大超调量σ%也越大。 。通常， 越大， 也越大。 也越大 闭环系统幅频特性出现谐振峰值时的频率。 （2）谐振频率ωr：闭环系统幅频特性出现谐振峰值时的频率。 ） 时闭环幅频特性的数值， （3）零频幅值比 ）零频幅值比M(0)：当 ω=0时闭环幅频特性的数值，其大小反映了系 ： 时闭环幅频特性的数值 统的稳态精度。 统的稳态精度。 （4）频带宽度和截止频率 b：对于闭环系统频率特性幅值 ω)，从其初 ）频带宽度和截止频率ω 对于闭环系统频率特性幅值M( ， 始值M(0)衰减到 衰减到0.707M(0)时的频率值，称为频带宽度（通频带宽）。该 时的频率值， 始值 衰减到 时的频率值 称为频带宽度（通频带宽） 频率值也称为截止频率ω 表示系统的幅值衰减到半功率点。 频率值也称为截止频率 b，表示系统的幅值衰减到半功率点。 频带较宽，表明闭环系统能够通过较高频率的输入信号， 频带较宽，表明闭环系统能够通过较高频率的输入信号，系统跟 踪信号的能力较强，响应迅速，调节时间短， 踪信号的能力较强，响应迅速，调节时间短，但对于高频干扰信号的过 滤能力就相对较差。 滤能力就相对较差。
K ≥0 K <0
采用MATLAB绘制比例环节的极坐标图：
K=1; G=tf([K],[1]); nyquist(G,'*'); axis([-2,2,-2,2]);
1 S 1 频率特性 G ( jω ) = jω
传递函数 G ( s ) = 实频特性
（2）积分环节 ）积分环节
U(ω ) = 0
≥ 0 ，即当 0 ≤ ζ ≤
1 ≈ 0.707 时， 2
此频率值ωr才是非负数。 将此出现极值时的频率值ωr代入二阶振荡环节的幅频特性 表达式，可得幅频特性的极值Mr为
M r = A(ω ) ω =ω =
r
1
(1 − T
2
2
ω
2
2 2
) + (2ζ Tω )
1 2ζ ζ
2
2
1− 2 ζ ω= T
微分环节的极坐标图 微分环节的极坐标图为 正虚轴。频率ω从0→∞时，特 性曲线由虚轴的原点趋向+∞。 G(j0)=0∠90° G(j+∞)=+∞∠90°
采用MATLAB绘制微分环节的极坐标图：
G=tf([1,0],[0,1]); nyquist(G); axis([-2,2,-2,2]);
传递函数 G ( s ) =
1 1 = jRCω + 1 jT ω + 1 1 = ∠ − tg −1ωT 1 + ω 2T 2
RC 网络的极坐标图
极坐标图（Nyquist图）是反映频率特性的几何表示。 当ω从0逐渐增长至+∞时，频率特性G(jω)作为一个矢量，其 矢量端点在复平面相对应的轨迹就是频率特性的极坐标图。
极坐标图也称为奈奎斯特图（Nyquist Plots） 或奈奎斯特曲线，也称为幅相频率特性曲线。 乃奎斯特（H. Nyquist) 1889~1976 美国Bell实验室 著名科学家
K V 2 1+ ( ) U
K 2 K 2 2 整理得：U − ) + V = ( ) ( 2 2
采用MATLAB绘制一阶惯性环节的极坐标图：
T=1; G=tf([0,1],[T,1]); nyquist(G); axis([-2,2,-2,2]);
Im[G(jω)]
一阶惯性环节G(jω)
1 G (s ) = Ts + 1
ς = 0.1
ω =∞ ω =0
ς =1
ς = 0.1
ς =2
ς = 0.6 ς = 0.5
ς = 0.4
ς = 0.8 ς = 0.7
ς = 0.3
பைடு நூலகம்
由图可见，无 论是欠阻尼还是过阻 尼系统，其图形的基 本形状是相同的。 当过阻尼时， 阻尼系数越大，其图 形越接近圆。
ς = 0.2
采用MATLAB绘制二阶振荡环节的极坐标图： T=1;
