专题09 定积分的应用、二项式定理理-2017年高考数学三

2017年学易高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【全国通用版】
热点九 定积分的应用、二项式定理（理）
【名师精讲指南篇】
【高考真题再现】
1.【2014全国卷1】()()8
x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案） 【答案】20-
【解析】由题意,8()x y +展开式通项为8k k
18C y k k T x -+=,08k ≤≤．当7
k =时,777888T C xy xy ==；当6k =时,626267828T C x y x y ==,故()()8
x y x y -+的展开式中
27x y 项为726278(y)2820x xy x y x y ⋅+-⋅=-,系数为20-．
3.【2015全国卷1】(
)
5
2
x x y ++的展开式中,52x y 的系数为（）. A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 【答案】C
【解析】()()5
5
2
2x x y x x y ⎡⎤++=++⎣⎦
．展开式中含2y 的项为
()
52
2
2
2
5
C x x y -+=()3
22
2
5
C x x y +,而()3
2
x x +中含5
x 的项为()
2
1215
3
3C C x
x x =,
所以52x y 的系数为21
53C C 30⨯=.故选C ．
3.【2015全国卷2】4()(1)a x x ++的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32, 则a =__________． 【答案】3
【解析】由题意知,4234(1)1464x x x x x +=++++,故4()(1)a x x ++的展开式中的 奇数次幂分别为4ax ,34ax , ,36x ,5x 这五项,其系数之和为441+6+1=32a a ++, 解得3a =．
4.【2016全国卷1】(
5
2x 的展开式中,3
x 的系数是 （用数字填写答案）.
【答案】10
【解析】 (5
2x 的展开式的通项公式为
()
()555
552
2
15
5
5
C 2C 2C 2
0,1,,5k k k k
k k
k
k k
k T x x
x
k -+
-
---+====.令532
k
-
=,得4k =.故3x 的系数是454
5C 210-=.
【热点深度剖析】
二项式定理,定积分属于理科内容,从近几年的高考试题来看,二项式定理考查的重点是二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数,以考查基本概念、基础知识为主,如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等,注意多项式展开式系数的确定是近几年高考的一个热点；二项式定理基本每年必考,难度不大,属于中档题和容易题,题型为选择题或填空题．定积分重点考查定积分的应用,利用定积分求值,求面积,题型为选择题或填空题． 2013年考查了二项式定理系数最大项,属于基础题, 2014年高考中考查了二项式定理,求二项式展开项的某项系数,展开项的某项系,2015年考察了多项式系数的确定,定积分近几年一直没有考查.预测2016年高考二项式定理仍以指定项系数的确定为主,也可能考查求参数的值；定积分考查的可能性增大,可能是利用定积分求值,或求曲边多边形面积,也可能与几何概型结合出题． 【重点知识整合】
1.定积分的几何意义
①当函数f(x)在区间a,b ]上恒为正时,定积分⎠⎛a
b f(x )dx 的几何意义是由直线x ＝
a ,x ＝
b (a ≠b ),y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图1中阴影部分)． ②一般情况下,定积分⎠⎛a
b f (x )dx 的几何意义是介于x 轴、曲线f(x)以及直线x ＝a 、
x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图2中阴影所示),其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
(3)定积分的基本性质
①⎠⎛a b kf (x )dx ＝ k ⎠⎛a
b f (x )dx (k 为常数)
②⎠⎛a b f 1(x )±f 2(x )]dx ＝⎠⎛a b f 1(x )dx ±⎠⎛a
b f 2(x)dx
③⎠⎛a
b f (x )dx ＝⎠⎛a
c f (x )dx ＋⎠⎛c
b f (x )dx (其中a <
c <b )．
2．微积分基本定理
如果f (x )是区间a ,b ]上的连续函数,并且F ′(x )＝f (x ),那么⎠⎛a
b f (x )dx ＝F (b )－
F (a )
,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式．
为了方便,常把F (b )－F (a )记成F (x )|b
a ,即⎠⎛a
b f (x )dx ＝F (x )|b
a ＝F (
b )－F (a )．
3.二项式定理的展开式
011
()n n n r n r r
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++
++
+,其中组合数r n C 叫做第r +1项的二
项式系数；展开式共有n +1项.
注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数.如在()n ax b +的展开式中,第ｒ＋１项的二项式系
数为r n C ,第ｒ＋１项的系数为r n r r
n C a b -；而1()n x x
+的展开式中的系数就是二项式系
数；（2）当n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？（4）特例：
1(1)1n r r
n n n x C x C x x +=++
++
+
4.二项式定理的通项
二项展开式中第r +l 项1(0,1,2,
r n r r
r n T C a b r -+==,)n 称为二项展开式的通项,二项展开式通
项的主要用途是求指定的项.主要用于求常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 注意：()1通项公式是表示第1r +项,而不是第项.()2展开式中第1r +项的二项式系数r n C 与第
1r +项的系数不同.()3通项公式中含有1,,,,r a b n r T +五个元素,只要知道其中的四个元素,就
可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意是正整数,是非负整数且≤. 5.项的系数和二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m n n
C C -=）． (2)增减性与最大值： 当12n r +≤
时,二项式系数C 的值逐渐增大,当1
2
n r +≥时,C 的值逐渐减小,且在中间取得最大值.当n 为偶数时,中间一项（第2
n
＋1项）的二项式系数2n
n C 取得最大值.当n 为奇数时,中间
两项（第21+n 和21
+n ＋1项）的二项式系数11
22n n n n C C -+=相等并同时取最大值.
(3)各二项式系数和：∵1
(1)1n r r
n n n x C x C x x +=++++
+,令1x =,则
0122n r
n
n n n n n
C C C C C =+++
++
+ , 0213
n n n n C C C C ++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅12n -=
(4)用二项式定理进行近似运算,关键是恰当地舍取不影响精度的项,一般地：当α很小时,有
()
()21
1112
n
n n n ααα±≈±+-.
【应试技巧点拨】
1.二项定理问题的处理方法和技巧:
⑴运用二项式定理一定要牢记通项1r n r r
r n T C a b -+=,注意()n
a b +与()n
b a +虽然相同,
但具体到它们展开式的某一项时是不同的,一定要注意顺序问题,另外二项展开式
的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指r n C ,而后者是字母
外的部分．前者只与和有关,恒为正,后者还与,有关,可正可负．
⑵ 对于二项式系数问题,应注意以下几点：
①求二项式所有项的系数和,可采用“特殊值取代法”,通常令字母变量的值为1； ②关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③证明不等式时,应注意运用放缩法.
⑶ 求二项展开式中指定的项,通常是先根据已知条件求,再求1r T +,有时还需先求,再求,才能求出1r T +.
⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决,但要注意分类清楚,不重不漏.
⑸ 对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.
⑹ 近似计算要首先观察精确度,然后选取展开式中若干项.
⑺ 用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开,常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.
多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令0x =.在二项式的展开式中,要注意项的系数和二项式系数的区别.
2. 排列组合在二项展开式中的应用：()n
a b +展开式可以由次数、项数和系数来确定．
(1)次数的确定：从个相同的a b +中各取一个(或)乘起来,可以构成展开式中的一项,展开式中项的形式是p q ma b ,其中,,p q N p q n ∈+=.
(2)项数的确定：满足条件,,p q N p q n ∈+=的(),p q 共1n +组． 即将()n
a b +展开共2n 项,合并同类项后共1n +项．
(3)系数的确定：展开式中含p q a b (p q n +=)项的系数为p n C (即p 个,个的排列数)
因此()n a b +展开式中的通项是：1r n r r r n T C a b -+= (0,1,2,3,
,r n =)
()
()011
*n
n n r n r r
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=++++
+∈这种方法比数学归纳法推导二
项式定理更具一般性和创造性,不仅可二项展开,也可三项展开,四项展开等．
3. 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时,一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配,分类时一般以一个二项式逐项分类,分析其他二项式应满足的条件,然后再求解结果．
4. 求展开式系数最大项：如求()n
ax b + (,a b R ∈)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为1231,,,,n A A A A +,且第项系数最大,应用1
1k k k
k A A A A -+≥⎧⎨
≥⎩从而解出k 来,即得．
5.二项式应用问题
(1)利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理地变形构造二项式,应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．
(2)求余数问题时,应明确被除式()f x 与除式()g x (()0g x ≠),商式()q x 与余式的关系及余式的范围．
(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时,先要合并通项中同一字母的指数,再根据上述特征进行分析．
(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等,一般要利用通项公式,运用方程思想进行求值,通过解不等式(组)求取值范围．
6.二项式定理是一个恒等式,使用时有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等,则对应项系数分别相等)；二是赋值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．
赋值法是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法,一般对任意A x ∈,某式子恒成立,则对A 中的特殊值,该式子一定成立,特殊值如何选取视具体情况决定,灵活性较强,一般取
1,1,0-=x 居多.若2012()...,n n n ax b a a x a x a x +=++++则设()()=+n f x ax b .有：
①0(0);a f = ②012...(1);n a a a a f ++++=
③0123...(1)(1);n n a a a a a f -+-++-=- ④0246(1)(1)
...;2
f f a a a a +-++++=
⑤1357(1)(1)
(2)
f f a a a a --++++=
6. 定积分的应用及技巧：(1)对被积函数,要先化简,再求定积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分,依据定积分的性质,分段求定积分再求和．(3)对含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能求定积分．(4)应用定积分求曲边梯形的面积,解题的关键是利用两条曲线的交点确定积分区间以及结合图形确定被积函数．求解两条曲线围成的封闭图形的面积一般是用积分区间内上方曲线减去下方曲线对应的方程、或者直接作差之后求积分的绝对值,否则就会求出负值．
易错提示] 在使用定积分求两曲线围成的图形的面积时,要注意根据曲线的交点判断这个面积是怎样的定积分,既不要弄错积分的上下限,也不要弄错被积函数．
用微积分基本定理求定积分时,要掌握积分与导数的互逆关系及求导公式的逆向形式． 7.求导运算与求原函数运算互为逆运算,求定积分的关键是找到被积函数的原函数,为避免出错,在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.