Zeta1=0.3;G1=tf([0,0,1], [T*T,2*Zeta1*T,1]); Zeta2=0.4;G2=tf([0,0,1], [T*T,2*Zeta2*T,1]); Zeta3=0.5;G3=tf([0,0,1], [T*T,2*Zeta3*T,1]); Zeta4=0.6;G4=tf([0,0,1], [T*T,2*Zeta4*T,1]); Zeta5=0.7;G5=tf([0,0,1], [T*T,2*Zeta5*T,1]); Zeta6=0.8;G6=tf([0,0,1], [T*T,2*Zeta6*T,1]); Zeta7=0.9;G7=tf([0,0,1], [T*T,2*Zeta7*T,1]); Zeta8=1.0;G8=tf([0,0,1], [T*T,2*Zeta8*T,1]); Zeta9=2.0;G9=tf([0,0,1], [T*T,2*Zeta9*T,1]); nyquist(G1,G2,G3,G4,G 5,G6,G7,G8,G9); axis([-2,2,-2,2]);
下面讨论二阶振荡环节的幅频特性可能出现的极值问题：
1 二阶振荡环节的传递函数 G (s ) = 2 2 T s + 2ζ Ts + 1 1 二阶振荡环节的幅频特性 A(ω ) = 2 2 2 (1 − T ω ) + (2ζ Tω )2 令 dA(ω ) = 0 得 dω − 4T 2 ω (1 − T 2 ω 2 ) + 8ζ 2 T 2 ω − =0 3 2 2 2 2 (1 − T ω ) + (2ζ Tω )
M r = A(ω ) ω =ω =
r
1 2ζ 1 − ζ
2
0 ≤ ζ ≤
1 ≈ 0.707 2
二阶振荡环节的幅频特性 A(ω ) = M (ω ) =
1
(1 − T
T =1
2
ω
2 2
) + (2ζ Tω )
0. 5 ; 0. 6 ;
2
ωn =
1 =1 T ζ = 0.3 ; 0.4 ;
Im[G(jω)]
二阶振荡环节G(jω)
2 ωn G (s ) = 2 2 s + 2ζωn s + ωn
0
1
Re[G(jω)]
B点：与负 虚轴的交点
A (ω n ) = 1 2ζ
o
A点：谐振点
A B
ω
r
= ω
n
1 − 2ζ 1 1 − ζ
2
2
Ar =
ϕ ( ω n ) = − 90
2ζ
二阶振荡环节的谐振峰值Mr与阻尼比ζ的关系：
《控制工程基础》 控制工程基础》
第4章 控制系统的频率特性 4.2 极坐标图（Nyquist图）
G(jω ) =
极坐标图（ Plots） 极坐标图（Polar Plots） 当ω从0→∞变化时， 根据频率特性的极坐标公式 G(jω)=A(ω)∠φ(ω)，可以计 算出每一个ω值所对应的幅 值A(ω)和相位φ(ω)，将其画 在极坐标平面图上，就得到 频率特性的极坐标图 （Nyquist图）。
G(j0)=1∠0° G(j+∞)=0∠-180° 相位角0º～-180º，表示 与负虚轴有交点。 令U(ω)=0，或令φ(ω)=-90º， 可得与负虚轴的交点为： 1 ω = = ωn T 二阶振荡环节的极坐标图 1 V (ω n ) = − 2ζ
1 1 G ( jω n ) = − j = ∠ − 90° 2ζ 2ζ
讨论：
1 − 2ζ 2 ωr = = ω n 1 − 2ζ 2 T 1 M r = A(ω ) ω =ω = r 2ζ 1 − ζ 2
0 ≤ ζ ≤ 0 ≤ ζ ≤
1 ≈ 0.707 2 1 ≈ 0.707 2
（1）随着阻尼比ζ减小↓，谐振峰值Mr增大↑，谐振频率ωr→ 趋近于无阻尼自然振荡固有频率ωn。 （2）当阻尼比ζ=0时，ωr=ωn，Mr→∞，此时二阶振荡环节处 于等幅振荡状态，为临界稳定状态。 （3）谐振峰值Mr越大，表示系统的阻尼比ζ越小，系统的相对 稳定性就越差，单位阶跃响应的最大超调量σ%也越大。
1 − T 2ω 2
(1− T ω ) + (2ζTω)
2 2 2
− 2ζTω
2
幅频特性
A(ω ) =
1
(1 − T
2
ω
2 2
) + (2ζ Tω )
2
相频特性
2ζ Tω 1 − arctg 1 − T 2ω 2 , ω ≤ T ϕ (ω ) = − 180 o − arctg 2ζ Tω , ω > 1 T 1 − T 2ω 2
（4）1一阶惯性环节 ）
ω
0
ϕ ( ω ) A( ω ) U ( ω ) V ( ω )
Ts + 1 1 G ( jω ) = 频率特性 jTω + 1 1 实频特性 U( ω ) = ( Tω )2 + 1
虚频特性 幅频特性 A( ω ) =
- Tω V( ω ) = ( Tω )2 + 1
1 ( Tω )2 + 1