8.定积分的应用主要有两个问题：一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题,其中,应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别. 【考场经验分享】 一．二项式定理：
1．区别“项的系数”与“二项式系数”,审题时要仔细．项的系数与,a b 有关,可正可负,二项式系数只与有关,恒为正．
2．切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念． 3．求展开式中的指定项,要把该项完整写出,不能仅仅说明是第几项． 4．赋值法求展开式中的系数和或部分系数和,常赋的值为0,±1． 5．在化简求值时,注意二项式定理的逆用．要用整体思想看待a 、b . 二．定积分
1.求定积分的常用技巧:
(1)求被积函数,要先化简,再求积分．
(2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号才能积分．
【名题精选练兵篇】
1．【山东省师大附中2017届高三第三次模拟】直线3y x =与曲线2y x =围成图形的面积为
（ ）
A.
272 B. 9 C. 92 D. 27
4
【答案】C
2．【山西省晋中市2017届高三3月高考适应性调研】若
,则在的
展开式中,的幂函数不是整数的项共有（ ）
A. 13项
B. 14项
C. 15项
D. 16项 【答案】C 【解析】
,由
得,当
时,的幂函数不是整数,即共有15项,选C.
3．【广东省广州市2017届高三3月综合测试（一）】若直线
与函数的图象
相交于点,,且,则线段与函数的图象所围成的图形
面积是
A.
B. C. D.
【答案】A
【解析】线段
与函数
的图象所围成的图形面积如图阴影部分所示,其面积为
,选A
4．【2017届安徽省合肥市高三第一次模拟】在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分（曲线的方程为
）的点的个数的估计值为（ ）
A. 5000
B. 6667
C. 7500
D. 7854 【答案】B
5．【“超级全能生”浙江省2017届高三3月联考】在二项式6
12x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中,常数项
是（ ）
A. -240
B. 240
C. -160
D. 160 【答案】C 【解析】()
()()666216
61221r
r
r r r
r
r r T C
x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
,由620r -= 得3r = ,所以常数项是()
()
63
3
3
621160.C --=-选C.
6．【河南省2017届高中毕业年级考前预测】设
sin a xdx π
=⎰,则()
6
2·2x ⎛
+ ⎝的展开
式中常数项是（ ）
A. 332
B. -332
C. 320
D. -320 【答案】B
7．【湖北省黄冈市2017届高三3月份质量检测】已知
,
则
（ ）
A. 2017
B. 4034
C.
D. 0
【答案】C 【解析】因为
,
两边同时求导可得
令
,则
,故选C.
8．【2016届湖南省高三六校联考】若231
(2)(1)x x x
++-的展开式中的常数项为,则
20
(31)a
x dx -⎰
的值为（ ）
A ．6
B ．20
C ．8
D ．24 【答案】A
【解析】因为231
(2)(1)x x x
++-的展开式中的常数项12
3322,a C C =-+=所以
()2
232
00
(31)|6,x dx x x -=-=⎰
故选.
9．【2016届江西师大附中高三上学期期末】若
()2
4
1
cos2x a dx xdx π
-=⎰⎰
,则等于（ ）
A ．1-
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】a ax x dx a x -=-=
-⎰
23212
1
2
1
2）（；21
2sin 212cos 4040==⎰π
π
x xdx ,两定积分相等,
则
12
3
21=⇒-=a a ,故本题的正确选项为B. 10．【2016届河北省邯郸一中高三下第一次模拟】6(2)x y -的展开式中,42x y 的系数为（ ） A ．15 B ．-15 C ．60 D ．-60 【答案】C
【解析】6(2)x y -的展开式的通项公式是()()6616622r
r
r r r r r
r T C x y C x y --+=⋅-=-⋅⋅⋅,令
2r =,则可求得42x y 的系数为60,故选C.