1
虚频特性 V ( ω ) = − 幅频特性
ω
积分环节的极坐标图 积分环节的极坐标图为 负虚轴。频率ω从0→∞时，特 性曲线由虚轴的-∞趋向原点。 G(j0)=-∞∠-90° G(j+∞)=0∠-90°
A( ω ) =
1
ω
相频特性 ϕ ( ω ) = −90 o
采用MATLAB绘制积分环节的极坐标图：
（1）比例环节 ）
传递函数
G( s) = K 频率特性 G ( jω ) = K
实频特性 U ( ω ) = K 虚频特性
V (ω ) = 0
幅频特性 A( ω ) = K 相频特性 0° ϕ(ω ) = − 180°
比例环节的极坐标图 所有元部件和系统都 包含这种环节，如减速器、 放大器、液压放大器等。
1 1 (U − )2 + V 2 = ( )2 2 2
一阶惯性环节频率特性 的极坐标图是一个圆，对称于 实轴。证明如下： K U(ω ) = 1 + T 2ω 2 − KTω V (ω ) = 1 + T 2ω 2
V (ω ) = −Tω U(ω )
ω=
1 T
一阶惯性环节的极坐标图
K ∴U = = 2 2 1+T ω
[
]
化简后为
1 − T 2 ω 2 − 2ζ
2
=0
当
dA(ω ) = 0 时， 即将ω=ωr代入上式， dω ω =ωr
可以解得二阶振荡环节的幅频特性出现极值时的频率值ωr。 因为 所以
1 − T ω r − 2ζ
2 2
2
=0
1 − 2ζ 2 ωr = = ω n 1 − 2ζ 2 T
2
此时要求 1 − 2ζ
4.2.1 典型环节的 典型环节的Nyquist图 图
如果系统如右图所示 , 则系统开环 R (s ) － 传递函数G(s)H(s)的一般表达式为 G(s) H(s)
典型系统结构图
c (s )
b0 s m + b1s m −1 + L + bm −1s + bm G( s) H ( s) = n s + a1s n −1 + L + an −1s + an
将其分子、分母分解因式 ，则常见有以下七种典型环节： ① 比例环节K ② 积分环节 1 s ③ 微分环节 s ④ 一阶惯性环节 1 (Ts + 1) , 式中 T > 0 ⑤ 一阶微分环节 τs + 1 , 式中 τ > 0 2 0 ⑥ 二阶振荡环节 1 /( s 2 / ω n + 2ξs / ω n + 1) , 式中 ω n > 0 ， < ξ < 1 2 ⑦ 二阶微分环节 s 2 ω n + 2ξs ω n + 1 , 式中 ω n > 0 , 0 < ξ < 1
0.7
1 − 2ζ 2 ωr = = ω n 1 − 2ζ 2 T
M r = A(ω ) ω =ω =
r
1 2ζ 1 − ζ
2
0 ≤ ζ ≤
1 ≈ 0.707 2
二阶振荡环节的幅频特性 A(ω ) = M (ω ) =
A(ω )或M (ω )
1
(1 − T
2
ω
2 2
) + (2ζ Tω )
G=tf([0,1],[1,0]); nyquist(G); axis([-2,2,-2,2]);
（3）微分环节 ）微分环节
传递函数 G ( s ) = S 频率特性 G ( jω ) = jω 实频特性 虚频特性 幅频特性
U(ω ) = 0
V (ω ) = ω
A( ω ) = ω
相频特性 ϕ ( ω ) = 90 o
2
=
(2ζ )
2 2
+ 2ζ 1 − 2ζ
(
1
)
=
+ 1 − 2ζ
2
=
1 2ζ 1 − ζ
2
因为 0 ≤ ζ ≤ 所以 M r ≥ 1
1 ≈ 0.707 2
又因为A(0)=1，A(+∞)=0， 所以Mr是极大值。
定义：将使得二阶振荡环节的幅频特性出现极大值Mr时的 频率值ωr称为谐振频率，并将此极大值Mr称为谐振峰值。 谐振（`resonance）也称为共振。
Re[G(jω)] 0 ω=∞ 1 ω=0
↖ ←
↙
（5）二阶振荡环节 ）
1 传递函数 G (s ) = 2 2 T s + 2 ζ Ts + 1
频率特性 G ( jω ) = 实频特性 U (ω) = 虚频特性 V (ω) =
(1 − T
2
2
ω 2 ) + j 2ζ T ω
2
1
(1− T ω ) + (2ζTω)
0o
−90o
1
0
1
0
0
0
1 / T − 45 o 1 / 2 1 / 2 −1 / 2
∞
相频特性 ϕ ( ω ) = − tg −1Tω
G(j0)=1∠0° G(j1/T)=0.707∠-45° G(j+∞)=0∠-90°
ω=
1 T
一阶惯性环节的极坐标图 一阶惯性环节的实频特性与虚频特性满足下列 圆的方程，圆心在（0.5，0），半径为0.5：
2
M r = M (ω r )
M 0 = M (0) 0.707M 0 = 0.707M (0)
0
ωr
ωb
ω
定义： 定义：控制系统的频域指标 出现谐振峰值， （1）谐振峰值 r：是闭环系统幅频特性的最大值 max。出现谐振峰值， ）谐振峰值M 是闭环系统幅频特性的最大值M 表明阻尼比ζ<0.707。通常，Mr越大，系统的最大超调量σ%也越大。 。通常， 越大， 也越大。 也越大 闭环系统幅频特性出现谐振峰值时的频率。 （2）谐振频率ωr：闭环系统幅频特性出现谐振峰值时的频率。 ） 时闭环幅频特性的数值， （3）零频幅值比 ）零频幅值比M(0)：当 ω=0时闭环幅频特性的数值，其大小反映了系 ： 时闭环幅频特性的数值 统的稳态精度。 统的稳态精度。 （4）频带宽度和截止频率 b：对于闭环系统频率特性幅值 ω)，从其初 ）频带宽度和截止频率ω 对于闭环系统频率特性幅值M( ， 始值M(0)衰减到 衰减到0.707M(0)时的频率值，称为频带宽度（通频带宽）。该 时的频率值， 始值 衰减到 时的频率值 称为频带宽度（通频带宽） 频率值也称为截止频率ω 表示系统的幅值衰减到半功率点。 频率值也称为截止频率 b，表示系统的幅值衰减到半功率点。 频带较宽，表明闭环系统能够通过较高频率的输入信号， 频带较宽，表明闭环系统能够通过较高频率的输入信号，系统跟 踪信号的能力较强，响应迅速，调节时间短， 踪信号的能力较强，响应迅速，调节时间短，但对于高频干扰信号的过 滤能力就相对较差。 滤能力就相对较差。
K ≥0 K <0
采用MATLAB绘制比例环节的极坐标图：
K=1; G=tf([K],[1]); nyquist(G,'*'); axis([-2,2,-2,2]);
1 S 1 频率特性 G ( jω ) = jω
传递函数 G ( s ) = 实频特性
（2）积分环节 ）积分环节
U(ω ) = 0
≥ 0 ，即当 0 ≤ ζ ≤
1 ≈ 0.707 时， 2
此频率值ωr才是非负数。 将此出现极值时的频率值ωr代入二阶振荡环节的幅频特性 表达式，可得幅频特性的极值Mr为
M r = A(ω ) ω =ω =
r
1
(1 − T
2
2
ω
2
2 2
) + (2ζ Tω )
1 2ζ ζ
2
2
1− 2 ζ ω= T
微分环节的极坐标图 微分环节的极坐标图为 正虚轴。频率ω从0→∞时，特 性曲线由虚轴的原点趋向+∞。 G(j0)=0∠90° G(j+∞)=+∞∠90°
采用MATLAB绘制微分环节的极坐标图：
G=tf([1,0],[0,1]); nyquist(G); axis([-2,2,-2,2]);
传递函数 G ( s ) =
1 1 = jRCω + 1 jT ω + 1 1 = ∠ − tg −1ωT 1 + ω 2T 2
RC 网络的极坐标图
极坐标图（Nyquist图）是反映频率特性的几何表示。 当ω从0逐渐增长至+∞时，频率特性G(jω)作为一个矢量，其 矢量端点在复平面相对应的轨迹就是频率特性的极坐标图。
极坐标图也称为奈奎斯特图（Nyquist Plots） 或奈奎斯特曲线，也称为幅相频率特性曲线。 乃奎斯特（H. Nyquist) 1889~1976 美国Bell实验室 著名科学家
K V 2 1+ ( ) U
K 2 K 2 2 整理得：U − ) + V = ( ) ( 2 2
采用MATLAB绘制一阶惯性环节的极坐标图：
T=1; G=tf([0,1],[T,1]); nyquist(G); axis([-2,2,-2,2]);
Im[G(jω)]
一阶惯性环节G(jω)
1 G (s ) = Ts + 1
ς = 0.1
ω =∞ ω =0
ς =1
ς = 0.1
ς =2
ς = 0.6 ς = 0.5