11．【2016届河南省八市重点高中高三4月质检】已知
53878710(3)(1)(1)(1)x x a x a x a x a +=+++++++,则7531753a a a a +++=（ ）
A ．-16
B ．-8
C ．8
D ．16 【答案】
B
12．【2016届甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考】设是一个正整数,1+)k x
k
（的展开式中第四项的系数为
116
,记函数2
y x =与y kx =的图象所围成的阴影部分为S ,任取[0,4]x ∈,[0,16]y ∈,则点(,)x y 恰好落在阴影区域S 内的概率是 （ ）
A ．
23 B ．13 C ．2
5
D ． 16
【答案】D.
【解析】由二项展开的通项公式1()r r
r k x
T C k
+=,令143r r +=⇒=,
∴3
3211(1)(2)1416616k k k C k k k --⋅
=⇒=⇒=,∴422
3400132(4)(2)|33
S x x dx x x =-=-=⎰, ∴所求概率32
1
34166P ==⋅,故选D ．
13．【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考】已知函数
的两个零点分别为
,则__________．
【答案】
14．【2017届河南省新乡市高三第二次模拟】若()5
234501234512x a a x a x a x a x a x -=+++++,
则
3
2
a a =__________． 【答案】-2
【解析】因二项式定理的通项公式为()()15522(0,1,2,3r
r
r r r
r T C x C x r +=-=-=⋅⋅,则
23
2535440,880a C a C ===-=-,故
3
2
2a a =-,应填答案2-. 15．【河北省衡水中学2017届高三下学期三调】在
的展开式中,含项的系数
为________．
【答案】
【解析】 由题意得,
只有第一项含有,因为的通项,所以,
所以
的系数为
.
16．【2017届福建省泉州市高三3月质量检测】的展开式中,的系数为
__________． 【答案】 【解析】由题意得,展开式的通项公式为
,则
的展开
式中,
的项为：
,故答案为：8.
17．【江西省百校联盟2017届高三2月联考】在的展开式中,常数项为
__________． 【答案】
【解析】因,故由题设只要分别求出
的展开式中
的系数和常数项即可,由于,所以
和
,
即
和
时,
和
,
所以常数项为
,应填答案
. 【名师原创测试篇】
1．()5
2
2121x x ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
的展开式的常数项是（ ）
A ．3
B ．-2
C ．2
D ．-3 【答案】A
【解析】由题意得,展开式的常数项是24
14555521(
)(1)2(1)5(2)3x C C x
⋅-+⨯-=+-=,故选A. 2
．由曲线y =直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）
A ．
103 B ．16
3
C ．4
D ．6 【答案】B 【解析】画出草图
由2y x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩
解得42x y =⎧⎨=⎩,所以(4,2)M ,
所以曲线y =直线2y x =-及y 轴所围成的图
形的面积3
4
24
200
2116(2)(2)|323
s x dx x x x ⎤=
-=-+=⎦⎰
. 3. 知2
(sin cos )a x x dx π
=
+⎰
,在64(1)(1y)ax ++的展开式中,2xy 项的系数为（ ）
A ．45
B ．72
C ．60
D ．120
【答案】B
【解析】由已知得220
(sin cos )(sinx cosx)
2a x x dx ππ
=
+=-=⎰
,由二项式定理知,2xy 项为
12226472C ax C y xy ⋅=,其系数为72．
4.
设函数6
1(2),0,
()0.x x x f x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩
则0x >时,[()]f f x 表达式中的展开式中的常数项
为 .（用数字作答） 【答案】160-
5. 已知2201sin 22x a dx π
⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰,则9
12ax ax ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中,的一次项系数为（ ） A ．6316-
B ．6316
C ．638-
D ．63
8
【答案】A
【解析】2011111cos sin sin sin 022222220a x dx x π
π
π⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎰,所以
9
12ax ax ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 9
112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
其通项公式
为:()9992191111922r r r
r r r r r T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,由921r -=即：4r =,得到的一次项系数为：()5
4491631216C ⎛⎫--=- ⎪
⎝⎭
,所以答案为A ． 6. 过点(1,1)A 作曲线2
(0)y x x =≥的切线,设该切线与曲线及轴所围图形的面积为,S 则
S = .
【答案】
1.12
【解析】由题只需求出在A 点处的切线方程,故先利用导数求出在切点处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而得到切线的方程进而求得面积．
过点A 的切线的斜率为x 1k y'|2===,故过点A 的切线l 的方程为y 12x 1-=-（）,即y=2x-1,令y=0,得
1x 2＝,2ABC 111S 1224∆⨯⨯＝＝,312
1ABO 00x 1S x dx |33∆⎰＝＝＝，
ABO ABC 111S S S .3412
∆∆∴--=＝＝。