ς = 0.4
ς = 0.8 ς = 0.7
ς = 0.3
பைடு நூலகம்
由图可见，无 论是欠阻尼还是过阻 尼系统，其图形的基 本形状是相同的。 当过阻尼时， 阻尼系数越大，其图 形越接近圆。
ς = 0.2
采用MATLAB绘制二阶振荡环节的极坐标图： T=1;
Zeta1=0.3;G1=tf([0,0,1], [T*T,2*Zeta1*T,1]); Zeta2=0.4;G2=tf([0,0,1], [T*T,2*Zeta2*T,1]); Zeta3=0.5;G3=tf([0,0,1], [T*T,2*Zeta3*T,1]); Zeta4=0.6;G4=tf([0,0,1], [T*T,2*Zeta4*T,1]); Zeta5=0.7;G5=tf([0,0,1], [T*T,2*Zeta5*T,1]); Zeta6=0.8;G6=tf([0,0,1], [T*T,2*Zeta6*T,1]); Zeta7=0.9;G7=tf([0,0,1], [T*T,2*Zeta7*T,1]); Zeta8=1.0;G8=tf([0,0,1], [T*T,2*Zeta8*T,1]); Zeta9=2.0;G9=tf([0,0,1], [T*T,2*Zeta9*T,1]); nyquist(G1,G2,G3,G4,G 5,G6,G7,G8,G9); axis([-2,2,-2,2]);
下面讨论二阶振荡环节的幅频特性可能出现的极值问题：
1 二阶振荡环节的传递函数 G (s ) = 2 2 T s + 2ζ Ts + 1 1 二阶振荡环节的幅频特性 A(ω ) = 2 2 2 (1 − T ω ) + (2ζ Tω )2 令 dA(ω ) = 0 得 dω − 4T 2 ω (1 − T 2 ω 2 ) + 8ζ 2 T 2 ω − =0 3 2 2 2 2 (1 − T ω ) + (2ζ Tω )
M r = A(ω ) ω =ω =
r
1 2ζ 1 − ζ
2
0 ≤ ζ ≤
1 ≈ 0.707 2
二阶振荡环节的幅频特性 A(ω ) = M (ω ) =
1
(1 − T
T =1
2
ω
2 2
) + (2ζ Tω )
0. 5 ; 0. 6 ;
2
ωn =
1 =1 T ζ = 0.3 ; 0.4 ;
Im[G(jω)]
二阶振荡环节G(jω)
2 ωn G (s ) = 2 2 s + 2ζωn s + ωn
0
1
Re[G(jω)]
B点：与负 虚轴的交点
A (ω n ) = 1 2ζ
o
A点：谐振点
A B
ω
r
= ω
n
1 − 2ζ 1 1 − ζ
2
2
Ar =
ϕ ( ω n ) = − 90
2ζ
二阶振荡环节的谐振峰值Mr与阻尼比ζ的关系：
《控制工程基础》 控制工程基础》
第4章 控制系统的频率特性 4.2 极坐标图（Nyquist图）
G(jω ) =
极坐标图（ Plots） 极坐标图（Polar Plots） 当ω从0→∞变化时， 根据频率特性的极坐标公式 G(jω)=A(ω)∠φ(ω)，可以计 算出每一个ω值所对应的幅 值A(ω)和相位φ(ω)，将其画 在极坐标平面图上，就得到 频率特性的极坐标图 （Nyquist图）。
G(j0)=1∠0° G(j+∞)=0∠-180° 相位角0º～-180º，表示 与负虚轴有交点。 令U(ω)=0，或令φ(ω)=-90º， 可得与负虚轴的交点为： 1 ω = = ωn T 二阶振荡环节的极坐标图 1 V (ω n ) = − 2ζ
1 1 G ( jω n ) = − j = ∠ − 90° 2ζ 2ζ
讨论：
1 − 2ζ 2 ωr = = ω n 1 − 2ζ 2 T 1 M r = A(ω ) ω =ω = r 2ζ 1 − ζ 2
0 ≤ ζ ≤ 0 ≤ ζ ≤
1 ≈ 0.707 2 1 ≈ 0.707 2
（1）随着阻尼比ζ减小↓，谐振峰值Mr增大↑，谐振频率ωr→ 趋近于无阻尼自然振荡固有频率ωn。 （2）当阻尼比ζ=0时，ωr=ωn，Mr→∞，此时二阶振荡环节处 于等幅振荡状态，为临界稳定状态。 （3）谐振峰值Mr越大，表示系统的阻尼比ζ越小，系统的相对 稳定性就越差，单位阶跃响应的最大超调量σ%也越大。